급수 심화 전체 연습문제

441.OpenStax 2권 · 6.4절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 처음 세 항을 (반드시 이차 다항식일 필요는 없음) 적어도 그만큼 구하세요.

$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\sin x\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)+\cos x\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

442.OpenStax 2권 · 6.4절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 처음 세 항을 (반드시 이차 다항식일 필요는 없음) 적어도 그만큼 구하세요.

$f(x)=\tan x$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)=\tan x$

정답·풀이 보기

$x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\cdots$

원본 교재 풀이(영어)

$x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\cdots$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

443.OpenStax 2권 · 6.4절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 처음 세 항을 (반드시 이차 다항식일 필요는 없음) 적어도 그만큼 구하세요.

$f(x)=\ln (\cos x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)=\ln (\cos x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

444.OpenStax 2권 · 6.4절 · 48번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 항을 적어도 처음 세 개 구하세요(이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)={e}^{x}\cos x$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)={e}^{x}\cos x$

정답·풀이 보기

$1+x-\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{{x}^{4}}{6}+\cdots$

원본 교재 풀이(영어)

$1+x-\frac{{x}^{3}}{3}-\frac{{x}^{4}}{6}+\cdots$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

445.OpenStax 2권 · 6.4절 · 49번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 항을 적어도 처음 세 개 구하세요(이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)={e}^{\sin x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)={e}^{\sin x}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

446.OpenStax 2권 · 6.4절 · 50번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 항을 적어도 처음 세 개 구하세요(이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)={\sec }^{2}x$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)={\sec }^{2}x$

정답·풀이 보기

$1+{x}^{2}+\frac{2{x}^{4}}{3}+\frac{17{x}^{6}}{45}+\cdots$

원본 교재 풀이(영어)

$1+{x}^{2}+\frac{2{x}^{4}}{3}+\frac{17{x}^{6}}{45}+\cdots$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

447.OpenStax 2권 · 6.4절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수의 0이 아닌 항을 적어도 처음 세 개 구하세요(이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)=\tanh x$

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)=\tanh x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

448.OpenStax 2권 · 6.4절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 의 매클로린 급수에서 0이 아닌 처음 세 항을 적어도 구하세요(반드시 이차 다항식일 필요는 없습니다).

$f(x)=\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ ( $\tan x)$ 의 전개식을 참고하세요

영어 원문 보기

In the following exercises, compute at least the first three nonzero terms (not necessarily a quadratic polynomial) of the Maclaurin series of $f.$

$f(x)=\frac{\tan \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ (see expansion for $\tan x)$

정답·풀이 보기

$\tan x$ 의 전개식을 이용하면 $1+\frac{x}{3}+\frac{2{x}^{2}}{15}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the expansion for $\tan x$ gives $1+\frac{x}{3}+\frac{2{x}^{2}}{15}.$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

449.OpenStax 2권 · 6.4절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\ln (1+x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

$\ln (1+x)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

450.OpenStax 2권 · 6.4절 · 54번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\frac{1}{1+{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

$\frac{1}{1+{x}^{2}}$

정답·풀이 보기

$\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}$ 이므로 비판정법에 의해 $R=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}$ so $R=1$ by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 52번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

451.OpenStax 2권 · 6.4절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

${\tan }^{-1}x$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

${\tan }^{-1}x$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 42번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

452.OpenStax 2권 · 6.4절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\ln (1+{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

$\ln (1+{x}^{2})$

정답·풀이 보기

$\ln (1+{x}^{2})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$ 이므로 비판정법에 의해 $R=1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$\ln (1+{x}^{2})=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n-1}}{n}{x}^{2n}$ so $R=1$ by the ratio test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 42번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

453.OpenStax 2권 · 6.4절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sinh x=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

Find the Maclaurin series of $\sinh x=\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

454.OpenStax 2권 · 6.4절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 각 함수의 매클로린 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\cosh x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$ 의 매클로린 급수를 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence of the Maclaurin series of each function.

Find the Maclaurin series of $\cosh x=\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}.$

정답·풀이 보기

${e}^{x}$ 의 급수와 ${e}^{-x}$ 의 급수를 항별로 더한다. 홀수 차수의 항은 서로 소거되므로 $\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Add series of ${e}^{x}$ and ${e}^{-x}$ term by term. Odd terms cancel and $\cosh x=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}.$

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

455.OpenStax 2권 · 6.4절 · 59번대학 수준우리말 번역

$\sinh x$ 의 매클로린 급수를 항별로 미분하고, 그 결과를 $\cosh x$ 의 매클로린 급수와 비교하세요.

영어 원문 보기

Differentiate term by term the Maclaurin series of $\sinh x$ and compare the result with the Maclaurin series of $\cosh x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

456.OpenStax 2권 · 6.4절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${S}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$ 과 ${C}_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k}}{(2k)!}$ 은 각각 $\sin x$ 의 $2n+1$ 차 매클로린 다항식과 $\cos x$ 의 $2n$ 차 매클로린 다항식을 나타낸다고 하자. $n=1,..,5$ 에 대해 오차 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}-\tan x$ 의 그래프를 구간 $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right)$ 에서 그리고, 이를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}-\tan x$ 와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Let ${S}_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{(2k+1)!}$ and ${C}_{n}(x)=\sum_{n=0}^{n}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k}}{(2k)!}$ denote the respective Maclaurin polynomials of degree $2n+1$ of $\sin x$ and degree $2n$ of $\cos x.$ Plot the errors $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}-\tan x$ for $n=1,..,5$ and compare them to $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}-\tan x$ on $\left(-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right).$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 첫 번째 곡선은 원점을 지나는 감소함수이다. 두 번째 곡선은 원점을 지나는 증가함수이며 꺾은선 모양이다. 두 곡선은 원점 부근에서 서로 매우 가깝다.

