함수의 극한과 연속 전체 연습문제

181.APEX · 1.5절 · 31번우리말 번역

연습문제 23–34에서, 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

$\displaystyle g(s) = \ln s$

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

$\displaystyle g(s) = \ln s$

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$(0,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

$(0,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류

182.APEX · 1.5절 · 32번우리말 번역

연습문제 23–34에서, 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

$\displaystyle h(t) = \cos t$

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

$\displaystyle h(t) = \cos t$

답 쓰고 채점

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$(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

$(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 2번

# 함수의 연속계산자동 분류

183.APEX · 1.5절 · 33번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(k) = \sqrt{1-e^k}$

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

$\displaystyle f(k) = \sqrt{1-e^k}$

답 쓰고 채점

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$(-\infty,0]$

원본 교재 풀이(영어)

$(-\infty,0]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 8번

# 함수의 연속계산자동 분류

184.APEX · 1.5절 · 34번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

$\displaystyle f(x) = \sin(e^x+x^2)$

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

$\displaystyle f(x) = \sin(e^x+x^2)$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(-\infty,\infty)$

원본 교재 풀이(영어)

$(-\infty,\infty)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

185.APEX · 1.5절 · 35번우리말 번역

연습문제 35–38은 사잇값 정리에 대한 이해를 확인하는 문제입니다.

$f$ 가 $[1,5]$ 에서 연속이고 $f(1) = -2$ , $f(5) = -10$ 이라 하자. $f(c) = -9$ 를 만족하는 값 $1<c<5$ 가 존재하는지 판단하세요. 그 이유도 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 35–38 test your understanding of the Intermediate Value Theorem.

Let $f$ be continuous on $[1,5]$ where $f(1) = -2$ and $f(5) = -10$ . Does a value $1<c<5$ exist such that $f(c) = -9$ ? Why/why not?

정답·풀이 보기

예, 사잇값 정리에 의해 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, by the Intermediate Value Theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 15번

# 함수의 연속계산자동 분류

186.APEX · 1.5절 · 36번우리말 번역

연습문제 35–38은 사잇값 정리에 대한 이해를 확인하는 문제입니다.

$g$ 가 $[-3,7]$ 에서 연속이고 $g(0) = 0$ , $g(2) = 25$ 라 하자. $g(c) = 15$ 를 만족하는 값 $-3<c<7$ 이 존재하는지 판단하세요. 그 이유도 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 35–38 test your understanding of the Intermediate Value Theorem.

Let $g$ be continuous on $[-3,7]$ where $g(0) = 0$ and $g(2) = 25$ . Does a value $-3<c<7$ exist such that $g(c) = 15$ ? Why/why not?

정답·풀이 보기

예, 사잇값 정리에 의해 존재한다. 더 구체적으로, 이러한 값 $c$ 는 $(-3,7)$ 뿐만 아니라 $(0,2)$ 에도 존재한다고 말할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Yes, by the Intermediate Value Theorem. In fact, we can be more specific and state such a value $c$ exists in $(0,2)$ , not just in $(-3,7)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

187.APEX · 1.5절 · 37번우리말 번역

연습문제 35–38은 사잇값 정리에 대한 이해를 확인하는 문제입니다.

$f$ 가 $[-1,1]$ 에서 연속이고 $f(-1) = -10$ , $f(1) = 10$ 이라 하자. $f(c) = 11$ 을 만족하는 값 $-1<c<1$ 이 존재하는지 판단하세요. 그 이유도 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 35–38 test your understanding of the Intermediate Value Theorem.

Let $f$ be continuous on $[-1,1]$ where $f(-1) = -10$ and $f(1) = 10$ . Does a value $-1<c<1$ exist such that $f(c) = 11$ ? Why/why not?

정답·풀이 보기

알 수 없다. 사잇값 정리는 $-10$ 과 10 사이의 함숫값에만 적용되는데, 11은 이 범위 밖에 있으므로 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We cannot say; the Intermediate Value Theorem only applies to function values between $-10$ and 10; as 11 is outside this range, we do not know.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 37번

# 함수의 연속계산자동 분류

188.APEX · 1.5절 · 38번우리말 번역

연습문제 35–38은 사잇값 정리(IVT)에 대한 이해를 확인하는 문제입니다.

