테일러·매클로린 급수 연습문제

41.OpenStax 2권 · 6.3절 · 48번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 다음 문제에서, 주어진 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}$ 이 $x$ 에서의 $f(x)$ 의 매클로린 급수의 값이 되도록 하는 $x$ 의 값을 구하세요. ${S}_{10}=\sum_{n=0}^{10}{a}_{n}$ 을 이용하여 $f(x)$ 의 값을 어림하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}{(2\pi )}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

영어 원문 보기

[T] In the following exercises, identify the value of x such that the given series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}$ is the value of the Maclaurin series of $f(x)$ at $x.$ Approximate the value of $f(x)$ using ${S}_{10}=\sum_{n=0}^{10}{a}_{n}.$

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}{(2\pi )}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

정답·풀이 보기

$\sin (2\pi )=0;{S}_{10}=8.27\,\times \,{10}^{-5}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sin (2\pi )=0;{S}_{10}=8.27\,\times \,{10}^{-5}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 32번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 6.3절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $[-\pi ,\pi ]$ 에서 ${\sin }^{2}x-{({S}_{5}(x))}^{2}$ 의 그래프를 그리세요. 최대 차이를 $\sin x$ 에 대한 테일러 나머지 항 추정값의 제곱과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot ${\sin }^{2}x-{({S}_{5}(x))}^{2}$ on $[-\pi ,\pi ].$ Compare the maximum difference with the square of the Taylor remainder estimate for $\sin x.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 6.3절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $[-\pi ,\pi ]$ 에서 ${\cos }^{2}x-{({C}_{4}(x))}^{2}$ 의 그래프를 그리세요. 최대 차이를 $\cos x$ 에 대한 테일러 나머지 항 추정값의 제곱과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot ${\cos }^{2}x-{({C}_{4}(x))}^{2}$ on $[-\pi ,\pi ].$ Compare the maximum difference with the square of the Taylor remainder estimate for $\cos x.$

정답·풀이 보기

이 그래프는 y축에 대해 대칭인, 아래로 볼록한 곡선이다. 그래프에서 가장 낮은 점은 원점이고, 나머지 곡선은 x축 위쪽에 있다.

구간의 안쪽에서는 차이가 작지만 양 끝점 근처에서는 $1$ 에 가까워진다. 나머지 항의 추정값은 $|{R}_{4}|=\frac{{\pi }^{5}}{120}\approx 2.552$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has a concave up curve that is symmetrical about the y axis. The lowest point of the graph is the origin with the rest of the curve above the x-axis.

The difference is small on the interior of the interval but approaches $1$ near the endpoints. The remainder estimate is $|{R}_{4}|=\frac{{\pi }^{5}}{120}\approx 2.552.$

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# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 6.3절 · 51번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서는 $[-\pi ,\pi ]$ 에서 함수 ${S}_{5}(x)=x-\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{5}}{120}$ 과 ${C}_{4}(x)=1-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{4}}{24}$ 를 이용한다.

[계산기 사용] $[-\pi ,\pi ]$ 에서 $|2{S}_{5}(x){C}_{4}(x)-\sin (2x)|$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

The following exercises make use of the functions ${S}_{5}(x)=x-\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{5}}{120}$ and ${C}_{4}(x)=1-\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{4}}{24}$ on $[-\pi ,\pi ].$

[T] Plot $|2{S}_{5}(x){C}_{4}(x)-\sin (2x)|$ on $[-\pi ,\pi ].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 8번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 6.3절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $[-1,1]$ 에서 $\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}$ 를 $\tan x$ 와 비교하세요. 이를 $\tan x$ 를 $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}$ 로 근사할 때의 테일러 나머지 추정과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Compare $\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}$ on $[-1,1]$ to $\tan x.$ Compare this with the Taylor remainder estimate for the approximation of $\tan x$ by $x+\frac{{x}^{3}}{3}+\frac{2{x}^{5}}{15}.$

정답·풀이 보기

이 그래프에는 곡선이 두 개 있다. 실선 곡선은 매우 평평하며 x축에 가깝다. 이 곡선은 원점을 지난다. 두 번째 곡선은 끊어진 선(점선)으로, 위로 볼록하고 y축에 대해 대칭이다. 이 곡선은 -3과 3 사이에서 x축에 매우 가깝다.

