벡터 미적분 전체 연습문제

61.APEX · 14.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 영역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리가 성립함을 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=2-x/2-2y/3$ 와 제1팔분공간의 좌표평면들로 둘러싸인 영역 $D$ 의 경계가 되는 곡면이다. $\vec F = \langle x^2,y^2,x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by the plane $z=2-x/2-2y/3$ and the coordinate planes in the first octant; $\vec F = \langle x^2,y^2,x\rangle$ .

정답·풀이 보기

평면 $z=2-x/2-2y/3$ 를 지나는 바깥쪽 플럭스는 14이고, 평면 $z=0$ 을 지나는 바깥쪽 플럭스는 $-8$ 이며, 평면 $x=0$ 과 $y=0$ 을 지나는 바깥쪽 플럭스는 0이다.

바깥쪽 플럭스의 합: $14$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{4}\int_0^{3-3x/4}\int_0^{2-x/2-2y/3}(2x+2y)\ dz\ dy\ dx = 14$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the plane $z=2-x/2-2y/3$ is 14; across the plane $z=0$ the outward flux is $-8$ ; across the planes $x=0$ and $y=0$ the outward flux is 0.

Total outward flux: $14$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{4}\int_0^{3-3x/4}\int_0^{2-x/2-2y/3}(2x+2y)\ dz\ dy\ dx = 14$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 42번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

62.APEX · 14.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 원기둥 $x^2+y^2=1$ 과 평면 $z=-3$ , $z=3$ 으로 둘러싸인 정의역 $D$ 를 감싸는 곡면이고, $\vec F = \langle -x,y,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by the cylinder $x^2+y^2=1$ and the planes $z=-3$ and $z=3$ ; $\vec F = \langle -x,y,z\rangle$ .

정답·풀이 보기

원기둥 $x^2+y^2=1$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 0이고, 평면 $z=3$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $3\pi$ 이며, 평면 $z=-3$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $3\pi$ 이다.

바깥쪽 선속의 합: $6\pi$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{1}\int_{-3}^{3}r\ dz\ dr\ d\theta = 6\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the cylinder $x^2+y^2=1$ is 0; across the plane $z=3$ the outward flux is $3\pi$ ; across the plane $z=-3$ the outward flux is $3\pi$ .

Total outward flux: $6\pi$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{1}\int_{-3}^{3}r\ dz\ dr\ d\theta = 6\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 40번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

63.APEX · 14.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z=xy(3-x)(3-y)$ 와 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역 $D$ 를 감싸는 곡면이고, $\vec F = \langle 3x,4y,5z+1\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by $z=xy(3-x)(3-y)$ and the plane $z=0$ ; $\vec F = \langle 3x,4y,5z+1\rangle$ .

정답·풀이 보기

곡면 $z=xy(3-x)(3-y)$ 를 지나는 바깥쪽 선속은 252이고, 평면 $z=0$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $-9$ 이다.

바깥쪽 선속의 합: $243$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{3}\int_0^{3}\int_{0}^{xy(3-x)(3-y)}12\ dz\ dy\ dx = 243$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the surface $z=xy(3-x)(3-y)$ is 252; across the plane $z=0$ the outward flux is $-9$ .

Total outward flux: $243$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{3}\int_0^{3}\int_{0}^{xy(3-x)(3-y)}12\ dz\ dy\ dx = 243$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 11번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

64.APEX · 14.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z\geq 0$ 에서의 포물면 $z=4-x^2-y^2$ 인 $\mathcal{S}_1$ 과, 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원판 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어진 곡면이고, $\vec F = \langle x,y,z^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface composed of $\mathcal{S}_1$ , the paraboloid $z=4-x^2-y^2$ for $z\geq 0$ , and $\mathcal{S}_2$ , the disk of radius 2 centered at the origin; $\vec F = \langle x,y,z^2\rangle$ .

정답·풀이 보기

포물면을 지나는 바깥쪽 선속은 $112\pi/3$ 이고, 원판을 지나는 바깥쪽 선속은 0이다.

바깥쪽 전체 선속: $112\pi/3$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2}(2z+2)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the paraboloid is $112\pi/3$ ; across the disk the outward flux is 0.