$h$ 를 $[-1,1]$ 에서 정의된 함수라 하고 $h(-1) = -10$ , $h(1) = 10$ 이라 하자. $h(c) = 0$ 을 만족하는 값 $-1<c<1$ 이 존재하는가? 그 이유 또는 그렇지 않은 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Exercises 35–38 test your understanding of the Intermediate Value Theorem.

Let $h$ be a function on $[-1,1]$ where $h(-1) = -10$ and $h(1) = 10$ . Does a value $-1<c<1$ exist such that $h(c) = 0$ ? Why/why not?

정답·풀이 보기

알 수 없다. 사잇값 정리는 연속함수에만 적용된다. $h$ 가 연속인지 알지 못하므로 알 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

We cannot say; the Intermediate Value Theorem only applies to continuous functions. As we do know know if $h$ is continuous, we cannot say.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 7번

# 함수의 연속계산자동 분류

189.APEX · 1.5절 · 39번우리말 번역

연습문제 39–42에서 이분법을 사용하여 주어진 구간에서 주어진 함수의 근의 값을 소수 둘째 자리까지 정확하게 어림하세요.

$f(x) = x^2+2x-4$ , 구간 $[1,1.5]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, use the Bisection Method to approximate, accurate to two decimal places, the value of the root of the given function in the given interval.

$f(x) = x^2+2x-4$ on $[1,1.5]$ .

정답·풀이 보기

근삿값은 $x=1.23$ 이다. 사용한 구간은 다음과 같다: $[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$ $[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$ $[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$

원본 교재 풀이(영어)

Approximate root is $x=1.23$ . The intervals used are: $[1,1.5] \quad [1,1.25] \quad [1.125,1.25]$ $[1.1875,1.25]\quad [1.21875,1.25]\quad [1.234375,1.25]$ $[1.234375,1.2421875]\quad [1.234375,1.2382813]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 7번

# 함수의 연속계산자동 분류

190.APEX · 1.5절 · 40번우리말 번역

연습문제 39–42에서 이분법을 사용하여 주어진 구간에서 주어진 함수의 근의 값을 소수 둘째 자리까지 정확하게 어림하세요.

$f(x) = \sin x - 1/2$ , 구간 $[0.5,0.55]$

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, use the Bisection Method to approximate, accurate to two decimal places, the value of the root of the given function in the given interval.

$f(x) = \sin x - 1/2$ on $[0.5,0.55]$

정답·풀이 보기

근삿값은 $x=0.52$ 이다. 사용한 구간은 다음과 같다: $[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$ $[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$

원본 교재 풀이(영어)

Approximate root is $x=0.52$ . The intervals used are: $[0.5,0.55] \quad [0.5,0.525] \quad [0.5125,0.525]$ $[0.51875,0.525]\quad [0.521875,0.525]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 4번

# 함수의 연속계산자동 분류

191.APEX · 1.5절 · 41번우리말 번역

연습문제 39–42에서 이분법을 사용하여 주어진 구간에서 주어진 함수의 근의 값을 소수 둘째 자리까지 정확하게 어림하세요.

$f(x) = e^x - 2$ , 구간 $[0.65,0.7]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, use the Bisection Method to approximate, accurate to two decimal places, the value of the root of the given function in the given interval.

$f(x) = e^x - 2$ on $[0.65,0.7]$ .

정답·풀이 보기

근삿값은 $x=0.69$ 이다. 사용한 구간은 다음과 같다: $[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$ $[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$

원본 교재 풀이(영어)

Approximate root is $x=0.69$ . The intervals used are: $[0.65,0.7] \quad [0.675,0.7] \quad [0.6875,0.7]$ $[0.6875,0.69375]\quad [0.690625,0.69375]$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 23번

# 함수의 연속계산자동 분류

192.APEX · 1.5절 · 42번우리말 번역

연습문제 39–42에서 이분법을 사용하여 주어진 구간에서 주어진 함수의 근의 값을 소수 둘째 자리까지 정확하게 어림하세요.

