극좌표 이중적분 연습문제

61.APEX · 13.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

이중적분을 극좌표로 계산하려는 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Why would one be interested in evaluating a double integral with polar coordinates?

정답·풀이 보기

$x$ - $y$ 평면의 어떤 영역은 직교좌표보다 극좌표로 나타내기가 더 쉽다. 또한 극좌표로 치환하고 나면 계산이 더 쉬워지는 적분도 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Some regions in the $x$ - $y$ plane are easier to describe using polar coordinates than using rectangular coordinates. Also, some integrals are easier to evaluate one the polar substitutions have been made.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.3절 · 1번

# 극좌표 이중적분개념 확인자동 분류

62.APEX · 13.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 3x-y+4$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 3x-y+4$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3r\cos\theta-r\sin\theta+4\big)r\ dr\ d\theta = 4\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^1 \big(3r\cos\theta-r\sin\theta+4\big)r\ dr\ d\theta = 4\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 1번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

63.APEX · 13.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 4x+4y$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 4x+4y$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2 \big(4r\cos\theta+4r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^2 \big(4r\cos\theta+4r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 22번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

64.APEX · 13.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 8-y$ ; $R$ 은 극방정식이 $r=\cos\theta$ 와 $r=3\cos\theta$ 인 두 원으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 8-y$ ; $R$ is the region enclosed by the circles with polar equations $r=\cos\theta$ and $r=3\cos\theta$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_{\cos\theta}^{3\cos\theta} \big(8-r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 16\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{\pi}\int_{\cos\theta}^{3\cos\theta} \big(8-r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta = 16\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 38번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

65.APEX · 13.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 4$ ; $R$ 은 제1사분면에 있는 장미 곡선 $r=\sin(2\theta)$ 의 꽃잎으로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 4$ ; $R$ is the region enclosed by the petal of the rose curve $r=\sin(2\theta)$ in the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_{0}^{\sin(2\theta)} \big(4\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\int_{0}^{\sin(2\theta)} \big(4\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 8번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

66.APEX · 13.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 이용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = \ln\big(x^2+y^2)$ ; $R$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 과 $x^2+y^2=4$ 로 둘러싸인 고리 모양의 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = \ln\big(x^2+y^2)$ ; $R$ is the annulus enclosed by the circles $x^2+y^2=1$ and $x^2+y^2=4$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{1}^{2} \big(\ln(r^2)\big)r\ dr\ d\theta = 2\pi\big(\ln16-3/2\big)$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{1}^{2} \big(\ln(r^2)\big)r\ dr\ d\theta = 2\pi\big(\ln16-3/2\big)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

67.APEX · 13.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = 1-x^2-y^2$ ; $R$ 는 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = 1-x^2-y^2$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=1$ .

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(1-r^2\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_{0}^{1} \big(1-r^2\big)r\ dr\ d\theta = \pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 16번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

68.APEX · 13.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ 는 원 $x^2+y^2=36$ 으로 둘러싸인 영역 중 제1사분면과 제4사분면에 있는 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = x^2-y^2$ ; $R$ is the region enclosed by the circle $x^2+y^2=36$ in the first and fourth quadrants.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\big)r\ dr\ d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos(2\theta)\big)r\ dr\ d\theta= 0$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos^2\theta-r^2\sin^2\theta\big)r\ dr\ d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{6} \big(r^2\cos(2\theta)\big)r\ dr\ d\theta= 0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 24번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

69.APEX · 13.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–10에서 함수 $f(x,y)$ 와 $x$ - $y$ 평면의 영역 $R$ 이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 $\iint_Rf(x,y)\ dA$ 를 세우고 값을 구하세요.

$f(x,y) = (x-y)/(x+y)$ ; $R$ 는 직선 $y=x$ , $y=0$ 과 원 $x^2+y^2=1$ 로 둘러싸인 영역 중 제1사분면에 있는 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–10, a function $f(x,y)$ is given and a region $R$ of the $x$ - $y$ plane is described. Set up and evaluate $\iint_Rf(x,y)\ dA$ using polar coordinates.

