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문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 극한 전체 문제

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186문제 · 8 / 10쪽

141.APEX · 8.1절 · 35번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 n≥mn\geq m 에 대해 단조가 되는 mm 이 있는지 판단하세요.

{an}={nn+2}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an mm such that it is monotonic for all n≥mn\geq m.

{an}={nn+2}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}

정답·풀이 보기

단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 11번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
142.APEX · 8.1절 · 36번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 n≥mn\geq m 에 대해 단조가 되는 mm 이 있는지 판단하세요.

{an}={n2−6n+9n}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an mm such that it is monotonic for all n≥mn\geq m.

{an}={n2−6n+9n}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}

정답·풀이 보기

n≥3n\geq 3 에서 단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing for n≥3n\geq 3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 9번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
143.APEX · 8.1절 · 37번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 n≥mn\geq m 에 대해 단조가 되는 mm 이 있는지 판단하세요.

{an}={(−1)n1n3}\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an mm such that it is monotonic for all n≥mn\geq m.

{an}={(−1)n1n3}\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}

정답·풀이 보기

단조가 되는 경우가 없다

원본 교재 풀이(영어)

never monotonic

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 4번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
144.APEX · 8.1절 · 38번우리말 번역

연습문제 35–38에서, 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 n≥mn\geq m 에 대해 단조가 되는 mm 이 있는지 판단하세요.

{an}={n22n}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an mm such that it is monotonic for all n≥mn\geq m.

{an}={n22n}\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}

정답·풀이 보기

n≥3n\geq 3 에서 단조감소이다.

원본 교재 풀이(영어)

monotonically decreasing for n≥3n\geq 3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
145.APEX · 8.2절 · 21번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

∑n=1∞1n5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=1∞1n5\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5}

정답·풀이 보기

수렴한다; p=5p=5 인 pp-급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; pp-series with p=5p=5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 51번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
146.APEX · 8.2절 · 22번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

∑n=0∞15n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=0∞15n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{5^n}

정답·풀이 보기

수렴한다; 공비가 r=1/5r=1/5 인 등비급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; geometric series with r=1/5r=1/5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 31번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
147.APEX · 8.2절 · 23번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

∑n=0∞6n5n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{6^n}{5^n}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=0∞6n5n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{6^n}{5^n}

정답·풀이 보기

발산한다; 공비가 r=6/5r=6/5 인 등비급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; geometric series with r=6/5r=6/5.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 9번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
148.APEX · 8.2절 · 24번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 답하세요.

∑n=1∞n−4\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-4}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=1∞n−4\displaystyle \sum_{n=1}^\infty n^{-4}

정답·풀이 보기

수렴한다; p=4p=4 인 pp-급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; pp-series with p=4p=4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 29번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
149.APEX · 8.2절 · 25번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

∑n=1∞n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=1∞n\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \sqrt{n}

정답·풀이 보기

발산한다; nthn^\text{th} 항 판정법을 만족하지 못한다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; fails nthn^\text{th} term test

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 49번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
150.APEX · 8.2절 · 28번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

∑n=1∞2(2n+8)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n+8)^2}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=1∞2(2n+8)2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n+8)^2}

정답·풀이 보기

수렴한다; p=2p=2 인 일반 pp-급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Converges; general pp-series with p=2p=2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
151.APEX · 8.2절 · 30번우리말 번역

연습문제 21–30에서 주어진 급수가 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

∑n=1∞12n−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}

영어 원문 보기

In Exercises 21–30, state whether the given series converges or diverges.

∑n=1∞12n−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n-1}

정답·풀이 보기

발산한다; p=1p=1 인 일반 pp-급수이다.

원본 교재 풀이(영어)

Diverges; general pp-series with p=1p=1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 59번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
152.APEX · 8.2절 · 31번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴한다면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

∑n=0∞14n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=0∞14n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{4^n}

정답·풀이 보기

(a) Sn=1−(1/4)n3/4S_n = \frac{1-(1/4)^n}{3/4} (b) 4/34/3 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=1−(1/4)n3/4S_n = \frac{1-(1/4)^n}{3/4} (b) Converges to 4/34/3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 33번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
153.APEX · 8.2절 · 32번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n 에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

∑n=1∞2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=1∞2\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2

정답·풀이 보기

(a) Sn=2nS_n = 2n (b) 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=2nS_n = 2n (b) Diverges.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 13번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
154.APEX · 8.2절 · 33번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

