빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 다중적분

원기둥·구면좌표 삼중적분

원기둥·구 모양 영역의 삼중적분을 좌표를 바꾸어 계산한다

유형전체 개념 확인 계산 그래프·표 해석 활용 증명·논술

난이도전체 기본 보통 도전

풀이전체 우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

132문제 · 4 / 7쪽

61.APEX · 13.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–6에서 점들이 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구면좌표계 중 하나로 주어져 있습니다. 나머지 좌표계에서의 점의 좌표를 구하세요.

(a) 직교좌표로 주어진 점:

$(2,2,1)$ 과 $(-\sqrt{3},1,0)$ (b) 원기둥좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/4,2)$ 과 $(3,3\pi/2,-4)$ (c) 구면좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/4,\pi/4)$ 과 $(1,0,0)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, points are given in either the rectangular, cylindrical or spherical coordinate systems. Find the coordinates of the points in the other systems.

(a) Points in rectangular coordinates:

$(2,2,1)$ and $(-\sqrt{3},1,0)$ (b) Points in cylindrical coordinates:

$(2,\pi/4,2)$ and $(3,3\pi/2,-4)$ (c) Points in spherical coordinates:

$(2,\pi/4,\pi/4)$ and $(1,0,0)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표: $(2\sqrt 2,\pi/4,1)$ 과 $(2,5\pi/6,0)$

구면좌표: $(3,\pi/4,\cos^{-1}(1/3))$ 과 $(2,5\pi/6,\pi/2)$ (b) 직교좌표: $(\sqrt 2,\sqrt 2,2)$ 과 $(0,-3,-4)$

구면좌표: $(2\sqrt 2,\pi/4,\pi/4)$ 과 $(5,3\pi/2,\pi-\tan^{-1}(3/4))$ (c) 직교좌표: $(1,1,\sqrt{2})$ 과 $(0,0,1)$

원기둥좌표: $(\sqrt{2},\pi/4,\sqrt{2})$ 과 $(0,0,1)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Cylindrical: $(2\sqrt 2,\pi/4,1)$ and $(2,5\pi/6,0)$

Spherical: $(3,\pi/4,\cos^{-1}(1/3))$ and $(2,5\pi/6,\pi/2)$ (b) Rectangular: $(\sqrt 2,\sqrt 2,2)$ and $(0,-3,-4)$

Spherical: $(2\sqrt 2,\pi/4,\pi/4)$ and $(5,3\pi/2,\pi-\tan^{-1}(3/4))$ (c) Rectangular: $(1,1,\sqrt{2})$ and $(0,0,1)$

Cylindrical: $(\sqrt{2},\pi/4,\sqrt{2})$ and $(0,0,1)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 30번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

62.APEX · 13.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–6에서 점들이 직교좌표계, 원기둥좌표계, 구면좌표계 중 하나로 주어져 있습니다. 나머지 좌표계에서의 점의 좌표를 구하세요.

(a) 직교좌표로 주어진 점:

$(0,1,1)$ 과 $(-1,0,1)$ (b) 원기둥좌표로 주어진 점:

$(0,\pi,1)$ 과 $(2,4\pi/3,0)$ (c) 구면좌표로 주어진 점:

$(2,\pi/6,\pi/2)$ 과 $(3,\pi,\pi)$

영어 원문 보기

In Exercises 5–6, points are given in either the rectangular, cylindrical or spherical coordinate systems. Find the coordinates of the points in the other systems.

(a) Points in rectangular coordinates:

$(0,1,1)$ and $(-1,0,1)$ (b) Points in cylindrical coordinates:

$(0,\pi,1)$ and $(2,4\pi/3,0)$ (c) Points in spherical coordinates:

$(2,\pi/6,\pi/2)$ and $(3,\pi,\pi)$

정답·풀이 보기

(a) 원기둥좌표: $(1,\pi/2,1)$ 과 $(1,\pi,1)$

구면좌표: $(\sqrt 2,\pi/2,\pi/4)$ 과 $(\sqrt{2}, \pi, \pi/4)$ (b) 직교좌표: $(0,0,1)$ 과 $(-1,-\sqrt 3,0)$

구면좌표: $(1,\pi,0)$ 과 $(2,4\pi/3,\pi/2)$ (c) 직교좌표: $(\sqrt 3,1,0)$ 과 $(0,0,-3)$

원기둥좌표: $(2,\pi/6,0)$ 과 $(0,\pi,-3)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) Cylindrical: $(1,\pi/2,1)$ and $(1,\pi,1)$

