적분 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

161.OpenStax 1권 · 5.3절 · 61번우리말 번역

앞에서 암시했듯이, 케플러의 법칙에 따르면 지구의 궤도는 태양을 한 초점으로 하는 타원이다. 지구가 태양 둘레를 도는 궤도의 근일점은 147,098,290 km 이고 원일점은 152,098,232 km 이다.

a. 장축을 x축 위에 놓고, 지구에서 태양까지의 평균 거리를 구하세요. b. 천문단위(AU)의 고전적인 정의는 지구에서 태양까지의 거리이며, 그 값은 근일점 거리와 원일점 거리의 평균으로 계산되었다. 이 정의는 타당한가요?

영어 원문 보기

As implied earlier, according to Kepler’s laws, Earth’s orbit is an ellipse with the Sun at one focus. The perihelion for Earth’s orbit around the Sun is 147,098,290 km and the aphelion is 152,098,232 km.

a. By placing the major axis along the x-axis, find the average distance from Earth to the Sun. b. The classic definition of an astronomical unit (AU) is the distance from Earth to the Sun, and its value was computed as the average of the perihelion and aphelion distances. Is this definition justified?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 22번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

162.OpenStax 1권 · 5.3절 · 62번우리말 번역

태양과 행성 사이의 만유인력의 크기는 $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )}$ 이다. 여기서 m 은 행성의 질량, M 은 태양의 질량, G 는 만유인력 상수이고, $r(\theta )$ 는 행성이 궤도의 장축과 각 θ 를 이룰 때 태양과 행성 사이의 거리이다. M, m 과 타원의 매개변수 a, b (장축과 단축의 반 길이)가 주어졌다고 가정할 때, 태양과 행성 사이의 평균 만유인력을 $G,m,M,a,b$ 로 나타내는 적분을 세우세요. 단, 값을 구하지는 마세요.

영어 원문 보기

The force of gravitational attraction between the Sun and a planet is $F(\theta )=\frac{GmM}{{r}^{2}(\theta )},$ where m is the mass of the planet, M is the mass of the Sun, G is a universal constant, and $r(\theta )$ is the distance between the Sun and the planet when the planet is at an angle θ with the major axis of its orbit. Assuming that M, m, and the ellipse parameters a and b (half-lengths of the major and minor axes) are given, set up—but do not evaluate—an integral that expresses in terms of $G,m,M,a,b$ the average gravitational force between the Sun and the planet.

정답·풀이 보기

평균 만유인력 = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

원본 교재 풀이(영어)

Mean gravitational force = $\frac{GmM}{2\pi }{\int }_{0}^{2\pi }\frac{1}{{\left(a+\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}\cos \theta \right)}^{2}}d\theta .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 10번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

163.OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번우리말 번역

기본 적분 공식을 사용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

정답·풀이 보기

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int {x}^{1/2}dx-\int {x}^{-1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+{C}_{1}-2{x}^{1/2}+{C}_{2}=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-2{x}^{1/2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\int \left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int {x}^{1/2}dx-\int {x}^{-1/2}dx=\frac{2}{3}{x}^{3/2}+{C}_{1}-2{x}^{1/2}+{C}_{2}=\frac{2}{3}{x}^{3/2}-2{x}^{1/2}+C$

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# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

164.OpenStax 1권 · 5.4절 · 2번우리말 번역

기본 적분 공식을 사용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \left({e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2}\right)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \left({e}^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{x/2}\right)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 24번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

165.OpenStax 1권 · 5.4절 · 4번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

$\int \frac{x-1}{{x}^{2}}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 56번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

166.OpenStax 1권 · 5.4절 · 5번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi }(\sin x-\cos x)dx$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{\pi }\sin xdx-{\int }_{0}^{\pi }\cos xdx=-\cos x{|}_{0}^{\pi }-(\sin x){|}_{0}^{\pi }=(-(-1)+1)-(0-0)=2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

167.OpenStax 1권 · 5.4절 · 6번우리말 번역

기본 적분 공식을 이용하여 다음 부정적분 또는 정적분을 계산하세요.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

영어 원문 보기

Use basic integration formulas to compute the following antiderivatives or definite integrals.

${\int }_{0}^{\pi /2}(x-\sin x)dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

168.OpenStax 1권 · 5.4절 · 7번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이 s 가 2 단위에서 4 단위로 늘어날 때, 정사각형의 둘레 $P(s)$ 의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that expresses the increase in the perimeter $P(s)$ of a square when its side length s increases from 2 units to 4 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

$P(s)=4s$ 이므로 $\frac{dP}{ds}=4$ 이고 ${\int }_{2}^{4}4ds=8$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$P(s)=4s,$ so $\frac{dP}{ds}=4$ and ${\int }_{2}^{4}4ds=8.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 2번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

169.OpenStax 1권 · 5.4절 · 8번우리말 번역

정사각형의 한 변의 길이가 S 단위에서 2S 단위로 두 배가 될 때, 정사각형의 넓이 $A(s)={s}^{2}$ 의 변화량을 나타내는 적분을 쓰고 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Write an integral that quantifies the change in the area $A(s)={s}^{2}$ of a square when the side length doubles from S units to 2S units and evaluate the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 54번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