Total outward flux: $112\pi/3$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2}(2z+2)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 15번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

65.APEX · 14.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, 1\rangle$ 로 매개화된 곡선이고 $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=x^2+y^2$ 의 부분이다. $\vec F = \langle z,-x,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, 1\rangle$ and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=x^2+y^2$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle z,-x,y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 36번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

66.APEX · 14.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, e^{-1}\rangle$ 로 매개화된 곡선이고 $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=e^{-x^2-y^2}$ 의 부분이다. $\vec F = \langle -y,x,1\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, e^{-1}\rangle$ and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=e^{-x^2-y^2}$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle -y,x,1\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 30번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

67.APEX · 14.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 꼭짓점이 $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ , $(0,3,0)$ 인 삼각형을 따라 이 순서대로 꼭짓점을 지나 다시 $(0,0,2)$ 로 돌아오는 곡선이고, $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 평면 $z=2-x/2-2y/3$ 의 부분이다. $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve that follows the triangle with vertices at $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ and $(0,3,0)$ , traversing the the vertices in that order and returning to $(0,0,2)$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of the plane $z=2-x/2-2y/3$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $(0,0,2)$ 에서 $(4,0,0)$ 까지의 선분을 따른 흐름은 0이고, $(4,0,0)$ 에서 $(0,3,0)$ 까지는 $-6$ 이며, $(0,3,0)$ 에서 $(0,0,2)$ 까지는 6이다. 따라서 전체 순환은 $0+(-6)+6=0$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the line from $(0,0,2)$ to $(4,0,0)$ is 0; from $(4,0,0)$ to $(0,3,0)$ it is $-6$ , and from $(0,3,0)$ to $(0,0,2)$ it is 6. The total circulation is $0+(-6)+6=0$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

68.APEX · 14.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리가 성립함을 확인하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=-1$ 까지 포물선 $y=1-x^2$ 을 따라가고, 이어서 $(-1,0)$ 에서 $(1,0)$ 까지 직선을 따라 되돌아오는 곡선이며, $C$ 의 $z$ 좌표는 $f(x,y) = 2x^2+y^2$ 으로 정해진다. $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=2x^2+y^2$ 의 부분이고, $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve whose $x$ and $y$ coordinates follow the parabola $y=1-x^2$ from $x=1$ to $x=-1$ , then follow the line from $(-1,0)$ back to $(1,0)$ , where the $z$ coordinates of $C$ are determined by $f(x,y) = 2x^2+y^2$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=2x^2+y^2$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: 포물선을 따른 흐름은 $-32/15$ 이고, 직선을 따른 흐름은 $4/3$ 이다. 따라서 전체 순환은 $4/3-32/15 = -4/5$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the parabola is $-32/15$ ; the flow along the line is $4/3$ . The total circulation is $4/3-32/15 = -4/5$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

69.APEX · 14.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z=0$ 과 $z=(x^2-1)(y^2-1)$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of $z=0$ and $z=(x^2-1)(y^2-1)$ ; $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$128/225$

원본 교재 풀이(영어)

$128/225$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 43번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

70.APEX · 14.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 44번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

71.APEX · 14.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=2y$ , 곡면 $y=4-x^2$ , 평면 $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8192/105\approx 78.019$

원본 교재 풀이(영어)

$8192/105\approx 78.019$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 26번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

72.APEX · 14.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 에 대한 $\vec F$ 의 바깥쪽 플럭스를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 기둥면 $z=1-x^2$ 과 평면 $y=-2$ , $y=2$ , $z=0$ 이 만나 이루어진 곡면이고, $\vec F = \langle 0,y^3,0\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the cylinder $z=1-x^2$ and the planes $y=-2$ , $y=2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle 0,y^3,0\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$64/3$

원본 교재 풀이(영어)

$64/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 47번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

73.APEX · 14.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 꼭짓점이 $(-1,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ 인 삼각형의 세 변으로 정해지고 이 순서대로 지나가며, $z$ 값은 함수 $z=xy$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle z-y^2,x,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are determined by the three sides of a triangle with vertices at $(-1,0)$ , $(1,0)$ and $(0,1)$ , traversed in that order, and the $z$ -values are determined by the function $z=xy$ ; $\vec F = \langle z-y^2,x,z\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$5/3$

원본 교재 풀이(영어)

$5/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 4번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

74.APEX · 14.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 $\vec r(t) = \langle 2\cos t,2\sin t\rangle$ 로 주어지고 $z$ 값은 함수 $z=x^2+y^3-3y+1$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle -y,x,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are given by $\vec r(t) = \langle 2\cos t,2\sin t\rangle$ and the $z$ -values are determined by the function $z=x^2+y^3-3y+1$ ; $\vec F = \langle -y,x,z\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 17번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

75.APEX · 14.7절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 $\vec r(t) = \langle \cos t,3\sin t\rangle$ 로 주어지고 $z$ 값은 함수 $z=5-2x-y$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle -\frac13y,3x,\frac23y-3x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are given by $\vec r(t) = \langle \cos t,3\sin t\rangle$ and the $z$ -values are determined by the function $z=5-2x-y$ ; $\vec F = \langle -\frac13y,3x,\frac23y-3x\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$23\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$23\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 50번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

76.APEX · 14.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20번에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 스토크스 정리를 이용하여 $C$ 를 따라 $\vec F$ 의 순환을 구하세요.

