빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

직선과 평면의 방정식

평면·공간에서 직선과 평면의 방정식, 교점·거리·사이각을 구한다

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14문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 1.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

주어진 점을 지나고 주어진 방향을 갖는 직선의 벡터 매개변수 방정식, 스칼라 매개변수 방정식, 대칭 방정식을 구하세요.

(a) 점 (1,2)(1,2), 방향 <3,2>\left< 3,2\right> (b) 점 (5,4)(5,4), 방향 <2,−1>\left< 2,-1\right> (c) 점 (−1,3)(-1,3), 방향 <−1,2>\left< -1,2\right>

영어 원문 보기

Find the vector parametric, scalar parametric and symmetric equations for the line containing the given point and with the given direction.

(a) point (1,2)(1,2), direction <3,2>\left< 3,2\right> (b) point (5,4)(5,4), direction <2,−1>\left< 2,-1\right> (c) point (−1,3)(-1,3), direction <−1,2>\left< -1,2\right>

정답·풀이 보기

(a) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<1,2>+t<3,2>\left< x,y\right>=\left< 1,2\right>+t\left< 3,2\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=1+3t, y=2+2tx=1+3t,\ y=2+2t 이다. 대칭 방정식은 x−13=y−22\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2} 이다.

(b) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<5,4>+t<2,−1>\left< x,y\right>=\left< 5,4\right>+t\left< 2,-1\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=5+2t, y=4−tx=5+2t,\ y=4-t 이다. 대칭 방정식은 x−52=y−4−1\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-1} 이다.

(c) 벡터 매개변수 방정식은 <x,y>=<−1,3>+t<−1,2>\left< x,y\right>=\left< -1,3\right>+t\left< -1,2\right> 이다. 스칼라 매개변수 방정식은 x=−1−t, y=3+2tx=-1-t,\ y=3+2t 이다. 대칭 방정식은 x+1−1=y−32\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The vector parametric equation is <x,y>=<1,2>+t<3,2>\left< x,y\right>=\left< 1,2\right>+t\left< 3,2\right> . The scalar parametric equations are x=1+3t, y=2+2tx=1+3t,\ y=2+2t. The symmetric equation is x−13=y−22\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{2}.

(b) The vector parametric equation is <x,y>=<5,4>+t<2,−1>\left< x,y\right>=\left< 5,4\right>+t\left< 2,-1\right> . The scalar parametric equations are x=5+2t, y=4−tx=5+2t,\ y=4-t. The symmetric equation is x−52=y−4−1\frac{x-5}{2}=\frac{y-4}{-1}.

(c) The vector parametric equation is <x,y>=<−1,3>+t<−1,2>\left< x,y\right>=\left< -1,3\right>+t\left< -1,2\right> . The scalar parametric equations are x=−1−t, y=3+2tx=-1-t,\ y=3+2t. The symmetric equation is x+1−1=y−32\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{2}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 19번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
2.CLP-3 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

a\mathbf{a}, b\mathbf{b}, c\mathbf{c} 를 삼각형의 꼭짓점이라 하자. 정의에 따르면 삼각형의 중선은 삼각형의 한 꼭짓점과 그 마주 보는 변의 중점을 지나는 직선이다.

(a) 세 중선의 매개변수 방정식을 구하세요. (b) 세 중선은 한 점에서 만나나요? 만난다면 그 점은 어디인가요?

영어 원문 보기

Let a\mathbf{a}, b\mathbf{b} and c\mathbf{c} be the vertices of a triangle. By definition, a median of a triangle is a straight line that passes through a vertex of the triangle and through the midpoint of the opposite side.

(a) Find the parametric equations of the three medians. (b) Do the three medians meet at a common point? If so, which point?

정답·풀이 보기

(a) a\mathbf{a} 의 마주 보는 변의 중점은 12(b+c)\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) 이다. a\mathbf{a} 에서 그 중점까지 잇는 벡터는 12b+12c−a\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a} 이다. a\mathbf{a} 와 12(b+c)\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) 를 지나는 직선의 벡터 매개변수 방정식은

x(t)=a+t(12b+12c−a)\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)

이다. 나머지 두 중선도 마찬가지로 (tt 대신 ss 와 uu 를 매개변수로 사용하여) 다음과 같다.

x(s)=b+s(12a+12c−b)x(u)=c+u(12a+12b−c)\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}

(b) 세 중선이 한 점에서 만나려면 다음을 만족하는 s,ts,t 와 uu 의 값이 있어야 한다.

a+t(12b+12c−a) = b+s(12a+12c−b) = c+u(12a+12b−c)(1−t)a+t2b+t2c = s2a+(1−s)b+s2c = u2a+u2b+(1−u)c\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}

삼각형이 선분으로 퇴화하지 않았다고 가정하면, 이는 a, b\mathbf{a},\ \mathbf{b} 와 c\mathbf{c} 의 계수가 각각 같을 때, 그리고 그때에 한해 성립한다.

1−t=s2=u2t2=1−s=u2t2=s2=1−u\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}

즉

s=t=u, 1−t=t2  ⟹  s=t=u=23s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}

이다. 세 중선은 13(a+b+c)\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}) 에서 만난다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The midpoint of the side opposite a\mathbf{a} is 12(b+c)\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}). The vector joining a\mathbf{a} to that midpoint is 12b+12c−a\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}. The vector parametric equation of the line through a\mathbf{a} and 12(b+c)\tfrac{1}{2}(\mathbf{b}+\mathbf{c}) is

x(t)=a+t(12b+12c−a)\mathbf{x}(t)=\mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big)

Similarly, for the other two medians (but using ss and uu as parameters, rather than tt)

x(s)=b+s(12a+12c−b)x(u)=c+u(12a+12b−c)\begin{aligned} \mathbf{x}(s)&=\mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big)\\ \mathbf{x}(u)&=\mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big) \end{aligned}

(b) The three medians meet at a common point if there are values of s,ts,t and uu such that

a+t(12b+12c−a) = b+s(12a+12c−b) = c+u(12a+12b−c)(1−t)a+t2b+t2c = s2a+(1−s)b+s2c = u2a+u2b+(1−u)c\begin{aligned} \mathbf{a}+t\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{b}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{a}\big) &\ =\ \mathbf{b}+s\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{c}-\mathbf{b}\big) &&\ =\ \mathbf{c}+u\big(\tfrac{1}{2}\mathbf{a}+\tfrac{1}{2}\mathbf{b}-\mathbf{c}\big)\\ (1-t)\mathbf{a}+\frac{t}{2}\mathbf{b}+\frac{t}{2}\mathbf{c} &\ =\ \frac{s}{2}\mathbf{a}+(1-s)\mathbf{b}+\frac{s}{2}\mathbf{c} &&\ =\ \frac{u}{2}\mathbf{a}+\frac{u}{2}\mathbf{b}+(1-u)\mathbf{c} \end{aligned}

Assuming that the triangle has not degenerated to a line segment, this is the case if and only if the coefficients of a, b\mathbf{a},\ \mathbf{b} and c\mathbf{c} match

1−t=s2=u2t2=1−s=u2t2=s2=1−u\begin{aligned} 1-t&=\frac{s}{2}&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=1-s&&=\frac{u}{2}\\ \frac{t}{2}&=\frac{s}{2}&&=1-u \end{aligned}

or

s=t=u, 1−t=t2  ⟹  s=t=u=23s=t=u,\ 1-t=\frac{t}{2} \implies s=t=u=\frac{2}{3}

The medians meet at 13(a+b+c)\frac{1}{3}(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 16번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
3.CLP-3 · 1.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

주어진 세 점을 지나는 평면을 구하세요.

(a) (1,0,1), (2,4,6), (1,2,−1)(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1) (b) (1,−2,−3), (4,−4,4), (3,2,−3)(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3) (c) (1,−2,−3), (5,2,1), (−1,−4,−5)(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)

영어 원문 보기

Find the plane containing the given three points.

