원기둥·구면좌표 삼중적분

$\frac{\pi }{3}$

$\pi$

$9\pi \left(\sqrt{2}-1\right)$

$\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2}^{4}\,\int_{-\sqrt{16-{r}^{2}}}^{\sqrt{16-{r}^{2}}}r\,dz\,dr\,d\theta ;$ $\int_{\pi /6}^{5\pi /6}\,\int_{0}^{2\pi }\,\int_{2\,\csc \,\varphi }^{4}{\rho }^{2}\sin \,\varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

$P=\frac{64{P}_{0}\pi }{3}$ 와트

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{-\sqrt{1-x^2-y^2}}^{\sqrt{1-x^2-y^2}}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{-\sqrt{1-r^2}}^{\sqrt{1-r^2}}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^\pi\int_0^{2\pi}\int_0^1 \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

구면좌표가 가장 간단해 보인다. 제곱근을 적분하거나 치환 같은 기법을 써야 하는 일을 피할 수 있으며, 모든 적분 구간의 경계가 상수이다.

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{2\pi}\int_0^{\csc\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원기둥좌표가 가장 간단해 보인다. 제곱근의 적분과 두 개의 삼중적분을 피할 수 있으며, 모든 적분 구간이 상수이다.

직교좌표: $\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int_{\sqrt{x^2+y^2}}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원기둥좌표: $\int_0^{2\pi}\int_0^1\int_{r}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{2\pi}\int_0^{\sec\varphi} \rho^2\sin(\varphi)\ d\rho\ d\theta\ d\varphi$

원기둥좌표가 가장 간단해 보인다. 직교좌표에서 쓰이는 제곱근의 적분을 피할 수 있다. 구면좌표도 어렵지는 않으나 치환이라는 추가 단계가 필요하다.

직교좌표: $\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\ dz\ dy\ dx$

원통좌표: $\int_0^{\pi/4}\int_0^{\sec\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta + \int_{\pi/4}^{\pi/2}\int_0^{\csc\theta}\int_{0}^{1}r\ dz\ dr\ d\theta$

구면좌표: $\int _0^{\pi/4}\int _0^{\tan ^{-1}(\sec \theta)}\int _0^{\sec \varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _0^{\pi/4}\int _{\tan ^{-1}(\sec \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\sec\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _0^{\tan ^{-1}(\csc \theta)}\int _0^{\sec\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta +$

$\int _{\pi/4}^{\pi/2}\int _{\tan ^{-1}(\csc \theta)}^{\pi/2}\int _0^{\csc\theta\csc\varphi}\rho ^2 \sin (\varphi)\ d\rho\ d\varphi\ d \theta$.

직교좌표가 가장 간단함이 분명하다.

(a) 이 입체는 다음을 만족하는 모든 $(x,y,z)$ 로 이루어져 있다.

• $(x,y)$ 는 원판 $x^2+y^2\le 4$ 위를 움직이고,
• $x^2+y^2\le 4$ 를 만족하는 각각의 고정된 $(x,y)$ 에 대해 $z$ 는 $0$ 에서 $e^{-x^2-y^2}$ 까지 움직인다.

원판 $x^2+y^2\le 4$ 에서

• $x$ 는 $-2$ 에서 $2$ 까지 움직이고,
• $-2\le x\le 2$ 를 만족하는 각각의 고정된 $x$ 에 대해 $y$ 는 $-\sqrt{4-x^2}$ 에서 $\sqrt{4-x^2}$ 까지 움직인다.

따라서

$$\text{Volume}=\int_{-2}^2 \mathrm{d}x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}}\mathrm{d}y\int_0^{e^{-x^2-y^2}}\mathrm{d}z$$

(b) 원기둥좌표계로 바꾸면

$$\begin{aligned} \text{Volume}&=\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{e^{-r^2}}\mathrm{d}z\ r =\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \ r e^{-r^2} =\int_0^2 \mathrm{d}r\ 2\pi\ r e^{-r^2} \\ &=-\pi e^{-r^2}\Big|_0^2 =\pi\big[1-e^{-4}\big]\approx 3.084 \end{aligned}$$

이 입체는 $x^2+y^2\le 4$ 이고 $0\le z\le\frac{y}{2}$ 를 만족하는 모든 점 $(x,y,z)$ 의 집합이다. 특히 $y\ge 0$ 이다. 이 입체를 위에서 내려다보면 $x^2+y^2\le 4$ 이고 $y\ge 0$ 인 모든 $(x,y)$ 가 보인다. 이는 아래 왼쪽 그림에 나타나 있다.

