빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터함수의 미분과 적분

벡터함수를 미분해 접선벡터를 구하고, 성분별로 적분한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
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유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

17문제 · 1 / 1쪽

1.CLP-3 · 1.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

옳은 답을 고르세요:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

Select the correct answer:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

정답·풀이 보기

다음과 같다.

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

따라서

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

and hence

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

Since 2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2, that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
2.CLP-3 · 1.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

위치가 r(t)\mathbf{r}(t) 인 입자의 시각 tt 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요. 입자의 경로를 설명하세요. a>0a>0 이라 하세요.

(a) r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}} (b) r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time tt of the particle whose position is r(t)\mathbf{r}(t). Describe the path of the particle. Let a>0a>0.

(a) r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + ct\,\hat{\mathbf{k}} (b) r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해,

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a2+c2a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

(x,y)=a(cos⁡t,sin⁡t)(x,y)= a(\cos t,\sin t) 좌표는 반지름이 aa 이고 중심이 (0,0)(0,0) 인 원을 반시계 방향으로 돈다. tt 가 2π2\pi 증가할 때마다 원을 한 바퀴 돈다. 동시에 zz 좌표는 일정한 비율로 증가한다. (x,y)(x,y) 좌표가 원을 한 바퀴 돌 때마다 zz 좌표는 2πc2 \pi c 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 aa 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 2πc2\pi c 만큼 올라가는 나선이다.

(b) 정의에 의해,

r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^=a2sin⁡2t ı^+a1−cos⁡2t2 ȷ^+acos⁡t k^v(t)=r′(t)=acos⁡2t ı^+asin⁡2t ȷ^−asin⁡t k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a1+sin⁡2ta(t)=r′′(t)=−2asin⁡2t ı^+2acos⁡2t ȷ^−acos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

다음과 같이 놓자.

x(t)=a2sin⁡2ty(t)=a1−cos⁡2t2z(t)=acos⁡t\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}

그러면

x(t)2+[y(t)−a2]2=a24sin⁡22t+a24cos⁡22t=a24\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}

이므로 (x,y)(x,y) 좌표는 반지름이 a2\frac{a}{2} 이고 중심이 (0,a2)\big(0,\frac{a}{2}\big) 인 원을 반시계 방향으로 돈다. 동시에 zz 좌표는 절반의 빠르기로 11 과 −1-1 사이의 구간에서 진동한다. 사실 이 곡선에 대해서는 더 말할 수 있다.

x(t)2+y(t)2=a24sin⁡22t+a24(1−cos⁡2t)2=a24sin⁡22t+a24−a22cos⁡2t+a24cos⁡22t=a22−a22(1−2sin⁡2t)=a2sin⁡2tx(t)2+y(t)2+z(t)2=a2sin⁡2t+a2cos⁡2t=a2\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}

따라서 이 곡선은 원기둥 x2+[y−a2]2=a24x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4} 과 구 x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2 의 교선 위에 놓여 있다. (x(t)2+y(t)2+z(t)2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 의 값을 구해 볼 생각을 하지 못했더라도 걱정하지 않아도 된다.)

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition,

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a2+c2a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= -a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= \sqrt{a^2+c^2}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

The (x,y)=a(cos⁡t,sin⁡t)(x,y)= a(\cos t,\sin t) coordinates go around a circle of radius aa and centre (0,0)(0,0) counterclockwise. One circle is completed for each increase of tt by 2π2\pi. At the same time, the zz coordinate increases at a constant rate. Each time the (x,y)(x,y) coordinates complete one circle, the zz coordinate increases by 2πc2 \pi c. The path is a helix with radius aa and with each turn having height 2πc2\pi c.

(b) By definition,

r(t)=acos⁡tsin⁡t ı^+asin⁡2t ȷ^+acos⁡t k^=a2sin⁡2t ı^+a1−cos⁡2t2 ȷ^+acos⁡t k^v(t)=r′(t)=acos⁡2t ı^+asin⁡2t ȷ^−asin⁡t k^dsdt(t)=∣v(t)∣=a1+sin⁡2ta(t)=r′′(t)=−2asin⁡2t ı^+2acos⁡2t ȷ^−acos⁡t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a \cos t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin^2 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ &= \frac{a}{2} \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\frac{1-\cos 2t}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+a\cos t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)&= a \cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +a\sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{v}(t)|&= a\sqrt{1+\sin^2t}\\ \mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)&= -2a \sin 2t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +2a\cos 2t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}-a\cos t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