$C$ 는 $x$ 값과 $y$ 값이 꼭짓점이 $(1,1)$ , $(-1,1)$ , $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ 인 정사각형의 변으로 정해지고 이 순서대로 지나가며, $z$ 값은 함수 $z=10-5x-2y$ 로 정해지는 곡선이다. $\vec F = \langle 5y^2,2y^2,y^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Find the circulation of $\vec F$ around $C$ either through direct computation or through Stokes' Theorem.

$C$ is the curve whose $x$ - and $y$ -values are sides of the square with vertices at $(1,1)$ , $(-1,1)$ , $(-1,-1)$ and $(1,-1)$ , traversed in that order, and the $z$ -values are determined by the function $z=10-5x-2y$ ; $\vec F = \langle 5y^2,2y^2,y^2\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 42번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

77.CLP-4 · 2.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{F} = P\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 를 아래에 그려진 이차원 벡터장이라 하자.

점 $A$ 에서 $P$ , $Q$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}$ , $\frac{\partial Q}{\partial y}$ 의 부호를 판단하세요.

영어 원문 보기

Let $\mathbf{F} = P\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + Q\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ be the two-dimensional vector field sketched below.

Determine the signs of $P$ , $Q$ , $\frac{\partial Q}{\partial x}$ and $\frac{\partial Q}{\partial y}$ at the point $A$ .

정답·풀이 보기

점 $A$ 근처의 화살표는 오른쪽을 향하므로 $P>0$ 이고, 위쪽을 향하므로 $Q>0$ 이다. $A$ 근처에서 왼쪽에서 오른쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 감소하므로 $\frac{\partial Q}{\partial x}<0$ 이다. $A$ 근처에서 수직으로 위쪽으로 움직이면 화살표의 수직 성분이 증가하므로 $\frac{\partial Q}{\partial y}>0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The arrows near the point $A$ are pointing to the right, indicating that $P>0$ , and upward, indicating that $Q>0$ . Moving from left to right near $A$ , the vertical component of the arrows is decreasing, indicating that $\frac{\partial Q}{\partial x}<0$ . Moving vertically upwards near $A$ , the vertical component of the arrows is increasing, indicating that $\frac{\partial Q}{\partial y}>0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 5번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석기본자동 분류

78.CLP-4 · 2.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\mathbf{v}(x,y)=(x^2,y)$ 의 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the vector field $\mathbf{v}(x,y)=(x^2,y)$ .

정답·풀이 보기

본문에서처럼 시작하여 다음을 알 수 있다.

$\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}=x^2 \begin{cases} >0 & x \neq 0\\ =0 & x=0 \end{cases}$ 그리고 $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=y \begin{cases} >0 & y > 0\\ =0 & y=0\\ <0 & y<0 \end{cases}$ .

이로부터 다음 그림을 얻는다.

이것으로 대략적인 모양을 알 수 있다. 더 자세히 살펴보면, $x^2>|y|$ 일 때 벡터 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 수직보다 수평에 더 가깝다. $y$ 축에서 수평선을 따라 멀어질수록 $x^2$ 과 $|y|$ 의 차가 커지므로 벡터는 점점 더 수평에 가까워진다. 그러나 $x$ 의 값을 고정하면, 축에서 더 먼 곳의 벡터가 축에 가까운 곳의 벡터보다 더 수직에 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

Beginning as in the text, we note

$\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\imath}}=x^2 \begin{cases} >0 & x \neq 0\\ =0 & x=0 \end{cases}$ and $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=y \begin{cases} >0 & y > 0\\ =0 & y=0\\ <0 & y<0 \end{cases}$ .

That leads to the following picture:

This gives us a general idea to start with. Refining, we notice that when $x^2>|y|$ , then the vector $\mathbf{v}(x,y)$ will be more horizontal than vertical. As we move away from the $y$ -axis in a horizontal line, the difference between $x^2$ and $|y|$ grows, so the vectors get more and more horizontal. However, for a fixed value of $x$ , vectors farther from the axis will be more vertical than vectors closer to it.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 9번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류

79.CLP-4 · 2.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

$\mathbf{v}(x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2}~,~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right)$ 의 방향장을 그래프로 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the direction field of $\mathbf{v}(x,y) = \left( \sqrt{x^2+y^2}~,~\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}\right)$ .

정답·풀이 보기

결국에는 단위 길이의 벡터만 그리게 되지만, $\mathbf{v}(x,y)$ 의 $x$ 성분과 $y$ 성분을 구하면 그 방향을 알 수 있다.

$\mathbf{v}(x,y)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}$ 는 $(x,y)$ 에서 원점까지의 거리이고, $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ 는 $(x,y)$ 에서 점 $(1,1)$ 까지의 거리이다. 이 두 수는 항상 음이 아니다. 따라서 다음과 같은 그림이 된다.