(a) (1,0,1), (2,4,6), (1,2,−1)(1,0,1),\ (2,4,6),\ (1,2,-1) (b) (1,−2,−3), (4,−4,4), (3,2,−3)(1,-2,-3),\ (4,-4,4),\ (3,2,-3) (c) (1,−2,−3), (5,2,1), (−1,−4,−5)(1,-2,-3),\ (5,2,1),\ (-1,-4,-5)

정답·풀이 보기

(a) 이 평면은 <2,4,6>−<1,0,1>=<1,4,5>\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right> 및 <1,2,−1>−<1,0,1>=<0,2,−2>\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <1,4,5>\left< 1,4,5\right> 과 <0,2,−2>\left< 0,2,-2\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<1,4,5>×<0,2,−2>=det⁡[ı^ȷ^k^14502−2]=<−18,2,2>\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>

평면의 방정식은 9(x−1)−y−(z−1)=09(x-1)-y-(z-1)=0 즉 9x−y−z=89x-y-z=8 이다.

(1,0,1), (2,4,6)(1,0,1),\ (2,4,6), (1,2,−1)(1,2,-1) 이 모두 9x−y−z=89x-y-z=8 을 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(b) 이 평면은 <4,−4,4>−<1,−2,−3>=<3,−2,7>\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right> 및 <3,2,−3>−<1,−2,−3>=<2,4,0>\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right> 과 평행해야 한다. 따라서 법선벡터는 <3,−2,7>\left< 3,-2,7\right> 과 <2,4,0>\left< 2,4,0\right> 에 모두 수직이어야 하므로 다음과 평행하다.

<3,−2,7>×<2,4,0>=det⁡[ı^ȷ^k^3−27240]=<−28,14,16>\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>

평면의 방정식은 14(x−1)−7(y+2)−8(z+3)=014(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0 즉 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 이다.

(1,−2,−3), (4,−4,4)(1,-2,-3),\ (4,-4,4), (3,2,−3)(3,2,-3) 이 모두 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

(c) 이 평면은 <5,2,1>−<1,−2,−3>=<4,4,4>\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right> 및 <−1,−4,−5>−<1,−2,−3>=<−2,−2,−2>\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right> 과 평행해야 한다. 이런, 이 두 벡터는 평행하다. 따라서 세 점은 모두 한 직선 위에 있다. 이 직선을 포함하는 평면은 어느 것이든 세 점을 모두 지난다. <a,b,c>\left< a,b,c\right> 가 <1,1,1>\left< 1,1,1\right> 에 수직인 임의의 벡터(즉 a+b+c=0a+b+c=0 을 만족하는 벡터)이면, 평면 a(x−1)+b(y+2)+c(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 즉 a(x−1)+b(y+2)−(a+b)(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0 즉 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 은 주어진 세 점을 지난다.

(1,−2,−3), (5,2,1)(1,-2,-3),\ (5,2,1), (−1,−4,−5)(-1,-4,-5) 가 모든 aa, bb 에 대해 방정식 ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b 를 만족함을 통해 이를 확인할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The plane must be parallel to <2,4,6>−<1,0,1>=<1,4,5>\left< 2,4,6\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 1,4,5\right> and to <1,2,−1>−<1,0,1>=<0,2,−2>\left< 1,2,-1\right> -\left< 1,0,1\right> =\left< 0,2,-2\right> . So its normal vector must be perpendicular to both <1,4,5>\left< 1,4,5\right> and <0,2,−2>\left< 0,2,-2\right> and hence parallel to

<1,4,5>×<0,2,−2>=det⁡[ı^ȷ^k^14502−2]=<−18,2,2>\left< 1,4,5\right> \times\left< 0,2,-2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 4 & 5 \\ 0 & 2 & -2 \end{matrix}\right] =\left< -18,2,2\right>

The plane is 9(x−1)−y−(z−1)=09(x-1)-y-(z-1)=0 or 9x−y−z=89x-y-z=8.

We can check this by observing that (1,0,1), (2,4,6)(1,0,1),\ (2,4,6) and (1,2,−1)(1,2,-1) all satisfy 9x−y−z=89x-y-z=8.

(b) The plane must be parallel to <4,−4,4>−<1,−2,−3>=<3,−2,7>\left< 4,-4,4\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 3,-2,7\right> and to <3,2,−3>−<1,−2,−3>=<2,4,0>\left< 3,2,-3\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 2,4,0\right> . So its normal vector must be perpendicular to both <3,−2,7>\left< 3,-2,7\right> and <2,4,0>\left< 2,4,0\right> and hence parallel to

<3,−2,7>×<2,4,0>=det⁡[ı^ȷ^k^3−27240]=<−28,14,16>\left< 3,-2,7\right> \times\left< 2,4,0\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -2 & 7 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right] =\left< -28,14,16\right>

The plane is 14(x−1)−7(y+2)−8(z+3)=014(x-1)-7(y+2)-8(z+3)=0 or 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52.

We can check this by observing that (1,−2,−3), (4,−4,4)(1,-2,-3),\ (4,-4,4) and (3,2,−3)(3,2,-3) all satisfy 14x−7y−8z=5214x-7y-8z=52.

(c) The plane must be parallel to <5,2,1>−<1,−2,−3>=<4,4,4>\left< 5,2,1\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< 4,4,4\right> and to <−1,−4,−5>−<1,−2,−3>=<−2,−2,−2>\left< -1,-4,-5\right> -\left< 1,-2,-3\right> =\left< -2,-2,-2\right> . My, my. These two vectors are parallel. So the three points are all on the same straight line. Any plane containing the line contains all three points. If <a,b,c>\left< a,b,c\right> is any vector perpendicular to <1,1,1>\left< 1,1,1\right> (i.e. which obeys a+b+c=0a+b+c=0) then the plane a(x−1)+b(y+2)+c(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)+c(z+3)=0 or a(x−1)+b(y+2)−(a+b)(z+3)=0a(x-1)+b(y+2)-(a+b)(z+3)=0 or ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b contains the three given points.

We can check this by observing that (1,−2,−3), (5,2,1)(1,-2,-3),\ (5,2,1) and (−1,−4,−5)(-1,-4,-5) all satisfy the equation ax+by−(a+b)z=4a+bax+by-(a+b)z=4a+b for all aa and bb.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 6번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
4.CLP-3 · 1.4절 · 8번대학 수준우리말 번역

주어진 점에서 주어진 평면까지의 거리를 구하세요.

(a) 점 (−1,2,3)(-1,2,3), 평면 x+y+z=7x+y+z=7 (b) 점 (1,−4,3)(1,-4,3), 평면 x−2y+z=5x-2y+z=5

영어 원문 보기

Find the distance from the given point to the given plane.

(a) point (−1,2,3)(-1,2,3), plane x+y+z=7x+y+z=7 (b) point (1,−4,3)(1,-4,3), plane x−2y+z=5x-2y+z=5

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 평면 위의 한 점은 (0,0,7)(0,0,7) 이다. (−1,2,3)(-1,2,3) 에서 (0,0,7)(0,0,7) 로 향하는 벡터는 <0,0,7>−<−1,2,3>=<1,−2,4>\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right> 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> 이다. (−1,2,3)(-1,2,3) 에서 평면까지의 거리는 <1,−2,4>\left< 1,-2,4\right> 를 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 13<1,1,1>⋅<1,−2,4>=33=3\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned} 이다.

(b) 평면 위의 한 점은 (0,0,5)(0,0,5) 이다. (1,−4,3)(1,-4,3) 에서 (0,0,5)(0,0,5) 로 향하는 벡터는 <0,0,5>−<1,−4,3>=<−1,4,2>\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right> 이다. 평면에 수직인 단위벡터는 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> 이다. (1,−4,3)(1,-4,3) 에서 평면까지의 거리는 <−1,4,2>\left< -1,4,2\right> 를 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> 위로 정사영한 벡터의 길이이므로 다음 값의 절댓값이다.

