미분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

541.CLP-1 · 2.14절 · 20번우리말 번역

$f(x)$ 가 처음 $n$ 계 도함수까지 모든 실수에서 존재하는 함수이고, $f^{(n)}(x)$ 가 근을 정확히 $m$ 개 갖는다고 하자. 이때 $f(x)$ 가 가질 수 있는 근의 최대 개수를 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function whose first $n$ derivatives exist over all real numbers, and $f^{(n)}(x)$ has precisely $m$ roots. What is the maximum number of roots that $f(x)$ may have?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f(x)$ 는 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이기도 하다. 마찬가지로 $f'(x)$ 도 모든 실수에서 미분가능하므로 모든 실수에서 연속이고, $f(x)$ 의 처음 $n$ 계 도함수까지 같은 방식으로 계속된다.

롤의 정리에 따르면, $a$ 와 $b$ 가 함수 $g$ 의 서로 다른 근이면 $(a,b)$ 의 어떤 $c$ 에 대해 $g'(x)=0$ 이다. 즉 $g'$ 은 $a$ 와 $b$ 사이에 근을 갖는다. 이 생각을 확장하면, $g$ 가 서로 다른 근을 $m+1$ 개 가질 때 $g'$ 은 서로 다른 근을 적어도 $m$ 개 가져야 한다. 아래의 그래프가 그 예이다.

따라서 $f^{(n)}(x)$ 의 근이 $m$ 개뿐이면 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+1$ 개이다. 마찬가지로 $f^{(n-1)}(x)$ 의 근이 많아야 $m+1$ 개이므로 $f^{(n-2)}(x)$ 의 근은 많아야 $m+2$ 개이다. 이와 같이 계속하면 $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ 는 서로 다른 근을 많아야 $m+n$ 개 가진다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is differentiable over all real numbers, it is also continuous over all real numbers. Similarly, $f'(x)$ is differentiable over all real numbers, so it is also continuous over all real numbers, and so on for the first $n$ derivatives of $f(x)$ .

Rolle's Theorem tells us that if $a$ and $b$ are distinct roots of a function $g$ , then $g'(x)=0$ for some $c$ in $(a,b)$ . That is, $g'$ has a root strictly between $a$ and $b$ . Expanding this idea, if $g$ has $m+1$ distinct roots, then $g'$ must have at least $m$ distinct roots, as in the sketch below.

So, if $f^{(n)}(x)$ has only $m$ roots, then $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots. Similarly, since $f^{(n-1)}(x)$ has at most $m+1$ roots, $f^{(n-2)}(x)$ has at most $m+2$ roots. Continuing in this way, we see $f(x)=f^{(n-n)}(x)$ has at most $m+n$ distinct roots.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 2.14절 · 16번

# 이계도함수와 오목·볼록계산도전자동 분류

542.CLP-1 · 3.2절 · 1번우리말 번역

두 양 $P$ 와 $Q$ 가 공식 $P=Q^3$ 으로 관계되어 있다고 합시다. $P$ 와 $Q$ 는 시간 $t$ 에 따라 변합니다. 이 정보가 주어졌을 때, 다음 중 풀 수 있는 문제를 모두 고르세요.

ⅰ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. (기억하세요: 기호 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 은 시각 $t=0$ 에서 $P$ 의 $t$ 에 대한 미분계수를 뜻합니다.) ⅱ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $Q$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅲ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요. ⅳ. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ 과 $t=0$ 일 때 $P$ 의 값이 주어졌을 때, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ 을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the quantities $P$ and $Q$ are related by the formula $P=Q^3$ . $P$ and $Q$ are changing with respect to time, $t$ . Given this information, which of the following are problems you could solve?

i. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . (Remember: the notation $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ means the derivative of $P$ with respect to $t$ at the time $t=0$ .) ii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $Q$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ . iii. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ . iv. Given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}(0)$ and the value of $P$ when $t=0$ , find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}(0)$ .

정답·풀이 보기

$P$ 와 $Q$ 를 관계짓는 등식이 있다:

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{제3의 변수 $t$ 에 대해 음함수 미분한다:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

세 양 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 중 두 가지를 알면 나머지 하나를 구할 수 있다. 따라서 ⅱ는 풀 수 있는 문제이다. $P$ 를 알면 $Q$ 도 알 수 있으므로( $P$ 의 세제곱근이다), ⅳ도 풀 수 있다. 그러나 $P$ 와 $Q$ 를 둘 다 모르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ 만으로는 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ 를 구할 수 없다. 따라서 ⅰ과 ⅲ은 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We have an equation relating $P$ and $Q$ :

$\begin{aligned} P&=Q^3 \\ \text{We differentiate implicitly with respect to a third variable, $t$:} \\ \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}&=3Q^2\cdot\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} \end{aligned}$

If we know two of the three quantities $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ , $Q$ , and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , then we can find the third. Therefore, ii is a question we can solve. If we know $P$ , then we also know $Q$ (it's just the cube root of $P$ ), so also we can solve iv. However, if we know neither $P$ nor $Q$ , then we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ , and we can't find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$ based only off $\displaystyle \frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}$ . So we can't solve i or iii.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.1절 · 1번

# 관련 변화율계산기본자동 분류

543.CLP-1 · 3.2절 · 21번우리말 번역

떠 있는 부표가 강바닥에 고정되어 있다. 강이 흐르면 부표는 길이 2미터의 줄이 팽팽해질 때까지 물이 흐르는 방향으로 끌려간다. 닻에 있는 센서는 아래 그림과 같이 줄과 강바닥 사이의 각 $\theta$ 를 읽는다. 이 자료는 시간에 따라 변하는 강의 수심 $D$ 를 측정하는 데 쓰인다.

(a) $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 이고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25~\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{hr}}$ 일 때, 물의 깊이 $D$ 는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요. (b) 측정 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0$ 이지만 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}\neq0$ 이다. 어떤 상황에서 이런 일이 일어나는지 설명하세요. (c) 측정 결과 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}>0$ 이지만 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}<0$ 이다. 어떤 상황에서 이런 일이 일어나는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A floating buoy is anchored to the bottom of a river. As the river flows, the buoy is pulled in the direction of flow until its 2-metre rope is taut. A sensor at the anchor reads the angle $\theta$ between the rope and the riverbed, as shown in the diagram below. This data is used to measure the depth $D$ of water in the river, which depends on time.

(a) If $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25~\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{hr}}$ , how fast is the depth $D$ of the water changing? (b) A measurement shows $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0$ , but $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}\neq0$ . Under what circumstances does this occur? (c) A measurement shows $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}>0$ , but $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}<0$ . Under what circumstances does this occur?

정답·풀이 보기

흔히 그렇듯이, 이 문제에서도 직각삼각형을 이용하여 여러 양 사이의 관계를 나타낸다.

$\begin{aligned} \sin\theta&=\frac{D}{2}\\ D&=2\sin\theta\\ \text{합성함수의 미분법을 이용하여 양변을 시간 $t$ 에 대해 미분한다.} \\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\theta\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ \text{따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25$ 라디안/시간이고 $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ 라디안이면} \\ (a)\qquad\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0.25=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}~\text{미터/시간}. \end{aligned}$

(b)는 잠시 접어 두고 (c)를 생각해 보자. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ 의 부호가 다르면, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=2\cos\theta\cdot\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 이므로 $\cos\theta<0$ 이다. 수심은 음이 아니어야 하므로 $D>0$ 이고, $D=2\sin\theta$ 이므로 $\sin \theta >0$ 이다. $\sin\theta\ge0$ 이고 $\cos \theta<0$ 이면 $\theta\in(\pi/2,\pi]$ 이다. 그림으로 나타내면 다음과 같다.

즉, 물이 흐르는 방향이 반대로 바뀐 것이다. 예를 들어 강이 바다로 흘러들어 가는 곳에서 만조일 때 이런 일이 일어난다. 선샤인 코스트에 있는 스쿠쿰척 내로스 주립공원에는 흐름이 반대로 바뀌는 여울이 있다.

이제 (b)로 돌아가 보자. 줄의 길이가 2미터뿐인데 강물이 2미터보다 더 높이 차오르면, 등식 $D=2\sin\theta$ 는 더 이상 성립하지 않는다. 부표는 물속에 가만히 있는 채로 물이 불어나거나 줄어들 수 있다(단, 수심은 $2$ 미터 이상으로 유지된다).

원본 교재 풀이(영어)

As is so often the case, we use a right triangle in this problem to relate the quantities.

$\begin{aligned} \sin\theta&=\frac{D}{2}\\ D&=2\sin\theta\\ \text{Using the chain rule, we differentiate both sides with respect to time, $t$.} \\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\theta\cdot\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} \\ \text{So, if $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=0.25$ radians per hour and $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ radians, then} \\ (a)\qquad\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cdot 0.25=2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\frac{1}{4}=\frac{1}{2\sqrt{2}}~\text{metres per hour}. \end{aligned}$

Setting aside part (b) for a moment, let's think about (c). If $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ have different signs, then because $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=2\cos\theta\cdot\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ , that means $\cos\theta<0$ . We have to have a nonnegative depth, so $D>0$ and $D=2\sin\theta$ implies $\sin \theta >0$ . If $\sin\theta\ge0$ and $\cos \theta<0$ , then $\theta\in(\pi/2,\pi]$ . On the diagram, that looks like this:

That is: the water has reversed direction. This happens, for instance, when a river empties into the ocean and the tide is high. Skookumchuck Narrows provincial park, in the Sunshine Coast, has reversing rapids.

Now, let's return to (b). If the rope is only 2 metres long, and the river rises higher than 2 metres, then our equation $D=2\sin\theta$ doesn't work any more: the buoy might be stationary underwater while the water rises or falls (but stays at or above $2$ metres deep).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 24번

# 관련 변화율그래프·표 해석도전자동 분류

544.CLP-1 · 3.2절 · 22번우리말 번역

점이 아래 그림과 같은 사각형을 따라 $xy$ -평면 위를 움직이고 있다.

(a) 점이 $(0,-2)$ 에 있을 때, 점은 오른쪽으로 움직이고 있다. 원점에 서 있는 관찰자가 그 점을 똑바로 바라보려면 초당 1라디안의 비율로 회전해야 한다. 점은 얼마나 빠르게 움직이고 있는지 구하세요. (b) 점이 $(0,2)$ 에 있을 때, 점의 $x$ 좌표는 초당 1단위의 비율로 증가하고 있다. 점의 $y$ 좌표는 얼마나 빠르게 변하는지 구하세요. 또 점은 얼마나 빠르게 움직이고 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

A point is moving in the $xy$ -plane along the quadrilateral shown below.

(a) When the point is at $(0,-2)$ , it is moving to the right. An observer stationed at the origin must turn at a rate of one radian per second to keep looking directly at the point. How fast is the point moving? (b) When the point is at $(0,2)$ , its $x$ -coordinate is increasing at a rate of one unit per second. How fast it its $y$ -coordinate changing? How fast is the point moving?

정답·풀이 보기

(a) 점이 $(0,-2)$ 에 있을 때, 점은 수평선을 따라 움직이고 있으므로 $y$ 좌표는 변하지 않는다. 따라서 점이 움직이는 빠르기는 단순히 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 이다. 관찰자가 점을 보기 위해 바라보는 각을 $\theta$ 라 하자. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 는 알고 있으므로, $\theta$ 와 $x$ 를 연결하는 방정식을 찾은 다음 $t$ 에 대하여 음함수 미분하는 것이 적절한 계획이다. 이를 위해 그림으로 돌아가 보자.

