멱급수와 수렴 반경 연습문제

41.OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이고 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 사실을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴 구간을 말하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{1-4{x}^{2}};a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ with convergence in $(-1,1),$ find the power series for each function with the given center a, and identify its interval of convergence.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{1-4{x}^{2}};a=0$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }{4}^{n}{x}^{2n+2}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }{4}^{n}{x}^{2n+2}$ on $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 6.1절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 이고 $(-1,1)$ 에서 수렴한다는 사실을 이용하여, 주어진 중심 a 에 대해 각 함수의 거듭제곱급수를 구하고 그 수렴 구간을 말하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{5-4x+{x}^{2}};a=2$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ with convergence in $(-1,1),$ find the power series for each function with the given center a, and identify its interval of convergence.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{5-4x+{x}^{2}};a=2$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 6.1절 · 43번대학 수준우리말 번역

${|{a}_{n}|}^{1/n}\to r>0$ 이면 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때마다 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}\to |x|r<1$ 이고, 따라서 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름이 $R=\frac{1}{r}$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain why, if ${|{a}_{n}|}^{1/n}\to r>0,$ then ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}\to |x|r<1$ whenever $|x|<\frac{1}{r}$ and, therefore, the radius of convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ is $R=\frac{1}{r}.$

정답·풀이 보기

$n\to \infty$ 일 때 ${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}={|{a}_{n}|}^{1/n}|x|\to |x|r$ 이고, $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $|x|r<1$ 이다. 따라서 n제곱근 판정법에 의해 $|x|<\frac{1}{r}$ 일 때 $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

${|{a}_{n}{x}^{n}|}^{1/n}={|{a}_{n}|}^{1/n}|x|\to |x|r$ as $n\to \infty$ and $|x|r<1$ when $|x|<\frac{1}{r}.$ Therefore, $\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges when $|x|<\frac{1}{r}$ by the nth root test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 41번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 6.1절 · 44번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{n}}$

영어 원문 보기

Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.5절 · 16번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 6.1절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

영어 원문 보기

Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

정답·풀이 보기

${a}_{k}={\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}$ so ${({a}_{k})}^{1/k}\to \frac{1}{2}<1$ so $R=2$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{k}={\left(\frac{k-1}{2k+3}\right)}^{k}$ so ${({a}_{k})}^{1/k}\to \frac{1}{2}<1$ so $R=2$

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 6.1절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2{k}^{2}-1}{{k}^{2}+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

영어 원문 보기

Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.

$\sum_{k=1}^{\infty }{\left(\frac{2{k}^{2}-1}{{k}^{2}+3}\right)}^{k}{x}^{k}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 6.1절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제를 이용하여, 이어지는 연습문제에 주어진 급수의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}{x}^{n}$

영어 원문 보기

Use the next exercise to find the radius of convergence of the given series in the subsequent exercises.

$\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}$ so ${({a}_{n})}^{1/n}\to 0$ so $R=\infty$

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={({n}^{1/n}-1)}^{n}$ so ${({a}_{n})}^{1/n}\to 0$ so $R=\infty$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 19번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 6.1절 · 48번대학 수준우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이고 n 이 짝수이면 ${a}_{n}=0$ 이라고 하자. $p(x)=-p(-x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ such that ${a}_{n}=0$ if n is even. Explain why $p(x)=-p(-x).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 13번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 6.1절 · 49번대학 수준우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이고 n 이 홀수이면 ${a}_{n}=0$ 이라고 하자. $p(x)=p(-x)$ 인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ such that ${a}_{n}=0$ if n is odd. Explain why $p(x)=p(-x).$

정답·풀이 보기

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n+1}{x}^{2n+1}$ 로 다시 쓸 수 있고, $x$ 의 짝수 거듭제곱만 남으므로 $p(x)=p(-x)$ 이다. $p(x)$ 는 우함수(짝함수)이며, 정의에 의해 우함수는 $p(x)=p(-x)$ 를 만족시킨다.

원본 교재 풀이(영어)

We can rewrite $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n+1}{x}^{2n+1}$ and $p(x)=p(-x)$ since only even powers of $x$ remain, $p(x)$ is an even function, for which, by definition $p(x)=p(-x)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 17번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

50.OpenStax 2권 · 6.1절 · 50번대학 수준우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-1,1]$ 에서 수렴한다고 하자. $p(Ax)$ 의 수렴 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges on $(-1,1].$ Find the interval of convergence of $p(Ax).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 6.1절 · 51번대학 수준우리말 번역

$p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $(-1,1]$ 에서 수렴한다고 하자. $p(2x-1)$ 의 수렴 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ converges on $(-1,1].$ Find the interval of convergence of $p(2x-1).$

정답·풀이 보기

$x\in [0,1]$ 이면 $y=2x-1\in [-1,1]$ 이므로 $p(2x-1)=p(y)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{y}^{n}$ 은 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $x\in [0,1],$ then $y=2x-1\in [-1,1]$ so $p(2x-1)=p(y)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{y}^{n}$ converges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 6.1절 · 52번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시키고 모든 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이라고 하자. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내리기에 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{2n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 1번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 6.1절 · 53번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시키고 모든 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이라고 하자. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내리기에 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{2n}$