$[-1,1]$ 에서 그 차이는 ${10}^{-4}$ 정도인 반면, 테일러 근사의 오차는 $\pm 1$ 근처에서 약 $0.1$ 이다. 위쪽 곡선은 ${\tan }^{2}x-{\left(\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}\right)}^{2}$ 의 그래프이고, 아래쪽 점선 그래프는 ${t}^{2}-{\left(\frac{{S}_{5}}{{C}_{4}}\right)}^{2}$ 을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

This graph has two curves. The solid curve is very flat and close to the x-axis. It passes through the origin. The second curve, a broken line, is concave down and symmetrical about the y-axis. It is very close to the x-axis between -3 and 3.

The difference is on the order of ${10}^{-4}$ on $[-1,1]$ while the Taylor approximation error is around $0.1$ near $\pm 1.$ The top curve is a plot of ${\tan }^{2}x-{\left(\frac{{S}_{5}(x)}{{C}_{4}(x)}\right)}^{2}$ and the lower dashed plot shows ${t}^{2}-{\left(\frac{{S}_{5}}{{C}_{4}}\right)}^{2}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 50번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 6.3절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $[0,2]$ 에서 ${e}^{x}-{e}_{4}(x)$ 의 그래프를 그리세요. 여기서 ${e}_{4}(x)=1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}$ 입니다. 최대 오차를 테일러 나머지 추정과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Plot ${e}^{x}-{e}_{4}(x)$ where ${e}_{4}(x)=1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{x}^{3}}{6}+\frac{{x}^{4}}{24}$ on $[0,2].$ Compare the maximum error with the Taylor remainder estimate.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 51번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번대학 수준우리말 번역

(테일러 근사와 근 찾기.) 뉴턴의 방법 ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f'({x}_{n})}$ 은 입력값 ${x}_{0}$ 근처에서 $f(x)=0$ 의 해를 근사함을 떠올리세요.

a. $f$ 와 $g$ 가 역함수일 때, $g(x)=a$ 의 해가 $f$ 의 값 $f(a)\,\text{의}\,f$ 인 이유를 설명하세요. b. ${p}_{N}(x)$ 를 ${e}^{x}$ 의 $N\text{차}$ 매클로린 다항식이라 하세요. 뉴턴의 방법을 이용하여 $N=4,5,6$ 일 때 ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 해를 어림하세요. c. ${p}_{N}(x)-2=0$ 의 근사 근이 $\ln (2)$ 의 근삿값인 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

(Taylor approximations and root finding.) Recall that Newton’s method ${x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{f'({x}_{n})}$ approximates solutions of $f(x)=0$ near the input ${x}_{0}.$

a. If $f$ and $g$ are inverse functions, explain why a solution of $g(x)=a$ is the value $f(a)\,\text{of}\,f.$ b. Let ${p}_{N}(x)$ be the $N\text{th}$ degree Maclaurin polynomial of ${e}^{x}.$ Use Newton’s method to approximate solutions of ${p}_{N}(x)-2=0$ for $N=4,5,6.$ c. Explain why the approximate roots of ${p}_{N}(x)-2=0$ are approximate values of $\ln (2).$

정답·풀이 보기

a. 답은 다양하다. b. 다음은 ${p}_{N}(x)-2=0:$ 의 근을 어림하기 위해 뉴턴의 방법을 $10$ 번 반복한 후의 ${x}_{n}$ 값이다. $N=4,x=0.6939...;$ $N=5,x=0.6932...;$ $N=6,x=0.69315...;.$ (참고: $\ln (2)=0.69314...)$ c. 답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Answers will vary. b. The following are the ${x}_{n}$ values after $10$ iterations of Newton’s method to approximation a root of ${p}_{N}(x)-2=0:$ for $N=4,x=0.6939...;$ for $N=5,x=0.6932...;$ for $N=6,x=0.69315...;.$ (Note: $\ln (2)=0.69314...)$ c. Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 14번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 6.3절 · 55번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 사용해 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1}{{x}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 34번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