점이 $(0,-2)$ 의 약간 오른쪽에 있을 때, 그림과 같이 원점과 함께 삼각형을 만들 수 있다. 표시된 각을 $\theta$ 라 하면 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$ 라디안/초이다. (관찰자가 초당 1라디안으로 회전한다고 주어졌으므로, 이것이 $\theta$ 가 증가하는 빠르기이다.) 그림의 직각삼각형에서 다음을 알 수 있다. $\tan\theta=\frac{x}{2}$ 이제 미묘한 점 하나를 짚어야 한다. 우리가 그린 그림은 점이 $(0,-2)$ 의 약간 오른쪽에 있는 위치일 때만 의미가 있다. 따라서 지금까지는 오른쪽에서의 미분을 구하는 설정만 만든 셈이다. 그러나 조금 더 생각해 보면, $x$ 가 음수일 때(즉 점이 $(0,-2)$ 의 약간 왼쪽에 있을 때)에도 $\theta$ 를 주의해서 정의하면 이 식이 성립함을 알 수 있다. $\theta$ 를 점과 원점을 잇는 선분과 $y$ 축 사이의 각으로 하되, 점이 $y$ 축의 왼쪽에 있을 때는 $\theta$ 가 음수라고 하자.

점이 $y$ 축의 왼쪽에 있을 때 $x$ 와 $\theta$ 는 모두 음수이므로,

$\begin{aligned} \tan|\theta|&=\frac{2}{|x|}\\ \tan(-\theta) &= \frac{-x}{2} \\ \text{그런데 $\tan(-\theta)=-\tan(\theta)$ 이므로:} \\ \tan\theta&=\frac{x}{2} \end{aligned}$

따라서 점이 $(x,-2)$ 에 있을 때 $x$ 의 부호와 관계없이 $\tan\theta=\dfrac{x}{2}$ 가 성립함을 보였다.

계속해서, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ 가 주어졌고 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 를 구해야 하므로 $t$ 에 대하여 미분한다.

$\begin{aligned} \sec^2\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ \text{점이 $(0,-2)$ 에 있을 때 관찰자가 초당 1라디안으로 회전하므로 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$ 이다. 또 그림에서 $\theta=0$ 이다. 이 값들을 대입하면:} \\ \sec^2\left(0\right)\cdot(1)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ 1&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=2 \end{aligned}$

따라서 점은 초당 2단위의 속력으로 움직인다.

(b) 점이 $(0,2)$ 에 있을 때, 점은 기울기가 $-\frac{1}{2}$ 이고 $y$ 절편이 $2$ 인 직선을 따라 움직이고 있다. 따라서 점은 직선 $y=2-\frac{1}{2}x$ 위에 있다. 즉 시각 $t$ 에서 점이 $(x(t),y(t))$ 에 있다면, $x(t)$ 와 $y(t)$ 는 $y(t)=2-\frac{1}{2}x(t)$ 를 만족시킨다. 이를 $t$ 에 대하여 음함수 미분하면: $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 따라서 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$ 일 때 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{2}$ 이다. 즉 $y$ 좌표는 초당 $\dfrac{1}{2}$ 단위의 비율로 감소한다.

“점은 얼마나 빠르게 움직이는가?”라는 물음에 대해서는, 물체의 속도가 물체의 위치를 나타내는 식을 (시간에 대하여) 미분하여 구해진다는 점을 기억하자. 이 경우 복잡한 점은 (1) 물체의 위치가 시간의 함수로 주어져 있지 않고, (2) 물체의 위치가 1차원이 아니라 2차원( $x$ 좌표와 $y$ 좌표)으로 주어져 있다는 것이다.

참고: 아래의 풀이는 사실 꽤 복잡하다. 스스로 알아낼 수 있는 수준이기는 하지만, 수학을 더 공부하다 보면 벡터를 이용한 더 쉬운 방법을 배우게 될 것이다. 지금은 비교적 어려운 연습 문제로 생각하고, 계속 공부할 동기로 삼자. 더 쉬운 방법이 있을 것이다라는 직관은 충분히 근거가 있다!

점은 직선을 따라 움직이고 있다. 따라서 복잡한 점 (2)를 해결하기 위해, 점의 위치를 직선 위의 한 점으로 나타낼 수 있다. 이 직선을 일종의 축으로 삼을 수 있다. 이 축에서 “원점”이 될 점을 하나 골라야 하는데, $(2,1)$ 이 편리한 점이다. $D$ 를 “축”을 따라 $(2,1)$ 로부터 잰 점의 (부호가 있는) 거리라 하자. 점이 $(2,1)$ 의 왼쪽으로 1단위 떨어져 있을 때는 $D=-1$ 이고, 점이 $(2,1)$ 의 오른쪽으로 1단위 떨어져 있을 때는 $D=1$ 이다. 그러면 $D$ 는 시간에 따라 변하고, $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ 는 점의 속도이다. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ 와 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ 를 알고 있으므로, $x$ , $y$ , $D$ 를 연결하는 방정식을 찾아 $t$ 에 대하여 음함수 미분하는 것이 적절한 계획이다. (이 음함수 미분이 복잡한 점 (1)을 해결해 준다.) 피타고라스 정리를 이용하면:

$\begin{aligned} D^2&=(x-2)^2+(y-1)^2 \\ \text{$t$ 에 대하여 미분하면:} \\ 2D\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(x-2)\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2(y-1)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \\ \text{$x=0$, $y=2$, $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}$, 그리고 $D=-\sqrt{(0-2)^2+(2-1)^2}=-\sqrt{5}$ (점이 $(2,1)$ 의 왼쪽에 있으므로 음수)를 대입하면:} \\ -2\sqrt{5}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(-2)(1)+2(1)\left(-\frac{1}{2}\right)\\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=\frac{\sqrt{5}}{2}~\text{단위/초} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) When the point is at $(0,-2)$ , its $y$ -coordinate is not changing, because it is moving along a horizontal line. So, the rate at which the particle moves is simply $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ . Let $\theta$ be the angle an observer would be looking at, in order to watch the point. Since we know $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ , a reasonable plan is to find an equation relating $\theta$ and $x$ , and then differentiate implicitly with respect to $t$ . To do this, let's return to our diagram.

When the point is a little to the right of $(0,-2)$ , then we can make a triangle with the origin, as shown. If we let $\theta$ be the indicated angle, then $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$ radian per second. (It is given that the observer is turning one radian per second, so this is how fast $\theta$ is increasing.) From the right triangle in the diagram, we see $\tan\theta=\frac{x}{2}$ Now, we have to take care of a subtle point. The diagram we drew only makes sense for the point when it is at a position a little to the right of $(0,-2)$ . So, right now, we've only made a set-up that will find the derivative from the right. But, with a little more thought, we see that even when $x$ is negative (that is, when the point is a little to the left of $(0,-2)$ ), our equation holds if we are careful about how we define $\theta$ . Let $\theta$ be the angle between the line connecting the point and the origin, and the $y$ -axis, where $\theta$ is negative when the point is to the left of the $y$ -axis.

Since $x$ and $\theta$ are both negative when the point is to the left of the $y$ -axis,

$\begin{aligned} \tan|\theta|&=\frac{2}{|x|}\\ \tan(-\theta) &= \frac{-x}{2} \\ \text{So, since $\tan(-\theta)=-\tan(\theta)$:} \\ \tan\theta&=\frac{x}{2} \end{aligned}$

So, we've shown that the relationship $\tan\theta=\dfrac{x}{2}$ holds when our point is at $(x,-2)$ , regardless of the sign of $x$ .

Moving on, since we are given $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}$ and asked for $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ , we differentiate with respect to $t$ :

$\begin{aligned} \sec^2\theta \cdot \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \\ \text{When the point is at $(0,-2)$, since the observer is turning at one radian per second, also $\displaystyle \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=1$. Also, looking at the diagram, $\theta=0$. Plugging in these values:} \\ \sec^2\left(0\right)\cdot(1)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ 1&=\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}&=2 \end{aligned}$

So, the particle is moving at 2 units per second.

(b) When the point is at $(0,2)$ , it is moving along a line with slope $-\frac{1}{2}$ and $y$ -intercept $2$ . So, it is on the line $y=2-\frac{1}{2}x$ That is, at time $t$ , if the point is at $(x(t),y(t))$ , then $x(t)$ and $y(t)$ satisfy $y(t)=2-\frac{1}{2}x(t)$ . Implicitly differentiating with respect to $t$ : $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ So, when $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$ , $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\dfrac{1}{2}$ . That is, its $y$ -coordinate is decreasing at $\dfrac{1}{2}$ unit per second.

For the question “How fast is the point moving?", remember that the velocity of an object can be found by differentiating (with respect to time) the equation that gives the position of the object. The complicating factors in this case are that (1) the position of our object is not given as a function of time, and (2) the position of our object is given in two dimensions (an $x$ coordinate and a $y$ coordinate), not one.

Remark: the solution below is actually pretty complicated. It is within your abilities to figure it out, but later on in your mathematical career you will learn an easier way, using vectors. For now, take this as a relatively tough exercise, and a motivation to keep learning: your intuition that there must be an easier way is well founded!

The point is moving along a straight line. So, to take care of complication (2), we can give its position as a point on the line. We can take the line as a sort of axis. We'll need to choose a point on the axis to be the “origin": $(2,1)$ is a convenient point. Let $D$ be the point's (signed) distance along the “axis" from $(2,1)$ . When the point is a distance of one unit to the left of $(2,1)$ , we'll have $D=-1$ , and when the point is a distance of one unit to the right of $(2,1)$ , we'll have $D=1$ . Then $D$ changes with respect to time, and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$ is the velocity of the point. Since we know $\displaystyle \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ and $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ , a reasonable plan is to find an equation relating $x$ , $y$ , and $D$ , and differentiate implicitly with respect to $t$ . (This implicit differentiation takes care of complication (1).) Using the Pythagorean Theorem:

$\begin{aligned} D^2&=(x-2)^2+(y-1)^2 \\ \text{Differentiating with respect to $t$:} \\ 2D\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(x-2)\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+2(y-1)\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} \\ \text{We plug in $x=0$, $y=2$, $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=1$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}$, and $D=-\sqrt{(0-2)^2+(2-1)^2}=-\sqrt{5}$ (negative because the point is to the left of $(2,1)$):} \\ -2\sqrt{5}\cdot\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=2(-2)(1)+2(1)\left(-\frac{1}{2}\right)\\ \frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}&=\frac{\sqrt{5}}{2}~\text{units per second} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.2절 · 21번

# 관련 변화율그래프·표 해석도전자동 분류

545.CLP-1 · 3.2절 · 24번우리말 번역

양 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 는 모두 시간에 따라 변하며, 다음 식으로 서로 관련되어 있습니다. $AB=\log\left(C^2+D^2+1\right).$ 시각 $t=10$ 일 때, 다음 값이 알려져 있습니다.

$A=0$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=2$ (단위/초)

$t=10$ 일 때 $B$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

The quantities $A$ , $B$ , $C$ , and $D$ all depend on time, and are related by the formula $AB=\log\left(C^2+D^2+1\right).$ At time $t=10$ , the following values are known:

$A=0$
$\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=2$ units per second

What is $B$ when $t=10$ ?

