빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅰ · 함수의 극한과 연속

함수의 연속

한 점에서 연속인 조건(함숫값=극한값)을 확인하고 불연속인 곳을 찾는다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
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64문제 · 2 / 4쪽

21.OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번우리말 번역

사잇값 정리를 적용하여 2x=x3{2}^{x}={x}^{3} 이 구간 [1.25,1.375][1.25,1.375] 또는 [1.375,1.5][1.375,1.5] 중 하나에서 해를 갖는지 판단하세요. 각 구간에 대해 답을 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Apply the IVT to determine whether 2x=x3{2}^{x}={x}^{3} has a solution in one of the intervals [1.25,1.375][1.25,1.375] or [1.375,1.5].[1.375,1.5]. Briefly explain your response for each interval.

정답·풀이 보기

함수 f(x)=2x−x3f(x)={2}^{x}-{x}^{3} 은 구간 [1.25,1.375][1.25,1.375] 에서 연속이고 양 끝점에서 부호가 반대이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function f(x)=2x−x3f(x)={2}^{x}-{x}^{3} is continuous over the interval [1.25,1.375][1.25,1.375] and has opposite signs at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
22.OpenStax 1권 · 2.4절 · 32번우리말 번역

x→ax\to a 일 때 f(x)f(x) 의 좌극한과 우극한이 존재하고 서로 같으면, f 는 x=ax=a 에서 불연속일 수 없다.

영어 원문 보기

If the left- and right-hand limits of f(x)f(x) as x→ax\to a exist and are equal, then f cannot be discontinuous at x=a.x=a.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
23.OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번우리말 번역

함수가 한 점에서 연속이 아니면, 그 점에서 정의되지 않는다.

영어 원문 보기

If a function is not continuous at a point, then it is not defined at that point.

정답·풀이 보기

거짓이다. 다음 함수를 생각하자. f(x)={x ( x≠0 일 때)4 ( x=0 일 때)f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{(}\,x\ne 0\text{ 일 때)}\\ 4\,\text{(}\,x=0\text{ 일 때)}\end{array}\right.

원본 교재 풀이(영어)

False. Consider f(x)={x if x≠04 if x=0.f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\ne 0 \\ 4\,\text{if}\,x=0\end{array}\right..

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
24.OpenStax 1권 · 2.4절 · 34번우리말 번역

사잇값 정리에 따르면, cos⁡x−sin⁡x−x=2\cos x-\sin x-x=2 는 구간 [−1,1][-1,1] 에서 해를 가진다.

영어 원문 보기

According to the IVT, cos⁡x−sin⁡x−x=2\cos x-\sin x-x=2 has a solution over the interval [−1,1].[-1,1].

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 9번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
25.OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번우리말 번역

f(x)f(x) 가 연속이고 f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 의 부호가 서로 반대이면, f(x)=0f(x)=0 은 [a,b][a,b] 에서 해를 정확히 하나 가진다.

영어 원문 보기

If f(x)f(x) is continuous such that f(a)f(a) and f(b)f(b) have opposite signs, then f(x)=0f(x)=0 has exactly one solution in [a,b].[a,b].

정답·풀이 보기

거짓이다. 사잇값 정리는 해가 적어도 하나 있다는 것만 말해 줄 뿐, 해가 정확히 하나임을 보장하지는 않는다. 구간 [−π,2π][-\pi ,2\pi ] 에서 f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos (x) 를 생각하자.

원본 교재 풀이(영어)

False. IVT only says that there is at least one solution; it does not guarantee that there is exactly one. Consider f(x)=cos⁡(x)f(x)=\cos (x) on [−π,2π].[-\pi ,2\pi ].

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
26.OpenStax 1권 · 2.4절 · 37번우리말 번역

f(x)f(x) 가 모든 곳에서 연속이고 f(a),f(b)>0f(a),f(b)>0 이면, 구간 [a,b][a,b] 에 f(x)f(x) 의 근은 없다.

영어 원문 보기

If f(x)f(x) is continuous everywhere and f(a),f(b)>0,f(a),f(b)>0, then there is no root of f(x)f(x) in the interval [a,b].[a,b].

정답·풀이 보기

거짓. 사잇값 정리는 역으로는 성립하지 않는다! 구간 [−2,2][-2,2] 에서 (x−1)2{(x-1)}^{2} 을 생각해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. The IVT does not work in reverse! Consider (x−1)2{(x-1)}^{2} over the interval [−2,2].[-2,2].

