매개변수 방정식과 곡선 연습문제

81.APEX · 9.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 매개변수로 나타낸 방정식 네 쌍이 주어져 있습니다. 이들의 그래프가 어떤 점에서 비슷하고 어떤 점에서 다른지 설명하세요. 방향과 치역에 대해서도 반드시 논하세요.

(a) $x=\cos t$ $y=\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$ (b) $x=\cos (t^2)$ $y=\sin(t^2)$ , $0\leq t\leq 2\pi$ (c) $x=\cos (1/t)$ $y=\sin(1/t)$ , $0<t<1$ (d) $x=\cos(\cos t)$ $y=\sin(\cos t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, four sets of parametric equations are given. Describe how their graphs are similar and different. Be sure to discuss orientation and ranges.

(a) $x=\cos t$ $y=\sin t$ , $0\leq t\leq 2\pi$ (b) $x=\cos (t^2)$ $y=\sin(t^2)$ , $0\leq t\leq 2\pi$ (c) $x=\cos (1/t)$ $y=\sin(1/t)$ , $0<t<1$ (d) $x=\cos(\cos t)$ $y=\sin(\cos t)$ , $0\leq t\leq 2\pi$

정답·풀이 보기

(a) 반지름이 1인 원을 시계 반대 방향으로 한 바퀴 그린다. (b) 반지름이 1인 원을 시계 반대 방향으로 6바퀴 넘게 그린다. (c) 반지름이 1인 원을 시계 방향으로 무한히 여러 번 그린다. (d) 반지름이 1인 원의 호를 각 -1 라디안에서 1 라디안까지 두 번 그린다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Traces a circle of radius 1 counterclockwise once. (b) Traces a circle of radius 1 counterclockwise over 6 times. (c) Traces a circle of radius 1 clockwise infinite times. (d) Traces an arc of a circle of radius 1, from an angle of -1 radians to 1 radian, twice.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 31번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

82.APEX · 9.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21~30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=2t+5$ , $\displaystyle y=-3t+1$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=2t+5$ , $\displaystyle y=-3t+1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=-1.5x+8.5$

원본 교재 풀이(영어)

$y=-1.5x+8.5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 9.2절 · 1번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

83.APEX · 9.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21~30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$x=\sec t$ , $y=\tan t$

정답·풀이 보기

$x^2-y^2=1$

원본 교재 풀이(영어)

$x^2-y^2=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 35번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

84.APEX · 9.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21~30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$x=4\sin t+1$ , $y=3\cos t-2$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$x=4\sin t+1$ , $y=3\cos t-2$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+2)^2}{9}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-1)^2}{16}+\frac{(y+2)^2}{9}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 17번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

85.APEX · 9.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21~30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$x=t^2$ , $y=t^3$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$x=t^2$ , $y=t^3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=x^{3/2}$

원본 교재 풀이(영어)

$y=x^{3/2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 43번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

86.APEX · 9.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=\frac{1}{t+1}$ , $\displaystyle y=\frac{3t+5}{t+1}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=\frac{1}{t+1}$ , $\displaystyle y=\frac{3t+5}{t+1}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=2x+3$

원본 교재 풀이(영어)

$y=2x+3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 3번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

87.APEX · 9.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=e^t$ , $\displaystyle y=e^{3t}-3$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=e^t$ , $\displaystyle y=e^{3t}-3$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=x^3-3$

원본 교재 풀이(영어)

$y=x^3-3$

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# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

88.APEX · 9.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=\ln t$ , $\displaystyle y=t^2-1$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=\ln t$ , $\displaystyle y=t^2-1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$y=e^{2x}-1$

원본 교재 풀이(영어)

$y=e^{2x}-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 39번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

89.APEX · 9.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=\cot t$ , $\displaystyle y=\csc t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=\cot t$ , $\displaystyle y=\csc t$

정답·풀이 보기

$y^2-x^2=1$

원본 교재 풀이(영어)

$y^2-x^2=1$

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# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

90.APEX · 9.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=\cosh t$ , $\displaystyle y=\sinh t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=\cosh t$ , $\displaystyle y=\sinh t$

정답·풀이 보기

$x^2-y^2=1$

원본 교재 풀이(영어)

$x^2-y^2=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 31번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

91.APEX · 9.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요.

$\displaystyle x=\cos(2t)$ , $\displaystyle y=\sin t$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, eliminate the parameter in the given parametric equations.