13+23+33+43+⋯\displaystyle 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

13+23+33+43+⋯\displaystyle 1^3+2^3+3^3+4^3+\cdots

정답·풀이 보기

(a) Sn=(n(n+1)2)2S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (b) 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=(n(n+1)2)2S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 (b) Diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 35번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
155.APEX · 8.2절 · 35번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

∑n=0∞52n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5}{2^n}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=0∞52n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{5}{2^n}

정답·풀이 보기

(a) Sn=51−1/2n1/2S_n = 5\frac{1-1/2^n}{1/2} (b) 10으로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=51−1/2n1/2S_n = 5\frac{1-1/2^n}{1/2} (b) Converges to 10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 17번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
156.APEX · 8.2절 · 36번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

∑n=0∞e−n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty e^{-n}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=0∞e−n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty e^{-n}

정답·풀이 보기

(a) Sn=1−(1/e)n+11−1/eS_n = \frac{1-(1/e)^{n+1}}{1-1/e}. (b) 1/(1−1/e)=e/(e−1)1/(1-1/e) = e/(e-1)로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=1−(1/e)n+11−1/eS_n = \frac{1-(1/e)^{n+1}}{1-1/e}. (b) Converges to 1/(1−1/e)=e/(e−1)1/(1-1/e) = e/(e-1).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 39번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
157.APEX · 8.2절 · 37번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

1−13+19−127+181+⋯\displaystyle 1-\frac13+\frac19-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

1−13+19−127+181+⋯\displaystyle 1-\frac13+\frac19-\frac{1}{27}+\frac{1}{81}+\cdots

정답·풀이 보기

(a) Sn=1−(−1/3)n4/3S_n = \frac{1-(-1/3)^n}{4/3} (b) 3/43/4로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Sn=1−(−1/3)n4/3S_n = \frac{1-(-1/3)^n}{4/3} (b) Converges to 3/43/4.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 2번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
158.APEX · 8.2절 · 38번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n에 대한 식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 쓰세요.

∑n=1∞1n(n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=1∞1n(n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 분해하면 an=1n−1n+1a_n = \frac1n-\frac1{n+1}이다. 따라서 Sn=1−1n+1S_n = 1-\frac1{n+1}이다. (b) 1로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, an=1n−1n+1a_n = \frac1n-\frac1{n+1}. Thus Sn=1−1n+1S_n = 1-\frac1{n+1}. (b) Converges to 1.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.2절 · 21번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
159.APEX · 8.2절 · 39번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

∑n=1∞3n(n+2)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n(n+2)}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=1∞3n(n+2)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{3}{n(n+2)}

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 나타내면 an=32(1n−1n+2)a_n = \frac32\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right) 이다. 따라서 Sn=32(32−1n+1−1n+2)S_n = \frac32\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right) 이다. (b) 9/4 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, an=32(1n−1n+2)a_n = \frac32\left(\frac1n-\frac1{n+2}\right). Thus Sn=32(32−1n+1−1n+2)S_n = \frac32\left(\frac32-\frac1{n+1}-\frac1{n+2}\right). (b) Converges to 9/4

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 28번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
160.APEX · 8.2절 · 40번우리말 번역

연습문제 31–46에서 급수가 하나씩 주어져 있습니다.

(a) 급수의 nthn^\text{th} 부분합 SnS_n 에 대한 공식을 구하세요. (b) 급수가 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 어떤 값으로 수렴하는지 말하세요.

∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}

영어 원문 보기

In Exercises 31–46, a series is given.

(a) Find a formula for SnS_n, the nthn^\text{th} partial sum of the series. (b) Determine whether the series converges or diverges. If it converges, state what it converges to.

∑n=1∞1(2n−1)(2n+1)\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}

정답·풀이 보기

(a) 부분분수로 나타내면 an=12(12n−1−12n+1)a_n = \frac12\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right) 이다. 그러면 Sn=12(1−12n+1)=n2n+1S_n = \frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1} 이다. (b) 1/21/2 로 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) With partial fractions, an=12(12n−1−12n+1)a_n = \frac12\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right). Then Sn=12(1−12n+1)=n2n+1S_n = \frac12\left(1-\frac1{2n+1}\right) = \frac{n}{2n+1}. (b) Converges to 1/21/2.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.2절 · 33번
# 급수의 수렴과 발산계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)