원기둥좌표계를 사용하자. 밑면 영역(위 왼쪽 그림에서 색칠한 영역)에서

• $\theta$ 는 $0$ 에서 $\pi$ 까지 움직이고,
• $0$ 과 $\pi$ 사이의 각각의 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 은 $0$ 에서 $2$ 까지 움직인다.
• 밑면 영역 안의 각각의 고정된 점 $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ 에 대해 $z$ 는 $0$) 에서 $\frac{y}{2}=\frac{r\sin\theta}{2}$ 까지 움직인다.

따라서 부피는

$$\begin{aligned} \int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\int_0^{r\sin\theta/2} dz\ r &=\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\int_0^2 \mathrm{d}r\ \frac{1}{2} r^2\sin\theta =\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \frac{r^3}{6}\sin\theta\,\bigg|_0^2 =\frac{4}{3}\int_0^\pi \mathrm{d}\theta\ \sin\theta \\ &=-\frac{4}{3}\cos\theta\,\bigg|_0^\pi =\frac{8}{3} \end{aligned}$$

(a) 먼저 $E$ 의 두 경계 $\rho=1$ 과 $\rho= 1 + \cos\varphi$ 는 모두 구면좌표 $\theta$ 와 무관하다. 따라서 $E$ 는 $z$축을 중심으로 한 회전에 대해 변하지 않는다. $E$ 를 그리기 위해

• 먼저 $\theta=0$ 인 $E$ 의 경계 부분(즉 $xz$평면에서 $x>0$ 인 반쪽)을 그린 다음,
• $z$축을 중심으로 회전한다.

$\theta=0$ 인 $E$ 의 경계 부분(즉 반평면 $y=0$, $x\ge 0$ 위)은 두 곡선으로 이루어진다.

• $\rho=1+\cos\varphi$, $\theta=0$:

• $\varphi=0$ (즉 양의 $z$축 위)일 때 $\cos\varphi =1$ 이므로 $\rho=2$ 이다. 따라서 이 곡선은 $(0,0,2)$ 에서 시작한다.

• $\varphi$ 가 증가하면 $\cos\varphi$ 가 감소하므로 $\rho$ 도 감소한다.

• $\varphi$ 가 $\frac{\pi}{2}$ (즉 $xy$평면 위)일 때 $\cos\varphi =0$ 이므로 $\rho=1$ 이다.

• $\frac{\pi}{2}<\varphi\le \pi$ 일 때 $\cos\varphi<0$ 이므로 $\rho<1$ 이다. $E$ 의 모든 점은 $\rho\ge 1$ 을 만족해야 하므로 경계의 이 부분은 $xy$평면 위의 점 $(1,0,0)$ 에서 끝난다.

• 곡선 $\rho=1+\cos\varphi$, $\theta=0$, $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 $(0,0,2)$ 에서 $(1,0,0)$ 까지의 바깥쪽 곡선이다.

• $\rho=1$, $\theta=0$:

• 곡면 $\rho=1$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 $1$ 인 구이다.

• 위에서 살펴본 대로 조건 $1\le\rho\le 1+\cos\varphi$ 에서 $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$, 즉 $z\ge 0$ 이어야 한다.

• 구 $\rho=1$ 은 사분평면 $y=0$, $x\ge 0$, $z\ge 0$ 과 원점을 중심으로 하는 사분원에서 만나며, 이 사분원은 $z$축 위의 $(0,0,1)$ 에서 시작하여 $xy$평면 위의 $(1,0,0)$ 에서 끝난다.