$\displaystyle x=\cos(2t)$ , $\displaystyle y=\sin t$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$x=1-2y^2$

원본 교재 풀이(영어)

$x=1-2y^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 11번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

92.APEX · 9.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=at+x_0$ , $\displaystyle y=bt+y_0$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=at+x_0$ , $\displaystyle y=bt+y_0$

정답·풀이 보기

$y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$ ; 점 $(x_0,y_0)$ 을 지나고 기울기가 $b/a$ 인 직선이다.

원본 교재 풀이(영어)

$y=\frac{b}{a}(x-x_0)+y_0$ ; line through $(x_0,y_0)$ with slope $b/a$ .

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# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

93.APEX · 9.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=r\cos t$ , $\displaystyle y=r\sin t$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=r\cos t$ , $\displaystyle y=r\sin t$

정답·풀이 보기

$x^2+y^2=r^2$ ; 중심이 $(0,0)$ 이고 반지름이 $r$ 인 원이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x^2+y^2=r^2$ ; circle centered at $(0,0)$ with radius $r$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 21번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

94.APEX · 9.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=a\cos t+h$ , $\displaystyle y=b\sin t+k$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=a\cos t+h$ , $\displaystyle y=b\sin t+k$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; 중심이 $(h,k)$ 이고 가로축의 길이가 $2a$ , 세로축의 길이가 $2b$ 인 타원이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; ellipse centered at $(h,k)$ with horizontal axis of length $2a$ and vertical axis of length $2b$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 39번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

95.APEX · 9.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–34에서 주어진 매개변수 방정식의 매개변수를 소거하세요. 직교좌표 형태를 바탕으로 매개변수 방정식이 나타내는 곡선을 설명하세요.

$\displaystyle x=a\sec t+h$ , $\displaystyle y=b\tan t+k$

영어 원문 보기

In Exercises 31–34, eliminate the parameter in the given parametric equations. Describe the curve defined by the parametric equations based on its rectangular form.

$\displaystyle x=a\sec t+h$ , $\displaystyle y=b\tan t+k$

정답·풀이 보기

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; 중심이 $(h,k)$ 이고 가로 방향의 주축을 가지며 점근선의 기울기가 $b/a$ 인 쌍곡선이다. 이 매개변수 방정식은 쌍곡선의 절반만 나타낸다. $a>0$ 일 때는 오른쪽 절반이고, $a<0$ 일 때는 왼쪽 절반이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ; hyperbola centered at $(h,k)$ with horizontal transverse axis and asymptotes with slope $b/a$ . The parametric equations only give half of the hyperbola. When $a>0$ , the right half; when $a<0$ , the left half.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 13번

# 매개변수 방정식과 곡선계산자동 분류

96.APEX · 9.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=3x^2-11x+2$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=3x^2-11x+2$

정답·풀이 보기

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=2$ , $y=-8$ 이다.

$y'=6x-11$ 이고, $x=2$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=(t+11)/6$ , $y=(t^2-97)/12$ . At $t=1$ , $x=2$ , $y=-8$ .

$y'=6x-11$ ; when $x=2$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 7번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

97.APEX · 9.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$y=e^x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=e^x$

정답·풀이 보기

$x=\ln t$ , $y=t$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=1$ 이다.

$y'=e^x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\ln t$ , $y=t$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=1$ .

$y'=e^x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 51번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

98.APEX · 9.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\pi]$ 에서 $y=\sin x$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.

$y=\sin x$ on $[0,\pi]$

정답·풀이 보기

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ 이다. $t=1$ 일 때 $x=0$ , $y=0$ 이다.

$y'=\cos x$ 이고, $x=0$ 일 때 $y'=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$x=\cos^{-1} t$ , $y=\sqrt{1-t^2}$ . At $t=1$ , $x=0$ , $y=0$ .

$y'=\cos x$ ; when $x=0$ , $y'=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 7.1절 · 15번

# 매개변수 방정식과 곡선증명·논술자동 분류

99.APEX · 9.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

35~38번 문제에서, 매개변수 $t=\displaystyle\frac{dy}{dx}$ 를 이용하여 주어진 직교좌표 방정식에 대한 매개변수 방정식을 구하세요. $t=1$ 일 때 그래프 위의 점에서의 접선의 기울기가 1임을 확인하세요.

$[0,\infty)$ 에서 $y=\sqrt{x}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find parametric equations for the given rectangular equation using the parameter $\displaystyle t=\frac{dy}{dx}$ . Verify that at $t=1$ , the point on the graph has a tangent line with slope of 1.