정답·풀이 보기

$A=0$ 이므로, 변수들을 관련짓는 등식에서 다음을 알 수 있다:

$\begin{aligned} 0&=\log\left(C^2+D^2+1\right)\\ 1&=C^2+D^2+1\\ 0&=C^2+D^2\\ 0&=C=D \\ \text{이 정보는 아마 유용할 것이다. 도함수의 값도 주어졌으므로, 변수들을 관련짓는 등식을 $t$ 에 대해 음함수 미분하자. 표기를 간단히 하기 위해 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=A'$ 등으로 쓰겠다.} \\ A'B+AB'&=\frac{2CC'+2DD'}{C^2+D^2+1} \\ \text{$t=10$ 일 때 $A=C=D=0$ 이므로:} \\ A'B+0&=\frac{0+0}{0+0+1}\\ A'B&=0 \\ \text{$t=10$ 일 때 $A'=2$ (단위/초)이므로:} \\ 2B&=0\\ B&=0. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since $A=0$ , the equation relating the variables tells us:

$\begin{aligned} 0&=\log\left(C^2+D^2+1\right)\\ 1&=C^2+D^2+1\\ 0&=C^2+D^2\\ 0&=C=D \\ \text{This will probably be useful information. Since we're also given the value of a derivative, let's differentiate the equation relating the variables implicitly with respect to $t$. For ease of notation, we will write $\displaystyle \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}=A'$, etc.} \\ A'B+AB'&=\frac{2CC'+2DD'}{C^2+D^2+1} \\ \text{At $t=10$, $A=C=D=0$:} \\ A'B+0&=\frac{0+0}{0+0+1}\\ A'B&=0 \\ \text{at $t=10$, $A'=2$ units per second:} \\ 2B&=0\\ B&=0. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.2절 · 2번

# 관련 변화율활용도전자동 분류

546.CLP-1 · 3.6절 · 1번우리말 번역

아래 그래프에서 $f''(x)>0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 아래로 볼록한 구간)과 $f''(x)<0$ 인 구간(즉, $f(x)$ 가 위로 볼록한 구간)을 표시하세요.

영어 원문 보기

On the graph below, mark the intervals where $f''(x)>0$ (i.e. $f(x)$ is concave up) and where $f''(x)<0$ (i.e. $f(x)$ is concave down).

정답·풀이 보기

위 그래프에서 아래로 볼록한 부분은 빨간색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 증가하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 위쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 웃는 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

위로 볼록한 부분은 파란색으로 표시되어 있다. 이 부분은 그래프의 도함수가 감소하는 곳이고, 같은 말로 그래프가 접선들보다 아래쪽에 놓이는 곳이며, 더 쉽게 말하면 찡그린 얼굴처럼 휘어 있는 곳이다.

원본 교재 풀이(영어)

In the graph above, the concave-up sections are marked in red. These are where the graph has an increasing derivative; equivalently, where the graph lies above its tangent lines; more descriptively, where it curves like a smiley face.

Concave-down sections are marked in blue. These are where the graph has a decreasing derivative; equivalently, where the graph lies below its tangent lines; more descriptively, where it curves like a frowney face.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 2번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

547.CLP-1 · 3.6절 · 2번우리말 번역

다음 조건을 만족하는 곡선을 그리세요.

$|x|>5$ 일 때 아래로 볼록,
$|x|<5$ 일 때 위로 볼록,
$x<0$ 일 때 증가,
$x>0$ 일 때 감소.

영어 원문 보기

Sketch a curve that is:

concave up when $|x|>5$ ,
concave down when $|x|<5$ ,
increasing when $x<0$ , and
decreasing when $x>0$ .

정답·풀이 보기

그래프의 가장 기본적인 모양은 마지막 두 조건으로 정해진다.

곡선은 구간 $(-5,5)$ 에서 위로 볼록하므로, 그 구간에서는 찡그린 얼굴(∩) 모양으로 휘게 그린다.

마지막으로 $x>5$ 또는 $x<-5$ 일 때 곡선은 아래로 볼록해야 하므로, 기본적인 증가/감소 모양은 바꾸지 않은 채 그 구간에서는 웃는 얼굴(∪) 모양으로 휘게 그린다.

이로써 그래프가 완성된다.

원본 교재 풀이(영어)

The most basic shape of the graph is given by the last two bullet points:

The curve is concave down over the interval $(-5,5)$ , so let's give it a frowney-face curvature there.

Finally, when $x>5$ or $x<-5$ , our curve should be concave up, so let's give it smiley-face curvature there, without changing its basic increasing/decreasing shape.

This finishes our sketch.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.5절 · 18번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석기본자동 분류

548.CLP-1 · 3.6절 · 4번우리말 번역

함수 $f(x)=3x^5-5x^4+13x$ 의 그래프에서 모든 변곡점을 구하세요.

영어 원문 보기

Find all inflection points for the graph of $f(x)=3x^5-5x^4+13x$ .

정답·풀이 보기

변곡점은 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌는 곳에서 생긴다. $f(x)$ 는 다항식이므로 1계도함수와 2계도함수가 모든 곳에서 존재하고, 이들도 다항식이다. 구체적으로,

$\begin{aligned}f(x)&=3x^5-5x^4+13x\\ f'(x)&=15x^4-20x^3+13\\ f''(x)&=60x^3-60x^2=60x^2(x-1) \end{aligned}$

2계도함수는 $x<1$ 에서 음수이고 $x>1$ 에서 양수이다. 따라서 $x=1,\ y=11$ 에서 볼록한 방향이 위로 볼록과 아래로 볼록 사이에서 바뀐다.

변곡점은 이것뿐이다. $f''(0)=0$ 이지만, $x$ 가 0보다 조금 큰 값이든 조금 작은 값이든 $f''(x)<0$ 이므로 $x=0$ 에서는 볼록한 방향이 바뀌지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

Inflection points occur where $f''(x)$ changes sign. Since $f(x)$ is a polynomial, its first and second derivatives exist everywhere, and are themselves polynomials. In particular,

$\begin{aligned}f(x)&=3x^5-5x^4+13x\\ f'(x)&=15x^4-20x^3+13\\ f''(x)&=60x^3-60x^2=60x^2(x-1) \end{aligned}$

The second derivative is negative for $x<1$ and positive for $x>1$ . Thus the concavity changes between concave up and concave down at $x=1,\ y=11$ .

This is the only inflection point. It is true that $f''(0)=0$ , but for values of $x$ both a little larger than and a little smaller than 0, $f''(x)<0$ , so the concavity does not change at $x=0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 1번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석보통자동 분류

549.Active Calculus · 1.6절 · 10번우리말 번역

$y = f(x)$ 가 두 번 미분가능한 함수이고 $f''$ 이 연속이며, 다음 정보가 알려져 있다고 합시다: $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1.5$ , $f''(2) = -0.25$ .

(a) $x = 2$ 근처에서 $f$ 는 증가하나요, 감소하나요? $x = 2$ 근처에서 $f$ 는 아래로 볼록인가요, 위로 볼록인가요? (b) $f(2.1)$ 은 $-3$ 보다 크다고, $-3$ 과 같다고, 아니면 $-3$ 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (c) $f'(2.1)$ 은 $1.5$ 보다 크다고, $1.5$ 와 같다고, 아니면 $1.5$ 보다 작다고 예상하나요? 그 이유는 무엇인가요? (d) $(2,f(2))$ 근처에서 $y = f(x)$ 의 그래프를 그리고, 접선의 그래프도 함께 그리세요.

영어 원문 보기

Suppose that $y = f(x)$ is a twice-differentiable function such that $f''$ is continuous for which the following information is known: $f(2) = -3$ , $f'(2) = 1.5$ , $f''(2) = -0.25$ .

(a) Is $f$ increasing or decreasing near $x = 2$ ? Is $f$ concave up or concave down near $x = 2$ ? (b) Do you expect $f(2.1)$ to be greater than $-3$ , equal to $-3$ , or less than $-3$ ? Why? (c) Do you expect $f'(2.1)$ to be greater than $1.5$ , equal to $1.5$ , or less than $1.5$ ? Why? (d) Sketch a graph of $y = f(x)$ near $(2,f(2))$ and include a graph of the tangent line.

정답·풀이 보기

(a) $f'(2)$ 가 양수이므로 $f$ 는 $x=2$ 근처에서 증가하고, $f''(2)$ 가 음수이므로 $f$ 는 $x=2$ 근처에서 위로 볼록이다. (b) $f(2) = -3$ 이 주어져 있다. $f$ 가 $x=2$ 에서 증가하므로 $f(2.1)$ 은 $f(2) = -3$ 보다 클 것으로 예상된다. (c) $f''(2)$ 가 음수이므로 $f'$ 은 2 근처에서 감소한다. 따라서 $f'(2.1)$ 은 $f'(2) = 1.5$ 보다 작을 것으로 예상된다. (d) 다음 그림은 점 $(2,-3)$ 을 순간변화율 $f'(2) = 1.5$ 로 지나고, $x = 2$ 에서의 이계도함수가 음수가 되는 함수 $f$ 의 그래프로 가능한 한 예이다. f(2) = -3, f'(2) = 1.5, f''(2) = -0.25 인 성질을 갖는 함수 f 의 그래프이다. 곡선 위의 점 (2,-3)에서의 접선의 그래프도 함께 나타나 있다. 이 특정한 예시 함수 f 의 그래프는

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f'(2)$ is positive, $f$ is increasing near $x=2$ , and since $f''(2)$ is negative, $f$ is concave down near $x=2$ . (b) We are given that $f(2) = -3$ . Since $f$ is increasing at $x=2$ , we expect $f(2.1)$ to be greater than $f(2) = -3$ . (c) Since $f''(2)$ is negative, we also know that $f'$ is decreasing near $2$ . Thus, we expect that $f'(2.1)$ will be less than $f'(2) = 1.5$ . (d) In the following figure, we see a possible graph of a function $f$ that passes through the point $(2,-3)$ at an instantaneous rate of $f'(2) = 1.5$ and in such a way that its second derivative at $x = 2$ is negative. A plot of a function f with the properties that f(2) = -3, f'(2) = 1.5, f''(2) = -0.25; a plot of the tangent line to the curve at (2,-3) is also shown. The graph of this particular example function f

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.6절 · 13번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류

550.Active Calculus · 1.6절 · 12번우리말 번역

번지점프를 하는 사람의 높이 $h$ (피트 단위)가 시각 $t$ (초 단위)에 따라 변하는 모습이 다음 표에 일부 주어져 있다.

$t$	$0.0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$	$3.5$	$4.0$	$4.5$	$5.0$
$h(t)$	$200$	$184.2$	$159.9$	$131.9$	$104.7$	$81.8$	$65.5$	$56.8$	$55.5$	$60.4$	$69.8$
---	---	---	---	---	---	---	---	---	---	---
$h(t)$	$81.6$	$93.7$	$104.4$	$112.6$	$117.7$	$119.4$	$118.2$	$114.8$	$110.0$	$104.7$

(a) 주어진 자료를 이용하여 $h'(4.5)$ , $h'(5)$ , $h'(5.5)$ 를 어림하세요. 이 시각들 중 번지점프를 하는 사람이 가장 빠르게 올라가는 때는 언제인지 구하세요. (b) 주어진 자료와 (a)의 결과를 이용하여 $h''(5)$ 를 어림하세요. (c) $h''(5)$ 의 값은 번지점프를 하는 사람의 어떤 물리량을 나타내는지 설명하세요. 그 단위는 무엇인지 구하세요. (d) 자료를 바탕으로, 함수 $y = h(t)$ 가 위로 볼록한 시간 구간은 대략 어디인지 구하세요. 이 시간 구간에서 번지점프를 하는 사람의 속도는 어떻게 변하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

A bungee jumper's height $h$ (in feet ) at time $t$ (in seconds) is given in part by the table:

$t$	$0.0$	$0.5$	$1.0$	$1.5$	$2.0$	$2.5$	$3.0$	$3.5$	$4.0$	$4.5$	$5.0$
$h(t)$	$200$	$184.2$	$159.9$	$131.9$	$104.7$	$81.8$	$65.5$	$56.8$	$55.5$	$60.4$	$69.8$
---	---	---	---	---	---	---	---	---	---	---
$h(t)$	$81.6$	$93.7$	$104.4$	$112.6$	$117.7$	$119.4$	$118.2$	$114.8$	$110.0$	$104.7$

(a) Use the given data to estimate $h'(4.5)$ , $h'(5)$ , and $h'(5.5)$ . At which of these times is the bungee jumper rising most rapidly? (b) Use the given data and your work in (a) to estimate $h''(5)$ . (c) What physical property of the bungee jumper does the value of $h''(5)$ measure? What are its units? (d) Based on the data, on what approximate time intervals is the function $y = h(t)$ concave down? What is happening to the velocity of the bungee jumper on these time intervals?

