극좌표 이중적분

$D=\{(r,\theta )|3\le r\le 5,\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{2}\}$

$D=\{(r,\theta )|3\le r\le 5,\frac{3\pi }{4}\le \theta \le \frac{5\pi }{4}\}$

$D=\{(r,\theta )|0\le r\le \tan \,\theta \,\sec \,\theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\}$

$\frac{\pi }{2}$

$\frac{16}{3\pi }$

$\frac{133{\pi }^{2}}{864}$

아래 왼쪽 그림에는 좌표축 위에 있는 점 $(x_1,y_1)$, $(x_3,y_3)$, $(x_5,y_5)$ 가 있다. 아래 오른쪽 그림에는 좌표축 위에 있지 않은 점 $(x_2,y_2)$, $(x_4,y_4)$ 가 있다.

극좌표 $r$, $\theta$ 와 직교좌표 $x$, $y$ 사이에는 $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 인 관계가 있다. 따라서 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 이고 $\tan\theta=\frac{y}{x}$ ($x\ne 0$ 이고 $r>0$ 이라 가정)이며

$$\begin{aligned} (x_1,y_1) &= (3,0) &&\implies &r_1=3,\ \tan\theta_1=0 &&\implies \theta_1&=0 \text{ $(x_1,y_1)$ 은 양의 $x$축 위에 있으므로} \\ (x_2,y_2) &= (1,1) &&\implies &r_2=\sqrt{2},\ \tan\theta_2=1 &&\implies \theta_2&=\frac{\pi}{4} \text{ $(x_2,y_2)$ 는 제1팔분면에 있으므로} \\ (x_3,y_3) &= (0,1) &&\implies &r_3=1,\ \cos\theta_3=0 &&\implies \theta_3&=\frac{\pi}{2} \text{ $(x_3,y_3)$ 은 양의 $y$축 위에 있으므로} \\ (x_4,y_4) &= (-1,1) &&\implies &r_4=\sqrt{2},\ \tan\theta_4=-1 &&\implies \theta_4&=\frac{3\pi}{4} \text{ $(x_4,y_4)$ 는 제3팔분면에 있으므로} \\ (x_5,y_5) &= (-2,0) &&\implies &r_5=2,\ \tan\theta_5=0 &&\implies \theta_5&=\pi \text{ $(x_5,y_5)$ 는 음의 $x$축 위에 있으므로} \end{aligned}$$

(a) 길이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} |\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)| &= \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = 1 \\ |\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)| &= \sqrt{(-\sin\theta)^2+\cos^2\theta} = 1 \end{aligned}$$

$$\hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \cdot \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) = (\cos\theta)(-\sin\theta) +(\sin\theta)(\cos\theta)=0$$

이므로 두 벡터는 수직이고 두 벡터가 이루는 각은 $\frac{\pi}{2}$ 이다. 외적은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \hat{\mathbf{e}}_r(\theta) \times \hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ \cos\theta & \sin\theta & 0 \\ -\sin\theta & \cos\theta & 0 \end{matrix}\right] =\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

(b) $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ 로 정해지는 $\theta$ 에 대해 다음에 주목한다.

• 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 는 $(0,0)$ 에서 $(x,y)$ 로 향하는 벡터와 방향이 같은 단위벡터이다.
• 벡터 $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 는 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 에 수직인 단위벡터이다.
• $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $y$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $x$ 성분과 부호가 같다. $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta)$ 의 $x$ 성분은 $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta)$ 의 $y$ 성분과 부호가 반대이다.

다음은 $i =1,3,5$ (축 위의 점)에 대한 $(x_i,y_i)$, $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$, $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다.

다음은 $i =2,4$ (축 위에 있지 않은 점)에 대한 $(x_i,y_i)$, $\hat{\mathbf{e}}_r(\theta_i)$, $\hat{\mathbf{e}}_\theta(\theta_i)$ 의 그림이다(축척은 다르다).

