이차곡면과 곡면 그리기 연습문제

21.OpenStax 3권 · 2.6절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어져 있습니다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 곡면의 종류를 말하세요.

${x}^{2}+4{y}^{2}-4{z}^{2}-6x-16y-16z+5=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}+4{y}^{2}-4{z}^{2}-6x-16y-16z+5=0$

정답·풀이 보기

a. $\frac{{(x-3)}^{2}}{4}+{(y-2)}^{2}-{(z+2)}^{2}=1;$ b. $(3,2,-2)$ 를 중심으로 하고 z축을 대칭축으로 하는 일엽쌍곡면

원본 교재 풀이(영어)

a. $\frac{{(x-3)}^{2}}{4}+{(y-2)}^{2}-{(z+2)}^{2}=1;$ b. Hyperboloid of one sheet centered at $(3,2,-2),$ with the z-axis as its axis of symmetry

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 35번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

22.OpenStax 3권 · 2.6절 · 40번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}+{z}^{2}-4y+4=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}+{z}^{2}-4y+4=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 10번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

23.OpenStax 3권 · 2.6절 · 41번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}+6x+9=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}+6x+9=0$

정답·풀이 보기

a. ${(x+3)}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}=0;$ b. $(-3,0,0)$ 을 중심으로 하고 z축을 대칭축으로 하는 타원뿔

원본 교재 풀이(영어)

a. ${(x+3)}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{z}^{2}}{3}=0;$ b. Elliptic cone centered at $(-3,0,0),$ with the z-axis as its axis of symmetry

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 43번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

24.OpenStax 3권 · 2.6절 · 42번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 이차곡면의 방정식이 주어진다.

a. 완전제곱식을 이용하여 방정식을 표준형으로 나타내세요. b. 어떤 곡면인지 밝히세요.

${x}^{2}-{y}^{2}+{z}^{2}-12z+2x+37=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, the equation of a quadric surface is given.

a. Use the method of completing the square to write the equation in standard form. b. Identify the surface.

${x}^{2}-{y}^{2}+{z}^{2}-12z+2x+37=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 7번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

25.OpenStax 3권 · 2.6절 · 43번대학 수준우리말 번역

원점을 중심으로 하고 세 점 $A(2,0,0),B(0,0,1),$ $C\left(\frac{1}{2},\sqrt{11},\frac{1}{2}\right)$ 을 지나는 타원면의 방정식을 표준형으로 쓰세요.

영어 원문 보기

Write the standard form of the equation of the ellipsoid centered at the origin that passes through points $A(2,0,0),B(0,0,1),$ and $C\left(\frac{1}{2},\sqrt{11},\frac{1}{2}\right).$

정답·풀이 보기

$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}+{z}^{2}=1$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{16}+{z}^{2}=1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 59번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

26.OpenStax 3권 · 2.6절 · 44번대학 수준우리말 번역

점 $P(1,1,0)$ 을 중심으로 하고 세 점 $A(6,1,0),B(4,2,0)$ $C(1,2,1)$ 을 지나는 타원면의 방정식을 표준형으로 쓰세요.

영어 원문 보기

Write the standard form of the equation of the ellipsoid centered at point $P(1,1,0)$ that passes through points $A(6,1,0),B(4,2,0)$ and $C(1,2,1).$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 1번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

27.OpenStax 3권 · 2.6절 · 45번대학 수준우리말 번역

타원뿔 ${x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}=0$ 과 대칭방정식 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z$ 로 주어진 직선의 교점을 구하세요.

영어 원문 보기

Determine the intersection points of elliptic cone ${x}^{2}-{y}^{2}-{z}^{2}=0$ with the line of symmetric equations $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=z.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(1,-1,0)$ 과 $\left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$(1,-1,0)$ and $\left(\frac{13}{3},4,\frac{5}{3}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

28.OpenStax 3권 · 2.6절 · 46번대학 수준우리말 번역

매개변수 방정식 $x=3t,y=2t,z=19t$ 로 나타내어지는 직선과 쌍곡포물면 $z=3{x}^{2}-2{y}^{2}$ 의 교점을 구하세요. 단, $t\in \mathbb{R}.$

