일반 영역의 이중적분 연습문제

101.APEX · 13.2절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=\sqrt[3]{x}$ 와 $y=x^3$ 으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R x^2y\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=\sqrt[3]{x}$ and $y=x^3$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt[3]{x}}x^2y\ dy\ dx + \int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{x}}^{x^3}x^2y\ dy\ dx$ $\displaystyle = \int_0^1\int_{y^3}^{\sqrt[3]{y}}x^2y\ dx\ dy +\int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{y}}^{y^3}x^2y\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_0^1\int_{x^3}^{\sqrt[3]{x}}x^2y\ dy\ dx + \int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{x}}^{x^3}x^2y\ dy\ dx$ $\displaystyle = \int_0^1\int_{y^3}^{\sqrt[3]{y}}x^2y\ dx\ dy +\int_{-1}^0\int_{\sqrt[3]{y}}^{y^3}x^2y\ dx\ dy$ . (c) 0

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

102.APEX · 13.2절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R x^2-y^2\ dA$ , 여기서 $R$ 은 꼭짓점이 $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ , $(1,1)$ , $(-1,1)$ 인 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R x^2-y^2\ dA$ , where $R$ is the rectangle with corners $(-1,-1)$ , $(1,-1)$ , $(1,1)$ and $(-1,1)$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dy\ dx = \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dy\ dx = \int_{-1}^1\int_{-1}^{1}x^2-y^2\ dx\ dy$ . (c) 0

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

103.APEX · 13.2절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 설명된 영역 $R$ 에 대해, 주어진 이중적분의 값을 구하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나의 값을 구하여, 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R ye^x\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $x=0$ , $x=y^2$ , $y=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R ye^x\ dA$ , where $R$ is bounded by $x=0$ , $x=y^2$ and $y=1$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{y^2}ye^x\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{\sqrt{x}}^{1}ye^x\ dy\ dx$ . (c) $e/2-1$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{0}^{y^2}ye^x\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{\sqrt{x}}^{1}ye^x\ dy\ dx$ . (c) $e/2-1$

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

104.APEX · 13.2절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R \big(6-3x-2y\big)\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $x=0$ , $y=0$ , $3x+2y=6$ 으로 둘러싸인(유계인) 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R \big(6-3x-2y\big)\ dA$ , where $R$ is bounded by $x=0$ , $y=0$ and $3x+2y=6$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) (c) $\displaystyle \int_{0}^2\int_{0}^{3-3/2x}\big(6-3x-2y\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{0}^{2-2/3y}\big(6-3x-2y\big)\ dx\ dy$ . (d) 6

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) (c) $\displaystyle \int_{0}^2\int_{0}^{3-3/2x}\big(6-3x-2y\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{0}^{2-2/3y}\big(6-3x-2y\big)\ dx\ dy$ . (d) 6

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

105.APEX · 13.2절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 의 그래프를 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R e^y\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=\ln x$ 와

$\displaystyle y=\frac{1}{e-1}(x-1)$ 로 둘러싸인(유계인) 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R e^y\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=\ln x$ and

$\displaystyle y=\frac{1}{e-1}(x-1)$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) (c) $\displaystyle \int_{1}^e\int_{\frac{x-1}{e-1}}^{\ln x}e^y\ dy\ dx = \int_{0}^1\int_{e^y}^{y(e-1)+1}e^y\ dx\ dy$ . (d) $-\frac12e^2+2e-\frac32$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) (c) $\displaystyle \int_{1}^e\int_{\frac{x-1}{e-1}}^{\ln x}e^y\ dy\ dx = \int_{0}^1\int_{e^y}^{y(e-1)+1}e^y\ dx\ dy$ . (d) $-\frac12e^2+2e-\frac32$

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# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

106.APEX · 13.2절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R \big(x^3y-x\big)\ dA$ , 여기서 $R$ 은 원 $x^2+y^2=9$ 의 제1사분면과 제2사분면에 있는 절반이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R \big(x^3y-x\big)\ dA$ , where $R$ is the half of the circle $x^2+y^2=9$ in the first and second quadrants.

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-3}^3\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\big(x^3y-x\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}\big(x^3y-x\big)\ dx\ dy$ . (c) 0

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{-3}^3\int_{0}^{\sqrt{9-x^2}}\big(x^3y-x\big)\ dy\ dx = \int_{0}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}}\big(x^3y-x\big)\ dx\ dy$ . (c) 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 12번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

107.APEX · 13.2절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–18에서:

(a) 문제에서 주어진 영역 $R$ 을 그리세요. (b) 주어진 이중적분을 설명된 영역 $R$ 에 대해 계산하는 반복적분을 두 가지 순서로 모두 세우세요. (c) 반복적분 중 하나를 계산하여 영역 $R$ 위에서 곡면 $z=f(x,y)$ 아래의 부호가 있는 부피를 구하세요.

$\displaystyle \iint_R \big(4-3y\big)\ dA$ , 여기서 $R$ 은 $y=0$ , $y=x/e$ , $y=\ln x$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–18:

(a) Sketch the region $R$ given by the problem. (b) Set up the iterated integrals, in both orders, that evaluate the given double integral for the described region $R$ . (c) Evaluate one of the iterated integrals to find the signed volume under the surface $z=f(x,y)$ over the region $R$ .

$\displaystyle \iint_R \big(4-3y\big)\ dA$ , where $R$ is bounded by $y=0$ , $y=x/e$ and $y=\ln x$ .