Write

x(t)=a2sin⁡2ty(t)=a1−cos⁡2t2z(t)=acos⁡t\begin{aligned} x(t)=\tfrac{a}{2} \sin 2t \qquad y(t)=a\tfrac{1-\cos 2t}{2} \qquad z(t)=a\cos t \end{aligned}

Then

x(t)2+[y(t)−a2]2=a24sin⁡22t+a24cos⁡22t=a24\begin{aligned} x(t)^2+\big[y(t)-\tfrac{a}{2}\big]^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t =\tfrac{a^2}{4} \end{aligned}

Thus the (x,y)(x,y) coordinates go around a circle of radius a2\frac{a}{2} and centre (0,a2)\big(0,\frac{a}{2}\big) counterclockwise. At the same time the zz coordinate oscillates over the interval between 11 and −1-1 half as fast. In fact, one can say more about the curve.

x(t)2+y(t)2=a24sin⁡22t+a24(1−cos⁡2t)2=a24sin⁡22t+a24−a22cos⁡2t+a24cos⁡22t=a22−a22(1−2sin⁡2t)=a2sin⁡2tx(t)2+y(t)2+z(t)2=a2sin⁡2t+a2cos⁡2t=a2\begin{aligned} x(t)^2+y(t)^2&=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4}\big(1-\cos 2t\big)^2 \\ &=\tfrac{a^2}{4} \sin^2 2t + \tfrac{a^2}{4} - \tfrac{a^2}{2}\cos 2t + \tfrac{a^2}{4} \cos^2 2t \\ &= \tfrac{a^2}{2} - \tfrac{a^2}{2} (1- 2\sin^2 t) \\ &= a^2\sin^2 t \\ x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2 &= a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t =a^2 \end{aligned}

So our curve lies on the intersection of the cylinder x2+[y−a2]2=a24x^2+\big[y-\tfrac{a}{2}\big]^2=\tfrac{a^2}{4} and the sphere x2+y2+z2=a2x^2+y^2+z^2=a^2. (Don't worry if you didn't think of trying to evaluate x(t)2+y(t)2+z(t)2x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 28번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
3.CLP-3 · 1.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 곡선을 생각하세요.

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2}. (b) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=πt = \pi.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

이므로 t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이는

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u du여기서 u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

이다.

(b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt절댓값 기호를 잊지 마세요!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 마세요!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

이다. 피적분함수가 t→π−tt\rightarrow\pi-t 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 2배, 즉 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

the arclength from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2} is

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u duwith u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

(b) The arclength from t=0t = 0 to t=πt = \pi is

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dtDon’t forget the absolute value signs!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

since the integrand is invariant under t→π−tt\rightarrow\pi-t. So the arc length from t=0t = 0 to t=πt = \pi is just twice the arc length from part (a), namely 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 26번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
4.CLP-3 · 1.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0 이라 하자. 시각 tt 에서 곡선의 길이 s(ts(t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0. Compute s(ts(t), the arclength of the curve at time tt.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

the length of the curve is

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 19번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
5.CLP-3 · 1.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b 이고 m>0m > 0 일 때, 곡선 r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) 의 길이를 구하세요. 결과를 mm, aa, bb 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) for 0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, and where m>0m > 0. Express your result in terms of mm, aa, and bb.

정답·풀이 보기

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu du여기서 u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{여기서 } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

the arc length is

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu duwith u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3장 복습 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
6.CLP-3 · 1.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

입자의 질량이 상수 mm 이고 위치가 r\mathbf{r} 이며 속도 v\mathbf{v} 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) 이다.

질량이 m=1m=1 이고 위치 함수가 r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t) 인 입자에 대해 ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right| 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass mm, position r\mathbf{r}, and is moving with velocity v\mathbf{v}, then its angular momentum is L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

For a particle with mass m=1m=1 and position function r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t), find ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다. v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) 주어진 공식을 적용하면, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분하면 된다.

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다.

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) Applying the given formula, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • Solution 2: Using the product rule:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 27번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
7.CLP-3 · 1.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

벡터방정식이 다음과 같은 공간곡선 Γ\Gamma 를 생각하세요.

r(t)=tsin⁡(πt) ı^+tcos⁡(πt) ȷ^+t2k^ 0≤t<∞\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty

이 곡선은 원점에서 출발하여 결국 방정식이 2x2+2y2+z2=242x^2+2y^2+z^2=24 인 타원면 EE 에 도달한다.

