급수의 수렴과 발산 연습문제

61.APEX · 8.2절 · 23번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{6^n}{5^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{6^n}{5^n}$

정답·풀이 보기

발산한다; 공비가 $r=6/5$ 인 등비급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; geometric series with $r=6/5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

62.APEX · 8.2절 · 24번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-4}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-4}$

정답·풀이 보기

수렴한다; $p=4$ 인 $p$ -급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; $p$ -series with $p=4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 29번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

63.APEX · 8.2절 · 25번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}$

정답·풀이 보기

발산한다; $n^\text{th}$ 항 판정법을 만족하지 못한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; fails $n^\text{th}$ term test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

64.APEX · 8.2절 · 28번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n+8)^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n+8)^2}$

정답·풀이 보기

수렴한다; $p=2$ 인 일반 $p$ -급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; general $p$ -series with $p=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

65.APEX · 8.2절 · 30번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}$

정답·풀이 보기

발산한다; $p=1$ 인 일반 $p$ -급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; general $p$ -series with $p=1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

66.APEX · 8.2절 · 31번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = \frac{1-(1/4)^n}{3/4}$ (b) $4/3$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = \frac{1-(1/4)^n}{3/4}$ (b) Converges to $4/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

67.APEX · 8.2절 · 32번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = 2n$ (b) 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = 2n$ (b) Diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

68.APEX · 8.2절 · 33번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ (b) 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ (b) Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 35번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

69.APEX · 8.2절 · 35번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5}{2^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5}{2^n}$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = 5\frac{1-1/2^n}{1/2}$ (b) 10으로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = 5\frac{1-1/2^n}{1/2}$ (b) Converges to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 17번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

70.APEX · 8.2절 · 36번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty e^{-n}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty e^{-n}$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = \frac{1-(1/e)^{n+1}}{1-1/e}$ . (b) $1/(1-1/e) = e/(e-1)$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = \frac{1-(1/e)^{n+1}}{1-1/e}$ . (b) Converges to $1/(1-1/e) = e/(e-1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

71.APEX · 8.2절 · 37번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle 1-\frac13+\frac19-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle 1-\frac13+\frac19-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = \frac{1-(-1/3)^n}{4/3}$ (b) $3/4$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = \frac{1-(-1/3)^n}{4/3}$ (b) Converges to $3/4$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

72.APEX · 8.2절 · 38번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 분해하면 $a_n = \frac1n-\frac1{n+1}$ 이다. 따라서 $S_n = 1-\frac1{n+1}$ 이다. (b) 1로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, $a_n = \frac1n-\frac1{n+1}$ . Thus $S_n = 1-\frac1{n+1}$ . (b) Converges to 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

73.APEX · 8.2절 · 39번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n(n+2)}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n(n+2)}$

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 나타내면 $a_n = \frac32\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$ 이다. 따라서 $S_n = \frac32\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$ 이다. (b) 9/4 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, $a_n = \frac32\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right)$ . Thus $S_n = \frac32\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right)$ . (b) Converges to 9/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

74.APEX · 8.2절 · 40번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 나타내면 $a_n = \frac12\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ 이다. 그러면 $S_n = \frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$ 이다. (b) $1/2$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, $a_n = \frac12\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$ . Then $S_n = \frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}$ . (b) Converges to $1/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 33번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

75.APEX · 8.2절 · 41번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln \left(\frac{n}{n+1}\right)$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = \ln \big(1/(n+1)\big)$ (b) $-\infty$ 로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = \ln \big(1/(n+1)\big)$ (b) Diverges (to $-\infty$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 43번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

76.APEX · 8.2절 · 42번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}$

정답·풀이 보기

(a) $S_n = 1-\frac{1}{(n+1)^2}$ (b) 1 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n = 1-\frac{1}{(n+1)^2}$ (b) Converges to 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 2번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

77.APEX · 8.2절 · 43번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4}+\frac1{2\cdot5}+\frac1{3\cdot6}+\frac1{4\cdot7}+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \frac{1}{1\cdot 4}+\frac1{2\cdot5}+\frac1{3\cdot6}+\frac1{4\cdot7}+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $a_n = \frac1{n(n+3)}$ 이다. 부분분수를 이용하면 소거되는 합(망원급수)이 되어 $S_n = \frac13\left(1+\frac12+\frac13-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)$ 으로 간단히 정리된다. (b) $11/18$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $a_n = \frac1{n(n+3)}$ ; using partial fractions, the resulting telescoping sum reduces to $S_n = \frac13\left(1+\frac12+\frac13-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right)$ (b) Converges to $11/18$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 37번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

78.APEX · 8.2절 · 44번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle 2+\left(\frac12+\frac13\right) + \left(\frac14+\frac19\right) + \left(\frac18+\frac1{27}\right)+\cdots$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle 2+\left(\frac12+\frac13\right) + \left(\frac14+\frac19\right) + \left(\frac18+\frac1{27}\right)+\cdots$

정답·풀이 보기

(a) $n\geq 0$ 에 대해 $a_n = 1/2^n+1/3^n$ 이다. 따라서 $S_n = \frac{1-1/2^2}{1/2}+\frac{1-1/3^n}{2/3}$ 이다. (b) $2+3/2 = 7/2$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $a_n = 1/2^n+1/3^n$ for $n\geq 0$ . Thus $S_n = \frac{1-1/2^2}{1/2}+\frac{1-1/3^n}{2/3}$ . (b) Converges to $2+3/2 = 7/2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 47번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

79.APEX · 8.2절 · 45번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^2-1}$

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 분해하면 $a_n = \frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$ 이다. 따라서 $S_n = \frac12\left(3/2-\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$ 이다. (b) 3/4 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, $a_n = \frac12\left(\frac1{n-1}-\frac1{n+1}\right)$ . Thus $S_n = \frac12\left(3/2-\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$ . (b) Converges to 3/4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.2절 · 1번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류

80.APEX · 8.2절 · 46번우리말 번역

연습문제 31–46번에서 급수가 주어집니다.

(a) 급수의 $n^\text{th}$ 부분합 $S_n$ 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big(\sin 1\big)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for $S_n$ , the $n^\text{th}$ partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \big(\sin 1\big)^n$

정답·풀이 보기

(a) $S_n=\frac{1-(\sin 1)^{n+1}}{1-\sin 1}$ (b) $\frac{1}{1-\sin 1}$ 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $S_n=\frac{1-(\sin 1)^{n+1}}{1-\sin 1}$ (b) Converges to $\frac{1}{1-\sin 1}$ ..

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번

# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류