$N\ge 3$ 일 때, 비 $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}$ 은 ${p}_{7}(x)=x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}$ 보다 $\tan x$ 를 더 잘 근사한다. 파선 곡선은 $n=1,2$ 에 대한 $\frac{{S}_{n}}{{C}_{n}}-\tan$ 이다. 점선 곡선은 $n=3$ 에 해당하고, 일점쇄선 곡선은 $n=4$ 에 해당한다. 실선 곡선은 ${p}_{7}-\tan x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has two curves. The first one is a decreasing function passing through the origin. The second is a broken line which is an increasing function passing through the origin. The two curves are very close around the origin.

The ratio $\frac{{S}_{n}(x)}{{C}_{n}(x)}$ approximates $\tan x$ better than does ${p}_{7}(x)=x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}+\frac{17{x}^{7}}{315}$ for $N\ge 3.$ The dashed curves are $\frac{{S}_{n}}{{C}_{n}}-\tan$ for $n=1,2.$ The dotted curve corresponds to $n=3,$ and the dash-dotted curve corresponds to $n=4.$ The solid curve is ${p}_{7}-\tan x.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 66번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

457.OpenStax 2권 · 6.4절 · 61번대학 수준우리말 번역

항등식 $2\sin x\cos x=\sin (2x)$ 를 이용하여 ${\sin }^{2}x$ 의 $x=0$ 에서의 거듭제곱급수 전개를 구하세요. (힌트: $\sin (2x)$ 의 매클로린 급수를 항별로 적분하세요.)

영어 원문 보기

Use the identity $2\sin x\cos x=\sin (2x)$ to find the power series expansion of ${\sin }^{2}x$ at $x=0.$ (Hint: Integrate the Maclaurin series of $\sin (2x)$ term by term.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 20번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

458.OpenStax 2권 · 6.4절 · 62번대학 수준우리말 번역

$y=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 일 때, $x{y}^{'}$ 과 ${x}^{2}{y}^{''}$ 의 거듭제곱급수 전개를 구하세요.

영어 원문 보기

If $y=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n},$ find the power series expansions of $x{y}^{'}$ and ${x}^{2}{y}^{''}.$

정답·풀이 보기

항별 미분 정리에 의해 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ 이므로 ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}\,x{y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n}$ 이고, 한편 ${y}^{'}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}$ 이므로 $x{y}^{''}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the term-by-term differentiation theorem, ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ so ${y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}\,x{y}^{'}=\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n},$ whereas ${y}^{'}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n-2}$ so $x{y}^{''}=\sum_{n=2}^{\infty }n(n-1){a}_{n}{x}^{n}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 60번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

459.OpenStax 2권 · 6.4절 · 64번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 표준화 시험 점수가 평균 $\mu =100$ , 표준편차 $\sigma =10$ 인 정규분포를 따른다고 하자. 시험 점수가 $90$ 과 $110$ 사이일 확률을 나타내는 적분을 세우고, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ 의 $10$ 차 매클로린 다항식의 적분을 이용하여 이 확률을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that a set of standardized test scores is normally distributed with mean $\mu =100$ and standard deviation $\sigma =10.$ Set up an integral that represents the probability that a test score will be between $90$ and $110$ and use the integral of the degree $10$ Maclaurin polynomial of $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ to estimate this probability.

정답·풀이 보기

확률은 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{(a-\mu )/\sigma }^{(b-\mu )/\sigma }{e}^{-{x}^{2}/2}dx$ 이고, 여기서 $a=90$ , $b=100$ 이다. 즉 $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{{2}^{n}n!}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{1}{(2n+1){2}^{n}n!}\approx 0.6827.$

원본 교재 풀이(영어)

The probability is $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{(a-\mu )/\sigma }^{(b-\mu )/\sigma }{e}^{-{x}^{2}/2}dx$ where $a=90$ and $b=100,$ that is, $p=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}{e}^{-{x}^{2}/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-1}^{1}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{{2}^{n}n!}dx=\frac{2}{\sqrt{2\pi }}\sum_{n=0}^{5}{(-1)}^{n}\frac{1}{(2n+1){2}^{n}n!}\approx 0.6827.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 68번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

460.OpenStax 2권 · 6.4절 · 65번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 표준화 시험 점수가 평균 $\mu =100$ , 표준편차 $\sigma =10$ 인 정규분포를 따른다고 하자. 시험 점수가 $70$ 과 $130$ 사이일 확률을 나타내는 적분을 세우고, $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ 의 $50$ 차 매클로린 다항식의 적분을 이용하여 이 확률을 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that a set of standardized test scores is normally distributed with mean $\mu =100$ and standard deviation $\sigma =10.$ Set up an integral that represents the probability that a test score will be between $70$ and $130$ and use the integral of the degree $50$ Maclaurin polynomial of $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-{x}^{2}/2}$ to estimate this probability.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.4절 · 58번

# 테일러 급수의 활용계산자동 분류

급수 심화 전체 문제