영어 원문 보기

Determine the intersection points of parabolic hyperboloid $z=3{x}^{2}-2{y}^{2}$ with the line of parametric equations $x=3t,y=2t,z=19t,$ where $t\in \mathbb{R}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 31번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

29.OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번대학 수준우리말 번역

점 $Q(0,-1,0)$ 과 방정식이 $y=1$ 인 평면에서 같은 거리에 있는 점 $P(x,y,z)$ 로 이루어진 이차곡면의 방정식을 구하세요. 그리고 그 곡면이 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the quadric surface with points $P(x,y,z)$ that are equidistant from point $Q(0,-1,0)$ and plane of equation $y=1.$ Identify the surface.

정답·풀이 보기

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0$ , 타원포물면

원본 교재 풀이(영어)

${x}^{2}+{z}^{2}+4y=0,$ elliptic paraboloid

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 4번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

30.OpenStax 3권 · 2.6절 · 48번대학 수준우리말 번역

점 $Q(0,2,0)$ 과 방정식이 $y=-2$ 인 평면에서 같은 거리에 있는 점 $P(x,y,z)$ 로 이루어진 이차곡면의 방정식을 구하세요. 그리고 그 곡면이 무엇인지 말하세요.

영어 원문 보기

Find an equation of the quadric surface with points $P(x,y,z)$ that are equidistant from point $Q(0,2,0)$ and plane of equation $y=-2.$ Identify the surface.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 29번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

31.OpenStax 3권 · 2.6절 · 49번대학 수준우리말 번역

포물면 반사경의 표면이 방정식 $400z={x}^{2}+{y}^{2}$ 으로 나타내어질 때, 이 반사경의 초점을 구하세요.

영어 원문 보기

If the surface of a parabolic reflector is described by equation $400z={x}^{2}+{y}^{2},$ find the focal point of the reflector.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(0,0,100)$

원본 교재 풀이(영어)

$(0,0,100)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 53번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

32.OpenStax 3권 · 2.6절 · 50번대학 수준우리말 번역

방정식 $z=20{x}^{2}+20{y}^{2}$ 으로 나타내어지는 포물면 반사경을 생각하세요. 이 반사경의 초점을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the parabolic reflector described by equation $z=20{x}^{2}+20{y}^{2}.$ Find its focal point.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 10번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

33.OpenStax 3권 · 2.6절 · 55번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] CAS를 사용하여 원기둥 $9{x}^{2}+4{y}^{2}=18$ 과 타원면 $36{x}^{2}+16{y}^{2}+9{z}^{2}=144$ 의 교선을 그리고, 그 교선의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use a CAS to create the intersection between cylinder $9{x}^{2}+4{y}^{2}=18$ and ellipsoid $36{x}^{2}+16{y}^{2}+9{z}^{2}=144,$ and find the equations of the intersection curves.

정답·풀이 보기

이 그림은 상자 안에 있는 곡면이다. 속이 찬 타원체를 타원기둥이 세로로 가로지르고 있다. 3차원 상자의 바깥쪽 모서리에는 3차원 좌표계를 나타내는 눈금이 있다.

평면 $z=\pm 2\sqrt{2}$ 에서 방정식이 $\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}=1$ 인 두 타원

원본 교재 풀이(영어)

This figure is a surface inside of a box. It is a solid oval with an elliptical cylinder vertically intersecting. The outside edges of the 3-dimensional box are scaled to represent the 3-dimensional coordinate system.

two ellipses of equations $\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{\frac{9}{2}}=1$ in planes $z=\pm 2\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 49번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

34.OpenStax 3권 · 2.6절 · 58번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 윙윙 소리 나는 마술 자석(또는 “방울뱀 알”) 한 세트에는 반짝이고 매끄럽게 연마된, 매우 강력한 회전타원체 모양의 자석 두 개가 들어 있으며, 어린이 장난감으로 잘 알려져 있다. 각 자석은 길이가 $1.625$ 인치이고 가운데 부분의 폭이 $0.5$ 인치이다. 이 자석들을 공중으로 던지면 서로 끌어당기면서 윙윙 소리가 난다.

