매개변수 곡선의 미적분 연습문제

81.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 도형을 나타내는 직교좌표 방정식을 구하세요.

초점이 $(2,-5)$ 이고 준선이 $x=6$ 인 포물선

영어 원문 보기

For the following exercises, find the Cartesian equation describing the given shapes.

A parabola with focus $(2,-5)$ and directrix $x=6$

정답·풀이 보기

${(y+5)}^{2}=-8x+32$

원본 교재 풀이(영어)

${(y+5)}^{2}=-8x+32$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

82.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

장축의 길이가 10이고 초점이 $(-7,2)$ , $(1,2)$ 인 타원

영어 원문 보기

An ellipse with a major axis length of 10 and foci at $(-7,2)$ and $(1,2)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

83.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

꼭짓점이 $(-2,3)$ , $(-2,-5)$ 이고 초점이 $(-2,-6)$ , $(-2,4)$ 인 쌍곡선

영어 원문 보기

A hyperbola with vertices at $(-2,3)$ and $(-2,-5)$ and foci at $(-2,-6)$ and $(-2,4)$

정답·풀이 보기

$\frac{{(y+1)}^{2}}{16}-\frac{{(x+2)}^{2}}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{(y+1)}^{2}}{16}-\frac{{(x+2)}^{2}}{9}=1$

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# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

84.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이심률을 구하고 이차곡선의 종류를 판별하세요. 이차곡선의 그래프를 그리세요.

$r=\frac{6}{1+3\,\cos (\theta )}$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the eccentricity and identify the conic. Sketch the conic.

$r=\frac{6}{1+3\,\cos (\theta )}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 22번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

85.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이심률을 구하고 이차곡선의 종류를 판별하세요. 이차곡선의 그래프를 그리세요.

$r=\frac{4}{3-2\,\cos \,\theta }$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the eccentricity and identify the conic. Sketch the conic.

$r=\frac{4}{3-2\,\cos \,\theta }$

정답·풀이 보기

$e=\frac{2}{3}$ , 타원

중심이 (1.5, 0) 근처에 있고, 장축은 길이가 약 5이며 가로 방향이고, 단축은 길이가 약 4인 타원의 그래프.

원본 교재 풀이(영어)

$e=\frac{2}{3},$ ellipse

Graph of an ellipse with center near (1.5, 0), major axis nearly 5 and horizontal, and minor axis nearly 4.

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# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

86.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이심률을 구하고 이차곡선의 종류를 판별하세요. 이차곡선의 그래프를 그리세요.

$r=\frac{7}{5-5\,\cos \,\theta }$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine the eccentricity and identify the conic. Sketch the conic.

$r=\frac{7}{5-5\,\cos \,\theta }$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 26번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

87.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 26번대학 수준우리말 번역

태양 주위를 도는 궤도 중 이심률이 가장 큰 명왕성의 궤도를 나타내는 직교좌표 방정식을 구하세요. 긴지름(장축)의 길이는 39.26 AU이고 짧은지름(단축)의 길이는 38.07 AU입니다. 이심률은 얼마인가요?

영어 원문 보기

Determine the Cartesian equation describing the orbit of Pluto, the most eccentric orbit around the Sun. The length of the major axis is 39.26 AU and minor axis is 38.07 AU. What is the eccentricity?

정답·풀이 보기

$\frac{{y}^{2}}{{19.03}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{19.63}^{2}}=1,$ $e=0.2447$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{y}^{2}}{{19.03}^{2}}+\frac{{x}^{2}}{{19.63}^{2}}=1,$ $e=0.2447$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 24번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

88.OpenStax 2권 · 7장 복습 · 27번대학 수준우리말 번역

C/1980 E1 혜성은 1980년에 관측되었습니다. 이심률이 1.057이고 근일점(태양에 가장 가까이 접근하는 점)이 3.364 AU일 때, 이 혜성의 궤적을 나타내는 직교좌표 방정식을 구하세요. 우리는 이 혜성을 다시 볼 수 있다고 보장할 수 있습니까? (힌트: 태양이 점 $(0,0).)$ 에 있다고 생각하세요.)

영어 원문 보기

The C/1980 E1 comet was observed in 1980. Given an eccentricity of 1.057 and a perihelion (point of closest approach to the Sun) of 3.364 AU, find the Cartesian equations describing the comet’s trajectory. Are we guaranteed to see this comet again? (Hint: Consider the Sun at point $(0,0).)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 12번

# 매개변수 곡선의 미적분계산자동 분류

89.APEX · 9.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 매개변수 방정식 $x=f(t)$ 와 $y=g(t)$ 가 주어질 때, $g'(t) \neq 0$ 인 한 $\frac{dy}{dx} = f\,'(t)/g'(t)$ 이다.

영어 원문 보기

T/F: Given parametric equations $x=f(t)$ and $y=g(t)$ , $\frac{dy}{dx} = f\,'(t)/g'(t)$ , as long as $g'(t) \neq 0$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 3번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

90.APEX · 9.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 매개변수 방정식 $x=f(t)$ 와 $y=g(t)$ 가 주어질 때, $\frac{d^2y}{dx^2}$ 를 구하려면 단순히 $\frac{d}{dt}\Big(\frac{dy}{dx}\Big)$ 를 계산하면 된다.

영어 원문 보기

T/F: Given parametric equations $x=f(t)$ and $y=g(t)$ , to find $\frac{d^2y}{dx^2}$ , one simply computes $\frac{d}{dt}\Big(\frac{dy}{dx}\Big).$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

F

원본 교재 풀이(영어)

F

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 8번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

91.APEX · 9.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $t=t_0$ 에서 $\frac{dy}{dx}=0$ 이면, $t=t_0$ 에서 곡선의 법선은 수직선이다.

