함수의 증가와 감소 연습문제

41.OpenStax 1권 · 4.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}+\frac{1}{x},x>0$

정답·풀이 보기

a. $x>4$ 에서 증가, $0<x<4$ 에서 감소 b. $x=4$ 에서 극소 c. $0<x<8\sqrt[3]{2}$ 에서 아래로 볼록, $x>8\sqrt[3]{2}$ 에서 위로 볼록 d. 변곡점은 $x=8\sqrt[3]{2}$ 이다

원본 교재 풀이(영어)

a. Increasing over $x>4,$ decreasing over $0<x<4$ b. Minimum at $x=4$ c. Concave up for $0<x<8\sqrt[3]{2},$ concave down for $x>8\sqrt[3]{2}$ d. Inflection point at $x=8\sqrt[3]{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 26번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

42.OpenStax 1권 · 4.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 아래를 구하세요.

a. $f$ 가 증가하거나 감소하는 구간, b. $f$ 의 극솟값과 극댓값, c. $f$ 가 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 구간, d. $f$ 의 변곡점. 곡선의 그래프를 그린 다음, 계산기를 사용하여 답과 비교하세요. 정확한 답을 해석적으로 구할 수 없으면 계산기를 사용하세요.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

영어 원문 보기

For the following exercises, determine

a. intervals where $f$ is increasing or decreasing, b. local minima and maxima of $f,$ c. intervals where $f$ is concave up and concave down, and d. the inflection points of $f.$ Sketch the curve, then use a calculator to compare your answer. If you cannot determine the exact answer analytically, use a calculator.

$f(x)=\frac{{e}^{x}}{x},x\ne 0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소그래프·표 해석자동 분류

43.OpenStax 1권 · 4.5절 · 48번우리말 번역

인구가 더 느리게 증가하고 있다. 여기서 $f$ 는 인구이다.

영어 원문 보기

The population is growing more slowly. Here $f$ is the population.

정답·풀이 보기

$f>0,{f}^{'}>0,{f}^{''}<0$

원본 교재 풀이(영어)

$f>0,{f}^{'}>0,{f}^{''}<0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 16번

# 함수의 증가와 감소활용자동 분류

44.OpenStax 1권 · 4.5절 · 49번우리말 번역

자전거가 더 빠르게 가속하지만, 속력은 자동차가 더 빠르다. 여기서 $f=$ 자전거의 위치에서 자동차의 위치를 뺀 값이다.

영어 원문 보기

A bike accelerates faster, but a car goes faster. Here $f=$ Bike’s position minus Car’s position.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 8번

# 함수의 증가와 감소활용자동 분류

45.OpenStax 1권 · 4.5절 · 50번우리말 번역

비행기가 부드럽게 착륙한다. 여기서 $f$ 는 비행기의 고도이다.

영어 원문 보기

The airplane lands smoothly. Here $f$ is the plane’s altitude.

정답·풀이 보기

$f>0,{f}^{'}<0,{f}^{''}>0$

원본 교재 풀이(영어)

$f>0,{f}^{'}<0,{f}^{''}>0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 5번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 4.5절 · 51번우리말 번역

한 회사가 1년 동안 인건비를 기록한다. 7월 1일에 비용이 최고조에 이른다. 여기서 $f$ 는 인건비를 나타낸다.

영어 원문 보기

A company tracks labor costs over the course of a year. On July 1, costs are at their peak. Here $f$ represents the cost of labor.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번

# 함수의 증가와 감소활용자동 분류

47.OpenStax 1권 · 4.5절 · 52번우리말 번역

경제가 속력을 내고 있다. 여기서 $f$ 는 국내총생산과 같은 경제 지표이다.

영어 원문 보기

The economy is picking up speed. Here $f$ is a measure of the economy, such as GDP.

정답·풀이 보기

$f>0,{f}^{'}>0,{f}^{''}>0$

원본 교재 풀이(영어)

$f>0,{f}^{'}>0,{f}^{''}>0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 50번

# 함수의 증가와 감소활용자동 분류

48.OpenStax 1권 · 4.5절 · 53번우리말 번역

다음 연습문제에서는 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 이라는 성질을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각합니다(연습문제 249번과 250번에는 적용되지 않습니다). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 답의 근거를 설명하세요.

$1\le x\le 3$ 인 어떤 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이다.

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

$f(x)=0$ for some $1\le x\le 3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 6번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

49.OpenStax 1권 · 4.5절 · 54번우리말 번역

다음 연습문제에서, 성질 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각하세요 (연습문제 249와 250에는 적용되지 않음). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

어떤 $1\le x\le 3$ 에 대해 ${f}^{''}(x)=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

${f}^{''}(x)=0$ for some $1\le x\le 3$

정답·풀이 보기

참, 평균값 정리에 의해

원본 교재 풀이(영어)

True, by the Mean Value Theorem

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 38번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

50.OpenStax 1권 · 4.5절 · 55번우리말 번역

다음 연습문제에서, 성질 ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ 을 갖는 삼차 다항식 $f(x)$ 를 생각하세요 (연습문제 249와 250에는 적용되지 않음). 다음 명제가 참인지 거짓인지 판단하고, 그 이유를 설명하세요.

$x=3$ 에서 최댓값을 갖지 않는다

영어 원문 보기

For the following exercises, consider a third-degree polynomial $f(x),$ which has the properties ${f}^{'}(1)=0,{f}^{'}(3)=0$ (not applicable to Exercises 249 and 250). Determine whether the following statements are true or false. Justify your answer.