(a) Γ\Gamma 가 EE 와 만나는 점 PP 의 좌표를 구하세요. (b) 점 PP 에서 Γ\Gamma 의 접벡터를 구하세요. (c) Γ\Gamma 는 EE 와 직각으로 만나나요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Consider the space curve Γ\Gamma whose vector equation is

r(t)=tsin⁡(πt) ı^+tcos⁡(πt) ȷ^+t2k^ 0≤t<∞\mathbf{r}(t)=t\sin(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+t\cos(\pi t)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +t^2\hat{\mathbf{k}}\,\qquad 0\le t<\infty

This curve starts from the origin and eventually reaches the ellipsoid EE whose equation is 2x2+2y2+z2=242x^2+2y^2+z^2=24.

(a) Determine the coordinates of the point PP where Γ\Gamma intersects EE. (b) Find the tangent vector of Γ\Gamma at the point PP. (c) Does Γ\Gamma intersect EE at right angles? Why or why not?

정답·풀이 보기

(a) 곡선이 EE 와 만나는 것은 다음과 같을 때이다.

2(tsin⁡(πt))2+2(tcos⁡(πt))2+(t2)2=24  ⟺  2t2+t4=24  ⟺  (t2−4)(t2+6)=02\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0

t>0t>0 이어야 하므로 구하는 시각은 t=2t=2 이고, 이에 대응하는 점은 r(2)=2 ȷ^+4 k^\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}} 이다.

(b)

r′(t)=[sin⁡(πt)+πtcos⁡(πt)]ı^+[cos⁡(πt)−πtsin⁡(πt)]ȷ^+2tk^\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}

이므로, 점 PP 에서 Γ\Gamma 의 접벡터는 다음의 0이 아닌 임의의 배수이다.

r′(2)=2π ı^+ȷ^+4 k^\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(c) 점 PP 에서 EE 의 법선벡터는 다음과 같다.

∇(2x2+2y2+z2)∣(0,2,4)=<4x,4y,2z>∣(0,2,4)=<0,8,8>{ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>

r′(2)\mathbf{r}'(2) 와 <0,8,8>\left< 0,8,8\right> 는 평행하지 않으므로 Γ\Gamma 와 EE 는 직각으로 만나지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve intersects EE when

2(tsin⁡(πt))2+2(tcos⁡(πt))2+(t2)2=24  ⟺  2t2+t4=24  ⟺  (t2−4)(t2+6)=02\big(t\sin(\pi t)\big)^2+2\big(t\cos(\pi t)\big)^2 +\big(t^2\big)^2=24 \iff 2t^2+t^4=24 \iff (t^2-4)(t^2+6)=0

Since we need t>0t>0, the desired time is t=2t=2 and the corresponding point is r(2)=2 ȷ^+4 k^\mathbf{r}(2)=2\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}.

(b) Since

r′(t)=[sin⁡(πt)+πtcos⁡(πt)]ı^+[cos⁡(πt)−πtsin⁡(πt)]ȷ^+2tk^\mathbf{r}'(t)=\big[\sin(\pi t)+\pi t\cos(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\imath}} +\big[\cos(\pi t)-\pi t\sin(\pi t)\big]\hat{\boldsymbol{\jmath}} + 2t\hat{\mathbf{k}}

a tangent vector to Γ\Gamma at PP is any nonzero multiple of

r′(2)=2π ı^+ȷ^+4 k^\mathbf{r}'(2)=2\pi\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\hat{\boldsymbol{\jmath}}+4\,\hat{\mathbf{k}}

(c) A normal vector to EE at PP is

∇(2x2+2y2+z2)∣(0,2,4)=<4x,4y,2z>∣(0,2,4)=<0,8,8>{ \boldsymbol{\nabla} }(2x^2+2y^2+z^2)\big|_{(0,2,4)}= \left< 4x,4y,2z\right>\big|_{(0,2,4)} =\left< 0,8,8\right>

Since r′(2)\mathbf{r}'(2) and <0,8,8>\left< 0,8,8\right> are not parallel, Γ\Gamma and EE do not intersect at right angles.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분개념 확인보통자동 분류
8.CLP-3 · 1.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

3차원 공간에서 한 입자가 위치 벡터 r(t)\mathbf{r}(t) 로 움직이고, r′′(t)=−r(t)\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t) 를 만족한다고 하자. "에너지" ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 이 상수임(즉, tt 에 무관함)을 보이세요.