16<1,−2,1>⋅<−1,4,2>=−76\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}

따라서 거리는 7/67/\sqrt{6} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) One point on the plane is (0,0,7)(0,0,7). The vector from (−1,2,3)(-1,2,3) to (0,0,7)(0,0,7) is <0,0,7>−<−1,2,3>=<1,−2,4>\left< 0,0,7\right> -\left< -1,2,3\right> =\left< 1,-2,4\right> . A unit vector perpendicular to the plane is 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> . The distance from (−1,2,3)(-1,2,3) to the plane is the length of the projection of <1,−2,4>\left< 1,-2,4\right> on 13<1,1,1>\frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> which is 13<1,1,1>⋅<1,−2,4>=33=3\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{3}}\left< 1,1,1\right> \cdot\left< 1,-2,4\right> =\frac{3}{\sqrt{3}} =\sqrt{3} \end{aligned}

(b) One point on the plane is (0,0,5)(0,0,5). The vector from (1,−4,3)(1,-4,3) to (0,0,5)(0,0,5) is <0,0,5>−<1,−4,3>=<−1,4,2>\left< 0,0,5\right> -\left< 1,-4,3\right> =\left< -1,4,2\right>. A unit vector perpendicular to the plane is 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> . The distance from (1,−4,3)(1,-4,3) to the plane is the length of the projection of <−1,4,2>\left< -1,4,2\right> on 16<1,−2,1>\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> which is the absolute value of

16<1,−2,1>⋅<−1,4,2>=−76\frac{1}{\sqrt{6}}\left< 1,-2,1\right> \cdot \left< -1,4,2\right> =\frac{-7}{\sqrt{6}}

or 7/67/\sqrt{6}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 20번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
5.CLP-3 · 1.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

R3\mathbb{R}^3 에서 평면 Π\Pi 가 세 점 A=(1,1,3)A = (1, 1, 3), B=(2,0,2)B = (2, 0, 2), C=(2,1,0)C = (2, 1, 0) 을 지난다.

(a) 평면 Π\Pi 의 방정식을 구하세요. (b) 점 D=(6,1,2)D = (6, 1, 2) 와 EE 를 지나는 직선 LL 이 Π\Pi 에 수직이 되도록 하는, 평면 Π\Pi 위의 점 EE 를 구하세요.

영어 원문 보기

A plane Π\Pi passes through the points A=(1,1,3)A = (1, 1, 3), B=(2,0,2)B = (2, 0, 2) and C=(2,1,0)C = (2, 1, 0) in R3\mathbb{R}^3.

(a) Find an equation for the plane Π\Pi. (b) Find the point EE in the plane Π\Pi such that the line LL through D=(6,1,2)D = (6, 1, 2) and EE is perpendicular to Π\Pi.

정답·풀이 보기

(a) CC 에서 AA 로 향하는 벡터 <1−2 , 1−1 , 3−0>=<−1 , 0 , 3>\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right> 은 완전히 Π\Pi 안에 놓여 있다. CC 에서 BB 로 향하는 벡터 <2−2 , 0−1 , 2−0>=<0 , −1 , 2>\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> 도 완전히 Π\Pi 안에 놓여 있다. 따라서 벡터

<−1 , 0 , 3>×<0 , −1 , 2>=det⁡[ı^ȷ^k^−1030−12]=<3 , 2 , 1>\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

는 Π\Pi 에 수직이다. 그러면 Π\Pi 의 방정식은

<3 , 2 , 1>⋅<x−2 , y−1 , z>=0또는3x+2y+z=8\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{또는}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}

이다.

(b) EE 를 (x,y,z)(x,y,z) 라 하자. 그러면 DD 에서 EE 로 향하는 벡터 <x−6 , y−1 , z−2>\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> 는 Π\Pi 에 수직인 벡터 <3 , 2 , 1>\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> 과 평행해야 한다. 즉, 다음을 만족하는 수 tt 가 있어야 한다.

<x−6 , y−1 , z−2>=t<3 , 2 , 1>또는 x=6+3t, y=1+2t, z=2+t\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{또는 }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}

(x,y,z)(x,y,z) 는 Π\Pi 위에 있어야 하므로,

8=3x+2y+z=3(6+3t)+2(1+2t)+(2+t)=22+14t  ⟹  t=−1\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}

이다. 따라서 (x,y,z)=(6+3(−1) , 1+2(−1) , 2+(−1))=(3 , −1 , 1)(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The vector from CC to AA, namely <1−2 , 1−1 , 3−0>=<−1 , 0 , 3>\left< 1-2\,,\,1-1\,,\,3-0\right> = \left< -1\,,\,0\,,\,3\right> lies entirely inside Π\Pi. The vector from CC to BB, namely <2−2 , 0−1 , 2−0>=<0 , −1 , 2>\left< 2-2\,,\,0-1\,,\,2-0\right> = \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> also lies entirely inside Π\Pi. Consequently, the vector

<−1 , 0 , 3>×<0 , −1 , 2>=det⁡[ı^ȷ^k^−1030−12]=<3 , 2 , 1>\begin{aligned} \left< -1\,,\,0\,,\,3\right>\times \left< 0\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

is perpendicular to Π\Pi. The equation of Π\Pi is then

<3 , 2 , 1>⋅<x−2 , y−1 , z>=0or3x+2y+z=8\begin{aligned} \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \cdot \left< x-2 \,,\, y-1 \,,\, z \right> = 0 \qquad\text{or}\qquad 3x+2y+z = 8 \end{aligned}

(b) Let EE be (x,y,z)(x,y,z). Then the vector from DD to EE, namely <x−6 , y−1 , z−2>\left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> has to be parallel to the vector <3 , 2 , 1>\left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right>, which is perpendicular to Π\Pi. That is, there must be a number tt such that

<x−6 , y−1 , z−2>=t<3 , 2 , 1>or x=6+3t, y=1+2t, z=2+t\begin{aligned} & \left< x-6\,,\,y-1\,,\,z-2\right> = t \left< 3 \,,\, 2 \,,\, 1 \right> \\ &\text{or }x=6+3t,\ y=1+2t,\ z=2+t \end{aligned}

As (x,y,z)(x,y,z) must be in Π\Pi,

8=3x+2y+z=3(6+3t)+2(1+2t)+(2+t)=22+14t  ⟹  t=−1\begin{aligned} 8 = 3x+2y+z = 3(6+3t) + 2(1+2t) +(2+t) = 22 +14 t \implies t=-1 \end{aligned}

So (x,y,z)=(6+3(−1) , 1+2(−1) , 2+(−1))=(3 , −1 , 1)(x,y,z) = \big(6+3(-1)\,,\,1+2(-1)\,,\,2+(-1)\big) = \big(3\,,\,-1\,,\,1\big).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 8번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
6.CLP-3 · 1.4절 · 10번대학 수준우리말 번역

A=(2,3,4)A = (2, 3, 4) 라 하고, LL 을 방정식 x+y=1x + y = 1 과 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 으로 주어진 직선이라 하자.

(a) 점 AA 를 지나고 LL 에 수직인 평면의 방정식을 쓰세요. (b) 점 AA 와 직선 LL 을 포함하는 평면의 방정식을 쓰세요.

영어 원문 보기

Let A=(2,3,4)A = (2, 3, 4) and let LL be the line given by the equations x+y=1x + y = 1 and x+2y+z=3x + 2y + z = 3.

(a) Write an equation for the plane containing AA and perpendicular to LL. (b) Write an equation for the plane containing AA and LL.

정답·풀이 보기

(a), (b) 두 경우 모두 LL 의 방향 벡터가 필요하다. 그래서 먼저 하나를 구한다.

  • 벡터 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 은 x+y=1x + y = 1 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.
  • 벡터 <1,2,1>\left< 1,2,1\right> 은 x+2y+z=3x + 2y + z = 3 에 수직이므로 LL 에도 수직이다.

따라서 벡터

<1,1,0>×<1,2,1>=det⁡[ı^ȷ^k^110121]=<1 , −1 , 1>\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

은 LL 의 방향 벡터이다.

(a) 이 평면은 점 (2,3,4)(2,3,4) 를 지나고 <−1,1,−1>\left<-1,1,-1 \right> 을 법선 벡터로 가져야 한다. 그러므로

<−1,1,−1>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는x−y+z=3\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

(b) 이 평면은 점 A=(2,3,4)A=(2,3,4) 와 (1,0,2)(1,0,2) (LL 위의 점)를 지나야 하므로 벡터 <2−1,3−0,4−2>=<1,3,2> \left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right> 은 평면에 평행해야 한다. LL 의 방향 벡터 <−1,1,−1>\left< -1 , 1 , -1 \right> 도 평면에 평행해야 한다. 따라서 벡터

<1,3,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^132−11−1]=<−5 , −1 , 4>\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}

는 평면의 법선 벡터이어야 한다. 그러므로

<−5,−1,4>⋅<x−2,y−3,z−4>=0또는5x+y−4z=−3\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{또는}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}

이 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need a direction vector for LL in both parts (a) and (b). So we find one first.