Spherical: $(\sqrt 2,\pi/2,\pi/4)$ and $(\sqrt{2}, \pi, \pi/4)$ (b) Rectangular: $(0,0,1)$ and $(-1,-\sqrt 3,0)$

Spherical: $(1,\pi,0)$ and $(2,4\pi/3,\pi/2)$ (c) Rectangular: $(\sqrt 3,1,0)$ and $(0,0,-3)$

Cylindrical: $(2,\pi/6,0)$ and $(0,\pi,-3)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 12번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

63.APEX · 13.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–8에서 주어진 범위로 정해지는 공간의 곡선, 곡면 또는 영역을 설명하세요.

원기둥좌표에서의 범위:

(a) $r=1$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $1\leq r\leq 2$ , $0\leq \theta\leq \pi$ , $0\leq z\leq 1$

구면좌표에서의 범위:

(a) $\rho=3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi/2$ (b) $2\leq\rho\leq3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi$

영어 원문 보기

In Exercises 7–8, describe the curve, surface or region in space determined by the given bounds.

Bounds in cylindrical coordinates:

(a) $r=1$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $1\leq r\leq 2$ , $0\leq \theta\leq \pi$ , $0\leq z\leq 1$

Bounds in spherical coordinates:

(a) $\rho=3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi/2$ (b) $2\leq\rho\leq3$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $0\leq\varphi\leq \pi$

정답·풀이 보기

(a) $z$ 축을 중심축으로 하는 반지름 1인 원기둥면(관)이며, $x$ - $y$ 평면에서 평면 $z=1$ 까지 뻗어 있다(즉, 관의 길이는 1이다). (b) 공간의 영역으로, 안쪽 반지름이 1이고 바깥쪽 반지름이 2인 "두꺼운" 벽을 가진 관의 절반이다. 이 관은 $z$ 축을 중심축으로 하고 길이가 1이며, $x$ - $z$ 평면의 "아래쪽" 절반은 제거된 것이다. (c) 원점을 중심으로 하는 반지름 3인 구의 위쪽 절반(즉, 위쪽 반구)이다. (d) 공간의 영역으로, 원점을 중심으로 하는 반지름 3인 공에서 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 공을 제거한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A cylindrical surface or tube, centered along the $z$ -axis of radius 1, extending from the $x$ - $y$ plane up to the plane $z=1$ (i.e., the tube has a length of 1). (b) This is a region of space, being half of a tube with “thick” walls of inner radius 1 and outer radius 2, centered along the $z$ -axis with a length of 1, where the half “below” the $x$ - $z$ plane is removed. (c) This is upper half of the sphere of radius 3 centered at the origin (i.e., the upper hemisphere). (d) This is a region of space, where the ball of radius 2, centered at the origin, is removed from the ball of radius 3, centered at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 29번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

64.APEX · 13.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–8에서, 주어진 범위로 정해지는 공간의 곡선, 곡면 또는 영역을 설명하세요.

원통좌표에서의 범위:

(a) $1\leq r\leq 2$ , $\theta= \pi/2$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $r= 2$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $z=5$

구면좌표에서의 범위:

(a) $0\leq\rho\leq2$ , $0\leq \theta\leq\pi$ , $\varphi = \pi/4$ (b) $\rho=2$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $\varphi = \pi/6$

영어 원문 보기

In Exercises 7–8, describe the curve, surface or region in space determined by the given bounds.

Bounds in cylindrical coordinates:

(a) $1\leq r\leq 2$ , $\theta= \pi/2$ , $0\leq z\leq 1$ (b) $r= 2$ , $0\leq \theta\leq 2\pi$ , $z=5$

Bounds in spherical coordinates:

(a) $0\leq\rho\leq2$ , $0\leq \theta\leq\pi$ , $\varphi = \pi/4$ (b) $\rho=2$ , $0\leq \theta\leq2\pi$ , $\varphi = \pi/6$