$f(x,y) = (x-y)/(x+y)$ ; $R$ is the region enclosed by the lines $y=x$ , $y=0$ and the circle $x^2+y^2=1$ in the first quadrant.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)r\ dr\ d\theta = \ln 2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1} \left(\frac{\cos\theta-\sin\theta}{\cos\theta+\sin\theta}\right)r\ dr\ d\theta = \ln 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 1번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

70.APEX · 13.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}} \sqrt{x^2+y^2}\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{0}^{5}\int_{-\sqrt{25-x^2}}^{\sqrt{25-x^2}} \sqrt{x^2+y^2}\ dy\ dx$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{5} \big(r^2\big)\ dr\ d\theta=125\pi/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{5} \big(r^2\big)\ dr\ d\theta=125\pi/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 8번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

71.APEX · 13.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-4}^{4}\int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0} \big(2y-x\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{-4}^{4}\int_{-\sqrt{16-y^2}}^{0} \big(2y-x\big)\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{4} \big(2r\sin\theta-r\cos\theta\big)r\ dr\ d\theta=128/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\int_{0}^{4} \big(2r\sin\theta-r\cos\theta\big)r\ dr\ d\theta=128/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 46번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

72.APEX · 13.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있습니다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{y}^{\sqrt{8-y^2}} \big(x+y\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{0}^{2}\int_{y}^{\sqrt{8-y^2}} \big(x+y\big)\ dx\ dy$

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt8} \big(r\cos\theta+r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta=16\sqrt2/3$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{\sqrt8} \big(r\cos\theta+r\sin\theta\big)r\ dr\ d\theta=16\sqrt2/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 12번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

73.APEX · 13.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 직교좌표로 나타낸 반복적분이 주어져 있습니다. 극좌표를 사용하여 적분을 다시 쓰고, 새로 얻은 이중적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx+\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx +\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx$

힌트: 각 적분의 영역을 주의 깊게 그리고, 이 영역들이 어떻게 모두 이어지는지 살펴보세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, an iterated integral in rectangular coordinates is given. Rewrite the integral using polar coordinates and evaluate the new double integral.

$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx+\int_{-1}^{1}\int_{\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx +\int_{1}^{2}\int_{0}^{\sqrt{4-x^2}} \big(x+5\big)\ dy\ dx$

Hint: draw the region of each integral carefully and see how they all connect.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \big(r\cos\theta+5\big)r\ dr\ d\theta=15\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_{0}^{\pi}\int_{1}^{2} \big(r\cos\theta+5\big)r\ dr\ d\theta=15\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

74.APEX · 13.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서는 극좌표로 계산하기에 특히 알맞은 특별한 이중적분을 다룹니다.

$\displaystyle \iint_R e^{-(x^2+y^2)}\ dA$ 를 생각해 봅시다.

(a) 영역 $R$ 이 어떤 모양이든 이 적분을 직교좌표로 계산하기 어려운 이유는 무엇인지 설명하세요. (b) $R$ 을 원점을 중심으로 하고 반지름이 $a$ 인 원으로 둘러싸인 영역이라 하자. 극좌표를 사용하여 이 이중적분의 값을 구하세요. (c) (b)에서 구한 답에서 $a\to\infty$ 일 때의 극한을 구하세요. 이 결과는 $x$ - $y$ 평면 전체 위에서 곡면 $\displaystyle e^{-(x^2+y^2)}$ 아래의 부피에 대해 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, special double integrals are presented that are especially well suited for evaluation in polar coordinates.

Consider $\displaystyle \iint_R e^{-(x^2+y^2)}\ dA$ .

(a) Why is this integral difficult to evaluate in rectangular coordinates, regardless of the region $R$ ? (b) Let $R$ be the region bounded by the circle of radius $a$ centered at the origin. Evaluate the double integral using polar coordinates. (c) Take the limit of your answer from (b), as $a\to\infty$ . What does this imply about the volume under the surface of $\displaystyle e^{-(x^2+y^2)}$ over the entire $x$ - $y$ plane?

정답·풀이 보기

(a) $e^{-(x^2+y^2)}$ 은 초등함수로 나타낼 수 있는 부정적분을 갖지 않으므로 직교좌표로는 적분할 수 없다. (b) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a re^{r^2}\ dr\ d\theta = \pi(1-e^{-a^2})$ . (c) $\displaystyle \lim_{a\to\infty} \pi(1-e^{-a^2})=\pi$ . 이는 $x$ - $y$ 평면 전체 위에서 곡면 $e^{-(x^2+y^2)}$ 아래의 부피가 유한함을 뜻한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) This is impossible to integrate with rectangular coordinates as $e^{-(x^2+y^2)}$ does not have an antiderivative in terms of elementary functions. (b) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\int_0^a re^{r^2}\ dr\ d\theta = \pi(1-e^{-a^2})$ . (c) $\displaystyle \lim_{a\to\infty} \pi(1-e^{-a^2})=\pi$ . This implies that there is a finite volume under the surface $e^{-(x^2+y^2)}$ over the entire $x$ - $y$ plane.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 8번

# 극좌표 이중적분계산자동 분류

75.APEX · 13.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–16에서는 극좌표로 계산하기에 특히 알맞은 특별한 이중적분을 다룹니다.