• 곡선 $\rho=1$, $\theta=0$, $0\le\varphi\le\frac{\pi}{2}$ 은 아래 왼쪽 그림에 그려져 있다. 이것은 $(0,0,1)$ 에서 $(1,0,0)$ 까지의 안쪽 곡선이다.

$E$ 를 얻으려면 아래 왼쪽 그림의 색칠한 영역을 $z$축을 중심으로 회전한다. 제1팔분공간에 있는 $E$ 의 부분은 아래 오른쪽 그림에 그려져 있다. $xz$평면($x\ge 0$)에 있는 $E$ 의 부분은 연하게 색칠되어 있고, $yz$평면($y\ge 0$)에 있는 $E$ 의 부분은 조금 더 진하게 색칠되어 있다.

(b) $E$ 에서

• $\varphi$ 는 $0$ (즉 양의 $z$축)에서 $\frac{\pi}{2}$ (즉 $xy$평면)까지 변한다.
• 그 범위의 각 $\varphi$ 에 대해 $\rho$ 는 $1$ 에서 $1+\cos\varphi$ 까지, $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변한다.
• 구면좌표에서 $\mathrm{d}V = \rho^2\,\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\, \mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi$ 이다.

따라서

$$\begin{aligned} \text{부피}(E) &=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi \int_1^{1+\cos\varphi}\mathrm{d}\rho \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta\ \rho^2\sin\varphi \\ &=2\pi \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi\ \sin\varphi\ \frac{(1+\cos\varphi)^3-1^3}{3} \\ &=-\frac{2\pi}{3} \int_2^1 \big(u^3-1\big)\ \mathrm{d}u \qquad\text{단, }u=1+\cos\varphi,\ \mathrm{d}u=-\sin\varphi\,\mathrm{d}\varphi \\ &= -\frac{2\pi}{3}\left[\frac{u^4}{4}-u\right]_2^1 \\ &=-\frac{2\pi}{3} \left[\frac{1}{4}-1-4+2\right] \\ &=\frac{11 \pi}{6} \end{aligned}$$

원기둥의 윗면의 방정식은 $z=h$, 즉 $\rho\cos\varphi=h$ 이다. 원기둥의 옆면의 방정식은 $x^2+y^2=a^2$, 즉 $\rho\sin\varphi=a$ 이다. 원기둥의 밑면의 방정식은 $z=0$, 즉 $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 이다.

각각의 고정된 $\varphi$ 에 대하여 $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 변하고, $\rho$ 는 $0$ 에서 $\frac{h}{\cos\varphi}$ (통의 윗면에서, $\varphi<\tan^{-1}\frac{a}{h}$ 인 경우) 또는 $\frac{a}{\sin\varphi}$ (통의 옆면에서, $\varphi>\tan^{-1}\frac{a}{h}$ 인 경우) 까지 변한다. 따라서

$$\begin{aligned} \text{부피} &= \int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{h/\cos\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi +\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_0^{a/\sin\varphi}\mathrm{d}\rho\ \rho^2\sin\varphi \\ &= 2\pi\int_{0}^{\tan^{-1}{a\over h}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{h^3\sin\varphi}{3\cos^3\varphi} +2\pi\int_{\tan^{-1}{a\over h}}^{{\pi\over 2}} \mathrm{d}\varphi \ \frac{a^3\sin\varphi}{3\sin^3\varphi} \\ &=2\pi\Big\{\int_0^{{a\over h}}\mathrm{d}t\ \frac{h^3}{3}t -\int^0_{{h\over a}}\mathrm{d}s\ \frac{a^3}{3}\Big\} \\ &\text{ 여기서 $t=\tan\varphi$, $\mathrm{d}t=\sec^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$, $s=\cot\varphi$, $\mathrm{d}s=-\csc^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi$} \\ &=2\pi\left\{\frac{h^3}{3}\,\frac{1}{2}\left(\frac{a}{h}\right)^2 +\frac{a^3}{3}\,\frac{h}{a}\right\} =2\pi\left\{\frac{ah^2}{6}+\frac{a^2h}{3}\right\} =\pi a^2h \end{aligned}$$