정답·풀이 보기

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{ey}^{e^y}\big(4-3y\big)\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{0}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx+\int_{1}^e\int_{\ln x}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx$ . (c) $3e-7$

원본 교재 풀이(영어)

(a)

(b) $\displaystyle \int_{0}^1\int_{ey}^{e^y}\big(4-3y\big)\ dx\ dy = \int_{0}^1\int_{0}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx+\int_{1}^e\int_{\ln x}^{x/e}\big(4-3y\big)\ dy\ dx$ . (c) $3e-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 40번

# 일반 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

108.APEX · 13.2절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로 반복적분을 계산하기 어려운 이유(또는 불가능한 이유)를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^4\int_{y/2}^2 e^{x^2}\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^4\int_{y/2}^2 e^{x^2}\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$e^{x^2}$ 을 $x$ 에 대해 적분하는 것은 초등함수로 나타낼 수 없다. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}e^{x^2}\ dy\ dx = e^4-1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $e^{x^2}$ with respect to $x$ is not possible in terms of elementary functions. $\displaystyle \int_0^2\int_0^{2x}e^{x^2}\ dy\ dx = e^4-1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5장 복습 · 20번

# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

109.APEX · 13.2절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos\big(y^2\big)\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_{x}^{\sqrt{\pi/2}} \cos\big(y^2\big)\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

$\cos(y^2)$ 을 $y$ 에 대해 적분하는 것은 초등함수로 나타낼 수 없다. $\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_0^{y}\cos(y^2)\ dx\ dy = \frac12$ .

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $\cos(y^2)$ with respect to $y$ is not possible in terms of elementary functions. $\displaystyle \int_0^{\sqrt{\pi/2}}\int_0^{y}\cos(y^2)\ dx\ dy = \frac12$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 2번

# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

110.APEX · 13.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^{1}\int_y^{1} \frac{2y}{x^2+y^2}\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_0^{1}\int_y^{1} \frac{2y}{x^2+y^2}\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_y^{1}\frac{2y}{x^2+y^2}\ dx$ 를 적분하면 $\tan^{-1}(1/y)-\pi/4$ 이고, $\tan^{-1}(1/y)$ 를 적분하기는 어렵다.

$\displaystyle \int_0^1\int_0^x\frac{2y}{x^2+y^2}\ dy \ dx = \ln 2$ .

원본 교재 풀이(영어)

Integrating $\displaystyle \int_y^{1}\frac{2y}{x^2+y^2}\ dx$ gives $\tan^{-1}(1/y)-\pi/4$ ; integrating $\tan^{-1}(1/y)$ is hard.

$\displaystyle \int_0^1\int_0^x\frac{2y}{x^2+y^2}\ dy \ dx = \ln 2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 18번

# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

111.APEX · 13.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–22에서, 주어진 적분 순서로는 반복적분을 계산하기 어렵거나 불가능한 이유를 설명하세요. 적분 순서를 바꾸고 새로운 반복적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\int_1^{2} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, state why it is difficult/impossible to integrate the iterated integral in the given order of integration. Change the order of integration and evaluate the new iterated integral.

$\displaystyle \int_{-1}^{1}\int_1^{2} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

주어진 순서로 적분하기는 어렵거나 불가능하다. 적분 순서를 바꾸면 $\displaystyle \int_{1}^{2}\int_{-1}^{1} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dx\ dy = 0$ 이다. 피적분함수가 $x$ 에 대해 기함수이기 때문이다. 따라서 이 반복적분의 값은 0이다.

원본 교재 풀이(영어)

Integrating in the order shown is hard/impossible. By changing the order of integration, we have $\displaystyle \int_{1}^{2}\int_{-1}^{1} \frac{x\tan^2y}{1+\ln y}\ dx\ dy = 0$ , since the integrand is an odd function with respect to $x$ . Thus the iterated integral evaluates to 0.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.2절 · 22번

# 일반 영역의 이중적분계산자동 분류

112.CLP-3 · 3.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$f(x,y)= 12 x^2y^3$ 이라 하자. 다음 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

영어 원문 보기

Let $f(x,y)= 12 x^2y^3$ . Evaluate

(a) $\displaystyle \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x$ (b) $\displaystyle \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y$ (c) $\displaystyle \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ (d) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$ (e) $\displaystyle \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

정답·풀이 보기

(a) $x$ 에 대한 적분에서는 $y$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) $y$ 에 대한 적분에서는 $x$ 를 상수로 취급한다. 따라서

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) (a)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) (b)에 의해

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) 이번에는

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The integral with respect to $x$ treats $y$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x &= \int_0^3 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x = \Big[4x^3y^3\Big]_{x=0}^{x=3} = 108 y^3 \end{aligned}$

(b) The integral with respect to $y$ treats $x$ as a constant. So

$\begin{aligned} \int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y &= \int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}y = \Big[3x^2y^4\Big]_{y=0}^{y=2} = 48x^2 \end{aligned}$

(c) By part (a)

$\begin{aligned} \int_0^2\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^2\left[\int_0^3 f(x,y)\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^2 108y^3\,\mathrm{d}y =\Big[27y^4\Big]_{y=0}^{y=2} \\ &=27\times 16 = 432 \end{aligned}$

(d) By part (b)

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x &=\int_0^3\left[\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}y\right]\mathrm{d}x =\int_0^3 48x^2\,\mathrm{d}y =\Big[16x^3\Big]_{x=0}^{x=3} \\ &=16\times 27 = 432 \end{aligned}$

(e) This time

$\begin{aligned} \int_0^3\int_0^2 f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y &=\int_0^3\left[\int_0^2 12 x^2y^3\,\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y =\int_0^3\left[4 x^3y^3\right]_0^2\mathrm{d}y =\int_0^3 32 y^3\mathrm{d}y \\ & =\Big[8y^4\Big]_0^3 =8\times 81 = 648 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.2절 · 4번

# 일반 영역의 이중적분계산기본자동 분류