높이가 $h$ 이고 밑면의 반지름이 $a$ 인 직원뿔의 곡면은 방정식 $\displaystyle f(x,y) = h-h\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}}$ 으로 나타낼 수 있습니다. 여기서 원뿔의 꼭짓점은 $(0,0,h)$ 에 있고, 원형 밑면은 원점을 중심으로 하여 $x$ - $y$ 평면 위에 놓여 있습니다.

극좌표로 $\displaystyle \iint_R f(x,y)\ dA$ 의 값을 구하여, 높이가 $h$ 이고 밑면의 반지름이 $a$ 인 직원뿔의 부피가 $\displaystyle V = \frac13\pi a^2h$ 임을 확인하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 15–16, special double integrals are presented that are especially well suited for evaluation in polar coordinates.

The surface of a right circular cone with height $h$ and base radius $a$ can be described by the equation $\displaystyle f(x,y) = h-h\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}}$ , where the tip of the cone lies at $(0,0,h)$ and the circular base lies in the $x$ - $y$ plane, centered at the origin.

Confirm that the volume of a right circular cone with height $h$ and base radius $a$ is $\displaystyle V = \frac13\pi a^2h$ by evaluating $\displaystyle \iint_R f(x,y)\ dA$ in polar coordinates.

정답·풀이 보기

$\begin{aligned} \iint_R f(x,y)\ dA &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(h-h\sqrt{\frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{a^2}}\right)r\ dr\ d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(hr-h\frac{r^2}{a}\right)\ dr\ d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left.\left(\frac12hr^2-\frac{h}{3a}r^3\right)\right|_0^a d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left(\frac16a^2h\right)\ d\theta\\ &= \frac13\pi a^2h. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{aligned} \iint_R f(x,y)\ dA &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(h-h\sqrt{\frac{r^2\cos^2\theta}{a^2}+\frac{r^2\sin^2\theta}{a^2}}\right)r\ dr\ d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \left(hr-h\frac{r^2}{a}\right)\ dr\ d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\left.\left(\frac12hr^2-\frac{h}{3a}r^3\right)\right|_0^a d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \left(\frac16a^2h\right)\ d\theta\\ &= \frac13\pi a^2h. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 38번

# 극좌표 이중적분활용자동 분류

76.CLP-3 · 3.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

각 $1\le i\le 5$ 에 대해,

$xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)$ 를 그리고
점 $(x_i,y_i)$ 의 극좌표 $r_i$ 와 $\theta_i$ 를 구하세요. 단, $r_i>0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이다.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

For each $1\le i\le 5$ ,

sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)$ and
find polar coordinates $r_i$ and $\theta_i$ , with $r_i>0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ , for the point $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$ , $\theta$ 와 직교좌표 $x$ , $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있다. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ( $x\ne 0$ 이고 $r>0$ 이라 가정)이며

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The left hand sketch below contains the points, $(x_1,y_1)$ , $(x_3,y_3)$ , $(x_5,y_5)$ , that are on the axes. The right hand sketch below contains the points, $(x_2,y_2)$ , $(x_4,y_4)$ , that are not on the axes.

Recall that the polar coordinates $r$ , $\theta$ are related to the cartesian coordinates $x$ , $y$ , by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ . So $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\frac{y}{x}$ (assuming that $x\ne 0$ and $r>0$ ) and

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ as $(x_1,y_1)$ is on the positive $x$-axis} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ as $(x_2,y_2)$ is in the first octant} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ as $(x_3,y_3)$ is on the positive $y$-axis} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ as $(x_4,y_4)$ is in the third octant} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ as $(x_5,y_5)$ is on the negative $x$-axis} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 16번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

77.CLP-3 · 3.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 각 점 $(x_i,y_i)$ 에 대해,

$(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 모두 구하세요.
특히, $r_i<0$ 이고 $0\le\theta_i<2\pi$ 이면서 $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 를 만족하는 순서쌍 $(r_i,\theta_i)$ 를 하나 구하세요.