영어 원문 보기

Suppose a particle in 3-dimensional space travels with position vector r(t)\mathbf{r}(t), which satisfies r′′(t)=−r(t)\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t). Show that the “energy” ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 is constant (that is, independent of tt).

정답·풀이 보기

ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=ddt[r(t)⋅r(t)+r′(t)⋅r′(t)]=2r(t)⋅r′(t)+2r′(t)⋅r′′(t)=2r′(t)⋅[r(t)+r′′(t)]=0 since r′′(t)=−r(t) \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}

모든 tt 에 대해 ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0 이므로, ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 은 tt 에 무관하다.

원본 교재 풀이(영어)

ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=ddt[r(t)⋅r(t)+r′(t)⋅r′(t)]=2r(t)⋅r′(t)+2r′(t)⋅r′′(t)=2r′(t)⋅[r(t)+r′′(t)]=0 since r′′(t)=−r(t) \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big] &=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}'(t)\big]\\ &=2\mathbf{r}(t)\cdot\mathbf{r}'(t)+2\mathbf{r}'(t)\cdot\mathbf{r}''(t)\\ &=2\mathbf{r}'(t)\cdot\big[\mathbf{r}(t)+\mathbf{r}''(t)\big]\\ &=0\qquad \text{ since $\mathbf{r}''(t)=-\mathbf{r}(t)$ } \end{aligned}

Since ddt[∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2]=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big[|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2\big]=0 for all tt, ∣r(t)∣2+∣r′(t)∣2|\mathbf{r}(t)|^2+|\mathbf{r}'(t)|^2 is independent of tt.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 1.6절 · 21번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
9.CLP-4 · 1.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

옳은 답을 고르세요.

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

Select the correct answer:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

정답·풀이 보기

다음과 같다.

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

따라서

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

and hence

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

Since 2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2, that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 15번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
10.CLP-4 · 1.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

위치가 다음과 같은 입자의 시각 tt 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요.

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

입자의 경로를 설명하세요.

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time tt of the particle whose position is

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

Describe the path of the particle.

정답·풀이 보기

다음이 주어져 있다.

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

따라서 정의에 의해

속도=v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^속력=dsdt(t)=∣r′(t)∣=a2+c2가속도=a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \text{속도}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{속력}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{가속도}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

tt 가 길이 2π2\pi 인 구간을 움직이는 동안 (x,y)(x,y) 는 반지름이 aa 인 원을 그리고 zz 는 2πc2\pi c 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 aa 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 2πc2\pi c 만큼 올라가는 나선이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

So, by definition,

velocity=v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^speed=dsdt(t)=∣r′(t)∣=a2+c2acceleration=a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \text{velocity}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{speed}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{acceleration}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

As tt runs over an interval of length 2π2\pi, (x,y)(x,y) traces out a circle of radius aa and zz increases by 2πc2\pi c. The path is a helix with radius aa and with each turn having height 2πc2\pi c.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 11번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
11.CLP-4 · 1.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 매개변수 곡선의 길이를 구하세요.

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

단, t=0t=0 에서 t=T>0t=T>0 까지입니다.

영어 원문 보기

Find the length of the parametric curve

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

between t=0t=0 and t=T>0t=T>0.

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

다음을 얻는다.

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

속력 dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) 가 상수이므로, 곡선의 길이는 dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

we have

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

As the speed dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) is constant, the length is just dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 19번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
12.CLP-4 · 1.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

평면  z=2x+3y \ z=2x+3y\ 이 원기둥  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 와 만나서 타원을 이룹니다.

(a) 이 타원의 매개변수 표현을 구하세요. (b) 이 타원의 둘레를 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다. (여기에 나오는 부정적분은 타원의 호의 길이와 관련되어 있어서 타원 적분이라고 불리는 적분들 중 하나입니다. 일반적으로 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다. 즐겨 쓰는 검색 엔진으로 타원 적분에 관한 설명을 쉽게 찾아볼 수 있습니다.)

영어 원문 보기

The plane  z=2x+3y \ z=2x+3y\ intersects the cylinder  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ in an ellipse.