  • The vector <1,1,0>\left< 1,1,0\right> is perpendicular to x+y=1x + y = 1 and hence to LL.
  • The vector <1,2,1>\left< 1,2,1\right> is perpendicular to x+2y+z=3x + 2y + z = 3 and hence to LL.

So the vector

<1,1,0>×<1,2,1>=det⁡[ı^ȷ^k^110121]=<1 , −1 , 1>\begin{aligned} \left< 1,1,0\right> \times \left< 1,2,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -1 \,,\, 1 \right> \end{aligned}

is a direction vector for LL.

(a) The plane is to contain the point (2,3,4)(2,3,4) and is to have <−1,1,−1>\left<-1,1,-1 \right> as a normal vector. So

<−1,1,−1>⋅<x−2,y−3,z−4>=0orx−y+z=3\begin{aligned} \left<-1,1,-1 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad x-y+z=3 \end{aligned}

does the job.

(b) The plane is to contain the points A=(2,3,4)A=(2,3,4) and (1,0,2)(1,0,2) (which is on LL) so that the vector <2−1,3−0,4−2>=<1,3,2> \left< 2-1,3-0,4-2 \right> =\left< 1,3,2 \right> is to be parallel to the plane. The direction vector of LL, namely <−1,1,−1>\left< -1 , 1 , -1 \right>, is also to be parallel to the plane. So the vector

<1,3,2>×<−1,1,−1>=det⁡[ı^ȷ^k^132−11−1]=<−5 , −1 , 4>\begin{aligned} \left< 1,3,2\right> \times \left< -1,1,-1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 \end{matrix}\right] =\left< -5 \,,\, -1 \,,\, 4 \right> \end{aligned}

is to be normal to the plane. So

<−5,−1,4>⋅<x−2,y−3,z−4>=0or5x+y−4z=−3\begin{aligned} \left<-5,-1,4 \right>\cdot \left< x-2,y-3,z-4 \right> =0\qquad\text{or}\qquad 5x+y-4z=-3 \end{aligned}

does the job.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 11번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
7.CLP-3 · 1.4절 · 11번대학 수준우리말 번역

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 을 생각하세요. 위 평면과의 거리가 22 인 평행한 평면을 모두 구하세요. 답은 다음 꼴로 나타내세요: 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C.

영어 원문 보기

Consider the plane 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3. Find all parallel planes that are distance 22 from the above plane. Your answers should be in the following form: 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C.

정답·풀이 보기

평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 에 평행한 평면은 모두 <4 , 2 , −4>\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> 를 법선벡터로 가지므로, 어떤 상수 CC 에 대해 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 꼴의 방정식을 가진다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 과 평면 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C 사이의 거리가 22 가 되는 CC 의 값을 구해야 한다. 평면 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 위의 한 점은 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 이다. 다음을 만족하는 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

<x′−0 , y′−32 , z′−0>⏞(0,32,0) 에서 (x′,y′,z′) 로 가는 벡터=±2 <4 , 2 , −4>16+4+16⏞단위벡터=±26<4 , 2 , −4>=±<43 , 23 , −43>\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{$\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ 에서 $(x',y',z')$ 로 가는 벡터}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{단위벡터}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}

법선 방향으로 (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) 에서 거리가 22 만큼 떨어진 두 점이다. 이 두 점 (x′,y′,z′)(x',y',z') 은

(0+43 , 32+23 , 0−43)=(43 , 136 , −43) 그리고 (0−43 , 32−23 , 0+43)=(−43 , 56 , 43)\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ 그리고 } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}

이다. 이 두 점은 구하려는 평면 위에 있으므로, 구하려는 두 평면은

4x+2y−4z=4×43+2×136−−4×43=32+26+326=15\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}

과

4x+2y−4z=4×(−4)3+2×56−4×43=−32+10−326=−9\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

All planes that are parallel to the plane 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 must have <4 , 2 , −4>\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> as a normal vector and hence must have an equation of the form 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C for some constant CC. We must find the CC's for which the distance from 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 to 4x+2y−4z=C4x + 2y - 4z = C is 22. One point on 4x+2y−4z=34x + 2y - 4z = 3 is (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big). The two points (x′,y′,z′)(x',y',z') with

<x′−0 , y′−32 , z′−0>⏞vector from (0,32,0) to (x′,y′,z′)=±2 <4 , 2 , −4>16+4+16⏞unit vector=±26<4 , 2 , −4>=±<43 , 23 , −43>\begin{aligned} \overbrace{\left< x'-0\,,\,y'-\frac{3}{2}\,,\,z'-0\right>}^{\text{vector from $\big(0,\frac{3}{2},0\big)$ to $(x',y',z')$}} =\pm 2\ \overbrace{\frac{\left< 4\,,\,2\,,\,-4\right>}{\sqrt{16+4+16}}}^{\text{unit vector}} =\pm \frac{2}{6} \left< 4\,,\,2\,,\,-4\right> =\pm\left< \frac{4}{3}\,,\,\frac{2}{3}\,,\,-\frac{4}{3}\right> \end{aligned}

are the two points that are a distance 22 from (0,32,0)\big(0,\frac{3}{2},0\big) in the direction of the normal.The two points (x′,y′,z′)(x',y',z') are

(0+43 , 32+23 , 0−43)=(43 , 136 , −43) and (0−43 , 32−23 , 0+43)=(−43 , 56 , 43)\begin{aligned} \left(0+\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}+\frac{2}{3}\,,\,0-\frac{4}{3}\right) &=\left(\frac{4}{3}\,,\, \frac{13}{6}\,,\,-\frac{4}{3}\right) \\\text{ and } \left(0-\frac{4}{3}\,,\, \frac{3}{2}-\frac{2}{3}\,,\,0+\frac{4}{3}\right) &=\left(-\frac{4}{3}\,,\, \frac{5}{6}\,,\,\frac{4}{3}\right) \end{aligned}

These two points lie on the desired planes, so the two desired planes are

4x+2y−4z=4×43+2×136−−4×43=32+26+326=15\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times 4}{3} +\frac{2\times 13}{6}-\frac{-4\times 4}{3} =\frac{32+26+32}{6} =15 \end{aligned}

and

4x+2y−4z=4×(−4)3+2×56−4×43=−32+10−326=−9\begin{aligned} 4x + 2y - 4z =\frac{4\times(-4)}{3} +\frac{2\times 5}{6}-\frac{4\times 4}{3} =\frac{-32+10-32}{6} =-9 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 12번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
8.CLP-3 · 1.4절 · 12번대학 수준우리말 번역

점 (1,2,3)(1,2,3) 에서 세 점 (0,1,1)(0,1,1), (1,−1,3)(1,-1,3), (2,0,−1)(2,0,-1) 을 지나는 평면까지의 거리를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the distance from the point (1,2,3)(1,2,3) to the plane that passes through the points (0,1,1)(0,1,1), (1,−1,3)(1,-1,3) and (2,0,−1)(2,0,-1).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

두 벡터

a=<1,−1,3>−<0,1,1>=<1,−2,2>b=<2,0,−1>−<0,1,1>=<2,−1,−2>\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}

는 모두 평면 안에 완전히 놓여 있다. 따라서 벡터

a×b=det⁡[ı^ȷ^k^1−222−1−2]=<6,6,3>\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>