정답·풀이 보기

비판정법에 의해 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges on $(-1,1)$ by the ratio test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 6.1절 · 54번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시키고 각 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이라고 하자. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 또는 결론을 내리기에 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 이용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{n}\,\left(Hint:\,x=\pm \sqrt{{x}^{2}}\right)$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{2n}{x}^{n}\,\left(Hint:\,x=\pm \sqrt{{x}^{2}}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 15번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

55.OpenStax 2권 · 6.1절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 이 $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ 을 만족시킨다고 하자. 단, 각 n 에 대해 ${a}_{n}\ge 0$ 이다. 각 급수가 구간 $(-1,1)$ 전체에서 수렴하는지, 아니면 결론을 내릴 정보가 충분하지 않은지 말하세요. 적절한 경우 비교판정법을 사용하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{{n}^{2}}{x}^{{n}^{2}}$ (힌트: 어떤 n 에 대해 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 로 놓고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0.)$ 으로 놓는다.)

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose that $p(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ satisfies $\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=1$ where ${a}_{n}\ge 0$ for each n. State whether each series converges on the full interval $(-1,1),$ or if there is not enough information to draw a conclusion. Use the comparison test when appropriate.

$\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{{n}^{2}}{x}^{{n}^{2}}$ (Hint: Let ${b}_{k}={a}_{k}$ if $k={n}^{2}$ for some n, otherwise ${b}_{k}=0.)$

정답·풀이 보기

$\sum {b}_{k}{x}^{k}$ 을 생각하자. 여기서 $k={n}^{2}$ 이면 ${b}_{k}={a}_{k}$ 이고, 그렇지 않으면 ${b}_{k}=0$ 이다. 그러면 ${b}_{k}\le {a}_{k}$ 이므로 비교판정법에 의해 이 급수는 $(-1,1)$ 에서 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

Consider the series $\sum {b}_{k}{x}^{k}$ where ${b}_{k}={a}_{k}$ if $k={n}^{2}$ and ${b}_{k}=0$ otherwise. Then ${b}_{k}\le {a}_{k}$ and so the series converges on $(-1,1)$ by the comparison test.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 27번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 6.1절 · 56번대학 수준우리말 번역

$p(x)$ 가 N 차 다항식이라고 하자. $\sum_{n=1}^{\infty }p(n){x}^{n}$ 의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that $p(x)$ is a polynomial of degree N. Find the radius and interval of convergence of $\sum_{n=1}^{\infty }p(n){x}^{n}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

57.OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $\frac{1}{1-x}$ 의 그래프와, $n=10,20,30$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{x}^{n}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 ${S}_{N}$ 이 $\frac{1}{1-x}$ 을 근사하는 정도에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of $\frac{1}{1-x}$ and of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{x}^{n}$ for $n=10,20,30$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the approximation of $\frac{1}{1-x}$ by ${S}_{N}$ near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 y = 1/(1-x) 의 그래프로, 증가하는 곡선이며 1에서 수직 점근선을 갖는다.

근사는 $x=-1$ 근처에서 더 정확하다. N 이 증가함에 따라 부분합은 $\frac{1}{1-x}$ 에 더 가깝게 따라가지만, $x=1$ 근처에서는 급수가 발산하므로 결코 정확하지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of y = 1/(1-x), which is an increasing curve with vertical asymptote at 1.

The approximation is more accurate near $x=-1.$ The partial sums follow $\frac{1}{1-x}$ more closely as N increases but are never accurate near $x=1$ since the series diverges there.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 29번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

58.OpenStax 2권 · 6.1절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $-\ln (1-x)$ 의 그래프와, $n=10,50,100$ 에 대한 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 그래프를 그리세요. N 이 커짐에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 부분합의 거동에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of $-\ln (1-x)$ and of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{n}$ for $n=10,50,100$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the behavior of the sums near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 21번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

59.OpenStax 2권 · 6.1절 · 59번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $n=10,50,100$ 일 때 부분합 ${S}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}$ 의 그래프를 그리세요. $N$ 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 부분합의 변화 양상에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{n}=\sum_{n=1}^{N}\frac{{x}^{n}}{{n}^{2}}$ for $n=10,50,100$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the behavior of the sums near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

정답·풀이 보기

이 그림은 y = -ln(1-x) 의 그래프로, 원점을 지나는 증가하는 곡선이다.

근사는 $x=\pm 1$ 두 근처 모두에서 빠르게 안정되는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

This figure is the graph of y = -ln(1-x) which is an increasing curve passing through the origin.

The approximation appears to stabilize quickly near both $x=\pm 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 39번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류

60.OpenStax 2권 · 6.1절 · 60번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 구간 $[-0.99,0.99]$ 에서 $n=10,50,100$ 일 때 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\sin n{x}^{n}$ 의 그래프를 그리세요. $N$ 이 증가함에 따라 $x=-1$ 근처와 $x=1$ 근처에서 부분합의 변화 양상에 대해 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot the graphs of the partial sums ${S}_{N}=\sum_{n=1}^{N}\sin n{x}^{n}$ for $n=10,50,100$ on the interval $[-0.99,0.99].$ Comment on the behavior of the sums near $x=-1$ and near $x=1$ as N increases.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.1절 · 57번

# 멱급수와 수렴 반경계산자동 분류