멱급수와 수렴 반경 연습문제

81.APEX · 8.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}(x-5)^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}(x-5)^{n}$

정답·풀이 보기

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

82.APEX · 8.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!(x-10)^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^nn!(x-10)^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=0$ (b) $x=10$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=0$ (b) $x=10$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

83.APEX · 8.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1$ (b) $[-1,1]$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1$ (b) $[-1,1]$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

84.APEX · 8.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+2)^n}{n^3}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(x+2)^n}{n^3}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1$ (b) $[-3,-1]$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1$ (b) $[-3,-1]$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

85.APEX · 8.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac x{10}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac x{10}\right)^n$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=0$ (b) $x=0$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=0$ (b) $x=0$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

86.APEX · 8.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2\left(\frac{x+4}{4}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty n^2\left(\frac{x+4}{4}\right)^n$

정답·풀이 보기

(a) $R=4$ (b) $x=(-8,0)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=4$ (b) $x=(-8,0)$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

87.APEX · 8.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^n$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^n$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}$ ; $(-1,1)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n+1}$ ; $(-1,1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty n^2x^{n-1}$ ; $(-1,1)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n+1}x^{n+1}$ ; $(-1,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

88.APEX · 8.6절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}$ ; $(-1,1)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}x^{n+1}$ ; $[-1,1]$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty x^{n-1}$ ; $(-1,1)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}x^{n+1}$ ; $[-1,1]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

89.APEX · 8.6절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^n$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n-1}$ ; $(-2,2)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)2^n}x^{n+1}$ ; $[-2,2)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}x^{n-1}$ ; $(-2,2)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+1)2^n}x^{n+1}$ ; $[-2,2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 25번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

90.APEX · 8.6절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-3x)^n$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-3x)^n$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty n(-3)^nx^{n-1}$ ; $(-1/3,1/3)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{n+1}x^{n+1}$ ; $(-1/3,1/3]$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty n(-3)^nx^{n-1}$ ; $(-1/3,1/3)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-3)^n}{n+1}x^{n+1}$ ; $(-1/3,1/3]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 37번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

91.APEX · 8.6절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n-1}}{(2n-1)!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 22번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

92.APEX · 8.6절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 25–30에서 함수 $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 이 주어져 있다.

(a) $f\,'(x)$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴구간을 구하세요. (b) $\int f(x)\ dx$ 의 거듭제곱급수와 그 수렴구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{n}}{n!}$

영어 원문 보기

In Exercises 25–30, a function $\displaystyle f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is given.

(a) Give a power series for $f\,'(x)$ and its interval of convergence. (b) Give a power series for $\int f(x)\ dx$ and its interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{n}}{n!}$

정답·풀이 보기

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{n-1}}{(n-1)!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}$ ; $(-\infty,\infty)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\displaystyle f\,'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^nx^{n-1}}{(n-1)!} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}x^{n}}{n!}$ ; $(-\infty,\infty)$ (b) $\displaystyle \int f(x)\ dx = C+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)!}$ ; $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

93.APEX · 8.6절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,'=3y$ , $y(0)=1$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,'=3y$ , $y(0)=1$

정답·풀이 보기

$1+3x+\frac92x^2+\frac92x^3+\frac{27}{8}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$1+3x+\frac92x^2+\frac92x^3+\frac{27}{8}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 20번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

94.APEX · 8.6절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,'=5y$ , $y(0)=5$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,'=5y$ , $y(0)=5$

정답·풀이 보기

$5+25x+\frac{125}2x^2+\frac{625}{6}x^3+\frac{3125}{24}x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$5+25x+\frac{125}2x^2+\frac{625}{6}x^3+\frac{3125}{24}x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 33번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

95.APEX · 8.6절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,'=y^2$ , $y(0)=1$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,'=y^2$ , $y(0)=1$

정답·풀이 보기

$1+x+x^2+x^3+x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$1+x+x^2+x^3+x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

96.APEX · 8.6절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서, 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,'=y+1$ , $y(0)=1$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,'=y+1$ , $y(0)=1$