There is no absolute maximum at $x=3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

51.OpenStax 1권 · 4.5절 · 57번우리말 번역

$f(x)$ 가 변곡점을 하나 가지면, 세 실근을 갖는다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ has one inflection point, then it has three real roots.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

52.APEX · 3.3절 · 1번우리말 번역

자신의 말로 함수가 증가한다는 것이 무슨 뜻인지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words describe what it means for a function to be increasing.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

53.APEX · 3.3절 · 2번우리말 번역

감소하는 함수는 어떤 "모양"인가요?

영어 원문 보기

What does a decreasing function “look like”?

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 3번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

54.APEX · 3.3절 · 3번우리말 번역

$[0,2]$ 에서 증가하는 함수의 그래프를 그리세요. 단, $x=0$ 근처에서는 "빠르게" 증가하고 $x=2$ 근처에서는 "느리게" 증가해야 합니다.

영어 원문 보기

Sketch a graph of a function on $[0,2]$ that is increasing, where it is increasing “quickly” near $x=0$ and increasing “slowly” near $x=2$ .

정답·풀이 보기

답은 다양하다. 그래프는 $x=2$ 근처보다 $x=0$ 근처에서 더 가팔라야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; graphs should be steeper near $x=0$ than near $x=2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 1번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

55.APEX · 3.3절 · 4번우리말 번역

증가하는 것이 "나쁘고" 감소하는 것이 "좋은" 상황을 나타내는 함수의 예를 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a function describing a situation where it is “bad” to be increasing and “good” to be decreasing.

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 4번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

56.APEX · 3.3절 · 5번우리말 번역

참/거짓: 함수는 임계점에서 항상 증가에서 감소로, 또는 감소에서 증가로 바뀐다.

영어 원문 보기

T/F: Functions always switch from increasing to decreasing, or decreasing to increasing, at critical points.

정답·풀이 보기

거짓이다. 예를 들어 $y=x^3$ 은 $x=0$ 에서 임계점을 갖지만 항상 증가한다.

원본 교재 풀이(영어)

False; for instance, $y=x^3$ is always increasing though it has a critical point at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 48번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

57.APEX · 3.3절 · 6번우리말 번역

함수 $f$ 의 도함수가 $f\,'(x) = (\sin x+2)e^{x^2+1}$ 이고, 모든 $x$ 에 대해 $f\,'(x) >1$ 이다. $f$ 는 증가하는가, 감소하는가, 아니면 주어진 정보로는 알 수 없는가?

영어 원문 보기

A function $f$ has derivative $f\,'(x) = (\sin x+2)e^{x^2+1}$ , where $f\,'(x) >1$ for all $x$ . Is $f$ increasing, decreasing, or can we not tell from the given information?

정답·풀이 보기

증가

원본 교재 풀이(영어)

Increasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 2번

# 함수의 증가와 감소개념 확인자동 분류

58.APEX · 3.3절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =x^2+2x-3$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =x^2+2x-3$

정답·풀이 보기

정의역: $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=-1$ ;

$(-\infty,-1)$ 에서 감소;

$(-1,\infty)$ 에서 증가;

$x=-1$ 에서 극솟값.

원본 교재 풀이(영어)

domain: $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=-1$ ;

decreasing on $(-\infty,-1)$ ;

increasing on $(-1,\infty)$ ;

rel. min at $x=-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 36번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

59.APEX · 3.3절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =x^3+3x^2+3$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =x^3+3x^2+3$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=-2,0$ ;

$(-\infty,-2)$ 와 $(0,\infty)$ 에서 증가;

$(-2,0)$ 에서 감소;

$x=0$ 에서 극솟값;

$x=-2$ 에서 극댓값.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=-2,0$ ;

increasing on $(-\infty,-2)$ and $(0,\infty)$ ;

decreasing on $(-2,0)$ ;

rel. min at $x=0$ ;

rel. max at $x=-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3.3절 · 5번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류

60.APEX · 3.3절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–24에서 함수 $f(x)$ 가 주어져 있다.

(a) $f$ 의 정의역을 구하세요. (b) $f$ 의 임계수를 구하세요. (c) 수직선을 만들어 $f$ 가 증가하는 구간과 감소하는 구간을 구하세요. (d) 제1 도함수 판정법을 이용하여 각 임계점이 극댓값, 극솟값, 또는 둘 다 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle f(x) =2 x^3+x^2-x+3$

영어 원문 보기

In Exercises 15–24, a function $f(x)$ is given.

(a) Give the domain of $f$ . (b) Find the critical numbers of $f$ . (c) Create a number line to determine the intervals on which $f$ is increasing and decreasing. (d) Use the First Derivative Test to determine whether each critical point is a relative maximum, minimum, or neither.

$\displaystyle f(x) =2 x^3+x^2-x+3$

정답·풀이 보기

정의역= $(-\infty,\infty)$

임계점: $c=\frac16(-1\pm\sqrt{7})$ ;

$(\frac16(-1-\sqrt{7}),\frac16(-1+\sqrt{7})))$ 에서 감소;

$(-\infty,\frac16(-1-\sqrt{7}))$ 와 $(\frac16(-1+\sqrt{7}),\infty)$ 에서 증가;

$x=\frac16(-1+\sqrt{7})$ 에서 극솟값;

$x=\frac16(-1-\sqrt{7})$ 에서 극댓값.

원본 교재 풀이(영어)

domain= $(-\infty,\infty)$

c.p. at $c=\frac16(-1\pm\sqrt{7})$ ;

decreasing on $(\frac16(-1-\sqrt{7}),\frac16(-1+\sqrt{7})))$ ;

increasing on $(-\infty,\frac16(-1-\sqrt{7}))$ and $(\frac16(-1+\sqrt{7}),\infty)$ ;

rel. min at $x=\frac16(-1+\sqrt{7})$ ;

rel. max at $x=\frac16(-1-\sqrt{7})$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 32번

# 함수의 증가와 감소계산자동 분류