$f(x) = \cos x -\sin x$ , 구간 $[0.7,0.8]$ .

영어 원문 보기

In Exercises 39–42, use the Bisection Method to approximate, accurate to two decimal places, the value of the root of the given function in the given interval.

$f(x) = \cos x -\sin x$ on $[0.7,0.8]$ .

정답·풀이 보기

근삿값은 $x=0.78$ 이다. 사용한 구간은 다음과 같다: $[0.7,0.8] \quad [0.75,0.8] \quad [0.775,0.8]$ $[0.775,0.7875]\quad [0.78125,0.7875]$

(몇 단계를 더 진행하면 근이 $\pi/4 \approx 0.78539$ 이므로 $0.79$ 가 더 좋은 근삿값임을 알 수 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

Approximate root is $x=0.78$ . The intervals used are: $[0.7,0.8] \quad [0.75,0.8] \quad [0.775,0.8]$ $[0.775,0.7875]\quad [0.78125,0.7875]$

(A few more steps show that $0.79$ is better as the root is $\pi/4 \approx 0.78539$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속계산자동 분류

193.APEX · 1.6절 · 15번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요.

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-x-6}$

정답·풀이 보기

표는 다양할 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -15.1224 \\ 2.99 & -159.12 \\ 2.999 & -1599.12\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 16.8824 \\ 3.01 & 160.88 \\ 3.001 & 1600.88\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x)$ 는 존재하지 않는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -15.1224 \\ 2.99 & -159.12 \\ 2.999 & -1599.12\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 16.8824 \\ 3.01 & 160.88 \\ 3.001 & 1600.88\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x)$ does not exist.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.5절 · 9번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

194.APEX · 1.6절 · 16번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)= \frac{x^2+5 x-36}{x^3-5 x^2+3 x+9}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -335.64 \\ 2.99 & -30350.6\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -265.61 \\ 3.01 & -29650.6\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =-\infty$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -335.64 \\ 2.99 & -30350.6\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -265.61 \\ 3.01 & -29650.6\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =-\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =-\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.6절 · 3번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

195.APEX · 1.6절 · 17번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-11 x+30}{x^3-4 x^2-3 x+18}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & 132.857 \\ 2.99 & 12124.4\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 108.039 \\ 3.01 & 11876.4\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =\infty$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & 132.857 \\ 2.99 & 12124.4\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =\infty$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & 108.039 \\ 3.01 & 11876.4\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =\infty$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =\infty$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.6절 · 13번

# 무한대에서의 극한과 점근선계산자동 분류

196.APEX · 1.6절 · 18번우리말 번역

연습문제 15–18에서, 다음 극한을 수치적으로 어림하세요:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, numerically approximate the following limits:

(a) $\displaystyle \lim_{x\to 3^-} f(x)$ (b) $\displaystyle \lim_{x\to 3^+} f(x)$ (c) $\displaystyle \lim_{x\to 3} f(x)$

$\displaystyle f(x)=\frac{x^2-9 x+18}{x^2-x-6}$

정답·풀이 보기

표는 다를 수 있다.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -0.632 \\ 2.99 & -0.6032 \\ 2.999 & -0.60032\end{array}$ $\lim_{x\to3^-}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다. (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -0.5686 \\ 3.01 & -0.5968 \\ 3.001 & -0.59968\end{array}$ $\lim_{x\to3^+}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다. (c) $\lim_{x\to3}f(x) =-0.6$ 인 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Tables will vary.

(a) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 2.9 & -0.632 \\ 2.99 & -0.6032 \\ 2.999 & -0.60032\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^-}f(x) =-0.6$ . (b) $\begin{array}{cc}x & f(x) \\ \hline 3.1 & -0.5686 \\ 3.01 & -0.5968 \\ 3.001 & -0.59968\end{array}$ It seems $\lim_{x\to3^+}f(x) =-0.6$ . (c) It seems $\lim_{x\to3}f(x) =-0.6$ .