정답·풀이 보기

$1+2x+x^2+\frac13{x^3}+\frac1{12}{x^4}$

원본 교재 풀이(영어)

$1+2x+x^2+\frac13{x^3}+\frac1{12}{x^4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 5번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

97.APEX · 8.6절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서, 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,''=-y$ , $y(0)=0$ , $y\,'(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,''=-y$ , $y(0)=0$ , $y\,'(0) = 1$

정답·풀이 보기

$0+x+0x^2-\frac16x^3+0x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$0+x+0x^2-\frac16x^3+0x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

98.APEX · 8.6절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–36에서, 주어진 미분방정식의 해인 급수의 처음 5개 항을 구하세요.

$y\,''=2y$ , $y(0)=1$ , $y\,'(0) = 1$

영어 원문 보기

In Exercises 31–36, give the first 5 terms of the series that is a solution to the given differential equation.

$y\,''=2y$ , $y(0)=1$ , $y\,'(0) = 1$

정답·풀이 보기

$1+x+x^2+\frac13x^3+\frac16x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$1+x+x^2+\frac13x^3+\frac16x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 25번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

99.CLP-2 · 3.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

어떤 양의 상수 $a$ , $c$ 와 어떤 상수 수열 $\{A_n\}$ 에 대하여 $f(x)=\displaystyle \sum_{n=a}^\infty A_n(x-c)^n$ 이라 하자. $x$ 가 어떤 값일 때 $f(x)$ 가 반드시 수렴하는지 구하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\displaystyle \sum_{n=a}^\infty A_n(x-c)^n$ for some positive constants $a$ and $c$ , and some sequence of constants $\{A_n\}$ . For which values of $x$ does $f(x)$ definitely converge?

정답·풀이 보기

$x=c$ 이면

$\begin{aligned} f(x)&=A_a(c-c)^a+A_{a+1}(c-c)^{a+1}+A_{a+2}(c-c)^{a+2}+\cdots\\ &=A_a \cdot 0+A_{a+1}\cdot 0+A_{a+2}\cdot 0+\cdots\\ &=0 \end{aligned}$

이다. 따라서 $x=c$ 일 때 $f(x)$ 는 (상수 0 으로) 수렴한다. ( $a=0$ 을 허용했다면 $0^0=1$ 로 약속하므로 $f(x)$ 가 0 이 아닌 수 $A_0$ 으로 수렴할 수도 있다.)

수열 $\{A_n\}$ 에 따라서는 $x \neq c$ 인 모든 $x$ 에 대해 $f(x)$ 가 발산할 수도 있다. 예를 들어 $A_n=n!$ 이라 하면 $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!(x-c)^n$ 이다. $x \neq c$ 이면 극한 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(n+1)!(x-c)^{n+1}}{n!(x-c)^n}\right|=\lim_{n\to\infty}(n+1)|x-c|$ 는 $x-c\neq 0$ 이므로 무한대이다. 따라서 이 급수는 발산한다.

지금까지 이 급수가 $x=c$ 에서는 반드시 수렴하지만, 다른 점에서는 수렴하지 않을 수 있음을 보였다.

원본 교재 풀이(영어)

If $x=c$ , then

$\begin{aligned} f(x)&=A_a(c-c)^a+A_{a+1}(c-c)^{a+1}+A_{a+2}(c-c)^{a+2}+\cdots\\ &=A_a \cdot 0+A_{a+1}\cdot 0+A_{a+2}\cdot 0+\cdots\\ &=0 \end{aligned}$

So, $f(x)$ converges (to the constant 0) when $x=c$ . (Had we allowed $a=0$ , it would be possible for $f(x)$ to converge to a nonzero number $A_0$ , because we use the convention $0^0=1$ .)

Depending on the sequence $\{A_n\}$ , it's possible that $f(x)$ diverges for all $x \neq c$ . For example, suppose $A_n=n!$ , so $f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!(x-c)^n$ . If $x \neq c$ , then the limit $\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left|\frac{(n+1)!(x-c)^{n+1}}{n!(x-c)^n}\right|=\lim_{n\to\infty}(n+1)|x-c|$ is infinity, since $x-c\neq 0$ . So, the series diverges.