a. 자석 하나의 모양을 나타내는, 원점을 중심으로 하는 길쭉한 회전타원체의 방정식을 쓰세요. b. 윙윙 소리 나는 마술 자석의 모양을 나타내는 길쭉한 회전타원체들의 방정식을 쓰세요. CAS를 사용하여 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] A set of buzzing stunt magnets (or “rattlesnake eggs”) includes two sparkling, polished, superstrong spheroid-shaped magnets well-known for children’s entertainment. Each magnet is $1.625$ in. long and $0.5$ in. wide at the middle. While tossing them into the air, they create a buzzing sound as they attract each other.

a. Write the equation of the prolate spheroid centered at the origin that describes the shape of one of the magnets. b. Write the equations of the prolate spheroids that model the shape of the buzzing stunt magnets. Use a CAS to create the graphs.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 47번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산자동 분류

35.CLP-3 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

$f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 의 “등고선 지도”를 그리되, 나타나는 등위곡선의 종류를 모두 보이세요.

영어 원문 보기

Draw a “contour map” of $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ , showing all types of level curves that occur.

정답·풀이 보기

임의의 상수 $C$ 에 대해 곡선 $-x^2+4y^2=C$ 는 등위곡선 $f=e^C$ 임에 주목하자.

$C=0$ 이면 $-x^2+4y^2=C=0$ 은 두 직선 $y=\pm\frac{x}{2}$ 이다.
$C>0$ 이면 $-x^2+4y^2=C>0$ 은 쌍곡선 $y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}$ 이다.
$C<0$ 이면 $-x^2+4y^2=C<0$ 은 쌍곡선 $x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Observe that, for any constant $C$ , the curve $-x^2+4y^2=C$ is the level curve $f=e^C$ .

If $C=0$ , then $-x^2+4y^2=C=0$ is the pair of lines $y=\pm\frac{x}{2}$ .
If $C>0$ , then $-x^2+4y^2=C>0$ is the hyperbola $y=\pm\frac{1}{2}\sqrt{C+x^2}$ .
If $C<0$ , then $-x^2+4y^2=C<0$ is the hyperbola $x=\pm\sqrt{|C|+4y^2}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.7절 · 7번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산보통자동 분류

36.CLP-3 · 1.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

다음 함수의 등위면을 설명하세요.

(a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (b) $f(x,y,z)=x+2y+3z$ (c) $f(x,y,z)=x^2+y^2$

영어 원문 보기

Describe the level surfaces of

(a) $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ (b) $f(x,y,z)=x+2y+3z$ (c) $f(x,y,z)=x^2+y^2$

정답·풀이 보기

(a) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2+z^2=c$ 는 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 구이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 원점 하나뿐이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

(b) $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x+2y+3z=c$ 는 $(1,2,3)$ 에 수직이고 $(c,0,0)$ 을 지나는 평면이다.

(c) $c>0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ , 즉 $x^2+y^2=c$ 는 $z$ 축에 평행한 원기둥이고, 그 단면은 $xy$ 평면에 평행하며 $z$ 축 위에 중심이 있는 반지름이 $\sqrt{c}$ 인 원이다. $c=0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 는 $z$ 축이다. $c<0$ 이면 $f(x,y,z)=c$ 를 만족시키는 $(x,y,z)$ 는 없다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If $c>0$ , $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x^2+y^2+z^2=c$ , is the sphere of radius $\sqrt{c}$ centered at the origin. If $c=0$ , $f(x,y,z)=c$ is just the origin. If $c<0$ , no $(x,y,z)$ satisfies $f(x,y,z)=c$ .

(b) $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x+2y+3z=c$ , is the plane normal to $(1,2,3)$ passing through $(c,0,0)$ .

(c) If $c>0$ , $f(x,y,z)=c$ , i.e. $x^2+y^2=c$ , is the cylinder parallel to the $z$ -axis whose cross-section is a circle of radius $\sqrt{c}$ that is parallel to the $xy$ -plane and is centered on the $z$ -axis. If $c=0$ , $f(x,y,z)=c$ is the $z$ -axis. If $c<0$ , no $(x,y,z)$ satisfies $f(x,y,z)=c$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.6절 · 13번

# 이차곡면과 곡면 그리기계산보통자동 분류