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

영어 원문 보기

For each of the following points $(x_i,y_i)$ ,

find all pairs $(r_i,\theta_i)$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ , and
in particular, find a pair $(r_i,\theta_i)$ with $r_i<0$ and $0\le\theta_i<2\pi$ such that $(x_i,y_i) = \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$

(a) $(x_1,y_1) = (-2,0)$ (b) $(x_2,y_2) = (1,1)$ (c) $(x_3,y_3) = (-1,-1)$ (d) $(x_4,y_4) = (3,0)$ (e) $(x_5,y_5) = (0,1)$

정답·풀이 보기

이 풀이에서는 아래 첨자를 생략한다. 즉, $r_i$ 대신 $r$ 로, $\theta_i$ 대신 $\theta$ 로 쓴다. 점 $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ 에서 원점까지의 거리는 다음과 같다.

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

따라서 $r$ 은 원점까지의 거리이거나, 원점까지의 거리에 음의 부호를 붙인 값이다.

(a) $(-2,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $2$ 이다. 따라서 $r=2$ 또는 $r=-2$ 이다.

$r=2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 홀수인 정수 } \end{aligned}$

$r=-2$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 정수 },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ 짝수인 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ 은 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(b) $(1,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(c) $(-1,-1)$ 에서 원점까지의 거리는 $\sqrt{2}$ 이다. 따라서 $r=\sqrt{2}$ 또는 $r=-\sqrt{2}$ 이다.

$r=\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-\sqrt{2}$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(d) $(3,0)$ 에서 원점까지의 거리는 $3$ 이다. 따라서 $r=3$ 또는 $r=-3$ 이다.

$r=3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-3$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\pi$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=0$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

(e) $(0,1)$ 에서 원점까지의 거리는 $1$ 이다. 따라서 $r=1$ 또는 $r=-1$ 이다.

$r=1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

$r=-1$ 이면, $\theta$ 는 다음을 만족해야 한다.

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ 정수 } \end{aligned}$

특히 $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ 는 $r<0$ 이고 $0\le\theta<2\pi$ 이다.

아래 왼쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다. 아래 오른쪽 그림에서 파란색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ 인 모든 점의 집합이고, 주황색 반직선은 극좌표가 $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ 인 모든 점의 집합이다.

원본 교재 풀이(영어)

In this solution, we'll supress the subscripts. That is, we'll write $r$ in place of $r_i$ and $\theta$ in place of $\theta_i$ . Note that the distance from the point $\big(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta\big)$ to the origin is

$\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} =\sqrt{r^2} =|r|$

Thus $r$ can be either the distance to the origin or minus the distance to the origin.

(a) The distance from $(-2,0)$ to the origin is $2$ . So either $r=2$ or $r=-2$ .

If $r=2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(2\cos\theta\,,\,2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ odd integer } \end{aligned}$

If $r=-2$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-2,0) = \big(-2\cos\theta\,,\,-2\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ integer },\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= n\pi,\ n\text{ even integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-2\,,\,\theta= 0\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(b) The distance from $(1,1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (1,1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {5\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ .

(c) The distance from $(-1,-1)$ to the origin is $\sqrt{2}$ . So either $r=\sqrt{2}$ or $r=-\sqrt{2}$ .

If $r=\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta=-{1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {5\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-\sqrt{2}$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (-1,-1) = \big(-\sqrt{2}\,\cos\theta\,,\,-\sqrt{2}\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=\cos\theta={1}/{\sqrt{2}} \\ &\iff \theta= {\pi}/{4} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-\sqrt{2}\,,\, \theta= {\pi}/{4}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{5\pi}{4}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $r<0$ .

(d) The distance from $(3,0)$ to the origin is $3$ . So either $r=3$ or $r=-3$ .

If $r=3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(3\,\cos\theta\,,\,3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=1 \\ &\iff \theta= 0 + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-3$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (3,0) = \big(-3\,\cos\theta\,,\,-3\,\sin\theta\big) &\iff \sin\theta=0,\ \cos\theta=-1 \\ &\iff \theta= \pi + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-3\,,\, \theta= \pi\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\pi$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=0$ , $r<0$ .

(e) The distance from $(0,1)$ to the origin is $1$ . So either $r=1$ or $r=-1$ .