정답·풀이 보기

(a) 요청된 미분계수를 어림하기 위해 중심차분을 사용한다. 따라서 $\begin{aligned}h'(4.5) &\approx \frac{h(5)-h(4)}{5-4} = \frac{69.8 - 55.5}{1} = 14.3 \\ h'(5) &\approx \frac{h(5.5)-h(4.5)}{5.5-4.4} = \frac{81.6 - 60.4}{1} = 21.2 \\ h'(5.5) &\approx \frac{h(6)-h(5)}{6-5} = \frac{93.7 - 69.8}{1} = 23.9\end{aligned}$ 번지점프를 하는 사람은 $t = 5.5$ 일 때 약 $23.9$ 피트/초의 속도로 가장 빠르게 올라간다. (b) 다시 중심차분을 사용하여 이번에는 $h''(5)$ 를 어림한다. 다음을 보면 $h''(5) \approx \frac{h'(5.5) - h'(4.5)}{5.5-4.5} = \frac{23.9 - 14.3}{1} = 9.6$ 이다. (c) $h''(5)$ 는 $t = 5$ 일 때 번지점프를 하는 사람의 가속도를 나타낸다. 따라서 $t = 5$ 일 때 그 사람의 가속도는 약 $9.6$ 피트/초²임을 알 수 있다. 이는 점프하는 사람의 속도의 순간변화율을 나타낸다. (d) 번지점프를 하는 사람의 위치 함수는 대략 구간 $0 < t < 2$ , $6 < t < 10$ 에서 위로 볼록하다. 이는 엑셀 같은 프로그램으로 자료를 그래프로 나타내면 가장 쉽게 확인할 수 있다. 이 시간 구간에서는 점프하는 사람의 속도가 감소한다. 즉, 속도가 양수이면서 덜 양수가 되거나, 음수이면서 더 음수가 된다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We will use central differences to estimate the requested derivatives. Thus, $\begin{aligned}h'(4.5) &\approx \frac{h(5)-h(4)}{5-4} = \frac{69.8 - 55.5}{1} = 14.3 \\ h'(5) &\approx \frac{h(5.5)-h(4.5)}{5.5-4.4} = \frac{81.6 - 60.4}{1} = 21.2 \\ h'(5.5) &\approx \frac{h(6)-h(5)}{6-5} = \frac{93.7 - 69.8}{1} = 23.9\end{aligned}$ The bungee jumper is rising most rapidly at $t = 5.5$ , at a rate of about $23.9$ feet per second. (b) We again use a central difference, this time to estimate $h''(5)$ . Observe that $h''(5) \approx \frac{h'(5.5) - h'(4.5)}{5.5-4.5} = \frac{23.9 - 14.3}{1} = 9.6$ (c) $h''(5)$ measures the acceleration of the bungee jumper at $t = 5$ . Thus we know that the person's acceleration at $t = 5$ is about $9.6$ feet per second per second. This measures the instantaneous rate of change of the jumper's velocity. (d) The bungee jumper's position function is concave down on approximately the intervals $0 < t < 2$ , $6 < t < 10$ . This is easiest to see if we plot the data using a program like Excel. On these time intervals, the velocity of the jumper is decreasing: either the velocity is positive and getting less positive, or negative and getting more negative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.6절 · 4번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류

551.Active Calculus · 1.6절 · 13번우리말 번역

다음 각 조건에 대하여, 구간 $-3 < x < 3$ 에서 주어진 성질을 만족하는 함수의 그래프를 가능한 한 가지 그리세요.

(a) $f$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 증가하고, $-3 < x < 0$ 에서 아래로 볼록하며, $0 < x < 3$ 에서 위로 볼록한 $y = f(x)$ . (b) $g$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 증가하고, $-3 < x < 0$ 에서 위로 볼록하며, $0 < x < 3$ 에서 아래로 볼록한 $y = g(x)$ . (c) $h$ 가 $-3 < x < 3$ 에서 감소하고, $-3 < x < -1$ 에서 아래로 볼록하며, $-1 < x < 1$ 에서 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니고, $1 < x < 3$ 에서 위로 볼록한 $y = h(x)$ . (d) $p$ 가 $-3 < x < 0$ 에서 감소하면서 위로 볼록하고, $0 < x < 3$ 에서 증가하면서 위로 볼록한 $y = p(x)$ .

영어 원문 보기

For each prompt that follows, sketch a possible graph of a function on the interval $-3 < x < 3$ that satisfies the stated properties.

(a) $y = f(x)$ such that $f$ is increasing on $-3 < x < 3$ , concave up on $-3 < x < 0$ , and concave down on $0 < x < 3$ . (b) $y = g(x)$ such that $g$ is increasing on $-3 < x < 3$ , concave down on $-3 < x < 0$ , and concave up on $0 < x < 3$ . (c) $y = h(x)$ such that $h$ is decreasing on $-3 < x < 3$ , concave up on $-3 < x < -1$ , neither concave up nor concave down on $-1 < x < 1$ , and concave down on $1 < x < 3$ . (d) $y = p(x)$ such that $p$ is decreasing and concave down on $-3 < x < 0$ and is increasing and concave down on $0 < x < 3$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 증가하며 아래로 볼록한 함수 $f$ 의 그래프는 다음 그림과 같다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 $f$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 위로 볼록하다. $f$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서도 증가함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 f(x) = sqrt 3 x 와 비슷한 모양이다. (b) 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 증가하며 위로 볼록한 함수 $g$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 아래로 볼록할 때 그래프는 그릇 모양이다. 그림의 함수 $g$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 아래로 볼록하다. $g$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서도 증가함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 f(x) = x 3 과 비슷한 모양이다. (c) 함수가 감소할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 아래로 볼록하다는 것은 그래프가 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,-1)$ 에서 감소하며 아래로 볼록한 함수 $h$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 아래로 볼록도 위로 볼록도 아니려면 그래프가 직선이어야 하므로, 다음 그림에서 $h$ 의 그래프는 $(-1,1)$ 에서 직선이다. 함수가 위로 볼록할 때 그래프는 뒤집힌 그릇 모양이다. 그림의 함수 $h$ 는 구간 $(1,3)$ 에서 감소하며 위로 볼록하다. $h$ 는 전체 구간 $(-3,3)$ 에서 감소함에 유의한다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 x lt -1 또는 x gt 1 일 때 f(x) = -x 3 과 비슷한 모양이다. 구간 -1 le x le 1 에서 이 함수는 직선이며, 이 직선은 다음 두 점을 잇는다. (d) 함수가 감소할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 내려가고, 함수가 위로 볼록하다는 것은 그래프가 뒤집힌 그릇 모양이라는 뜻이다. 구간 $(-3,0)$ 에서 감소하며 위로 볼록한 함수 $p$ 의 그래프는 아래 그림과 같다. 함수가 증가할 때 그래프는 $x$ 가 증가함에 따라 올라간다. 그림의 함수 $p$ 는 구간 $(0,3)$ 에서 증가하며 위로 볼록하다. 문제에서 주어진 조건을 만족하는 그래프이다. 이 함수는 아래로 열린 두 포물선이 (0,-1.5) 의 뾰족한 점에서 만나는 모양이다. 왼쪽 포물선은 꼭짓점이 (-3,3) 에 있고, 그

원본 교재 풀이(영어)

(a) When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases, and when a function is concave up, that means the graph of the function looks bowl-shaped. A graph of an increasing, concave up function $f$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the following figure. When a function is concave down, its graph looks like an upside down bowl. The function $f$ in the figure is increasing and concave down on the interval $(0,3)$ Note that $f$ is also increasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = sqrt 3 x . (b) When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases, and when a function is concave down, that means the graph of the function looks like an upside down bowl. A graph of an increasing, concave down function $g$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the figure below. When a function is concave up, its graph looks like a bowl. The function $g$ in the figure is increasing and concave up on the interval $(0,3)$ . Note that $g$ is also increasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = x 3. (c) When a function is decreasing, its graph falls as $x$ increases, and when a function is concave up, that means the graph of the function looks bowl-shaped. A graph of a decreasing, concave up function $h$ on the interval $(-3,-1)$ is shown in the figure below. To be neither concave up or concave down, a graph has to be linear, so the graph of $h$ in the following figure is a straight line on $(-1,1)$ . When a function is concave down, its graph looks like an upside down bowl. The function $h$ in the figure is decreasing and concave down on the interval $(1,3)$ . Note that $h$ is decreasing on the entire interval $(-3,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like f(x) = -x 3 provided that x lt -1 or x gt 1. On the interval -1 le x le 1, the function is a straight line that joins t (d) When a function is decreasing, its graph falls as $x$ increases, and when a function is concave down, that means the graph of the function looks like an upside down bowl. A graph of a decreasing, concave down function $p$ on the interval $(-3,0)$ is shown in the figure below. When a function is increasing, its graph rises as $x$ increases. The function $p$ in the figure is increasing and concave down on the interval $(0,3)$ . A graph that meets the stated criteria of the exercise. This function looks like two downward-opening parabolas that meet at a corner point at (0,-1.5). The left parabola has its vertex at (-3,3); the

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 1.6절 · 12번

# 이계도함수와 오목·볼록그래프·표 해석자동 분류

552.Active Calculus · 2.2절 · 4번우리말 번역

$V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 가 $t$ 년도의 어떤 사람의 투자 포트폴리오 가치(단위: 천 달러)를 나타낸다고 하자. 여기서 $t = 0$ 은 2010년 1월 1일에 해당한다.

(a) 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 순간적으로 어떤 비율로 변하고 있습니까? 답에 단위를 포함하세요. (b) $V''(2)$ 의 값을 구하세요. 이 양의 단위는 무엇이며, 이것은 포트폴리오의 가치가 어떻게 변하고 있는지에 대해 무엇을 알려 줍니까? (c) 구간 $0 \le t \le 20$ 에서 함수 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프를 그리고, 문제의 상황에 맞게 그 변화 양상을 설명하세요. 그런 다음 함수 $A(t) = 24 \cdot 1.07^t$ 와 $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ 의 그래프, 그리고 그 도함수 $A'(t)$ 와 $V'(t)$ 의 그래프를 비교하세요. 항 $6 \sin(t)$ 는 함수 $V(t)$ 의 변화 양상에 어떤 영향을 줍니까?

영어 원문 보기

Suppose that $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ represents the value of a person's investment portfolio in thousands of dollars in year $t$ , where $t = 0$ corresponds to January 1, 2010.

(a) At what instantaneous rate is the portfolio's value changing on January 1, 2012? Include units on your answer. (b) Determine the value of $V''(2)$ . What are the units on this quantity and what does it tell you about how the portfolio's value is changing? (c) On the interval $0 \le t \le 20$ , graph the function $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ and describe its behavior in the context of the problem. Then, compare the graphs of the functions $A(t) = 24 \cdot 1.07^t$ and $V(t) = 24 \cdot 1.07^t + 6 \sin(t)$ , as well as the graphs of their derivatives $A'(t)$ and $V'(t)$ . What is the impact of the term $6 \sin(t)$ on the behavior of the function $V(t)$ ?

