적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

421.APEX · 7.4절 · 3번우리말 번역

연습문제 3–12에서 주어진 구간에서 다음 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = x$ , 구간 $[0, 1]$ .

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In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = x$ on $[0, 1]$ .

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$\sqrt{2}$

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$\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 11번

# 곡선의 길이계산자동 분류

422.APEX · 7.4절 · 4번우리말 번역

연습문제 3–12번에서 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{8}x$ , 구간 $[-1, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{8}x$ on $[-1, 1]$ .

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$6$

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$6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 13번

# 곡선의 길이계산자동 분류

423.APEX · 7.4절 · 5번우리말 번역

연습문제 3–12번에서 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac13x^{3/2}-x^{1/2}$ , 구간 $[0,1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \frac13x^{3/2}-x^{1/2}$ on $[0,1]$ .

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$4/3$

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$4/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 37번

# 곡선의 길이계산자동 분류

424.APEX · 7.4절 · 6번우리말 번역

연습문제 3–12번에서 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1{12}x^{3}+\frac1x$ , 구간 $[1,4]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \frac1{12}x^{3}+\frac1x$ on $[1,4]$ .

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$6$

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$6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 27번

# 곡선의 길이계산자동 분류

425.APEX · 7.4절 · 7번우리말 번역

연습문제 3–12번에서 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = 2x^{3/2}-\frac16\sqrt{x}$ , 구간 $[0,9]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = 2x^{3/2}-\frac16\sqrt{x}$ on $[0,9]$ .

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$109/2$

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$109/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 7번

# 곡선의 길이계산자동 분류

426.APEX · 7.4절 · 8번우리말 번역

연습문제 3–12번에서 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \cosh x$ , 구간 $[-\ln 2, \ln 2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \cosh x$ on $[-\ln 2, \ln 2]$ .

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$3/2$

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$3/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번

# 곡선의 길이계산자동 분류

427.APEX · 7.4절 · 9번우리말 번역

연습문제 3–12번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac12\big(e^x+e^{-x}\big)$ , 구간 $[0, \ln 5]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \frac12\big(e^x+e^{-x}\big)$ on $[0, \ln 5]$ .

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$12/5$

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$12/5$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 53번

# 곡선의 길이계산자동 분류

428.APEX · 7.4절 · 10번우리말 번역

연습문제 3–12번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1{12}x^5+\frac1{5x^3}$ , 구간 $[.1, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \frac1{12}x^5+\frac1{5x^3}$ on $[.1, 1]$ .

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$79953333/400000 \approx 199.883$

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$79953333/400000 \approx 199.883$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 45번

# 곡선의 길이계산자동 분류

429.APEX · 7.4절 · 11번우리말 번역

연습문제 3–12번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \ln \big(\sin x\big)$ , 구간 $[\pi/6, \pi/2]$ .

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In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \ln \big(\sin x\big)$ on $[\pi/6, \pi/2]$ .

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$-\ln (2-\sqrt{3}) \approx 1.31696$

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$-\ln (2-\sqrt{3}) \approx 1.31696$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 23번

# 곡선의 길이계산자동 분류

430.APEX · 7.4절 · 12번우리말 번역

연습문제 3–12번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \ln \big(\cos x\big)$ , 구간 $[0, \pi/4]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 3–12, find the arc length of the function on the given interval.

$\displaystyle f(x) = \ln \big(\cos x\big)$ on $[0, \pi/4]$ .

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$\sinh^{-1} 1$

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$\sinh^{-1} 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 43번

# 곡선의 길이계산자동 분류

431.APEX · 7.4절 · 13번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 그래프의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = x^2$ , 구간 $[0, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = x^2$ on $[0, 1]$ .

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$\int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1 \sqrt{1+4x^2}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 33번

# 곡선의 길이계산자동 분류

432.APEX · 7.4절 · 14번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = x^{10}$ , 구간 $[0, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = x^{10}$ on $[0, 1]$ .

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$\int_0^1 \sqrt{1+100x^{18}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1 \sqrt{1+100x^{18}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 25번

# 곡선의 길이계산자동 분류

433.APEX · 7.4절 · 15번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ , 구간 $[0, 1]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{x}$ on $[0, 1]$ .

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$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1 \sqrt{1+\frac{1}{4x}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 41번

# 곡선의 길이계산자동 분류

434.APEX · 7.4절 · 16번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \ln x$ , 구간 $[1, e]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \ln x$ on $[1, e]$ .

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$\int_1^e \sqrt{1+\frac1{x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_1^e \sqrt{1+\frac1{x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번

# 곡선의 길이계산자동 분류

435.APEX · 7.4절 · 17번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2}$ , 구간 $[-1, 1]$ . (참고: 이 함수는 반지름이 1인 원의 위쪽 반원을 나타낸다.)