정답·풀이 보기

(a) $y$ - $z$ 평면 위의 정사각형 부분으로, 꼭짓점이 $(0,1,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,2,1)$ , $(0,2,0)$ 이다. (b) 곡선이며, 중심이 $(0,0,5)$ 이고 반지름이 2인 원이다. 이 원은 $x$ - $y$ 평면에 평행하게(즉, 평면 $z=5$ 위에) 놓여 있다. (c) 공간의 영역으로, 윗면이 둥근 속이 찬 원뿔의 절반이다. 둥근 윗면은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 구의 일부이고, 원뿔의 옆면은 $z$ 축의 양의 방향과 $\pi/4$ 의 각을 이룬다. $\theta$ 의 범위는 $x$ - $z$ 평면의 “위쪽” 부분만 남긴다는 뜻이다. (d) 곡선이며, 중심이 $(0,0,\sqrt 3)$ 이고 반지름이 1인 원으로, $x$ - $y$ 평면에 평행하게 놓여 있다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) A square portion of the $y$ - $z$ plane with corners at $(0,1,0)$ , $(0,1,1)$ , $(0,2,1)$ and $(0,2,0)$ . (b) This is a curve, a circle of radius 2, centered at $(0,0,5)$ , lying parallel to the $x$ - $y$ plane (i.e., in the plane $z=5$ ). (c) This is a region of space, a half of a solid cone with rounded top, where the rounded top is a portion of the ball of radius 2 centered at the origin and the sides of the cone make an angle of $\pi/4$ with the positive $z$ -axis. The bounds on $\theta$ mean only the portion “above” the $x$ - $z$ plane are retained. (d) This is a curve, a circle of radius 1 centered at $(0,0,\sqrt 3)$ , lying parallel to the $x$ - $y$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 14번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

65.APEX · 13.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에는 원통좌표와 구면좌표로 정의되는 공간의 표준 영역이 나타나 있습니다. 주어진 함수를 그래프로 나타낸 영역에서 적분하는 삼중적분을 세우세요.

원통좌표, $h(r,\theta,z)$ 를 적분:

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, standard regions in space, as defined by cylindrical and spherical coordinates, are shown. Set up the triple integral that integrates the given function over the graphed region.

Cylindrical coordinates, integrating $h(r,\theta,z)$ :

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}h(r,\theta,z)r\ dz\ dr\ d\theta$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{r_1}^{r_2}\int_{z_1}^{z_2}h(r,\theta,z)r\ dz\ dr\ d\theta$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 23번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

66.APEX · 13.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–10에서는 원기둥좌표와 구면좌표로 정의되는 공간의 표준 영역이 그려져 있습니다. 주어진 함수를 그래프로 나타낸 영역 위에서 적분하는 삼중적분을 세우세요.

원기둥좌표, $h(\rho,\theta,\varphi)$ 를 적분하세요:

영어 원문 보기

In Exercises 9–10, standard regions in space, as defined by cylindrical and spherical coordinates, are shown. Set up the triple integral that integrates the given function over the graphed region.

Cylindrical coordinates, integrating $h(\rho,\theta,\varphi)$ :

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2}h(\rho,\theta,\varphi)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\theta_1}^{\theta_2}\int_{\rho_1}^{\rho_2}h(\rho,\theta,\varphi)\rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분그래프·표 해석자동 분류

67.APEX · 13.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에는 원통좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\int_0^2 r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^2\int_0^2 r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 평면 $z=0$ 과 $z=2$ 사이에 있고, 원기둥 $x^2+y^2=4$ 의 안쪽에 있으며, 평면 $\theta = 0$ 과 $\theta = \pi/2$ 사이에 있다. 즉 높이가 2이고 반지름이 2인 원기둥의 “쐐기” 모양이며, 쐐기의 각은 $\pi/2$ , 곧 $90^\circ$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded between the planes $z=0$ and $z=2$ , inside of the cylinder $x^2+y^2=4$ , and the planes $\theta = 0$ and $\theta = \pi/2$ : describes a “wedge” of a cylinder of height 2 and radius 2; the angle of the wedge is $\pi/2$ , or $90^\circ$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 6번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

68.APEX · 13.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에는 원통좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_3^4\int_0^5 r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_3^4\int_0^5 r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=0$ 과 $z=5$ 사이에 있고, 원기둥 $x^2+y^2=9$ 와 $x^2+y^2=16$ 사이에 있다. 즉 길이가 5이고 안쪽 반지름이 3, 바깥쪽 반지름이 4인 “파이프” 또는 “관” 모양이다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the planes $z=0$ and $z=5$ , between the cylinders $x^2+y^2=9$ and $x^2+y^2=16$ : describes a “pipe” or “tube” of length 5, an inner radius of 3 and outer radius of 4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.5절 · 3번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