은 평면에 수직이다. 벡터 c=13<6,6,3>=<2,2,1>\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right> 도 평면에 수직이다. 벡터

d=<1,2,3>−<0,1,1>=<1,1,2>\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>

는 평면 위의 점과 주어진 점을 잇는다. 따라서 θ\theta 가 d\mathbf{d} 와 c\mathbf{c} 사이의 각이면, 거리는

∣d∣cos⁡θ=c⋅d∣c∣=69=2|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The two vectors

a=<1,−1,3>−<0,1,1>=<1,−2,2>b=<2,0,−1>−<0,1,1>=<2,−1,−2>\begin{aligned} \mathbf{a}&=\left< 1,-1,3\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 1,-2, 2\right> \\ \mathbf{b}&=\left< 2,0,-1\right> - \left< 0,1,1\right> &&= \left< 2,-1,-2\right> \end{aligned}

both lie entirely inside the plane. So the vector

a×b=det⁡[ı^ȷ^k^1−222−1−2]=<6,6,3>\mathbf{a}\times\mathbf{b} =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{matrix}\right] =\left< 6,6,3\right>

is perpendicular to the plane. The vector c=13<6,6,3>=<2,2,1>\mathbf{c}=\frac{1}{3}\left< 6,6,3\right> =\left< 2,2,1\right> is also perpendicular to the plane. The vector

d=<1,2,3>−<0,1,1>=<1,1,2>\mathbf{d}=\left< 1,2,3\right>-\left< 0,1,1\right>=\left< 1,1,2\right>

joins the point to the plane. So, if θ\theta is the angle between d\mathbf{d} and c\mathbf{c}, the distance is

∣d∣cos⁡θ=c⋅d∣c∣=69=2|\mathbf{d}|\cos\theta=\frac{\mathbf{c}\cdot\mathbf{d}}{|\mathbf{c}|}=\frac{6}{\sqrt{9}}=2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.3절 · 1번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
9.CLP-3 · 1.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

각각의 경우에 대해, 주어진 두 직선이 만나는지 판단하세요. 또한 두 직선을 모두 포함하는 평면을 모두 구하세요.

(a) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> 과 <x,y,z>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right> (b) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> 과 <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right> (c) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−2,−2,2>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right> 과 <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right> (d) <x,y,z>=<3,2,−2>+t<−2,−2,2>\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right> 과 <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

영어 원문 보기

In each case, determine whether or not the given pair of lines intersect. Also find all planes containing the pair of lines.

(a) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> and <x,y,z>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right> (b) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> and <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right> (c) <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−2,−2,2>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -2,-2,2\right> and <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right> (d) <x,y,z>=<3,2,−2>+t<−2,−2,2>\left< x,y,z\right> = \left< 3,2,-2\right>+t\left< -2,-2,2\right> and <x,y,z>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

정답·풀이 보기

(a) 방정식 <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> 의 매개변수 tt 의 값이 방정식 <x,y,z>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right> 의 매개변수 tt 의 값과 같을 필요는 없다. 따라서 첫 번째 방정식의 매개변수 이름을 tt 에서 ss 로 바꾸는 것이 훨씬 안전하다. 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

<−3,2,4>+s<−4,2,1>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 ss 와 tt 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

−4s−t=52s−t=−1s+t=−2\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}

마지막 두 식을 더하면 3s=−33s=-3 이므로 s=−1s=-1 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 t=−1t=-1 이다. s=t=−1s=t=-1 은 세 식을 모두 만족하므로 <x,y,z>=<−3,2,4>−<−4,2,1>=<1,0,3>\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right> 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 두 방향 벡터 <−4,2,1>\left< -4,2,1\right> 과 <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 에 모두 평행해야 한다. 따라서 이 평면의 법선 벡터는 두 방향 벡터에 수직이어야 하고, 즉 <−4,2,1>×<1,1,−1>=<−3,−3,−6>=−3<1,1,2>\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right> 에 평행해야 한다. 이 평면은 (1,0,3)(1,0,3) 을 지나고 <1,1,2>\left< 1,1,2\right> 에 수직이다. 평면의 방정식은 <1,1,2>⋅<x−1,y,z−3>=0\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0, 즉 x+y+2z=7x+y+2z=7 이다. 이는 <−3,2,4>+s<−4,2,1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> 과 <2,1,2>+t<1,1,−1>\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right> 이 각각 모든 ss 와 tt 에 대해 x+y+2z=7x+y+2z=7 을 만족함을 확인하여 검증할 수 있다.

(b) 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

<−3,2,4>+s<−4,2,1>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 ss 와 tt 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

−4s−t=52s−t=−1s+t=−5\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}

마지막 두 식을 더하면 3s=−63s=-6 이므로 s=−2s=-2 이다. 이를 마지막 식에 대입하면 t=−3t=-3 이다. 그런데 s=−2, t=−3s=-2,\ t=-3 을 첫 번째 식에 대입하면 11=511=5 가 되어 불가능하다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선이 한 평면에 놓이면서 만나지 않으려면 평행해야 한다. 따라서 이 경우에는 두 직선을 모두 포함하는 평면은 없다.

(c) 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 두 직선 위에 모두 놓이려면

<−3,2,4>+s<−2,−2,2>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

이어야 한다. 이는 세 성분별 등식을 쓰고 ss 와 tt 를 포함한 항은 모두 좌변으로, 상수는 우변으로 옮긴 다음과 같은 식과 같다.

−2s−t=5−2s−t=−12s+t=−5\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}

첫 번째 식과 두 번째 식은 분명히 모순이다. 두 직선은 만나지 않는다. 두 직선을 모두 포함하는 평면은 <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 에 평행해야 하고(따라서 <−2,−2,2>=−2<1,1,−1>\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right> 에도 자동으로 평행하다), 또한 첫 번째 직선 위의 점 (−3,2,4)(-3,2,4) 에서 두 번째 직선 위의 점 (2,1,−1)(2,1,-1) 로 향하는 벡터에도 평행해야 한다. 이 벡터는 <5,−1,−5>\left< 5,-1,-5\right> 이다. 따라서 평면의 법선 벡터는 <5,−1,−5>×<1,1,−1>=<6,0,6>=6<1,0,1>\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right> 이다. (2,1,−1)(2,1,-1) 을 지나고 <1,0,1>\left< 1,0,1\right> 에 수직인 평면은 <1,0,1>⋅<x−2,y−1,z+1>=0\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0, 즉 x+z=1x+z=1 이다.

(d) 이번에도 <−2,−2,2>=−2<1,1,−1>\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right> 이므로 두 직선은 평행하다. 게다가 점 <3,2,−2>=<3,2,−2>+0<−2,−2,2>=<2,1,−1>+1<1,1,−1>\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right> 은 두 직선 위에 모두 놓인다. 따라서 두 직선은 만날 뿐만 아니라 일치한다. 점 (3,2,−2)(3,2,-2) 를 지나고 <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 에 평행한 평면은 모두 두 직선을 포함한다. 일반적으로 평면 ax+by+cz=dax+by+cz=d 가 (3,2,−2)(3,2,-2) 를 지날 필요충분조건은 d=3a+2b−2cd=3a+2b-2c 이고, <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> 에 평행할 필요충분조건은 <a,b,c>⋅<1,1,−1>=a+b−c=0\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0 이다. 따라서 (둘 다 0은 아닌) 임의의 aa, bb 에 대해 ax+by+(a+b)z=aax+by+(a+b)z=a 가 조건을 만족한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Note that the value of the parameter tt in the equation <x,y,z>=<−3,2,4>+t<−4,2,1>\left< x,y,z\right> = \left< -3,2,4\right>+t\left< -4,2,1\right> need not have the same value as the parameter tt in the equation <x,y,z>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< x,y,z\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>. So it is much safer to change the name of the parameter in the first equation from tt to ss. In order for a point (x,y,z)(x,y,z) to lie on both lines we need

<−3,2,4>+s<−4,2,1>=<2,1,2>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right>

or equivalently, writing out the three component equations and moving all ss's and tt's to the left and constants to the right,

−4s−t=52s−t=−1s+t=−2\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -2 \end{aligned}

Adding the last two equations together gives 3s=−33s=-3 or s=−1s=-1. Substituting this into the last equation gives t=−1t=-1. Note that s=t=−1s=t=-1 does indeed satisfy all three equations so that <x,y,z>=<−3,2,4>−<−4,2,1>=<1,0,3>\left< x,y,z\right>=\left< -3,2,4\right>-\left< -4,2,1\right>=\left< 1,0,3\right> lies on both lines. Any plane that contains the two lines must be parallel to both direction vectors <−4,2,1>\left< -4,2,1\right> and <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right>. So its normal vector must be perpendicular to them, i.e. must be parallel to <−4,2,1>×<1,1,−1>=<−3,−3,−6>=−3<1,1,2>\left< -4,2,1\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< -3,-3,-6\right>=-3\left< 1,1,2\right>. The plane must contain (1,0,3)(1,0,3) and be perpendicular to <1,1,2>\left< 1,1,2\right>. Its equation is <1,1,2>⋅<x−1,y,z−3>=0\left< 1,1,2\right>\cdot\left< x-1,y,z-3\right>=0 or x+y+2z=7x+y+2z=7. This can be checked by verifying that <−3,2,4>+s<−4,2,1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> and <2,1,2>+t<1,1,−1>\left< 2,1,2\right>+t\left< 1,1,-1\right> obey x+y+2z=7x+y+2z=7 for all ss and tt respectively.