정답·풀이 보기

(a) 2012년 1월 1일은 $t = 2$ 인 순간에 해당하므로 $V'(2)$ 를 계산한다. 먼저 합의 법칙과 상수배 법칙에 의해 $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 임을 알 수 있다. 따라서 $V'(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(2) \approx -0.63778$ 이다. $V$ 는 천 달러 단위로, $t$ 는 년 단위로 측정되므로, 2012년 1월 1일에 포트폴리오의 가치는 1년당 $637.78$ 달러의 비율로 감소하고 있음을 알 수 있다. (b) $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ 이므로 $V''(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot (\ln(1.07))^2 - 6 \sin(t)$ 이고, 따라서 $V''(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07)^2 - 6 \sin(2) \approx -5.33$ 이며 단위는 “천 달러/년/년”이다. 이는 $t = 2$ 인 시점 부근에서 포트폴리오의 가치가 감소하고 있으며 동시에 가치 함수가 위로 볼록임을 뜻한다. 더 구체적으로, $t = 2$ 인 순간에 $V'$ 은 감소하고 있고, 도함수의 값은 다음 1년 동안 약 $5.33$ 천 달러/년만큼 감소할 것으로 예상된다. 다시 말해 포트폴리오의 가치는 감소하고 있을 뿐만 아니라, 해가 지날수록 더 빠르게 감소할 것으로 예상된다. (c) 아래 그림에는 $V$ 와 $A$ 의 그래프와 각각에 대응하는 도함수의 그래프가 나타나 있다. 함수 $A$ 는 순수한 지수함수로서 항상 증가하며 증가하는 비율도 계속 커진다. $A$ 에 항 $6\sin(t)$ 를 더하여 함수 $V$ 를 만들면 포트폴리오 가치에 변동성이 더해진다. 사인함수가 진동하는 성질 때문에 주식 가치뿐만 아니라 그 변화율에도 변동이 생긴다. 또한 시간이 지나 $24 \cdot (1.07)^t$ 의 값이 커질수록 $6 \sin(t)$ 의 영향은 줄어듦을 알 수 있다. A(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 과 V(t) = 24 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 sin(t) 의 그래프, 그리고 그 도함수 A'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 과 V'(t) = 24 ln(1.07) 곱하기 1.07의 t제곱 + 6 cos(t) 의 그래프.

원본 교재 풀이(영어)

(a) January 1, 2012 corresponds to the instant $t = 2$ , so we compute $V'(2)$ . First, we observe by the sum and constant multiple rules that $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ . Thus, $V'(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(2) \approx -0.63778$ . Since $V$ is measured in thousands of dollars and $t$ in years, we know that the portfolio's value is decreasing at a rate of $637.78$ dollars per year on January 1, 2012. (b) Since $V'(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot \ln(1.07) + 6 \cos(t)$ , it follows that $V''(t) = 24 \cdot 1.07^t \cdot (\ln(1.07))^2 - 6 \sin(t)$ , and thus $V''(2) = 24 \cdot 1.07^2 \cdot \ln(1.07)^2 - 6 \sin(2) \approx -5.33$ , with units “thousands of dollars per year per year”. This means that around the time that $t = 2$ , the portfolio's value is decreasing at while the value function is concave down. More specifically, we know that $V'$ is decreasing at the moment $t = 2$ and expect the derivative's value to decrease by about $5.33$ thousand dollars per year over the course of the next year. In other words, the portfolio's value is not only decreasing, but we expect it to decrease more rapidly as the year goes on. (c) In the figure below, we see plots of both $V$ and $A$ along with their corresponding derivatives. We see that the function $A$ is a purely exponential function that always increases at an increasing rate. By adding the term $6\sin(t)$ to $A$ to create the function $V$ , we add volatility to the value of the portfolio: the oscillating nature of the sine function not only creates variance in the stock's value, but also in its rate of change. We also observe that as time progresses and the value of $24 \cdot (1.07)^t$ increases, the effect of $6 \sin(t)$ lessens. The graphs of A(t) = 24 cdot 1.07 t and V(t) = 24 cdot 1.07 t + 6 sin(t), as well as their derivatives A'(t) = 24 ln(1.07) 1.07 t and V'(t) = 24 ln(1.07) 1.07 t + 6 cos(t).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 7번

# 삼각함수의 미분그래프·표 해석자동 분류

553.Active Calculus · 2.2절 · 5번우리말 번역

$f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6$ 이라 하자.

(a) $a = \frac{\pi}{4}$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선의 기울기를 정확히 구하세요. (b) $a = \pi$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선을 이용한 근사식을 구하세요. (c) $a = \frac{\pi}{2}$ 인 점에서 $f$ 는 증가합니까, 감소합니까, 아니면 어느 쪽도 아닙니까? (d) $a = \frac{3\pi}{2}$ 인 점에서 $y = f(x)$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있습니까, 아래쪽에 있습니까, 아니면 어느 쪽도 아닙니까? 함수나 접선의 그래프를 그리지 않고도 이 문제에 답하려면 어떻게 해야 하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x) = 3\cos(x) - 2\sin(x) + 6$ .

(a) Determine the exact slope of the tangent line to $y = f(x)$ at the point where $a = \frac{\pi}{4}$ . (b) Determine the tangent line approximation to $y = f(x)$ at the point where $a = \pi$ . (c) At the point where $a = \frac{\pi}{2}$ , is $f$ increasing, decreasing, or neither? (d) At the point where $a = \frac{3\pi}{2}$ , does the tangent line to $y = f(x)$ lie above the curve, below the curve, or neither? How can you answer this question without even graphing the function or the tangent line?

정답·풀이 보기

(a) $a = \frac{\pi}{4}$ 에서 $f$ 의 그래프에 접하는 직선의 기울기는 $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 이다. $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 를 구하기 위해 먼저 $f'(x)$ 를 구하면 $f'(x) = -3\sin(x) - 2\cos(x)$ 이다. 따라서 $\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ & -3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{aligned}\,.$ (b) $a = \pi$ 에서 $f$ 의 일차근사식 $L(x)$ 는 $(x) = f(\pi) + f'(\pi)(x-\pi)$ L 이다. (a)에서 $f'(x)$ 를 구했으므로 $f'(\pi) = -3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 2$ 이다. 또한 $f(\pi) = 3\cos(\pi) - 2\sin(\pi) + 6 = 3$ 이다. 따라서 $L(x) = 3+2(x-\pi)$ 이다. (c) 미분가능한 함수 $f$ 가 $x=a$ 에서 증가하는 것은 $f'(a) > 0$ 일 때, 그리고 그 경우에 한하고, 감소하는 것은 $f'(a) < 0$ 일 때, 그리고 그 경우에 한한다. 그런데 $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3$ 이므로 $f$ 는 $a = \frac{\pi}{2}$ 에서 감소한다. (d) 함수 $f$ 로 정의된 곡선이 $x=a$ 에서 아래로 볼록이면 $x=a$ 에서 $f$ 의 접선은 곡선의 아래쪽에 있고, $f$ 의 그래프가 $x=a$ 에서 위로 볼록이면 $x=a$ 에서 $f$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있다. 곡선의 오목·볼록은 이계도함수로 결정되며 $f''(x) = -3\cos(x)+2\sin(x)$ 이다. $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2$ 이므로 $f$ 의 그래프는 $a = \frac{3\pi}{2}$ 에서 위로 볼록이고, 이 점에서 $f$ 의 접선은 곡선의 위쪽에 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The slope of the line tangent to the graph of $f$ at $a = \frac{\pi}{4}$ is given by $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ . To find $f'\left(\frac{\pi}{4}\right)$ we first find $f'(x)$ , which is $f'(x) = -3\sin(x) - 2\cos(x)$ . Thus, $\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{4}\right) &= -3\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \\ & -3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -5\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\end{aligned}\,.$ (b) The linearization $L(x)$ to $f$ at $a = \pi$ is $(x) = f(\pi) + f'(\pi)(x-\pi)$ L. We calculated $f'(x)$ in part (a) and so $f'(\pi) = -3\sin(\pi) - 2\cos(\pi) = 2$ . We also have $f(\pi) = 3\cos(\pi) - 2\sin(\pi) + 6 = 3$ . Hence $L(x) = 3+2(x-\pi)$ . (c) A differentiable function $f$ is increasing at $x=a$ if and only if $f'(a) > 0$ and decreasing if and only if $f'(a) < 0$ . Now $f'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = -3$ , so $f$ is decreasing at $a = \frac{\pi}{2}$ . (d) If a curve defined by a function $f$ is concave up at $x=a$ , then the tangent line to $f$ at $x=a$ lies below the curve and if the graph of $f$ is concave down at $x=a$ , then the tangent line to $f$ at $x=a$ lies above the curve. The concavity of a curve is determined by the second derivative and $f''(x) = -3\cos(x)+2\sin(x)$ . Since $f''\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -3\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + 2\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2\,,$ the graph of $f$ is concave down at $a = \frac{3\pi}{2}$ and the tangent line to $f$ lies above the curve at this point.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 4번

# 삼각함수의 미분계산자동 분류

554.Active Calculus · 2.2절 · 6번우리말 번역

이 문제에서는 미분의 극한 정의로부터 $\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)$ 임을 더 엄밀하게 보이는 방법을 알아봅니다. $f(x) = \sin(x)$ 라 하면, 도함수의 극한 정의에 의해 다음이 성립합니다.

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$

(a) 두 각 $\alpha$ , $\beta$ 의 합에 대한 사인의 삼각함수 공식 $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$ 를 떠올리세요. 이 공식과 약간의 대수적 계산을 이용하여 다음을 보이세요. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}\,.$ (b) 다음으로, $h$ 가 변하는 동안 $x$ 는 상수로 유지됨에 주목하세요. 그렇다면 다음과 같이 말하는 것이 타당한 이유를 설명하세요. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) -1 }{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (c) 마지막으로, 작은 $h$ 의 값을 이용하여 (c)의 두 극한의 값을 어림하세요. $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \ \ \text{그리고} \ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (d) 그렇다면 (b)와 (c)의 결과는 $f'(x)$ 에 대해 무엇을 알려 주는지 설명하세요. (e) 위에서 밟은 단계를 따라 하여, 미분의 극한 정의를 이용해 $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ 임을 설득력 있게 논증하세요.

영어 원문 보기

In this exercise, we explore how the limit definition of the derivative more formally shows that $\frac{d}{dx}[\sin(x)] = \cos(x)$ . Letting $f(x) = \sin(x)$ , note that the limit definition of the derivative tells us that

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$

(a) Recall the trigonometric identity for the sine of a sum of angles $\alpha$ and $\beta$ : $\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)$ . Use this identity and some algebra to show that $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h)}{h}\,.$ (b) Next, note that as $h$ changes, $x$ remains constant. Explain why it therefore makes sense to say that $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) -1 }{h} + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (c) Finally, use small values of $h$ to estimate the values of the two limits in (c): $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} \ \ \text{and} \ \ \lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h}\,.$ (d) What do your results in (b) and (c) thus tell you about $f'(x)$ ? (e) By emulating the steps taken above, use the limit definition of the derivative to argue convincingly that $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ .

정답·풀이 보기

(a) 정의에 의해 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$ 사인 함수의 두 각의 합 공식에 의해 $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ 이므로 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$ .. 첫째 항과 마지막 항을 묶고 $\sin(x)$ 를 공통인수로 묶어 내면 $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x) }{h}$ .. (b) (a)에서 이어서, 분자의 각 부분을 $h$ 로 나누면 다음과 같다. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) }{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \right)\,.$ 다음으로, $\sin(x)$ 는 $h$ 에 의존하지 않고, 마찬가지로 $\cos(x)$ 도 $h$ 와 무관하다. 따라서 이들을 상수로 보아 극한 기호 밖으로 낼 수 있고, 또 합의 극한은 극한의 합과 같다. 그러므로 다음과 같이 쓸 수 있다. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right)\,.$ (c) 작은 양수와 음수인 $h$ 의 값을 이용하여 구하려는 극한을 어림하면 $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) = 0$ 이고 $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = 1$ 임을 알 수 있다. 각 경우에 $h = \pm 0.01, \pm 0.001, \pm 0.0001$ 의 $h$ 값을 살펴보면 충분하다. (d) (b)와 (c)의 결과를 합치면 다음을 얻는다. $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)\,.$ (e) $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ 임을 보이는 논증은 거의 같다. 다만 $\cos(\alpha + \beta)$ 에 대한 두 각의 합 공식은 $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$ 임에 유의한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) By definition, we know that $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}\,.$ By the sum of two angles identity for the sine function, $\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$ , and thus $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$ .. Combining the first and last terms and removing a factor of $\sin(x)$ , $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x) }{h}$ .. (b) Continuing our work in (a), we divide each part of the numerator by $h$ and see it follows $f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(x) (\cos(h)-1) }{h} + \frac{\cos(x)\sin(h)}{h} \right)\,.$ Next, we note that $\sin(x)$ does not depend on $h$ , and likewise $\cos(x)$ is independent of $h$ . It thus makes sense to view those constants as being outside the limit being taken, and also that the limit of a sum is the sum of the limits. Hence we write $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right)\,.$ (c) Using small positive and negative values of $h$ to estimate the desired limits, we find that it appears $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) = 0$ and $\lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = 1$ It suffices in each case to consider $h$ -values of $h = \pm 0.01, \pm 0.001, \pm 0.0001$ . (d) Combining our results in (b) and (c), we have found that $f'(x) = \sin(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\cos(h)-1}{h} \right) + \cos(x) \cdot \lim_{h \to 0} \left( \frac{\sin(h)}{h} \right) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)\,.$ (e) The argument for showing $\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\sin(x)$ is almost identical. Do note that the sum of two angles identity for $\cos(\alpha + \beta)$ is $\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.2절 · 5번

# 삼각함수의 미분증명·논술자동 분류

555.Active Calculus · 2.3절 · 11번우리말 번역

$f$ 와 $g$ 를 미분가능한 함수라 하고, 다음 정보가 알려져 있다고 하자: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ 로 정의된 새로운 함수를 $h$ 라 하자. $h(2)$ 와 $h'(2)$ 를 구하세요. (b) 점 $(2,h(2))$ 에서 $y = h(x)$ 의 접선의 방정식을 구하세요. (단, $h$ 는 (a)에서 정의한 함수입니다.) (c) $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ 로 정의된 함수를 $r$ 라 하자. $a = 2$ 에서 $r$ 는 증가하나요, 감소하나요, 아니면 둘 다 아닌가요? 그 이유는 무엇인가요? (d) 점 $(2,r(2))$ 에서 $r$ 의 국소선형근사를 이용하여 $r(2.06)$ 의 값을 어림하세요. (단, $r$ 는 (c)에서 정의한 함수입니다.)

영어 원문 보기

Let $f$ and $g$ be differentiable functions for which the following information is known: $f(2) = 5$ , $g(2) = -3$ , $f'(2) = -1/2$ , $g'(2) = 2$ .

(a) Let $h$ be the new function defined by the rule $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ . Determine $h(2)$ and $h'(2)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = h(x)$ at the point $(2,h(2))$ (where $h$ is the function defined in (a)). (c) Let $r$ be the function defined by the rule $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ . Is $r$ increasing, decreasing, or neither at $a = 2$ ? Why? (d) Estimate the value of $r(2.06)$ (where $r$ is the function defined in (c)) by using the local linearization of $r$ at the point $(2,r(2))$ .

정답·풀이 보기

(a) $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ 이므로 $h(2) = g(2) \cdot f(2) = (5) \cdot (-3) = -15$ 이다. 또한 곱의 미분법에 의해 $h'(x) = g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x)$ 이다. 주어진 함숫값과 미분계수를 이용하면 $h'(2) = g(2) \cdot f'(2) + f(2) \cdot g'(2) = (-3)(-1/2) + (5)(2) = 23/2$ 이다. (b) $a=2$ 에서 $h$ 의 접선은 $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ 이므로, (a)의 결과를 이용하면 $L(x) = -15 + 23/2(x-2)$ 이다. (c) $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ 이고 몫의 미분법에 의해 $r'(x) = \frac{f(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2}$ 이므로 $r'(2) = \frac{f(2) \cdot g'(2) - g(2) \cdot f'(2)}{(f(2))^2}$ 이다. 주어진 함숫값과 미분계수를 이용하면 $r'(2) = \frac{(5)(2) - (-3)(-1/2)}{(5)^2} = \frac{17/2}{25} = \frac{17}{50}$ 이다. 따라서 $r'(2) > 0$ 이므로 $r$ 는 $a = 2$ 에서 증가한다. (d) $a=2$ 에서 $r$ 의 국소선형근사는 $L(x) = r(2) + r'(2)(x-2) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(x-2)$ 이므로 $r(2.06) \approx L(2.06) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(2.06-2) = -0.5796$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $h(x) = g(x) \cdot f(x)$ , it follows $h(2) = g(2) \cdot f(2) = (5) \cdot (-3) = -15$ . Further, by the product rule, we know that $h'(x) = g(x) \cdot f'(x) + f(x) \cdot g'(x)$ . Using the given function and derivative values, $h'(2) = g(2) \cdot f'(2) + f(2) \cdot g'(2) = (-3)(-1/2) + (5)(2) = 23/2$ . (b) The tangent line to $h$ at $a=2$ is given by $L(x) = h(2) + h'(2)(x-2)$ , so using our results from (a), we have $L(x) = -15 + 23/2(x-2)$ . (c) Since $r(x) = \frac{g(x)}{f(x)}$ , but the quotient rule that $r'(x) = \frac{f(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot f'(x)}{(f(x))^2}$ , and thus $r'(2) = \frac{f(2) \cdot g'(2) - g(2) \cdot f'(2)}{(f(2))^2}$ . Employing the known function and derivative values, $r'(2) = \frac{(5)(2) - (-3)(-1/2)}{(5)^2} = \frac{17/2}{25} = \frac{17}{50}$ . Therefore, $r'(2) > 0$ , and $r$ is increasing at $a = 2$ . (d) The local linearization of $r$ at $a=2$ is $L(x) = r(2) + r'(2)(x-2) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(x-2)$ , and thus $r(2.06) \approx L(2.06) = -\frac{3}{5} + \frac{17}{50}(2.06-2) = -0.5796$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.3절 · 15번

# 곱과 몫의 미분법계산자동 분류

556.Active Calculus · 2.3절 · 13번우리말 번역

두 함수 $r(t) = t^t$ 와 $s(t) = \arccos(t)$ 를 생각하세요. 이 두 함수에 대해 $r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)$ 이고 $s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ 임이 주어져 있습니다. 이 도함수 공식이 어디에서 나오는지는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 두 함수 모두 정의역을 $0 < t < 1$ 로 제한하여 생각합니다.

(a) $w(t) = t^t \arccos(t)$ 라고 하자. $w'(t)$ 를 구하세요. (b) $y = w(t)$ 위의 점 $(\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))$ 에서의 접선의 방정식을 구하세요. (c) $v(t) = \frac{t^t}{\arccos(t)}$ 라고 하자. $t = \frac{1}{2}$ 인 순간에 $v$ 는 증가하나요, 감소하나요? 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Consider the functions $r(t) = t^t$ and $s(t) = \arccos(t)$ , for which you are given the facts that $r'(t) = t^t(\ln(t) + 1)$ and $s'(t) = -\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}$ . Do not be concerned with where these derivative formulas come from. We restrict our interest in both functions to the domain $0 < t < 1$ .

(a) Let $w(t) = t^t \arccos(t)$ . Determine $w'(t)$ . (b) Find an equation for the tangent line to $y = w(t)$ at the point $(\frac{1}{2}, w(\frac{1}{2}))$ . (c) Let $v(t) = \frac{t^t}{\arccos(t)}$ . Is $v$ increasing or decreasing at the instant $t = \frac{1}{2}$ ? Why?

정답·풀이 보기

(a) 곱의 미분법과 주어진 정보를 이용하면, $\begin{aligned}w'(t) &= \frac{d}{dt}\left(t^t\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{d}{dt}\left(\arccos t\right) \\ &= t^t\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\end{aligned}$ 이다. (b) 국소선형근사 공식을 이용하면 $L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right) \left(t-\frac{1}{2}\right)$ 이다. $w$ 와 $w'$ 의 식에 $t=\frac{1}{2}$ 을 대입하고 계산 도구를 사용하면 $w(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\arccos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.740$ 이고 $w'(2) = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos \left(\frac{1}{2}\right)\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\right] \approx -0.589\,$ 이다. 따라서 $L(t) \approx 0.740-0.589(t-0.5)$ 이다. (c) 몫의 미분법을 이용하면 $v'(t) = frac{(t)^{t}\left(\ln(t)+1\right)\left(\arccos(t)\right)-(t)^{t}\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt{1-(t)^2}}\right)}{\arccos^2(t)}\,$ 이다. 계산 도구를 사용하여 $v'(2)$ 의 값을 구하면 $v'(2) \approx 0.952$ 이다. 이 값이 양수이므로 $t=\frac{1}{2}$ 에서 $v$ 의 순간변화율은 양수이고, 이는 그 순간에 $v$ 가 증가함을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Using the Product Rule and the information given, $\begin{aligned}w'(t) &= \frac{d}{dt}\left(t^t\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{d}{dt}\left(\arccos t\right) \\ &= t^t\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos t\right)+t^t\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}\end{aligned}$ (b) Using the local linearization formula, we have $L(t) = w\left(\frac{1}{2}\right) + w'\left(\frac{1}{2}\right) \left(t-\frac{1}{2}\right)$ . Substituting $t=\frac{1}{2}$ into the formulas for $w$ and $w'$ and using a computational device gives $w(2) = \left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\arccos\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0.740$ and $w'(2) = \left[\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\left(\ln t+1\right)\cdot\left(\arccos \left(\frac{1}{2}\right)\right)+\left(\frac{1}{2}\right)^{\left(\frac{1}{2}\right)}\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}}\right] \approx -0.589\,.$ Thus, $L(t) \approx 0.740-0.589(t-0.5)$ . (c) Using the Quotient Rule, $v'(t) = frac{(t)^{t}\left(\ln(t)+1\right)\left(\arccos(t)\right)-(t)^{t}\cdot\left(\frac{-1}{\sqrt{1-(t)^2}}\right)}{\arccos^2(t)}\,.$ Using a computational device to evaluate $v'(2)$ , it follows $v'(2) \approx 0.952$ . Since this number is positive, the instantaneous rate of change of $v$ at $t=\frac{1}{2}$ is positive, which means that $v$ is increasing at that instant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.3절 · 11번

# 곱과 몫의 미분법계산자동 분류

557.Active Calculus · 2.3절 · 14번우리말 번역

넓은 땅을 가진 한 농부가 지금까지 매우 다양한 작물을 재배해 왔다. 에탄올 연료의 가격이 오르자, 그는 자신의 농지를 점점 더 많이 옥수수 생산에 쓰는 것이 현명하다고 판단한다. 옥수수를 점점 더 많이 재배하면서 그는 에이커당 수확량을 늘리는 요령을 익힌다. 올해 그는 자신의 땅 7000 에이커에 옥수수를 재배했고, 그 땅의 에이커당 평균 수확량은 170 부셸이었다. 현재 그는 옥수수 재배에 쓰는 면적을 매년 600 에이커의 비율로 늘릴 계획이며, 지금 평균 수확량이 매년 에이커당 8 부셸의 비율로 증가하고 있다고 예상한다. 이 정보를 이용하여 다음 물음에 답하세요.