69.APEX · 13.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{1-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1\int_0^{1-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=1$ 과 원뿔 $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ 사이에서 유계인 영역이다. 높이가 1이고 꼭짓점이 $(0,0,1)$ 이며 밑면의 반지름이 1인 거꾸로 된 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the plane $z=1$ and the cone $z=1-\sqrt{x^2+y^2}$ : describes an inverted cone, with height of 1, point at $(0,0,1)$ and base radius of 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

70.APEX · 13.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{2-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{2-r} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

$y\geq 0$ 이고, 원기둥 $x^2+y^2=1$ 의 안쪽, 평면 $z=0$ 의 위쪽, 원뿔 $z = 2-\sqrt{x^2+y^2}$ 의 아래쪽으로 유계인 영역이다. 높이가 1이고 반지름이 2인 원기둥 모양의 입체 위에, 높이가 1이고 밑면의 반지름이 1이며 꼭짓점이 $(0,0,2)$ 인 거꾸로 된 원뿔을 얹은 모양을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between $y\geq 0$ , inside the cylinder $x^2+y^2=1$ , above the plane $z=0$ and below the cone $z = 2-\sqrt{x^2+y^2}$ : describes cylindrical solid of height 1 and radius 2, topped with an inverted cone of height 1 and base radius 1 with point at $(0,0,2)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 1번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

71.APEX · 13.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^3\int_0^{\sqrt{9-r^2}} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하는 반지름 3인 구의 4분의 1을 나타낸다. 이 부분은 $x$ - $y$ 평면의 위쪽과 $x$ - $z$ 평면의 위쪽에 놓여 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes a quarter of a ball of radius 3, centered at the origin; the quarter resides above the $x$ - $y$ plane and above the $x$ - $z$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 18번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

72.APEX · 13.7절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 원기둥좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-r^2}+b} r\ dz\ dr\ d\theta$

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a triple integral in cylindrical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-r^2}+b} r\ dz\ dr\ d\theta$

정답·풀이 보기

평면 $z=0$ 의 위쪽, 원기둥 $x^2+y^2 = a^2$ 의 안쪽, 그리고 반지름이 $a$ 이고 $(0,0,b)$ 를 중심으로 하는 위쪽 반구 $z= \sqrt{a^2-x^2-y^2}+b$ 의 아래쪽으로 유계인 영역이다. 반지름이 $a$ 이고 높이가 $b$ 인 원기둥 모양의 입체 위에 반지름이 $a$ 인 위쪽 반구를 얹은 모양을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Bounded between the plane $z=0$ , inside the cylinder $x^2+y^2 = a^2$ , and below the upper hemisphere $z= \sqrt{a^2-x^2-y^2}+b$ , with radius $a$ and centered at $(0,0,b)$ : describes a cylindrical solid of radius $a$ and height $b$ , topped with the upper hemisphere of radius $a$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 3번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

73.APEX · 13.7절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서 구면좌표로 나타낸 삼중적분이 주어져 있습니다. 적분 범위로 정의되는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi}\int_0^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi}\int_0^{1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

단위구 중 제1팔분공간에 놓여 있는 부분을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes the portion of the unit ball that resides in the first octant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 19번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

74.APEX · 13.7절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_1^{1.1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_0^{\pi}\int_1^{1.1} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

원점을 중심으로 하고 안쪽 반지름이 $1$ , 바깥쪽 반지름이 $1.1$ 인 구껍질의 절반(즉, $y\geq 0$ 인 부분)을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

Describes half of a spherical shell (i.e., $y\geq 0$ ) with inner radius of $1$ and outer radius of $1.1$ centered at the origin.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

75.APEX · 13.7절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_0^{2} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{\pi/6}^{\pi/4}\int_0^{2} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

$z=\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 구 $x^2+y^2+z^2=4$ 로 위로 유계인 공간의 영역이며, 원뿔 $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ 의 위쪽 부분은 제외된다. 즉, 옆면이 양의 $z$ 축과 $\pi/4$ 의 각을 이루는 원뿔 위에, 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 공의 일부가 얹힌 모양이며, 각이 $\pi/6$ 인 안쪽 원뿔을 제거하고 반지름 2인 공에서 그에 대응하는 부분도 함께 제거한 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