If $r=1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(\cos\theta\,,\,\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=1 \\ &\iff \theta= {\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

If $r=-1$ , then $\theta$ must obey

$\begin{aligned} (0,1) = \big(-\cos\theta\,,\,-\sin\theta\big) &\iff \cos\theta=0,\ \sin\theta=-1 \\ &\iff \theta= {3\pi}/{2} + 2n\pi,\ n\text{ integer } \end{aligned}$

In particular, $\big(r=-1\,,\, \theta= {3\pi}/{2}\big)$ has $r<0$ and $0\le\theta<2\pi$ .

In the figure on the left below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{3\pi}{2}$ , $r<0$ . In the figure on the right below, the blue half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r>0$ and the orange half-line is the set of all points with polar coordinates $\theta=\frac{\pi}{2}$ , $r<0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 15번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

78.CLP-3 · 3.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 점들을 생각하세요.

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

또한 각 $\theta$ 에 대해 벡터를 다음과 같이 정의하세요.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) 각 각 $\theta$ 에 대해 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 길이, 그리고 두 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 가 이루는 각을 구하세요. $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 값을 구하세요 ( $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 를 $\hat{\mathbf{k}}$ 성분이 0인 3차원 벡터로 보세요). (b) $1\le i\le 5$ 인 각 $i$ 에 대해, $xy$ 평면에 점 $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ 와 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 를 그리세요. 벡터를 그릴 때 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ 와 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 시점을 $(x_i,y_i)$ 에 놓으세요.

영어 원문 보기

Consider the points

$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) & (x_2,y_2) &= (1,1) & (x_3,y_3) &= (0,1) \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) & (x_5,y_5) &= (-2,0) \end{aligned}$

Also define, for each angle $\theta$ , the vectors

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta)=\cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}}\qquad \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = -\sin\theta\ \hat{\boldsymbol{\imath}} + \cos\theta\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}$

(a) Determine, for each angle $\theta$ , the lengths of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ and the angle between the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ . Compute $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)\times\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ (viewing $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ as vectors in three dimensions with zero $\hat{\mathbf{k}}$ components). (b) For each $1\le i\le 5$ , sketch, in the $xy$ -plane, the point $(x_i,y_i)= \big(r_i\cos\theta_i\,,\,r_i\sin\theta_i\big)$ and the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ . In your sketch of the vectors, place the tails of the vectors $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ and $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ at $(x_i,y_i)$ .

정답·풀이 보기

(a) 길이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터가 이루는 각은 $\frac{\pi}{2}$ 이다. 외적은 다음과 같다.

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ 로 정해지는 $\theta$ 에 대해 다음에 주목한다.

벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 는 $(0,0)$ 에서 $(x,y)$ 로 향하는 벡터와 방향이 같은 단위벡터이다.
벡터 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 는 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 에 수직인 단위벡터이다.
$\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $y$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $x$ 성분과 부호가 같다. $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $x$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $y$ 성분과 부호가 반대이다.

다음은 $i =1,3,5$ (축 위의 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다.

다음은 $i =2,4$ (축 위에 있지 않은 점)에 대한 $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다(축척은 다르다).

원본 교재 풀이(영어)

(a) The lengths are

$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$

As

$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$

the two vectors are perpendicular and the angle between them is $\frac{\pi}{2}$ . The cross product is

$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$

(b) Note that for $\theta$ determined by $x=r\cos\theta$ , $y=r\sin\theta$ ,

the vector $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ is a unit vector in the same direction as the vector from $(0,0)$ to $(x,y)$ and
the vector $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ is a unit vector that is perpendicular to $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .
The $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has the same sign as the $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ . The $x$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ has opposite sign to that of the $y$ -component of $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ .

Here is a sketch of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =1,3,5$ (the points on the axes)

and here is a sketch (to a different scale) of $(x_i,y_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$ , $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ for $i =2,4$ (the points off the axes).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 14번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류

79.CLP-3 · 3.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\left< a, b\right>$ 를 벡터라 하자. $r$ 를 $\left< a, b\right>$ 의 길이, $\theta$ 를 $\left< a, b\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각이라 하자.

(a) $a$ 와 $b$ 를 $r$ 과 $\theta$ 로 나타내세요. (b) $\left< A, B\right>$ 를 $\left< a, b\right>$ 를 시점을 중심으로 각 $\varphi$ 만큼 회전하여 얻은 벡터라 하자. $A$ 와 $B$ 를 $a$ , $b$ , $\varphi$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Let $\left< a, b\right>$ be a vector. Let $r$ be the length of $\left< a, b\right>$ and $\theta$ be the angle between $\left< a, b\right>$ and the $x$ -axis.