(a) 올해를 $t = 0$ 이라 하고, $A(t)$ 는 $t$ 년에 농부가 옥수수 재배에 쓰는 면적(에이커)을, $Y(t)$ 는 $t$ 년의 평균 수확량(에이커당 부셸)을, $C(t)$ 는 농부가 생산하는 옥수수의 총 부셸 수를 나타낸다고 하자. $C(t)$ 를 $A(t)$ 와 $Y(t)$ 로 나타내는 식은 무엇인가요? 그 이유는 무엇인가요? (b) $C(0)$ 의 값은 얼마인가요? 이 값은 무엇을 나타내나요? (c) $C'(t)$ 를 $A(t)$ , $A'(t)$ , $Y(t)$ , $Y'(t)$ 로 나타내는 식을 쓰세요. 생각한 과정을 설명하세요. (d) $C'(0)$ 의 값은 얼마인가요? 이 값은 무엇을 나타내나요? (e) 주어진 정보와 위의 풀이를 바탕으로 $C(1)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

A farmer with large land holdings has historically grown a wide variety of crops. With the price of ethanol fuel rising, he decides that it would be prudent to devote more and more of his acreage to producing corn. As he grows more and more corn, he learns efficiencies that increase his yield per acre. In the present year, he used 7000 acres of his land to grow corn, and that land had an average yield of 170 bushels per acre. At the current time, he plans to increase his number of acres devoted to growing corn at a rate of 600 acres/year, and he expects that right now his average yield is increasing at a rate of 8 bushels per acre per year. Use this information to answer the following questions.

(a) Say that the present year is $t = 0$ , that $A(t)$ denotes the number of acres the farmer devotes to growing corn in year $t$ , $Y(t)$ represents the average yield in year $t$ (measured in bushels per acre), and $C(t)$ is the total number of bushels of corn the farmer produces. What is the formula for $C(t)$ in terms of $A(t)$ and $Y(t)$ ? Why? (b) What is the value of $C(0)$ ? What does it measure? (c) Write an expression for $C'(t)$ in terms of $A(t)$ , $A'(t)$ , $Y(t)$ , and $Y'(t)$ . Explain your thinking. (d) What is the value of $C'(0)$ ? What does it measure? (e) Based on the given information and your work above, estimate the value of $C(1)$ .

정답·풀이 보기

(a) $A(t)$ 에이커에 에이커당 $Y(t)$ 부셸을 곱하면, $t$ 년에 농부가 생산하는 옥수수의 총 부셸 수 $C(t) = A(t)Y(t)$ 부셸을 얻는다. (b) $A(0) = 7000$ 에이커이고 수확량이 $Y(0) = 170$ 에이커당 부셸로 주어져 있으므로 $C(0) = A(0)Y(0) = (7000)(170) = 1190000$ 부셸이다. 따라서 농부는 올해 옥수수 $1 190 000$ 부셸을 생산한다. (c) 곱의 미분법에 의해 $C'(t) = A(t)Y'(t) + A'(t)Y(t)$ 이다. (d) $A(0) = 7000$ 이고 $Y(0) = 170$ 이다. 또한 농부는 옥수수 재배 면적을 매년 $600$ 에이커의 비율로 늘릴 계획이고, 지금 평균 수확량이 매년 에이커당 $8$ 부셸의 비율로 증가하고 있다고 예상한다고 주어져 있다. 따라서 $A'(t) = 600$ 이고 $Y'(0) = 8$ 이다. 그러므로 $C'(0) = A(0)Y'(0) + A'(0)Y(0) = (7000)(8) + (600)(170) = 158 000\,.$ 여기서 $A(t)$ 의 단위는 에이커이고 $Y'(t)$ 의 단위는 매년 에이커당 부셸이므로, $A(0)Y'(0)$ 의 단위는 부셸/년이다. 마찬가지로 $A'(t)$ 의 단위는 에이커/년이고 $Y(t)$ 의 단위는 에이커당 부셸이므로, $A'(0)Y(0)$ 의 단위도 에이커당 부셸이다. 따라서 $C'(0)$ 의 단위는 에이커당 부셸이다. 그러므로 $C'(0) = 158 000$ 은 농부가 생산할 수 있는 부셸 수가 올해 이후 매년 약 $158 000$ 부셸씩 증가함을 나타낸다. (e) $t=0$ 에서 $C$ 의 선형근사는 $L(t) = C(0) + C'(0)(t-0) = 119 0000 + 158 000t$ 이므로, $C(1) \approx L(1) = 119 0000 + 158 000(1) = 1 348 000$ 부셸이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) If we multiply $A(t)$ acres by $Y(t)$ bushels per acre, we arrive at $C(t) = A(t)Y(t)$ bushels as the total number of bushels of corn the farmer produces in year $t$ . (b) We are given that $A(0) = 7000$ acres with a yield of $Y(0) = 170$ bushels per acre, giving us $C(0) = A(0)Y(0) = (7000)(170) = 1190000$ bushels. Thus, the farmer produces $1 190 000$ bushels of corn in the present year. (c) The product rule tells us that $C'(t) = A(t)Y'(t) + A'(t)Y(t)$ . (d) We know $A(0) = 7000$ and $Y(0) = 170$ . We are also given that the farmer will increase his number of acres devoted to growing corn at a rate of $600$ acres/year, and he expects that right now his average yield is increasing at a rate of $8$ bushels per acre per year. This tells us that $A'(t) = 600$ and $Y'(0) = 8$ . So $C'(0) = A(0)Y'(0) + A'(0)Y(0) = (7000)(8) + (600)(170) = 158 000\,.$ Note that the units of $A(t)$ are acres and the units of $Y'(t)$ are bushels per acre per year. So the units of $A(0)Y'(0)$ are bushels per year. Similarly, the units of $A'(t)$ are acres per year and the units of $Y(t)$ are bushels per acre, so the units of $A'(0)Y(0)$ are also bushels per acre. So the units of $C'(0)$ are bushels per acre. Therefore, $C'(0) = 158 000$ tells us that the number of bushels the farmer can produce will increase by approximately $158 000$ bushels for each year past the present year. (e) The linearization of $C$ at $t=0$ is $L(t) = C(0) + C'(0)(t-0) = 119 0000 + 158 000t$ , $C(1) \approx L(1) = 119 0000 + 158 000(1) = 1 348 000$ bushels.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2.4절 · 6번

# 곱과 몫의 미분법계산자동 분류

558.Active Calculus · 2.3절 · 15번우리말 번역

$f(v)$ 를 속도 $v$ (km/시)로 달리는 자동차의 연료 소비량(리터/km)이라고 하자. 다시 말해, $f(v)$ 는 자동차가 시속 $v$ 킬로미터로 달릴 때 1킬로미터를 가는 데 사용하는 연료의 양(리터)을 나타낸다. 또한 $f(80)=0.05$ 이고 $f'(80) = 0.0004$ 라고 하자.

(a) $g(v)$ 를 같은 자동차가 속도 $v$ 로 연료 1리터로 갈 수 있는 거리라고 하자. $f(v)$ 와 $g(v)$ 사이의 관계는 무엇입니까? 이를 이용하여 $g(80)$ 과 $g'(80)$ 을 구하세요. (b) $h(v)$ 를 속도 $v$ 로 달리는 자동차의 시간당 연료 소비량(리터/시)이라고 하자. 다시 말해, $h(v)$ 는 자동차가 속도 $v$ 로 달릴 때 1시간 동안 사용하는 연료의 양(리터)을 나타낸다. $h(v)$ 와 $f(v)$ 사이의 대수적 관계는 무엇입니까? 이를 이용하여 $h(80)$ 과 $h'(80)$ 을 구하세요. (c) 미적분을 전혀 모르는 운전자에게 이 함숫값과 미분계수의 실제적인 의미를 어떻게 설명하겠습니까? 답에서 다루는 각 함숫값과 미분계수에 단위를 포함하세요.

영어 원문 보기

Let $f(v)$ be the gas consumption (in liters/km) of a car going at velocity $v$ (in km/hour). In other words, $f(v)$ tells you how many liters of gas the car uses to go one kilometer if it is traveling at $v$ kilometers per hour. In addition, suppose that $f(80)=0.05$ and $f'(80) = 0.0004$ .

(a) Let $g(v)$ be the distance the same car goes on one liter of gas at velocity $v$ . What is the relationship between $f(v)$ and $g(v)$ ? Hence find $g(80)$ and $g'(80)$ . (b) Let $h(v)$ be the gas consumption in liters per hour of a car going at velocity $v$ . In other words, $h(v)$ tells you how many liters of gas the car uses in one hour if it is going at velocity $v$ . What is the algebraic relationship between $h(v)$ and $f(v)$ ? Hence find $h(80)$ and $h'(80)$ . (c) How would you explain the practical meaning of these function and derivative values to a driver who knows no calculus? Include units on each of the function and derivative values you discuss in your response.

정답·풀이 보기

(a) $g(v)$ 의 단위는 “킬로미터/리터”임을 알 수 있다. $f(v)$ 의 단위가 “리터/킬로미터”이므로 $g$ 는 $f$ 의 역수이다: $g(v) = \frac{1}{f(v)}$ . 따라서 몫의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $g'(v) = \frac{f(v) \cdot 0 - 1 \cdot f'(v)}{f(v)^2} = -\frac{f'(v)}{f(v)^2}\,.$ 또한 주어진 값을 이용하면 $g(80) = \frac{1}{f(80)} = \frac{1}{0.05} = 20$ 킬로미터/리터이고, $g'(80) = -\frac{f'(80)}{f(80)^2} = -\frac{0.0004}{0.05^2} = -0.16$ 이다. 여기서 $g'(80)$ 의 단위는 “킬로미터/리터/(킬로미터/시)”임에 주의한다. (b) $h(v)$ 의 단위는 “리터/시”이고 $f(v)$ 의 단위는 “리터/킬로미터”이므로, $f(v)$ 에 $v$ (단위는 “킬로미터/시”)를 곱하면 $v \cdot f(v)$ 의 단위가 $h(v)$ 의 단위와 일치한다. 따라서 $h(v) = v \cdot f(v)\,.$ 곱의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $h'(v) = v \cdot \frac{d}{dv}[f(v)] + \frac{d}{dv}[v] \cdot f(v) = v \cdot f'(v) + 1 \cdot f(v)\,.$ $f$ 의 함숫값과 미분계수를 이용하면 $h(80) = 80 \cdot 0.05 = 4$ 리터/시이고 $h'(80) = 80 \cdot 0.0004 + 0.05 = 0.082$ 리터/시/(킬로미터/시)이다. (c) 미적분을 모르는 사람에게 이 함숫값과 미분계수의 의미를 설명하려면 다음과 같이 말할 수 있다.