(b) In order for a point (x,y,z)(x,y,z) to lie on both lines we need

<−3,2,4>+s<−4,2,1>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -4,2,1\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

or equivalently, writing out the three component equations and moving all ss's and tt's to the left and constants to the right,

−4s−t=52s−t=−1s+t=−5\begin{aligned} -4s -t &= 5\\ 2s -t &= -1\\ s +t &= -5 \end{aligned}

Adding the last two equations together gives 3s=−63s=-6 or s=−2s=-2. Substituting this into the last equation gives t=−3t=-3. However, substituting s=−2, t=−3s=-2,\ t=-3 into the first equation gives 11=511=5, which is impossible. The two lines do not intersect. In order for two lines to lie in a common plane and not intersect, they must be parallel. So, in this case no plane contains the two lines.

(c) In order for a point (x,y,z)(x,y,z) to lie on both lines we need

<−3,2,4>+s<−2,−2,2>=<2,1,−1>+t<1,1,−1>\left< -3,2,4\right>+s\left< -2,-2,2\right> = \left< 2,1,-1\right>+t\left< 1,1,-1\right>

or equivalently, writing out the three component equations and moving all ss's and tt's to the left and constants to the right,

−2s−t=5−2s−t=−12s+t=−5\begin{aligned} -2s -t &= 5\\ -2s -t &= -1\\ 2s +t &= -5 \end{aligned}

The first two equations are obviously contradictory. The two lines do not intersect. Any plane containing the two lines must be parallel to <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> (and hence automatically parallel to <−2,−2,2>=−2<1,1,−1>\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>) and must also be parallel to the vector from the point (−3,2,4)(-3,2,4), which lies on the first line, to the point (2,1,−1)(2,1,-1), which lies on the second. The vector is <5,−1,−5>\left< 5,-1,-5\right>. Hence the normal to the plane is <5,−1,−5>×<1,1,−1>=<6,0,6>=6<1,0,1>\left< 5,-1,-5\right>\times\left< 1,1,-1\right>=\left< 6,0,6\right>=6\left< 1,0,1\right>. The plane perpendicular to <1,0,1>\left< 1,0,1\right> containing (2,1,−1)(2,1,-1) is <1,0,1>⋅<x−2,y−1,z+1>=0\left< 1,0,1\right>\cdot\left< x-2,y-1,z+1\right>=0 or x+z=1x+z=1.

(d) Again the two lines are parallel, since <−2,−2,2>=−2<1,1,−1>\left< -2,-2,2\right>=-2\left< 1,1,-1\right>. Furthermore the point <3,2,−2>=<3,2,−2>+0<−2,−2,2>=<2,1,−1>+1<1,1,−1>\left< 3,2,-2\right>=\left< 3,2,-2\right>+0\left< -2,-2,2\right> =\left< 2,1,-1\right>+1\left< 1,1,-1\right> lies on both lines. So the two lines not only intersect but are identical. Any plane that contains the point (3,2,−2)(3,2,-2) and is parallel to <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> contains both lines. In general, the plane ax+by+cz=dax+by+cz=d contains (3,2,−2)(3,2,-2) if and only if d=3a+2b−2cd=3a+2b-2c and is parallel to <1,1,−1>\left< 1,1,-1\right> if and only if <a,b,c>⋅<1,1,−1>=a+b−c=0\left< a,b,c\right>\cdot\left< 1,1,-1\right>=a+b-c=0. So, for arbitrary aa and bb (not both zero) ax+by+(a+b)z=aax+by+(a+b)z=a works.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.6절 · 31번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
10.CLP-3 · 1.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

점 (2,−1,−1)(2,-1,-1) 을 지나고 두 평면 x+y=0x+y=0 과 x−y+2z=0x-y+2z=0 에 각각 평행한 직선의 방정식을 구하세요. 이 직선의 방정식을 벡터 매개변수 형태, 스칼라 매개변수 형태, 대칭형으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the equation(s) of the line through (2,−1,−1)(2,-1,-1) and parallel to each of the two planes x+y=0x+y=0 and x−y+2z=0x-y+2z=0. Express the equation(s) of the line in vector and scalar parametric forms and in symmetric form.

정답·풀이 보기

먼저 다음을 관찰하자.

  • <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 은 x+y=0x+y=0 에 수직이므로 직선에도 수직이다.
  • <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 은 x−y+2z=0x-y+2z=0 에 수직이므로 직선에도 수직이다.

따라서

<1 , 1 , 0>×<1 , −1 , 2>=det⁡[ı^ȷ^k^1101−12]=<2 , −2 , −2>\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}

은 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 과 <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 모두에 수직이다. 그러므로 12<2 , −2 , −2>=<1,−1,−1> \frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\> 도 <1,1,0>\left< 1,1,0\right> 과 <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> 모두에 수직이고, 따라서 직선에 평행하다. 점 (2,−1,−1)(2,-1,-1) 이 직선 위에 있으므로 직선의 벡터 방정식은 다음과 같다.

<x−2,y+1,z+1>=t<1,−1,−1>\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>

직선의 스칼라 매개변수 방정식은 다음과 같다.

x−2=t, y+1=−t, z+1=−t또는x=2+t, y=−1−t, z=−1−t\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{또는} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}

직선의 대칭 방정식은 다음과 같다.

(t=)x−21=y+1−1=z+1−1또는x−2=−y−1=−z−1\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{또는} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

First observe that

  • <1,1,0>\left< 1,1,0\right> is perpendicular to x+y=0x+y=0 and hence to the line, and
  • <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> is perpendicular to x−y+2z=0x-y+2z=0 and hence to the line.

Consequently

<1 , 1 , 0>×<1 , −1 , 2>=det⁡[ı^ȷ^k^1101−12]=<2 , −2 , −2>\begin{aligned} \left< 1\,,\,1\,,\,0\right> \times \left< 1\,,\,-1\,,\,2\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right> \end{aligned}

is perpendicular to both <1,1,0>\left< 1,1,0\right> and <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right>. So 12<2 , −2 , −2>=<1,−1,−1> \frac{1}{2}\left< 2 \,,\, -2 \,,\, -2 \right>=\left< 1,-1,-1\right>\> is also perpendicular to both <1,1,0>\left< 1,1,0\right> and <1,−1,2>\left< 1,-1,2\right> and hence is parallel to the line. As the point (2,−1,−1)(2,-1,-1) is on the line, the vector equation of the line is

<x−2,y+1,z+1>=t<1,−1,−1>\left< x-2,y+1,z+1\right>= t\left< 1,-1,-1\right>

The scalar parametric equations for the line are

x−2=t, y+1=−t, z+1=−torx=2+t, y=−1−t, z=−1−t\begin{aligned} x-2=t,\ y+1=-t,\ z+1=-t \text{or} x=2+t,\ y=-1-t,\ z=-1-t \end{aligned}

The symmetric equations for the line are

(t=)x−21=y+1−1=z+1−1orx−2=−y−1=−z−1\begin{aligned} (t=)\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+1}{-1} \text{or} x-2=-y-1=-z-1 \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 5번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
11.CLP-3 · 1.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

직선 LL 은 평면 2x+y−z=52x + y - z = 5 에 평행하고 직선 x=3−tx = 3 - t, y=1−2ty = 1 - 2t, z=3tz = 3t 에 수직이다.