170.OpenStax 1권 · 5.4절 · 9번우리말 번역

정N각형(변의 길이가 모두 s로 같은 N개의 변으로 이루어진 다각형으로, 예를 들어 정오각형이나 정육각형)의 둘레는 Ns입니다. 정N각형에서 각 변의 길이가 1 단위에서 2 단위로 늘어날 때 둘레의 증가량을 나타내는 적분을 쓰고, 그 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

A regular N-gon (an N-sided polygon with sides that have equal length s, such as a pentagon or hexagon) has perimeter Ns. Write an integral that expresses the increase in perimeter of a regular N-gon when the length of each side increases from 1 unit to 2 units and evaluate the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{1}^{2}Nds=N$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

171.OpenStax 1권 · 5.4절 · 32번우리말 번역

뉴턴의 중력 법칙에 따르면, 질량이 M 인 물체와 질량이 m 인 물체의 중심이 거리 r 만큼 떨어져 있을 때 두 물체 사이에 작용하는 중력의 크기는 $F=G\frac{mM}{{r}^{2}}$ 이다. 여기서 G 는 실험으로 얻은 상수로 $G=6.67x{10}^{-11}\,{m}^{3}/(kg\cdot {s}^{2})$ 이다. 구간 $[a,b]$ 에서 변하는 힘이 한 일은 $W={\int }_{a}^{b}F(x)dx$ 로 정의된다. 지구의 질량이 $5.97219\,\times \,{10}^{24}$ 이고 반지름이 6371 km 일 때, 질량 1400 kg 인 극궤도 기상위성을 지표면 위 850 km 의 궤도 고도까지 끌어올리는 데 필요한 일의 양을 구하세요.

영어 원문 보기

Newton’s law of gravity states that the gravitational force exerted by an object of mass M and one of mass m with centers that are separated by a distance r is $F=G\frac{mM}{{r}^{2}},$ with G an empirical constant $G=6.67x{10}^{-11}\,{m}^{3}/(kg\cdot {s}^{2}).$ The work done by a variable force over an interval $[a,b]$ is defined as $W={\int }_{a}^{b}F(x)dx.$ If Earth has mass $5.97219\,\times \,{10}^{24}$ and radius 6371 km, compute the amount of work to elevate a polar weather satellite of mass 1400 kg to its orbiting altitude of 850 km above Earth.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 48번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

172.OpenStax 1권 · 5.4절 · 37번우리말 번역

어떤 엔진은 같은 마력에서 다른 엔진보다 효율이 더 좋기도 하지만, 평균적으로 연료 효율은 마력에 따라 $1/25$ mpg/마력의 비율로 감소한다. 일반적인 50마력 엔진의 평균 연료 효율이 32 mpg일 때, 다음 마력을 가진 엔진의 평균 연료 효율은 각각 얼마인지 구하세요: 150, 300, 450.

영어 원문 보기

Although some engines are more efficient at given a horsepower than others, on average, fuel efficiency decreases with horsepower at a rate of $1/25$ mpg/horsepower. If a typical 50-horsepower engine has an average fuel efficiency of 32 mpg, what is the average fuel efficiency of an engine with the following horsepower: 150, 300, 450?

정답·풀이 보기

$E(150)=28,E(300)=22,E(450)=16$

원본 교재 풀이(영어)

$E(150)=28,E(300)=22,E(450)=16$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 47번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

173.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 5번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{그리고}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 답과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 이용하여 답을 구하세요.

$y=3{x}^{2}-2x+1$ , 구간 $[-1,1]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y=3{x}^{2}-2x+1$ over $[-1,1]$

정답·풀이 보기

${L}_{4}=5.25,{R}_{4}=3.25$ , 정확한 답: 4

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{4}=5.25,{R}_{4}=3.25,$ exact answer: 4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.3절 · 8번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

174.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 6번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y=\ln ({x}^{2}+1)$ , 구간 $[0,e]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y=\ln ({x}^{2}+1)$ over $[0,e]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.3절 · 24번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

175.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 7번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y={x}^{2}\sin x$ , 구간 $[0,\pi ]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.

$y={x}^{2}\sin x$ over $[0,\pi ]$

정답·풀이 보기

${L}_{4}=5.364,{R}_{4}=5.364$ , 정확한 값: 5.870

원본 교재 풀이(영어)

${L}_{4}=5.364,{R}_{4}=5.364,$ exact answer: 5.870

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5장 복습 · 5번

# 미적분의 기본정리계산자동 분류

176.OpenStax 1권 · 5장 복습 · 8번우리말 번역

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 리만 합 ${L}_{4}\,\text{와}\,{R}_{4}$ 의 값을 구하세요. 가능하면 정확한 값과 비교하고, 그렇지 않으면 계산기를 사용하여 값을 구하세요.

$y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}$ , 구간 $[1,4]$

영어 원문 보기

Evaluate the Riemann sums ${L}_{4}\,\text{and}\,{R}_{4}$ for the following functions over the specified interval. Compare your answer with the exact answer, when possible, or use a calculator to determine the answer.