멱급수와 수렴 반경 연습문제

61.OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-2\pi ,2\pi ]$ 에서 $n=3,5,10$ 에 대하여 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 커짐에 따라 이 그래프들이 $\sin x$ 를 어떻게 근사하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$ for $n=3,5,10$ on the interval $[-2\pi ,2\pi ].$ Comment on how these plots approximate $\sin x$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 n=3,5,10 일 때 (-1)^n 곱하기 x^(2n+1) 나누기 (2n+1)! 의 부분합의 그래프이다. 곡선들은 원점 가까이에서는 사인 곡선을 잘 근사하다가, 원점에서 멀어질수록 사인 곡선에서 벌어진다.

다항식의 곡선은 그 차수까지는 $\sin x$ 의 근과 가까운 근을 가지며, 그 이후에는 다항식이 $\sin x$ 에서 벗어나 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of the partial sums of (-1)^n times x^(2n+1) divided by (2n+1)! For n=3,5,10. The curves approximate the sine curve close to the origin and then separate as the curves move away from the origin.

The polynomial curves have roots close to those of $\sin x$ up to their degree and then the polynomials diverge from $\sin x.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 9번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

62.OpenStax 2권 · 6.1절 · 62번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-2\pi ,2\pi ]$ 에서 $n=3,5,10$ 일 때 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}$ 의 그래프를 그리세요. $N$ 이 증가함에 따라 이 그래프들이 $\cos x$ 를 어떻게 근사하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{{x}^{2n}}{(2n)!}$ for $n=3,5,10$ on the interval $[-2\pi ,2\pi ].$ Comment on how these plots approximate $\cos x$ as N increases.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 20번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

63.APEX · 8.6절 · 1번대학 수준우리말 번역

$x$ 의 값에 관계없이 $x^0=$ _____ 로 약속한다.

영어 원문 보기

We adopt the convention that $x^0=$ _____, regardless of the value of $x$ .

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1

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1

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 4번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

64.APEX · 8.6절 · 2번대학 수준우리말 번역

수렴 반지름과 수렴 구간의 차이는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the difference between the radius of convergence and the interval of convergence?

정답·풀이 보기

수렴 반지름은 $x=c$ 를 중심으로 하는 거듭제곱급수가 $(c-R,c+R)$ 안의 모든 $x$ 의 값에 대해 수렴하도록 하는 값 $R$ 이다. 수렴 구간은 거듭제곱급수가 수렴하는 구간이며, $(c-R,c+R)$ 와는 양 끝점에서만 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

The radius of convergence is a value $R$ such that a power series, centered at $x=c$ , converges for all values of $x$ in $(c-R,c+R)$ . The interval of convergence is an interval on which the power series converges; it may differ from $(c-R,c+R)$ only at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 3번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

65.APEX · 8.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 의 수렴 반지름이 5이면, $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}$ 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is 5, what is the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n\cdot a_nx^{n-1}$ ?

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5

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5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

66.APEX · 8.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 의 수렴 반지름이 5이면, $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ 의 수렴 반지름은 얼마인가요?

영어 원문 보기

If the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ is 5, what is the radius of convergence of $\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^na_nx^n$ ?

답 쓰고 채점

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5

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5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 22번

# 멱급수와 수렴 반경개념 확인자동 분류

67.APEX · 8.6절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nx^n$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^nx^n$

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$1+2x+4x^2+8x^3+16x^4$

원본 교재 풀이(영어)

$1+2x+4x^2+8x^3+16x^4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

68.APEX · 8.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}x^n$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}x^n$

답 쓰고 채점

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$x+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{25}$

원본 교재 풀이(영어)

$x+\frac{x^2}{4}+\frac{x^3}{9}+\frac{x^4}{16}+\frac{x^5}{25}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

69.APEX · 8.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}x^n$

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$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}$

원본 교재 풀이(영어)

$1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 23번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

70.APEX · 8.6절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 주어진 거듭제곱급수의 처음 5개 항의 합을 쓰세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, write out the sum of the first 5 terms of the given power series.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}$

답 쓰고 채점

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$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}$

원본 교재 풀이(영어)

$1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\frac{x^8}{40320}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 7번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

71.APEX · 8.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n!}x^{n}$

정답·풀이 보기

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

72.APEX · 8.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty nx^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1$ (b) $(-1,1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1$ (b) $(-1,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.6절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

73.APEX · 8.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-3)^{n}}{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n(x-3)^{n}}{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1$ (b) $(2,4]$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1$ (b) $(2,4]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

74.APEX · 8.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+4)^{n}}{n!}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+4)^{n}}{n!}$

정답·풀이 보기

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=\infty$ (b) $(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

75.APEX · 8.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어져 있다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{2^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{2^n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=2$ (b) $(-2,2)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=2$ (b) $(-2,2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 24번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

76.APEX · 8.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x-5)^{n}}{10^n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n(x-5)^{n}}{10^n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=10$ (b) $(-5,15)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=10$ (b) $(-5,15)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

77.APEX · 8.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 5^n(x-1)^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 5^n(x-1)^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1/5$ (b) $(4/5,6/5)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1/5$ (b) $(4/5,6/5)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 18번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

78.APEX · 8.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-2)^nx^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-2)^nx^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1/2$ (b) $(-1/2,1/2)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1/2$ (b) $(-1/2,1/2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 23번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

79.APEX · 8.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sqrt{n}x^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \sqrt{n}x^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=1$ (b) $(-1,1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=1$ (b) $(-1,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 61번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

80.APEX · 8.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–24에서 거듭제곱급수가 주어졌다.

(a) 수렴 반지름을 구하세요. (b) 수렴 구간을 구하세요.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}x^{n}$

영어 원문 보기

In Exercises 9–24, a power series is given.

(a) Find the radius of convergence. (b) Find the interval of convergence.

$\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{3^n}x^{n}$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $R=3$ (b) $(-3,3)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $R=3$ (b) $(-3,3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류