(a) Find a parametrization of the ellipse. (b) Express the circumference of this ellipse as an integral. You need not evaluate the integral (The indefinite integral involved is one of a class of integrals called elliptic integrals because of their connections to arc lengths of ellipses. In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions. You can easily find discussions of elliptic integrals using your favourite search engine.).

정답·풀이 보기

(a) 원  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 는 x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta 로 매개변수 표현할 수 있고, 이때 θ\theta 는 00 부터 2π2\pi 까지 변한다. z=2x+3yz=2x+3y 이므로 타원은 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) 다음이 성립하므로

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

타원의 둘레는 다음과 같다.

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can parametrize the circle  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ as x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta with θ\theta running from 00 to 2π2\pi. As z=2x+3yz=2x+3y, the ellipse can be parametrized by

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) As

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

the circumference is

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
13.CLP-4 · 1.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

곡선

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

을 생각하세요.

(a) t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2}. (b) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=πt = \pi.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

이므로 t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이는

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u du여기서 u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

이다.

(b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt절댓값 기호를 잊지 말 것!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 말 것!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

이다. 피적분함수가 t→π−tt\rightarrow\pi-t 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 두 배, 즉 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

the arclength from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2} is

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u duwith u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

(b) The arclength from t=0t = 0 to t=πt = \pi is

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dtDon’t forget the absolute value signs!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

since the integrand is invariant under t→π−tt\rightarrow\pi-t. So the arc length from t=0t = 0 to t=πt = \pi is just twice the arc length from part (a), namely 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
14.CLP-4 · 1.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0 라 하자. 시각 tt 까지의 곡선의 길이 s(ts(t)를 구하세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0. Compute s(ts(t), the arclength of the curve at time tt.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

the length of the curve is

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
15.CLP-4 · 1.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) (0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, 단 m>0m > 0) 의 곡선의 길이를 구하세요. 결과를 mm, aa, bb 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) for 0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, and where m>0m > 0. Express your result in terms of mm, aa, and bb.

정답·풀이 보기

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는 다음과 같다.

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu du단, u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{단, } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

the arc length is

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu duwith u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 3번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
16.CLP-4 · 1.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

CC 를 포물기둥 x=y2x = y^2 과 쌍곡포물면 3z=2xy3z = 2xy 의 교선 중 y≥0y\ge 0 인 부분이라 하자.

(a) xx 를 매개변수로 하여 CC 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) 원점과 점 (9,3,18)(9, 3, 18) 사이에 있는 CC 부분의 길이를 구하세요. (c) 입자가 xx 가 증가하는 방향으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자가 일정한 속력 9로 움직일 때, 점 (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}) 에 있을 때의 속도 벡터를 구하세요. (d) (c)의 입자가 점 (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}) 에 있을 때의 가속도 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the part of the curve of intersection of the parabolic cylinder x=y2x = y^2 and the hyperbolic paraboloid 3z=2xy3z = 2xy with y≥0y\ge 0.

(a) Write a vector parametric equation for CC using xx as the parameter. (b) Find the length of the part of CC between the origin and the point (9,3,18)(9, 3, 18). (c) A particle moves along CC in the direction for which xx is increasing. If the particle moves with constant speed 9, find its velocity vector when it is at the point (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}). (d) Find the acceleration vector of the particle of part (c) when it is at the point (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}).

정답·풀이 보기

(a) y=xy=\sqrt{x} 이고 z=23xy=23x3/2z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2} 이므로,

r(x)=x ı^+x ȷ^+23x3/2 k^\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이 문제의 나머지 부분을 위해 다음도 필요하다.

r′(x)=ı^+12x ȷ^+x k^r′′(x)=−14x3/2 ȷ^+12x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+14x+x=(12x+x)2=12x+xdsdx(1)=32\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}

(b)

∫C ds=∫09dsdx dx=∫09(12x+x) dx=[x+23x3/2]09=3+18=21\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21

(c) 다음과 같이 놓는다.

  • r(x)\mathbf{r}(x): 입자의 첫째 좌표가 xx 일 때의 위치,
  • R(t)\mathbf{R}(t): 시각 tt 에서의 입자의 위치,
  • x(t)x(t): 시각 tt 에서의 입자의 xx–좌표,
  • s(x)s(x): 원점에서 r(x)\mathbf{r}(x) 까지의 곡선의 길이.