$(x,y)$ 가 원점에서 멀리 떨어져 있으면, $(0,0)$ 까지의 거리는 $(1,0)$ 까지의 거리와 거의 같다. 그러므로 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 $(1,1)$ 의 스칼라 배수에 가까울 것으로 예상된다.

$(0,0)$ 에서 $v(0,0)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}=0$ 이므로 이 벡터는 수평이다. 마찬가지로 $v(1,1)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=0$ 이므로 이 벡터는 수평이다. $(0,0)$ 에 아주 가까운 곳의 벡터는 거의 수평이고, $(1,1)$ 에 가까운 곳의 벡터는 거의 수직이다.

방향장을 그리기 위해 벡터의 길이가 1이 되도록 정규화한다.

원본 교재 풀이(영어)

Although ultimately we'll sketch only unit-length vectors, we can still find the direction of $\mathbf{v}(x,y)$ by finding its $x$ - and $y$ components.

Note $\mathbf{v}(x,y)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}$ is the distance from $(x,y)$ to the origin, while $\mathbf{v}(x,y)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}$ is the distance from $(x,y)$ to the point $(1,1)$ . Both these numbers are always nonnegative. This leads to the following sketch:

When $(x,y)$ is far from the origin, its distance from $(0,0)$ is almost the same as its distance from $(1,0)$ . So, we expect $\mathbf{v}(x,y)$ to be approximately a scalar multiple of $(1,1)$ .

At $(0,0)$ , $v(0,0)\cdot \hat{\boldsymbol{\imath}}=0$ , so our vector is horizontal; similarly, $v(1,1)\cdot\hat{\boldsymbol{\jmath}}=0$ so this vector is horizontal. Vectors very near to $(0,0)$ are nearly horizontal, while vectors near to $(1,1)$ are nearly vertical.

For the direction field, we normalize our vectors to have unit length.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 6번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류

80.CLP-4 · 2.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

벡터장 $\displaystyle \mathbf{v}(x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]$ 을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch the vector field $\displaystyle \mathbf{v}(x,y)=\left[\frac{1/3}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y)+\frac{1/3}{\sqrt{(x-1)^2+y^2}}(x-1,y)\right]$ .

정답·풀이 보기

벡터장 $\mathbf{v}(x,y)$ 는 원점에서 멀어지는 방향의 단위벡터와 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 단위벡터의 합에 1/3을 곱한 것이다. 이로부터 몇몇 영역에 대해 알 수 있다.

$(0,0)$ 과 $(1,0)$ 사이의 $x$ 축 위에서는 이 두 점에서 멀어지는 방향의 벡터가 서로 반대 방향이고 (길이가 같으므로) 서로 상쇄된다. 즉, 모든 $x \in (0,1)$ 에 대해 $v(x,0)=0$ 이다.
$v(0,0)$ 과 $v(1,0)$ 은 정의되지 않는다.
$[0,1]$ 바깥의 $x$ 축 위에서는 점 $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터가 점 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 같다. 따라서 $x<0$ 일 때 $v(x,0)=(-2/3,0)$ 이고, $x>1$ 일 때 $v(x,0)=(2/3,0)$ 이다.

$(x,y)$ 에서 원점까지의 거리가 커질수록, $(0,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터는 $(1,0)$ 에서 멀어지는 방향의 벡터와 점점 더 비슷해진다. 따라서 원점에서 멀리 떨어진 곳의 벡터는 원점에서 멀어지는 방향을 향하고 길이가 약 2/3인 벡터와 비슷하다.

원본 교재 풀이(영어)

The field $\mathbf{v}(x,y)$ is the sum, scaled by 1/3, of the unit vector pointing away from the origin and the unit vector pointing away from $(1,0)$ . This tells us about a few regions:

Along the $x$ axis between $(0,0)$ and $(1,0)$ , the vectors away from these points are pointing in opposite directions (and have the same length), so they cancel each other out. That is, $v(x,0)=0$ for all $x \in (0,1)$ .
$v(0,0)$ and $v(1,0)$ are not defined.
Along the $x$ -axis outside of $[0,1]$ , the vector pointing away from the point $(0,0)$ is the same as the vector pointing away from the point $(1,0)$ . So, $v(x,0)=(-2/3,0)$ for $x<0$ and $v(x,0)=(2/3,0)$ for $x>1$ .

As the distance from $(x,y)$ to the origin grows, the vector pointing away from $(0,0)$ looks more and more like the vector pointing away from $(1,0)$ . So, our vectors far away from the origin look like vectors of length about 2/3, pointing away from the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.1절 · 13번

# 벡터장과 흐름선그래프·표 해석보통자동 분류

벡터 미적분 전체 문제