(a) Express $a$ and $b$ in terms of $r$ and $\theta$ . (b) Let $\left< A, B\right>$ be the vector gotten by rotating $\left< a, b\right>$ by an angle $\varphi$ about its tail. Express $A$ and $B$ in terms of $a$ , $b$ and $\varphi$ .

정답·풀이 보기

다음은 $\left< a, b\right>$ 와 $\left< A, B\right>$ 의 개략도이다.

(a) 그림에서

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) 벡터 $\left< A, B\right>$ 의 길이는 이번에도 $r$ 이고 $\left< A, B\right>$ 와 $x$ 축 사이의 각은 $\theta +\varphi$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Here is a sketch of $\left< a, b\right>$ and $\left< A, B\right>$ .

(a) From the sketch,

$\begin{aligned} a&=r\cos\theta\\ b&=r\sin\theta \end{aligned}$

(b) The length of the vector $\left< A, B\right>$ is again $r$ and the angle between $\left< A, B\right>$ and the $x$ -axis is $\theta +\varphi$ . So

$\begin{aligned} A&=r\cos(\theta+\varphi) &&=r\cos\theta\cos\varphi-r\sin\theta\sin\varphi &&=a\cos\varphi-b\sin\varphi\\ B&=r\sin(\theta+\varphi) &&=r\sin\theta\cos\varphi+r\cos\theta\sin\varphi &&=b\cos\varphi+a\sin\varphi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.3절 · 18번

# 극좌표 이중적분계산기본자동 분류

80.CLP-3 · 3.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 각 극좌표 적분에 대하여 적분 영역을 $xy$ -평면에 그리세요.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

영어 원문 보기

Sketch the domain of integration in the $xy$ -plane for each of the following polar coordinate integrals.

(a) $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (b) $\displaystyle \int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$ (c) $\displaystyle \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r \ r\ f(r\cos\theta,r\sin\theta)$

정답·풀이 보기

(a) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$r$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $r$ 에 대하여 $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{4}$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=1$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 이고,
$r=2$ 는 원 $x^2+y^2=4$ 이고,
$\theta=\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=-x$ , $x\ge 0$ 이다.

따라서

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

두 개의 그림이 있다. $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(b) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{4}$ 까지 변하고,
그 범위의 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$\theta=0$ 은 양의 $x$ 축이고,
$\theta={\pi}/{4}$ 는 반직선 $y=x$ , $x\ge 0$ 이고,
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , 즉 $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ 는 직선 $x+y=2$ 이다.

아래 왼쪽 그림을 보면, 직선 $y=x$ 와 $x+y=2$ 가 $(1,1)$ 에서 만나므로

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(c) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

$\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 한 바퀴 변하고,
각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , 즉 $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 이다.

따라서 $D$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 의 내부이고, $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ say that, on $D$ ,

$r$ runs from $1$ to $2$ and
for each $r$ in that range, $\theta$ runs from $-\frac{\pi}{4}$ to $\frac{\pi}{4}$ .

In Cartesian coordinates

$r=1$ is the circle $x^2+y^2=1$ and
$r=2$ is the circle $x^2+y^2=4$ and
$\theta=\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$\theta=-\frac{\pi}{4}$ is the ray $y=-x$ , $x\ge 0$ .

So

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$

Here are two sketches. $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(b) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs from $0$ to ${\pi}/{4}$ and
for each $\theta$ in that range, $r$ runs from $0$ to $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ .

In Cartesian coordinates

$\theta=0$ is the positive $x$ -axis and
$\theta={\pi}/{4}$ is the ray $y=x$ , $x\ge 0$ and
$r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ , or equivalently $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ , is the line $x+y=2$ .

Looking at the sketch on the left below, we see that, since the lines $y=x$ and $x+y=2$ cross at $(1,1)$ ,

$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$

$D$ is the shaded region in the sketch on the right.

(c) Let $D$ denote the domain of integration. The symbols $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ say that, on $D$ ,

$\theta$ runs all the way from $0$ to $2\pi$ and
for each $\theta$ , $r$ runs from $0$ to $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ .

In Cartesian coordinates

$r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ , or equivalently $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ , is the ellipse $x^2+9y^2=9$ .

So $D$ is the interior of the ellipse $x^2+9y^2=9$ and $D$ is the shaded region in the sketch on the right.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 3.2절 · 4번

# 극좌표 이중적분그래프·표 해석기본자동 분류