모든 tt 에 대해 ∣R′(t)∣=9|\mathbf{R}'(t)|=9 임이 주어져 있다. 따라서

R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  9=∣R′(t)∣=dsdx(x(t))dxdt(t)=(12x(t)+x(t))dxdt(t)\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}

특히 입자가 시각 00 에 (1,1,23)(1,1,\frac{2}{3}) 에 있다면 x(0)=1x(0)=1 이고

9=(121+1)dxdt(0)  ⟹  dxdt(0)=69=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

이므로

R′(0)=r′(1)dxdt(0)=(ı^+12 ȷ^+k^)6= 6 ı^+3 ȷ^+6 k^\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해,

R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt(t))2+r′(x(t))d2xdt2(t)\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)

(c)에서 9=∣R′(t)∣=(12x(t)+x(t))dxdt(t)9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 임을 보았으므로

dxdt(t)=9(12x(t)+x(t))−1\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}

이다. 이를 미분하면

d2xdt2(t)=−9(12x(t)+x(t))−2(−14x(t)3/2+12x(t))dxdt(t)\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)

이다. 특히 t=0t=0 일 때 x(0)=1x(0)=1 이고 dxdt(0)=6\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6 이므로

d2xdt2(0)=−9(32)−2(14)6=−6\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6

이고, 따라서

R′′(0)=r′′(1) (6)2+r′(1)(−6)=36(−14 ȷ^+12 k^)−6(ı^+12 ȷ^+k^)=−6 ı^−12 ȷ^+12 k^\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since y=xy=\sqrt{x} and z=23xy=23x3/2z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2},

r(x)=x ı^+x ȷ^+23x3/2 k^\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

For the remaining parts of this problem we will also need

r′(x)=ı^+12x ȷ^+x k^r′′(x)=−14x3/2 ȷ^+12x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+14x+x=(12x+x)2=12x+xdsdx(1)=32\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}

(b)

∫C ds=∫09dsdx dx=∫09(12x+x) dx=[x+23x3/2]09=3+18=21\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21

(c) Denote by

  • r(x)\mathbf{r}(x) the position of the particle when its first coordinate is xx,
  • R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt,
  • x(t)x(t) the xx–coordinate of the particle at time tt, and
  • s(x)s(x) the arc length of the curve from the origin to r(x)\mathbf{r}(x).

We are told that ∣R′(t)∣=9|\mathbf{R}'(t)|=9 for all tt. So

R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  9=∣R′(t)∣=dsdx(x(t))dxdt(t)=(12x(t)+x(t))dxdt(t)\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}

In particular, if the particle is at (1,1,23)(1,1,\frac{2}{3}) at time 00, then x(0)=1x(0)=1 and

9=(121+1)dxdt(0)  ⟹  dxdt(0)=69=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

so that

R′(0)=r′(1)dxdt(0)=(ı^+12 ȷ^+k^)6= 6 ı^+3 ȷ^+6 k^\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(d) By the product and chain rules,

R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt(t))2+r′(x(t))d2xdt2(t)\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)

We saw in part (c) that 9=∣R′(t)∣=(12x(t)+x(t))dxdt(t)9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) so that

dxdt(t)=9(12x(t)+x(t))−1\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}

Differentiating that gives

d2xdt2(t)=−9(12x(t)+x(t))−2(−14x(t)3/2+12x(t))dxdt(t)\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)

In particular, when t=0t=0, x(0)=1x(0)=1 and dxdt(0)=6\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

d2xdt2(0)=−9(32)−2(14)6=−6\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6

so

R′′(0)=r′′(1) (6)2+r′(1)(−6)=36(−14 ȷ^+12 k^)−6(ı^+12 ȷ^+k^)=−6 ı^−12 ȷ^+12 k^\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 2번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
17.CLP-4 · 1.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 상수 mm 인 입자가 위치 r\mathbf{r} 에서 속도 v\mathbf{v} 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) 입니다.

질량이 m=1m=1 이고 위치 함수가 r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t) 인 입자에 대해 ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right| 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass mm, position r\mathbf{r}, and is moving with velocity v\mathbf{v}, then its angular momentum is L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

For a particle with mass m=1m=1 and position function r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t), find ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) 주어진 공식을 적용하면 L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분할 수 있다:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) Applying the given formula, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • Solution 2: Using the product rule:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 1번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
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