49.OpenStax 2권 · 6.3절 · 56번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 사용해 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to 0}\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}$

정답·풀이 보기

$\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}\to -1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\ln (1-{x}^{2})}{{x}^{2}}\to -1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

50.OpenStax 2권 · 6.3절 · 57번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 써서 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{{x}^{2}}-{x}^{2}-1}{{x}^{4}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to 0}\frac{{e}^{{x}^{2}}-{x}^{2}-1}{{x}^{4}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 6.3절 · 58번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ 이 $c$ 를 포함하는 구간에서 수렴하면 $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ 이라는 사실을 이용하여, 테일러 급수를 써서 각 극한의 값을 구하세요.

$\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the fact that if $q(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{a}_{n}{(x-c)}^{n}$ converges in an interval containing $c,$ then $\lim_{x\to c}q(x)={a}_{0}^{}$ to evaluate each limit using Taylor series.

$\lim_{x\to {0}^{+}}\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}$

정답·풀이 보기

$\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}\approx \frac{\left(1-\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4!}-\cdots \right)-1}{2x}\to -\frac{1}{4}$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\cos \left(\sqrt{x}\right)-1}{2x}\approx \frac{\left(1-\frac{x}{2}+\frac{{x}^{2}}{4!}-\cdots \right)-1}{2x}\to -\frac{1}{4}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 10번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 1번대학 수준우리말 번역

거듭제곱급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 수렴 반지름이 $5$ 이면, 급수 $\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ 의 수렴 반지름도 $5$ 이다.

영어 원문 보기

If the radius of convergence for a power series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ is $5,$ then the radius of convergence for the series $\sum_{n=1}^{\infty }n{a}_{n}{x}^{n-1}$ is also $5.$

정답·풀이 보기

참

원본 교재 풀이(영어)

True

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 7번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 4번대학 수준우리말 번역

$f(x)={3}^{x}$ 의 매클로린 급수의 수렴 반지름은 $3$ 이다.

영어 원문 보기

The radius of convergence for the Maclaurin series of $f(x)={3}^{x}$ is $3.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 21번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

54.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }{n}^{2}{(x-1)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence and the interval of convergence for the given series.

$\sum_{n=0}^{\infty }{n}^{2}{(x-1)}^{n}$

정답·풀이 보기

수렴 반지름: $1$ ; 수렴 구간: $(0,2)$

원본 교재 풀이(영어)

ROC: $1;$ IOC: $(0,2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

55.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence and the interval of convergence for the given series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{{n}^{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 41번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

56.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3n{x}^{n}}{{12}^{n}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence and the interval of convergence for the given series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{3n{x}^{n}}{{12}^{n}}$

정답·풀이 보기

수렴 반지름: $12$ ; 수렴 구간: $(-12,12)$

원본 교재 풀이(영어)

ROC: $12;$ IOC: $(-12,12)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 5번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

57.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{e}^{n}}{(x-e)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the radius of convergence and the interval of convergence for the given series.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{2}^{n}}{{e}^{n}}{(x-e)}^{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 9번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

58.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 함수의 거듭제곱급수 표현을 구하세요. 그 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{x+3}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series representation for the given function. Determine the radius of convergence and the interval of convergence for that series.

$f(x)=\frac{{x}^{2}}{x+3}$

정답·풀이 보기

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n+2}$ ; 수렴 반지름: $3$ ; 수렴 구간: $(-3,3)$

원본 교재 풀이(영어)

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{{3}^{n+1}}{x}^{n+2};$ ROC: $3;$ IOC: $(-3,3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

59.OpenStax 2권 · 6장 복습 · 10번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 주어진 함수의 거듭제곱급수 표현을 구하세요. 그 급수의 수렴 반지름과 수렴 구간을 구하세요.

$f(x)=\frac{8x+2}{2{x}^{2}-3x+1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series representation for the given function. Determine the radius of convergence and the interval of convergence for that series.

$f(x)=\frac{8x+2}{2{x}^{2}-3x+1}$