It is the region is space bounded below by $z=\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the sphere $x^2+y^2+z^2=4$ , with the portion above the cone $z=\sqrt3\sqrt{x^2+y^2}$ removed: it describes a cone, where the side makes an angle of $\pi/4$ with the positive $z$ -axis, topped by the portion of the ball of radius 2, centered at the origin, with the inner cone with angle $\pi/6$ removed, along with corresponding portion of the ball of radius 2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 28번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

76.APEX · 13.7절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 원뿔 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 평면 $z=1$ 로 위로 유계이다. 꼭짓점이 원점에 있고 양의 $z$ 축을 중심축으로 하며, 높이가 1이고 밑면의 반지름이 $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ 인 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded below by the cone $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the plane $z=1$ : it describes a cone, with point at the origin, centered along the positive $z$ -axis, with height of 1 and base radius of $\tan(\pi/6) = 1/\sqrt{3}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 4번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

77.APEX · 13.7절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 구면좌표계로 나타낸 삼중적분이 주어져 있다. 적분의 범위로 정해지는 공간의 영역을 설명하세요.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{a\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, a triple integral in spherical coordinates is given. Describe the region in space defined by the bounds of the integral.

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{\pi/6}\int_0^{a\sec \varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

정답·풀이 보기

이 공간의 영역은 원뿔 $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ 로 아래로 유계이고 평면 $z=a$ 로 위로 유계이다. 꼭짓점이 원점에 있고 양의 $z$ 축을 중심축으로 하며, 높이가 $a$ 이고 밑면의 반지름이 $a\tan(\pi/6)$ 인 원뿔을 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

The region in space is bounded below by the cone $z=\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2}$ and above by the plane $z=a$ : it describes a cone, with point at the origin, centered along the positive $z$ -axis, with height of $a$ and base radius of $a\tan(\pi/6)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 9번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

78.APEX · 13.7절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도함수가 주어져 있다. 원기둥좌표계를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

원기둥 $x^2+y^2=4$ 와 평면 $z=0$ , $z=4$ 로 둘러싸인 입체이고, 밀도함수는 $\delta(x,y,z) =\sqrt{x^2+y^2}+1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by the cylinder $x^2+y^2=4$ and the planes $z=0$ and $z=4$ with density function $\delta(x,y,z) =\sqrt{x^2+y^2}+1$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표계에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = r+1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^4 (r+1)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = r+1$ . Thus mass is $\int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^4 (r+1)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 5번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

79.APEX · 13.7절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 원기둥좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

원기둥 $x^2+y^2=4$ 와 $x^2+y^2=9$ 로 유계이고, 평면 $z=0$ 과 $z=10$ 사이에 있으며 밀도 함수가 $\delta(x,y,z) =z$ 인 입체.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by the cylinders $x^2+y^2=4$ and $x^2+y^2=9$ , between the planes $z=0$ and $z=10$ with density function $\delta(x,y,z) =z$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = z$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{2\pi}\int_2^3\int_0^{10} zr\ dz\ dr\ d\theta = 250\pi.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = z$ . Thus mass is $\int_0^{2\pi}\int_2^3\int_0^{10} zr\ dz\ dr\ d\theta = 250\pi.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.7절 · 8번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류

80.APEX · 13.7절 · 25번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서는 입체와 그 밀도 함수가 주어져 있다. 원기둥좌표를 이용하여 입체의 질량을 구하세요.

$y\geq 0$ 과 원기둥 $x^2+y^2=1$ 로 유계이고, 평면 $z=0$ 과 $z=4-y$ 사이에 있으며 밀도 함수가 $\delta(x,y,z) =1$ 인 입체.

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, a solid is described along with its density function. Find the mass of the solid using cylindrical coordinates.

Bounded by $y\geq 0$ , the cylinder $x^2+y^2=1$ , and between the planes $z=0$ and $z=4-y$ with density function $\delta(x,y,z) =1$ .

정답·풀이 보기

원기둥좌표에서 밀도는 $\delta(r,\theta,z) = 1$ 이다. 따라서 질량은 $\int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{4-r\sin\theta} r\ dz\ dr\ d\theta = 2\pi-2/3\approx 5.617.$

원본 교재 풀이(영어)

In cylindrical coordinates, the density is $\delta(r,\theta,z) = 1$ . Thus mass is $\int_0^{\pi}\int_0^1\int_0^{4-r\sin\theta} r\ dz\ dr\ d\theta = 2\pi-2/3\approx 5.617.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.6절 · 7번

# 원기둥·구면좌표 삼중적분계산자동 분류