영어 원문 보기

T/F: If $\frac{dy}{dx}=0$ at $t=t_0$ , then the normal line to the curve at $t=t_0$ is a vertical line.

답 쓰고 채점

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T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 2번

# 매개변수 곡선의 미적분개념 확인자동 분류

92.APEX · 9.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12에서, 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t$ , $y=t^2$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t$ , $y=t^2$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 2t$ (b) 접선: $y= 2(x-1)+1$ ; 법선: $y = -1/2(x-1)+1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 2t$ (b) Tangent line: $y= 2(x-1)+1$ ; normal line: $y = -1/2(x-1)+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 3번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

93.APEX · 9.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\sqrt{t}$ , $y=5t+2$ ; $t=4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\sqrt{t}$ , $y=5t+2$ ; $t=4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = 10\sqrt{t}$ (b) 접선: $y= 20(x-2)+22$ ; 법선: $y = -1/20(x-2)+22$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = 10\sqrt{t}$ (b) Tangent line: $y= 20(x-2)+22$ ; normal line: $y = -1/20(x-2)+22$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 22번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

94.APEX · 9.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ ; $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t^2-t$ , $y=t^2+t$ ; $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 t+1}{2 t-1}$ (b) 접선: $y= 3x+2$ ; 법선: $y = -1/3x+2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{2 t+1}{2 t-1}$ (b) Tangent line: $y= 3x+2$ ; normal line: $y = -1/3x+2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 4번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

95.APEX · 9.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=t^2-1$ , $y=t^3-t$ ; $t=0$ 과 $t=1$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=t^2-1$ , $y=t^3-t$ ; $t=0$ and $t=1$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-1}{2 t}$ (b) $t=0$ : 접선: $x=-1$ ; 법선: $y = 0$

$t=1$ : 접선: $y=x$ ; 법선: $y=-x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2-1}{2 t}$ (b) $t=0$ : Tangent line: $x=-1$ ; normal line: $y = 0$

$t=1$ : Tangent line: $y=x$ ; normal line: $y=-x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 18번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

96.APEX · 9.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$ (구간 $(-\pi/2,\pi/2)$ 에서); $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$ on $(-\pi/2,\pi/2)$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \csc t$ (b) $t=\pi/4$ : 접선: $y=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$ ; 법선: $y = -1/\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \csc t$ (b) $t=\pi/4$ : Tangent line: $y=\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$ ; normal line: $y = -1/\sqrt{2}(x-\sqrt{2})+1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 42번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

97.APEX · 9.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서 곡선의 매개변수방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ (구간 $[0,2\pi]$ 에서); $t=\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\cos t$ , $y=\sin(2t)$ on $[0,2\pi]$ ; $t=\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = -2\cos(2t)\csc t$ (b) $t=\pi/4$ : 접선: $y=1$ ; 법선: $x=\sqrt{2}/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = -2\cos(2t)\csc t$ (b) $t=\pi/4$ : Tangent line: $y=1$ ; normal line: $x=\sqrt{2}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 34번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

98.APEX · 9.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서는 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=\cos t\sin(2t)$ , $y=\sin t\sin(2t)$ , 구간 $[0,2\pi]$ ; $t=3\pi/4$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=\cos t\sin(2t)$ , $y=\sin t\sin(2t)$ on $[0,2\pi]$ ; $t=3\pi/4$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t\sin(2t)+2\sin t\cos(2t)}{-\sin t\sin(2t)+2\cos t\cos(2t)}$ (b) 접선: $y=x-\sqrt{2}$ ; 법선: $y=-x$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t\sin(2t)+2\sin t\cos(2t)}{-\sin t\sin(2t)+2\cos t\cos(2t)}$ (b) Tangent line: $y=x-\sqrt{2}$ ; normal line: $y=-x$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.3절 · 1번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

99.APEX · 9.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–12번에서는 곡선의 매개변수 방정식이 주어져 있습니다.

(a) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ 를 구하세요. (b) 주어진 점에서의 접선과 법선의 방정식을 구하세요. (c) 매개변수 함수의 그래프를 구한 접선, 법선과 함께 그리세요.

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ ; $t=\pi/2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–12, parametric equations for a curve are given.

(a) Find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ . (b) Find the equations of the tangent and normal line(s) at the point(s) given. (c) Sketch the graph of the parametric functions along with the found tangent and normal lines.

$x=e^{t/10}\cos t$ , $y=e^{t/10}\sin t$ ; $t=\pi/2$

정답·풀이 보기

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin (t)+10 \cos (t)}{\cos (t)-10 \sin (t)}$ (b) 접선: $y=-x/10+e^{\pi/20}$ ; 법선: $y=10x+e^{\pi/20}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin (t)+10 \cos (t)}{\cos (t)-10 \sin (t)}$ (b) Tangent line: $y=-x/10+e^{\pi/20}$ ; normal line: $y=10x+e^{\pi/20}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.2절 · 52번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류

100.APEX · 9.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24번에서, 주어진 매개변수 방정식의 그래프가 매끄럽지 않은 $t=t_0$ 을 구한 다음 $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ 를 구하세요.

$\displaystyle x=\frac{1}{t^2+1}$ , $y=t^3$

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, find $t=t_0$ where the graph of the given parametric equations is not smooth, then find $\displaystyle \lim_{t\to t_0}\frac{dy}{dx}$ .

$\displaystyle x=\frac{1}{t^2+1}$ , $y=t^3$

정답·풀이 보기

$t_0=0$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

$t_0=0$ ; $\lim_{t\to 0} \frac{dy}{dx} = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7장 복습 · 6번

# 매개변수 곡선의 미적분그래프·표 해석자동 분류