(a) 직선 LL 에 평행한 벡터를 구하세요. (b) 직선 LL 이 점 Q(a,b,c)Q(a, b, c) 를 지난다고 할 때, 직선 LL 의 매개변수 방정식을 구하세요. 여기서 a<0a < 0, b>0b > 0, c>0c > 0 이고, QQ 에서 xyxy–평면, xzxz–평면, yzyz–평면까지의 거리는 각각 22, 33, 44 이다.

영어 원문 보기

Let LL be a line which is parallel to the plane 2x+y−z=52x + y - z = 5 and perpendicular to the line x=3−tx = 3 - t, y=1−2ty = 1 - 2t and z=3tz = 3t.

(a) Find a vector parallel to the line LL. (b) Find parametric equations for the line LL if LL passes through a point Q(a,b,c)Q(a, b, c) where a<0a < 0, b>0b > 0, c>0c > 0, and the distances from QQ to the xyxy–plane, the xzxz–plane and the yzyz–plane are 22, 33 and 44 respectively.

정답·풀이 보기

(a) 직선 LL 은 평면 2x+y−z=52x + y - z = 5 의 법선 벡터인 <2 , 1 , −1>\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> 과, 직선 x=3−tx = 3 - t, y=1−2ty = 1 - 2t, z=3tz = 3t 의 방향 벡터인 <−1 , −2 , 3>\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> 모두에 수직이어야 한다. 이러한 벡터는 모두 다음 벡터에 0이 아닌 상수를 곱한 것이다.

<2 , 1 , −1>×<−1 , −2 , 3>=det⁡[ı^ȷ^k^21−1−1−23]=<1 , −5 , −3>\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}

(b) 점 Q(a,b,c)Q(a, b, c) 에 대하여

  • xyxy–평면까지의 거리가 22 이려면 ∣c∣=2|c|=2 이어야 하고,
  • xzxz–평면까지의 거리가 33 이려면 ∣b∣=3|b|=3 이어야 하고,
  • yzyz–평면까지의 거리가 44 이려면 ∣a∣=4|a|=4 이어야 한다.

a<0a < 0, b>0b > 0, c>0c > 0 이므로 점 QQ 는 (−4,3,2)(-4, 3, 2) 이고 직선 LL 은

x=−4+ty=3−5tz=2−3tx = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line LL must be perpendicular both to <2 , 1 , −1>\left< 2\,,\,1\,,\,-1\right>, which is a normal vector for the plane 2x+y−z=52x + y - z = 5, and to <−1 , −2 , 3>\left< -1\,,\,-2\,,\,3\right>, which is a direction vector for the line x=3−tx = 3 - t, y=1−2ty = 1 - 2t and z=3tz = 3t. Any such vector must be a nonzero constant times

<2 , 1 , −1>×<−1 , −2 , 3>=det⁡[ı^ȷ^k^21−1−1−23]=<1 , −5 , −3>\begin{aligned} \left< 2\,,\,1\,,\,-1\right> \times \left< -1\,,\,-2\,,\,3\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 2 & 1 & -1 \\ -1 & -2 & 3 \end{matrix}\right] =\left< 1 \,,\, -5 \,,\, -3 \right> \end{aligned}

(b) For the point Q(a,b,c)Q(a, b, c)

  • to be a distance 22 from the xyxy–plane, it is necessary that ∣c∣=2|c|=2, and
  • to be a distance 33 from the xzxz–plane, it is necessary that ∣b∣=3|b|=3, and
  • to be a distance 44 from the yzyz–plane, it is necessary that ∣a∣=4|a|=4.

As a<0a < 0, b>0b > 0, c>0c > 0, the point QQ is (−4,3,2)(-4, 3, 2) and the line LL is

x=−4+ty=3−5tz=2−3tx = -4 + t \qquad y = 3 - 5t \qquad z = 2 - 3t

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.5절 · 11번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
12.CLP-3 · 1.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

LL 을 평면 x+y+z=6x + y + z = 6 과 x−y+2z=0x - y + 2z = 0 의 교선이라 하자.

(a) 직선 LL 이 좌표평면과 만나는 점을 구하세요. (b) 점 (10,11,13)(10, 11, 13) 을 지나고 직선 LL 에 수직이며 평면 y=zy = z 에 평행한 직선의 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Let LL be the line of intersection of the planes x+y+z=6x + y + z = 6 and x−y+2z=0x - y + 2z = 0.

(a) Find the points in which the line LL intersects the coordinate planes. (b) Find parametric equations for the line through the point (10,11,13)(10, 11, 13) that is perpendicular to the line LL and parallel to the plane y=zy = z.

정답·풀이 보기

(a) 직선 LL 이 xyxy평면과 만나는 점은 x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, 그리고 z=0z=0 을 만족한다. z=0z=0 일 때 LL 의 방정식은 x+y=6x + y = 6, x−y=0x - y = 0 으로 간단해진다. 따라서 교점은 (3,3,0)(3,3,0) 이다.

직선 LL 이 xzxz평면과 만나는 점은 x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, 그리고 y=0y=0 을 만족한다. y=0y=0 일 때 LL 의 방정식은 x+z=6x + z = 6, x+2z=0x +2z = 0 으로 간단해진다. x=−2zx=-2z 를 x+z=6x+z=6 에 대입하면 −z=6-z=6 이다. 따라서 교점은 (12,0,−6)(12,0,-6) 이다.

직선 LL 이 yzyz평면과 만나는 점은 x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, 그리고 x=0x=0 을 만족한다. x=0x=0 일 때 LL 의 방정식은 y+z=6y + z = 6, −y+2z=0-y +2z = 0 으로 간단해진다. y=2zy=2z 를 y+z=6y+z=6 에 대입하면 3z=63z=6 이다. 따라서 교점은 (0,4,2)(0,4,2) 이다.

(b) 핵심은 이 직선의 방향벡터 d\mathbf{d} 를 구하는 것이다.

  • 직선이 y=zy=z 에 평행해야 하므로, d\mathbf{d} 는 y=zy=z 의 법선벡터 <0,1,−1>\left< 0,1,-1\right> 에 수직이어야 한다.
  • 또한 d\mathbf{d} 는 LL 에도 수직이어야 한다. 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 LL 위에 있으려면 x+y=6−zx+y = 6-z 와 x−y=−2zx-y =-2z 를 만족해야 한다. 이 두 식을 더하면 2x=6−3z2x=6-3z 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 2y=6+z2y= 6+z 이다. 따라서 점 (x,y,z)(x,y,z) 가 LL 위에 있으려면 x=3−3z2x=3-\frac{3z}{2}, y=3+z2y=3+\frac{z}{2} 를 만족해야 한다. LL 위의 점 중 z=0z=0 인 점은 (3,3,0)(3,3,0) 이고 z=2z=2 인 점은 (0,4,2)(0,4,2) 이다. 따라서 <0−3,4−3,2−0>=<−3,1,2>\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right> 는 LL 의 방향벡터이다.

그러므로 d\mathbf{d} 는 <0,1,−1>\left< 0,1,-1\right> 과 <−3,1,2>\left< -3,1,2 \right> 모두에 수직이어야 하고, 따라서 다음 벡터의 0이 아닌 상수배이다.

<0,1,−1>×<−3,1,2>=det⁡[ı^ȷ^k^01−1−312]=<3 , 3 , 3>\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}

d=13<3 , 3 , 3>=<1 , 1 , 1>\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right> 로 택한다. 따라서

<x,y,z>=<10,11,13>+t<1 , 1 , 1>\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>

는 이 직선의 벡터 매개변수 방정식이다. 이를 x=10+tx=10+t, y=11+ty=11+t, z=13+tz=13+t 로 쓸 수도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The line LL intersects the xyxy–plane when x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, and z=0z=0. When z=0z=0 the equations of LL reduce to x+y=6x + y = 6, x−y=0x - y = 0. So the intersection point is (3,3,0)(3,3,0).