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
27.OpenStax 1권 · 2.4절 · 38번우리말 번역

많은 입자가 상호작용하는 모형의 계산을 간단히 하기 위해, 어떤 기준값 r=Rr=R 이후에서는 F 를 0으로 어림한다.

a. 이 가정의 물리적 근거를 설명하세요. b. 힘의 방정식은 무엇인지 구하세요. c. 전하량의 크기가 1.6022 × 10−19 쿨롱 (C)1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{쿨롱 (C)} 인 두 양성자와 쿨롱 상수 ke=8.988 × 109Nm2/C2{k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2} 에 대해, 두 양성자가 1 m 떨어져 있다고 하고 쿨롱 법칙과 우리의 어림을 모두 사용하여 힘 F 의 값을 구하세요. 또한 R<1 mR<1\,\text{m} 라고 가정하세요. 우리의 어림은 얼마나 큰 오차를 만드는지 구하세요. 우리의 어림은 타당한지 판단하세요. d. 이 계가 R 에서 연속이 되도록 하는 R 의 유한한 값이 존재하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value r=R,r=R, we approximate F as zero.

a. Explain the physical reasoning behind this assumption. b. What is the force equation? c. Evaluate the force F using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of 1.6022 × 10−19 coulombs (C),1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{coulombs (C)}, and the Coulomb constant ke=8.988 × 109Nm2/C2{k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2} are 1 m apart. Also, assume R<1 m.R<1\,\text{m}. How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable? d. Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
28.OpenStax 1권 · 2.4절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 로켓의 질량이 3백만 kg일 때, k의 값과 단위를 구하세요. (힌트: 지구 중심에서 지구 표면까지의 거리는 6378 km이다.)

영어 원문 보기

[T] Determine the value and units of k given that the mass of the rocket is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 25번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
29.OpenStax 1권 · 2.4절 · 41번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 거리 D 를 지나면 지구의 중력 효과는 무시할 만큼 작아지므로, 힘 함수를 F(d)={−mkd2( d<D 일 때)10,000( d≥D 일 때)F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ 10,000 & \text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right. 로 근사할 수 있다. 앞의 문제에서 구한 k의 값을 이용하여, 힘 함수가 연속이 되도록 하는 D 의 필요조건을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] After a certain distance D has passed, the gravitational effect of Earth becomes quite negligible, so we can approximate the force function by F(d)={−mkd2if d<D10,000if d≥D.F(d)=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{mk}{{d}^{2}} & \text{if}\,d<D \\ 10,000 & \text{if}\,d\ge D\end{array}\right.. Using the value of k found in the previous exercise, find the necessary condition D such that the force function remains continuous.

답 쓰고 채점
km
정답·풀이 보기

D=345,826 kmD=345,826\,\text{km}

원본 교재 풀이(영어)

D=345,826 kmD=345,826\,\text{km}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 19번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
30.OpenStax 1권 · 2.4절 · 42번우리말 번역

로켓이 지구 표면에서 멀어지면, 더 이상 여분의 연료 저장 공간이 필요하지 않으므로 로켓이 질량의 일부를 버리는 거리 D가 존재한다. 이 함수를 F(d)={−m1kd2 ( d<D 일 때)−m2kd2 ( d≥D 일 때)F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d<D\text{ 일 때)}\\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{(}\,d\ge D\text{ 일 때)}\end{array}\right. 와 같이 쓸 수 있다. m1≠m2{m}_{1}\ne {m}_{2} 라고 가정할 때, 이 함수가 연속이 되도록 하는 D 값이 존재하는지 답하세요.

영어 원문 보기

As the rocket travels away from Earth’s surface, there is a distance D where the rocket sheds some of its mass, since it no longer needs the excess fuel storage. We can write this function as F(d)={−m1kd2 if d<D−m2kd2 if d≥D.F(d)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{{m}_{1}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d<D \\ -\frac{{m}_{2}k}{{d}^{2}}\,\text{if}\,d\ge D\end{array}\right.. Is there a D value such that this function is continuous, assuming m1≠m2?{m}_{1}\ne {m}_{2}?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 5번
# 함수의 연속계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 1 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
31.APEX · 1.5절 · 19번우리말 번역

연습문제 19–22에서 ff 가 주어진 값에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 설명하세요.

f(x)={1x=0sin⁡xxx>0\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 1 & & x=0\\ \frac{\sin x}{x} & & x>0 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=πx=\pi

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, determine if ff is continuous at the indicated values. If not, explain why.

f(x)={1x=0sin⁡xxx>0\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} 1 & & x=0\\ \frac{\sin x}{x} & & x>0 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=πx=\pi

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 예 (b) 예

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes (b) Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 10번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
32.APEX · 1.5절 · 20번우리말 번역

연습문제 19–22에서 ff 가 주어진 값에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 설명하세요.