주어진 값 $f(80) = 0.05$ 와 $f'(80) = 0.0004$ 는 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 1킬로미터를 가는 데 연료를 $0.05$ 리터 사용한다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 1킬로미터당 연료를 약 $0.0004$ 리터 더 사용할 것으로 예상된다.
$g(80) = 20$ 과 $g'(80) = -0.16$ 은 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 연료 1리터로 $20$ 킬로미터를 갈 수 있다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 연료 1리터로 갈 수 있는 거리가 약 $0.16$ 킬로미터 줄어들 것으로 예상된다.
마지막으로 $h(80) = 4$ 와 $h'(80) = 0.82$ 는 자동차가 시속 $80$ 킬로미터로 달릴 때 1시간 동안 연료를 $4$ 리터 사용한다는 것을 알려 준다. 또한 속도가 시속 $80$ km보다 시속 1킬로미터 더 빨라질 때마다, 자동차는 1시간당 연료를 약 $0.082$ 리터 더 사용할 것으로 예상된다. 이 세 가지 관찰은 모두 본질적으로 같은 내용을 서로 다른 관점에서 말하고 있음에 주의한다. 첫째는 연료 소비량을 리터/킬로미터로 나타낸 것이고, 둘째는 킬로미터/리터로 나타낸 것이며, 마지막은 리터/시로 나타낸 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Observe that the units on $g(v)$ are “kilometers per liter”. Since the units on $f(v)$ are “liters per kilometer”, it follows that $g$ is the reciprocal of $f$ : $g(v) = \frac{1}{f(v)}$ . By the quotient rule, we then know that $g'(v) = \frac{f(v) \cdot 0 - 1 \cdot f'(v)}{f(v)^2} = -\frac{f'(v)}{f(v)^2}\,.$ Further, using the given values we can say that $g(80) = \frac{1}{f(80)} = \frac{1}{0.05} = 20$ kilometers per liter, and $g'(80) = -\frac{f'(80)}{f(80)^2} = -\frac{0.0004}{0.05^2} = -0.16$ . Note that the units on $g'(80)$ are “kilometers per liter per kilometer per hour”. (b) Since the units on $h(v)$ are “liters per hour”, and the units on $f(v)$ are “liters per kilometer”, we note that if we multiply $f(v)$ by $v$ (whose units are “kilometers per hour”), we get that the units on $v \cdot f(v)$ match the units of $h(v)$ . Thus, $h(v) = v \cdot f(v)\,.$ By the product rule, it follows that $h'(v) = v \cdot \frac{d}{dv}[f(v)] + \frac{d}{dv}[v] \cdot f(v) = v \cdot f'(v) + 1 \cdot f(v)\,.$ Using the known function and derivative values of $f$ , we determine that $h(80) = 80 \cdot 0.05 = 4$ liters per hour and $h'(80) = 80 \cdot 0.0004 + 0.05 = 0.082$ liters per hour per kilometer per hour. (c) To explain the meaning of these function and derivative values to someone who doesn't know calculus, we could say something like the following:

The given values of $f(80) = 0.05$ and $f'(80) = 0.0004$ tell us that when the car is going $80$ kilometers per hour, it is using $0.05$ liters of fuel for every kilometer it travels. In addition, for each additional kilometer per hour of velocity above $80$ kph, we expect that the car will use about an additional $0.0004$ liters of fuel per kilometer.
The values of $g(80) = 20$ and $g'(80) = -0.16$ tell us that when the car is going $80$ kilometers per hour, it is able to travel $20$ kilometers for each liter of fuel used. In addition, for each additional kilometer per hour of velocity above $80$ kph, we expect that the car will be able to travel about $0.16$ fewer kilometers per liter of fuel.
Finally, the values of $h(80) = 4$ and $h'(80) = 0.82$ tell us that when the car is going $80$ kilometers per hour, it is using $4$ liters of fuel for every hour it travels. In addition, for each additional kilometer per hour of velocity above $80$ kph, we expect that the car will ues about $0.082$ more liters of fuel per hour. Note that all three of these observations are saying fundamentally the same thing, just from different perspectives: the first regards fuel consumption measured in liters per kilometer; the second regards fuel consumption in kilometers per liter; and the last regards fuel consumption in liters per hour.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.3절 · 14번

# 곱과 몫의 미분법활용자동 분류

559.Active Calculus · 2.4절 · 8번우리말 번역

수직으로 움직이는 물체의 시각 $t$ 에서의 높이(단위: 피트, 시간 단위: 초)가 함수 $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ 로 주어져 있습니다.

(a) $t =2$ 일 때 물체의 순간 속도는 얼마인지 구하세요. (b) 순간 $t = 2$ 에서 물체의 가속도는 얼마인지 구하세요. (c) 순간 $t = 2$ 에서 물체의 움직임을 일상적인 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

An object moving vertically has its height at time $t$ (measured in feet, with time in seconds) given by the function $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ .

(a) What is the object's instantaneous velocity when $t =2$ ? (b) What is the object's acceleration at the instant $t = 2$ ? (c) Describe in everyday language the behavior of the object at the instant $t = 2$ .

정답·풀이 보기

(a) $t=2$ 에서 물체의 순간 속도는 $h'(2)$ 이다. $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ 이므로 몫의 미분법에 의해 다음을 얻는다. $\begin{aligned}h'(t) &= \frac{1.2^t \cdot (-2\sin(t)) - 2\cos(t) \cdot 1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{1.2^t (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2)}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ 따라서 $h'(2) = \frac{-2\sin(2) - 2\cos(2) \ln(1.2)}{1.2^2} \approx -1.1575$ 초당 피트가 $t=2$ 에서 물체의 순간(수직) 속도이다. (b) $t=2$ 에서 물체의 가속도를 구하려면 $h''(2)$ 를 계산한다. 먼저 몫의 미분법에 의해 $\begin{aligned}h''(t) &= \frac{1.2^t(-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) - (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) + 2\sin(t)\ln(1.2) + 2\cos(t) \ln^2(1.2)}{1.2^t} \\ &= \frac{\cos(t)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(t))}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ 그러므로 $t = 2$ 에서의 가속도는 $h''(2) = \frac{\cos(2)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(2))}{1.2^2} \approx 1.0193$ 초당 피트 매 초이다. (c) $t=2$ 에서 물체는 떨어지고 있으며 속력이 줄어들고 있다. 속도가 음수이므로 물체가 떨어지고 있음을 알 수 있고, (음수인) 속도가 증가하고 있으므로( $h''(2)$ 가 양수이기 때문) 속도가 0에 가까워져 덜 음수가 되므로 속력이 줄어들고 있음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The object's instantaneous velocity at $t=2$ is given by $h'(2)$ . Since $h(t) = 3 + \frac{2\cos(t)}{1.2^t}$ , by the quotient rule we can determine that $\begin{aligned}h'(t) &= \frac{1.2^t \cdot (-2\sin(t)) - 2\cos(t) \cdot 1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{1.2^t (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2)}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ Thus, $h'(2) = \frac{-2\sin(2) - 2\cos(2) \ln(1.2)}{1.2^2} \approx -1.1575$ feet per second is the instanateous (vertical) velocity of the object at $t=2$ . (b) To find the object's acceleration at $t=2$ , we compute $h''(2)$ . First, by the quotient rule, $\begin{aligned}h''(t) &= \frac{1.2^t(-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) - (-2\sin(t) - 2\cos(t) \ln(1.2))1.2^t \ln(1.2)}{(1.2^t)^2} \\ &= \frac{-2\cos(t) + 2\sin(t) \ln(1.2)) + 2\sin(t)\ln(1.2) + 2\cos(t) \ln^2(1.2)}{1.2^t} \\ &= \frac{\cos(t)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(t))}{1.2^t}\end{aligned}\,.$ Therefore, the acceleration at $t = 2$ is $h''(2) = \frac{\cos(2)(-2 + 2\ln^2(1.2)) + 4\ln(1.2)\sin(2))}{1.2^2} \approx 1.0193$ feet per second per second. (c) At $t=2$ , the object is falling and slowing down. We know the object is falling because its velocity is negative, and slowing down because its negative velocity is increasing (due to $h''(2)$ being positive) and thus getting less negative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 3.5절 · 27번

# 삼각함수의 미분활용자동 분류

560.Active Calculus · 2.4절 · 9번우리말 번역

$f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 라고 하자.

(a) 곱의 미분법을 이용하여 $f'(x)$ 를 구하세요. (b) 참 또는 거짓: 모든 실수 $x$ 에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 이다. (c) (a)에서 구한 함수가 사인함수와 부호가 반대인 함수에 거의 가깝지만 완전히 같지는 않은 이유를 설명하세요. (힌트: (a)의 모든 삼각함수를 사인과 코사인으로 바꾸어 간단히 하세요. $f$ 의 정의역과 $f'$ 의 정의역을 신중하게 생각하세요.)

영어 원문 보기

Let $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ .

(a) Use the product rule to find $f'(x)$ . (b) True or false: for all real numbers $x$ , $f(x) = \cos(x)$ . (c) Explain why the function that you found in (a) is almost the opposite of the sine function, but not quite. (Hint: convert all of the trigonometric functions in (a) to sines and cosines, and work to simplify. Think carefully about the domain of $f$ and the domain of $f'$ .)

정답·풀이 보기

(a) $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ 이므로 곱의 미분법에 의해 $f'(x) = \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x)$ 이다. (b) 거짓이다. $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 이므로 $f(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ 로 쓸 수 있다. 여기서 분자와 분모의 $\sin(x)$ 를 “약분”하고 싶어지기 쉽다. 그러나 분모에 $\sin(x)$ 가 있으므로 $f$ 는 모든 정수 $k$ 에 대해 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ 에서 정의되지 않는다. 다시 말해 $f$ 의 정의역은 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수이다. 따라서 $\frac{\pi}{2}$ 의 홀수 배수를 제외한 모든 실수에 대해서는 $f(x) = \cos(x)$ 라고 할 수 있다. 하지만 $x$ 의 모든 값에 대해 $f(x) = \cos(x)$ 인 것은 아니다. (c) (a)의 결과에서 $\csc(x)$ 와 $\cot(x)$ 를 사인함수와 코사인함수를 포함한 식으로 바꾸면 다음과 같다. $\begin{aligned}f'(x) &= \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x) \\ &= \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right) + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \cos(x)\end{aligned}$ 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 다음이 성립한다. $f'(x) = -\frac{1}{\sin(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)-1}{\sin(x)}\,.$ 삼각함수의 기본 항등식에 의해 $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ 이므로 $\cos^2(x)-1 = -\sin^2(x)$ 이다. 따라서 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 이면 $f'(x) = \frac{-\sin^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x)$ 이다. 이 등식은 어떤 정수 $k$ 값에 대해 $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ 일 때만 성립한다. 그 이유는 그 $x$ 값들이 원래 함수 $f$ 의 정의역에 속하지 않기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since $f(x) = \sin(x) \cot(x)$ , by the product rule we know that $f'(x) = \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x)$ . (b) False. Since $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ , we can write $f(x) = \sin(x) \cdot \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ . From here, it is tempting to “cancel” the $\sin(x)$ term in the numerator and denominator. However, note that because of the $\sin(x)$ in the denominator, $f$ is not defined for $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ for any integer $k$ . In other words, the domain of $f$ is all real numbers except odd multiples of $\frac{\pi}{2}$ . Thus, we can say that $f(x) = \cos(x)$ for all real numbers except odd multiples of $\frac{\pi}{2}$ . But it is not the case that $f(x) = \cos(x)$ for every value of $x$ . (c) Taking our result from (a) and converting $\csc(x)$ and $\cot(x)$ to expressions involving the sine and cosine functions, we have $\begin{aligned}f'(x) &= \sin(x) \cdot (-\csc^2(x)) + \cot(x) \cdot \cos(x) \\ &= \sin(x) \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2(x)}\right) + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \cdot \cos(x)\end{aligned}$ Provided that $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ , it follows that $f'(x) = -\frac{1}{\sin(x)} + \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)} = \frac{\cos^2(x)-1}{\sin(x)}\,.$ By the Fundamental Trigonometric Identity, recall that $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ , and thus $\cos^2(x)-1 = -\sin^2(x)$ . Hence, for $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ , we have $f'(x) = \frac{-\sin^2(x)}{\sin(x)} = -\sin(x)$ . Again, this equality holds only for $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$ for some integer value of $k$ because those values of $x$ are not in the domain of the original function $f$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 2.4절 · 8번

# 삼각함수의 미분개념 확인자동 분류

미분법 전체 문제