(a) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\displaystyle \int_1^2\mathrm{d}r \int_{-{\pi}/{4}}^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

• $r$ 는 $1$ 에서 $2$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 $r$ 에 대하여 $\theta$ 는 $-\frac{\pi}{4}$ 에서 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

• $r=1$ 은 원 $x^2+y^2=1$ 이고,
• $r=2$ 는 원 $x^2+y^2=4$ 이고,
• $\theta=\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=x$, $x\ge 0$ 이고,
• $\theta=-\frac{\pi}{4}$ 는 반직선 $y=-x$, $x\ge 0$ 이다.

따라서

$$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 1\le x^2+y^2\le 4,\ -x\le y\le x,\ x\ge 0\ \big\} \end{aligned}$$

두 개의 그림이 있다. $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(b) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{{\pi}/{4}}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

• $\theta$ 는 $0$ 에서 ${\pi}/{4}$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

• $\theta=0$ 은 양의 $x$축이고,
• $\theta={\pi}/{4}$ 는 반직선 $y=x$, $x\ge 0$ 이고,
• $r=\frac{2}{\sin\theta+\cos\theta}$, 즉 $r\cos\theta+r\sin\theta=2$ 는 직선 $x+y=2$ 이다.

아래 왼쪽 그림을 보면, 직선 $y=x$ 와 $x+y=2$ 가 $(1,1)$ 에서 만나므로

$$\begin{aligned} D=\big\{ \ (x,y)\ \big|\ 0\le y\le 1,\ y\le x\le 2-y\ \big\} \end{aligned}$$

$D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(c) 적분 영역을 $D$ 라 하자. 기호 $\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^{\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}}\mathrm{d}r$ 는 $D$ 에서 다음이 성립함을 나타낸다.

• $\theta$ 는 $0$ 에서 $2\pi$ 까지 한 바퀴 변하고,
• 각 $\theta$ 에 대하여 $r$ 는 $0$ 에서 $\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$ 까지 변한다.

직교좌표로 나타내면

• $r=\frac{3}{\sqrt{\cos^2\theta+9\sin^2\theta}}$, 즉 $r^2\cos^2\theta+9r^2\sin^2\theta=9$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 이다.

따라서 $D$ 는 타원 $x^2+9y^2=9$ 의 내부이고, $D$ 는 오른쪽 그림에서 색칠한 영역이다.

(a) 영역 $\mathcal{L}$ 은 아래 왼쪽 그림과 같다.

(b) 극좌표계에서

• 원 $x^2+y^2=2$ 는 $r^2=2$ 또는 $r=\sqrt{2}$ 이고,
• 원 $x^2+y^2=4$ 는 $r^2=4$ 또는 $r=2$ 이고,
• 직선 $y=x$ 는 $r\sin\theta = r\cos\theta$, 즉 $\tan\theta =1$, 또는 (제1사분면에 있는 부분은) $\theta=\frac{\pi}{4}$ 이고,
• 양의 $x$–축 ($y=0$, $x\ge 0$)은 $\theta=0$ 이다.

위 오른쪽 그림을 보면, $\mathcal{L}$ 에서

• $\theta$ 는 $0$ 부터 $\frac{\pi}{4}$ 까지 변하고,
• 그 범위의 각 고정된 $\theta$ 에 대해 $r$ 는 $\sqrt{2}$ 부터 $2$ 까지 변한다.
• $\mathrm{d}A$ 는 $r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ 이다.

따라서

$$\begin{aligned} M = \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \rho(r\cos\theta\,,\,r\sin\theta) \end{aligned}$$

이다.

(c)

$$\begin{aligned} \rho = \frac{2xy}{x^2+y^2} = \frac{2r^2\cos\theta\,\sin\theta}{r^2} =\sin(2\theta) \end{aligned}$$

일 때

$$\begin{aligned} M &= \int_0^{\pi/4}\mathrm{d}\theta\int_{\sqrt{2}}^2\mathrm{d}r\ r\, \sin(2\theta) \\ &=\left[\int_0^{\pi/4}\sin(2\theta)\ \mathrm{d}\theta\right] \left[\int_{\sqrt{2}}^2 r\ \mathrm{d}r\right] \\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right]_0^{\pi/4} \left[ \frac{r^2}{2}\right]_{\sqrt{2}}^2 =\frac{1}{2}\ \frac{4-2}{2} \\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}$$

이다.