f(x)={x3−xx<1x−2x≥1\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} x^3-x & & x<1\\ x-2 & & x\geq 1 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=1x=1

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, determine if ff is continuous at the indicated values. If not, explain why.

f(x)={x3−xx<1x−2x≥1\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} x^3-x & & x<1\\ x-2 & & x\geq 1 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=1x=1

정답·풀이 보기

(a) 예 (b) 아니요; 1에서의 좌극한과 우극한이 같지 않다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes (b) No; the left and right hand limits at 1 are not equal.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 8번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
33.APEX · 1.5절 · 21번우리말 번역

연습문제 19–22에서 ff 가 주어진 값에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 설명하세요.

f(x)={x2+5x+4x2+3x+2x≠−13x=−1\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2} & & x\neq -1\\ 3 & & x=-1 \end{array}\right.

(a) x=−1x=-1 (b) x=10x=10

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, determine if ff is continuous at the indicated values. If not, explain why.

f(x)={x2+5x+4x2+3x+2x≠−13x=−1\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2+5x+4}{x^2+3x+2} & & x\neq -1\\ 3 & & x=-1 \end{array}\right.

(a) x=−1x=-1 (b) x=10x=10

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) 예 (b) 예

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes (b) Yes

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
34.APEX · 1.5절 · 22번우리말 번역

연습문제 19–22에서 ff 가 주어진 값에서 연속인지 판단하세요. 연속이 아니라면 그 이유를 설명하세요.

f(x)={x2−64x2−11x+24x≠85x=8\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2-64}{x^2-11 x+24} & & x\neq 8\\ 5 & & x=8 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=8x=8

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, determine if ff is continuous at the indicated values. If not, explain why.

f(x)={x2−64x2−11x+24x≠85x=8\displaystyle f(x) = \left\{\begin{array}{ccc} \frac{x^2-64}{x^2-11 x+24} & & x\neq 8\\ 5 & & x=8 \end{array}\right.

(a) x=0x=0 (b) x=8x=8

정답·풀이 보기

(a) 예 (b) 아니요. lim⁡x→8f(x)=16/5≠f(8)=5\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Yes (b) No. lim⁡x→8f(x)=16/5≠f(8)=5\lim_{x\to 8} f(x) = 16/5 \neq f(8) = 5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 16번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
35.APEX · 1.5절 · 23번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

f(x)=x2−3x+9f(x) = x^2-3x+9

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

f(x)=x2−3x+9f(x) = x^2-3x+9

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(−∞,∞)(-\infty,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 20번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
36.APEX · 1.5절 · 24번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

g(x)=x2−4\displaystyle g(x) = \sqrt{x^2-4}

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

g(x)=x2−4\displaystyle g(x) = \sqrt{x^2-4}

정답·풀이 보기

(−∞,−2](-\infty,-2] 와 [2,∞)[2,\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(−∞,−2](-\infty,-2] and [2,∞)[2,\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 9번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
37.APEX · 1.5절 · 25번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

g(x)=4−x2\displaystyle g(x) = \sqrt{4-x^2}

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

g(x)=4−x2\displaystyle g(x) = \sqrt{4-x^2}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

[−2,2][-2,2]

원본 교재 풀이(영어)

[−2,2][-2,2]

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 13번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
38.APEX · 1.5절 · 26번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

h(k)=1−k+k+1\displaystyle h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

h(k)=1−k+k+1\displaystyle h(k) = \sqrt{1-k}+\sqrt{k+1}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

[−1,1][-1,1]

원본 교재 풀이(영어)

[−1,1][-1,1]

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 2번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
39.APEX · 1.5절 · 27번우리말 번역

연습문제 23–34에서 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

f(t)=5t2−30\displaystyle f(t) = \sqrt{5t^2-30}

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

f(t)=5t2−30\displaystyle f(t) = \sqrt{5t^2-30}

정답·풀이 보기

(−∞,−6](-\infty,-\sqrt{6}] 와 [6,∞)[\sqrt{6},\infty)

원본 교재 풀이(영어)

(−∞,−6](-\infty,-\sqrt{6}] and [6,∞)[\sqrt{6},\infty)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 6번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
40.APEX · 1.5절 · 28번우리말 번역

연습문제 23–34에서, 주어진 함수가 연속인 구간을 구하세요.

g(t)=11−t2\displaystyle g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}

영어 원문 보기

In Exercises 23–34, give the intervals on which the given function is continuous.

g(t)=11−t2\displaystyle g(t) = \frac{1}{\sqrt{1-t^2}}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

(−1,1)(-1,1)

원본 교재 풀이(영어)

(−1,1)(-1,1)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번
# 함수의 연속계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)