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2}$ on $[-1, 1]$ . (Note: this describes the top half of a circle with radius 1.)

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$\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-1}^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{1-x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 3번

# 곡선의 길이계산자동 분류

436.APEX · 7.4절 · 18번우리말 번역

연습문제 13–20번에서, 주어진 구간에서 함수의 그래프의 곡선 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2/9}$ , 구간 $[-3, 3]$ . (참고: 이 함수는 긴 축의 길이가 6이고 짧은 축의 길이가 2인 타원의 위쪽 반을 나타낸다.)

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sqrt{1-x^2/9}$ on $[-3, 3]$ . (Note: this describes the top half of an ellipse with a major axis of length 6 and a minor axis of length 2.)

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$\int_{-3}^3 \sqrt{1+\frac{x^2}{81-9x^2}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-3}^3 \sqrt{1+\frac{x^2}{81-9x^2}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 21번

# 곡선의 길이계산자동 분류

437.APEX · 7.4절 · 19번우리말 번역

문제 13–20에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분의 값은 구하지 마세요.

$\displaystyle f(x) = \frac1x$ , 구간 $[1,2]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \frac1x$ on $[1,2]$ .

정답·풀이 보기

$\int_{1}^2 \sqrt{1+\frac1{x^4}}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{1}^2 \sqrt{1+\frac1{x^4}}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 47번

# 곡선의 길이계산자동 분류

438.APEX · 7.4절 · 20번우리말 번역

문제 13–20에서, 주어진 구간에서 함수의 곡선의 길이를 구하는 적분을 세우세요. 적분의 값은 구하지 마세요.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ , 구간 $[-\pi/4,\pi/4]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 13–20, set up the integral to compute the arc length of the function on the given interval. Do not evaluate the integral.

$\displaystyle f(x) = \sec x$ on $[-\pi/4,\pi/4]$ .

정답·풀이 보기

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sqrt{1+\sec^2x\tan^2x}\ dx$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \sqrt{1+\sec^2x\tan^2x}\ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 5번

# 곡선의 길이계산자동 분류

439.CLP-2 · 1.1절 · 19번우리말 번역

직사각형 세 개와 왼쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Estimate $\displaystyle\int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x$ using three approximating rectangles and left hand end points.

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정답·풀이 보기

주어진 적분의 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=5$ 까지이다. 따라서 너비가 모두 같은 직사각형 세 개를 사용하면 공통 너비는 $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ 이다. 첫 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이고, 두 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_1=a+\Delta x=1$ 이며, 세 번째 직사각형의 왼쪽 끝점은 $x_2=a+2\Delta x=3$ 이다. 그러므로

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The given integral has interval of integration going from $a=-1$ to $b=5$ . So when we use three approximating rectangles, all of the same width, the common width is $\Delta x=\frac{b-a}{n} = 2$ . The first rectangle has left endpoint $x_0=a=-1$ , the second has left hand endpoint $x_1=a+\Delta x=1$ , and the third has left hand end point $x_2=a+2\Delta x=3$ . So

$\begin{aligned} \int_{-1}^5 x^3\,\,\mathrm{d}x \approx \big[f(x_0)+f(x_1)+f(x_2)\big]\Delta x =\big[(-1)^3+1^3+3^3\big]\times2 =54 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.1절 · 5번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

440.CLP-2 · 1.1절 · 20번우리말 번역

$f$ 를 실수 전체에서 정의된 함수라 하자. 오른쪽 끝점을 이용하여 $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ 를 리만 합의 극한으로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $f$ be a function on the whole real line. Express $\displaystyle\int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x$ as a limit of Riemann sums, using the right endpoints.

정답·풀이 보기

주어진 적분에서 적분 구간은 $a=-1$ 에서 $b=7$ 까지이다. 따라서 $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ 이다. 첫 번째 부분구간의 왼쪽 끝점은 $x_0=a=-1$ 이다. 따라서 $i^{\rm th}$ 번째 구간의 오른쪽 끝점은 $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ 이다. 그러므로:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

In the given integral, the domain of integration runs from $a=-1$ to $b=7$ . So, we have $\Delta x = \frac{(b-a)}{n}= \frac{(7-(-1))}{n} = \frac{8}{n}$ . The left-hand end of the first subinterval is at $x_0=a=-1$ . So, the right-hand end of the $i^{\rm th}$ interval is at $x_i^* = -1+\frac{8i}{n}$ . So:

$\begin{aligned} \int_{-1}^{7}f(x)\,\,\mathrm{d}x =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f\left(-1+\frac{8i}{n}\right)\frac{8}{n} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 25번

# 정적분과 급수(구분구적법)계산보통자동 분류

적분법 전체 문제