The line LL intersects the xzxz–plane when x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, and y=0y=0. When y=0y=0 the equations of LL reduce to x+z=6x + z = 6, x+2z=0x +2z = 0. Substituting x=−2zx=-2z into x+z=6x+z=6 gives −z=6-z=6. So the intersection point is (12,0,−6)(12,0,-6).

The line LL intersects the yzyz–plane when x+y+z=6x + y + z = 6, x−y+2z=0x - y + 2z = 0, and x=0x=0. When x=0x=0 the equations of LL reduce to y+z=6y + z = 6, −y+2z=0-y +2z = 0. Substituting y=2zy=2z into y+z=6y+z=6 gives 3z=63z=6. So the intersection point is (0,4,2)(0,4,2).

(b) Our main job is to find a direction vector d\mathbf{d} for the line.

  • Since the line is to be parallel to y=zy=z, d\mathbf{d} must be perpendicular to the normal vector for y=zy=z, which is <0,1,−1>\left< 0,1,-1\right>.
  • d\mathbf{d} must also be perpendicular to LL. For a point (x,y,z)(x,y,z) to be on LL it must obey x+y=6−zx+y = 6-z and x−y=−2zx-y =-2z. Adding these two equations gives 2x=6−3z2x=6-3z and subtracting the second equation from the first gives 2y=6+z2y= 6+z. So for a point (x,y,z)(x,y,z) to be on LL it must obey x=3−3z2x=3-\frac{3z}{2}, y=3+z2y=3+\frac{z}{2}. The point on LL with z=0z=0 is (3,3,0)(3,3,0) and the point on LL with z=2z=2 is (0,4,2)(0,4,2). So <0−3,4−3,2−0>=<−3,1,2>\left< 0-3,4-3,2-0 \right>=\left< -3,1,2 \right> is a direction vector for LL.

So d\mathbf{d} must be perpendicular to both <0,1,−1>\left< 0,1,-1\right> and <−3,1,2>\left< -3,1,2 \right> and so must be a nonzero constant times

<0,1,−1>×<−3,1,2>=det⁡[ı^ȷ^k^01−1−312]=<3 , 3 , 3>\begin{aligned} \left< 0,1,-1\right> \times \left< -3,1,2 \right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \end{matrix}\right] =\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right> \end{aligned}

We choose d=13<3 , 3 , 3>=<1 , 1 , 1>\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left< 3 \,,\, 3 \,,\, 3 \right>=\left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>. So

<x,y,z>=<10,11,13>+t<1 , 1 , 1>\left< x,y,z\right> = \left< 10,11,13\right> + t \left< 1\,,\,1\,,\,1 \right>

is a vector parametric equation for the line. We can also write this as x=10+tx=10+t, y=11+ty=11+t, z=13+tz=13+t.

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13.CLP-3 · 1.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 두 평면

x+y+z=11그리고x−y−z=13.x + y + z = 11\qquad \text{그리고}\qquad x - y - z = 13.

의 교선에 대한 매개변수 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the parametric equation for the line of intersection of the planes

x+y+z=11andx−y−z=13.x + y + z = 11\qquad \text{and}\qquad x - y - z = 13.

정답·풀이 보기

zz 를 매개변수로 쓰고 tt 라 하자. 그러면 z=tz=t 이고

x+y=11−tx−y=13+t\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}

이다. 두 방정식을 더하면 2x=242x=24 이고, 첫째 식에서 둘째 식을 빼면 2y=−2−2t2y=-2-2t 이다. 따라서

(x,y,z)=(12 , −1−t , t)(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's use zz as the parameter and call it tt. Then z=tz=t and

x+y=11−tx−y=13+t\begin{aligned} x+y&=11-t \\ x-y&=13+t \end{aligned}

Adding the two equations gives 2x=242x=24 and subtracting the second equation from the first gives 2y=−2−2t2y=-2-2t. So

(x,y,z)=(12 , −1−t , t)(x,y,z) = \big(12\,,\,-1-t\,,\,t\big)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.4절 · 7번
# 직선과 평면의 방정식계산보통자동 분류
14.CLP-3 · 1.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

(a) (2,5,−3)(2, 5, -3) 과 (−3,6,1)(-3, 6, 1) 에서 같은 거리에 있는 yy축 위의 점을 구하세요. (b) 점 (1,3,1)(1, 3, 1) 과 직선 r(t)=t ı^+t ȷ^+(t+2) k^\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}} 를 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

(a) Find a point on the y-axis equidistant from (2,5,−3)(2, 5, -3) and (−3,6,1)(-3, 6, 1). (b) Find the equation of the plane containing the point (1,3,1)(1, 3, 1) and the line r(t)=t ı^+t ȷ^+(t+2) k^\mathbf{r}(t) = t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (t + 2)\,\hat{\mathbf{k}}.

정답·풀이 보기

(a) yy축 위의 점 (0,y,0)(0,y,0) 이 (2,5,−3)(2, 5, -3) 과 (−3,6,1)(-3, 6, 1) 에서 같은 거리에 있을 필요충분조건은

∣<2,5,−3>−<0,y,0>∣=∣<−3,6,1>−<0,y,0>∣  ⟺  22+(5−y)2+(−3)2=(−3)2+(6−y)2+12  ⟺  2y=8  ⟺  y=4\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}

이다.

(b) 두 점 (1,3,1)(1,3,1) 과 r(0)=(0,0,2)\mathbf{r}(0)=(0,0,2) 는 모두 평면 위에 있다. 따라서 두 점을 잇는 벡터 <1,3,1>−<0,0,2>=<1,3,−1>\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right> 과 직선의 방향벡터 <1,1,1>\left< 1,1,1\right> 은 모두 평면과 평행하다. 그러므로

<1,3,−1>×<1,1,1>=det⁡[ı^ȷ^k^13−1111]=<4,−2,−2>\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>

은 평면에 수직이다. 점 (0,0,2)(0,0,2) 가 평면 위에 있고 벡터 <4,−2,−2>\left< 4,-2,-2\right> 가 평면에 수직이므로, 평면의 방정식은

4(x−0)−2(y−0)−2(z−2)=0 또는 2x−y−z=−24(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ 또는 } 2x-y-z=-2

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The point (0,y,0)(0,y,0), on the yy–axis, is equidistant from (2,5,−3)(2, 5, -3) and (−3,6,1)(-3, 6, 1) if and only if

∣<2,5,−3>−<0,y,0>∣=∣<−3,6,1>−<0,y,0>∣  ⟺  22+(5−y)2+(−3)2=(−3)2+(6−y)2+12  ⟺  2y=8  ⟺  y=4\begin{aligned} &\big|\left< 2, 5, -3\right>-\left< 0,y,0\right>\big| =\big|\left< -3, 6, 1\right>-\left< 0,y,0\right>\big| \\ &\iff 2^2+(5-y)^2+(-3)^2=(-3)^2+(6-y)^2+1^2 \\ &\iff 2y=8 \\ &\iff y=4 \end{aligned}

(b) The points (1,3,1)(1,3,1) and r(0)=(0,0,2)\mathbf{r}(0)=(0,0,2) are both on the plane. Hence the vector <1,3,1>−<0,0,2>=<1,3,−1>\left< 1,3,1\right>-\left< 0,0,2\right>=\left< 1,3,-1\right> joining them, and the direction vector of the line, namely <1,1,1>\left< 1,1,1\right> are both parallel to the plane. So

<1,3,−1>×<1,1,1>=det⁡[ı^ȷ^k^13−1111]=<4,−2,−2>\left< 1,3,-1\right>\times \left< 1,1,1\right> =\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} &\hat{\boldsymbol{\jmath}} &\hat{\mathbf{k}} \\ 1&3&-1 \\ 1&1&1 \end{matrix}\right] = \left< 4,-2,-2\right>

is perpendicular to the plane. As the point (0,0,2)(0,0,2) is on the plane and the vector <4,−2,−2>\left< 4,-2,-2\right> is perpendicular to the plane, the equation of the plane is

4(x−0)−2(y−0)−2(z−2)=0 or 2x−y−z=−24(x-0)-2(y-0)-2(z-2)=0\text{ or } 2x-y-z=-2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.5절 · 16번
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