수열의 수렴과 발산 연습문제

21.OpenStax 2권 · 5.1절 · 18번우리말 번역

다음과 같이 점화식으로 정의된 수열의 $n\text{th}$ 항 ${a}_{n}$ 을 ${a}_{n}=f(n)$ 으로 나타내는 함수 $f(n)$ 을 구하세요.

${a}_{1}=1$ 이고 $n\ge 1$ 에 대해 ${a}_{n+1}={a}_{n}/{2}^{n}$

영어 원문 보기

Find a function $f(n)$ that identifies the $n\text{th}$ term ${a}_{n}$ of the following recursively defined sequences, as ${a}_{n}=f(n).$

${a}_{1}=1$ and ${a}_{n+1}={a}_{n}/{2}^{n}$ for $n\ge 1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 21번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 5.1절 · 19번우리말 번역

각 수열의 처음 $N$ 개의 항을 그래프로 그리세요. 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2$ 이고 $n\ge 2$ 에 대해 ${a}_{n}=\frac{1}{2}({a}_{n-1}+{a}_{n-2});$ $N=30$

영어 원문 보기

Plot the first $N$ terms of each sequence. State whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ and for $n\ge 2,$ ${a}_{n}=\frac{1}{2}({a}_{n-1}+{a}_{n-2});$ $N=30$

정답·풀이 보기

항들이 $5/3$ 의 위아래로 진동하며 $5/3$ 에 수렴하는 것으로 보인다.

진동하는 수열의 그래프이다. 항들이 5/3의 위아래로 진동하며 5/3에 수렴하는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Terms oscillate above and below $5/3$ and appear to converge to $5/3.$

This is a graph of an oscillating sequence. Terms oscillate above and below 5/3 and seem to converge to 5/3.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 49번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 5.1절 · 20번우리말 번역

각 수열의 처음 $N$ 개의 항을 그래프로 그리세요. 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ ${a}_{3}=3$ 이고 $n\ge 4$ 에 대해 ${a}_{n}=\frac{1}{3}({a}_{n-1}+{a}_{n-2}+{a}_{n-3}),$ $N=30$

영어 원문 보기

Plot the first $N$ terms of each sequence. State whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ ${a}_{3}=3$ and for $n\ge 4,$ ${a}_{n}=\frac{1}{3}({a}_{n-1}+{a}_{n-2}+{a}_{n-3}),$ $N=30$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 5.1절 · 21번우리말 번역

각 수열의 처음 $N$ 개의 항을 그래프로 그리세요. 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2$ 이고 $n\ge 3$ 에 대해 ${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}};$ $N=30$

영어 원문 보기

Plot the first $N$ terms of each sequence. State whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ and for $n\ge 3,$ ${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}};$ $N=30$

정답·풀이 보기

항들이 $y\approx 1.57$ 의 위아래로 진동하며 어떤 극한에 수렴하는 것으로 보인다.

진동하는 수열의 그래프이다. 항들이 y = 1.57의 위아래로 진동하며 1.57에 수렴하는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Terms oscillate above and below $y\approx 1.57...$ and appear to converge to a limit.

This is a graph of the oscillating sequence. Terms oscillate above and below y = 1.57 and seem to converse to 1.57.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 35번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 5.1절 · 22번우리말 번역

각 수열의 처음 $N$ 개 항을 그래프로 나타내세요. 그래프로 볼 때 그 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ ${a}_{3}=3$ , 그리고 $n\ge 4$ 일 때 ${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}{a}_{n-3}};$ $N=30$

영어 원문 보기

Plot the first $N$ terms of each sequence. State whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] ${a}_{1}=1,$ ${a}_{2}=2,$ ${a}_{3}=3,$ and for $n\ge 4,$ ${a}_{n}=\sqrt{{a}_{n-1}{a}_{n-2}{a}_{n-3}};$ $N=30$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 15번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 5.1절 · 24번우리말 번역

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1$ 이고 모든 $n$ 에 대해 $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ 이라 하자. 다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 말하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 충분하지 않다고 말하세요.

$\lim_{n\to \infty }\left(\frac{1}{2}{b}_{n}-\frac{1}{2}{a}_{n}\right)$

영어 원문 보기

Suppose that $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1,$ and $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ for all $n.$ Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

$\lim_{n\to \infty }\left(\frac{1}{2}{b}_{n}-\frac{1}{2}{a}_{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 17번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 5.1절 · 25번우리말 번역

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1$ 이고 모든 $n$ 에 대해 $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ 이라 하자. 다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 말하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 충분하지 않다고 말하세요.

$\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}-{b}_{n}}$

영어 원문 보기

Suppose that $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1,$ and $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ for all $n.$ Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

$\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}+{b}_{n}}{{a}_{n}-{b}_{n}}$

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정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 5.1절 · 26번우리말 번역

$\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1$ 이고 모든 $n$ 에 대해 $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ 이라 하자. 다음 각 극한의 값을 구하거나, 극한이 존재하지 않는다고 말하거나, 극한이 존재하는지 판단하기에 정보가 충분하지 않다고 말하세요.

$\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}-{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$

영어 원문 보기

Suppose that $\lim_{n\to \infty }{a}_{n}=1,$ $\lim_{n\to \infty }{b}_{n}=-1,$ and $0<-{b}_{n}<{a}_{n}$ for all $n.$ Evaluate each of the following limits, or state that the limit does not exist, or state that there is not enough information to determine whether the limit exists.

$\lim_{n\to \infty }\frac{{a}_{n}-{b}_{n}}{{a}_{n}+{b}_{n}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 5번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번우리말 번역

다음 각 수열의 극한을 구하세요. 적절한 경우 로피탈의 정리를 이용하세요.

$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$

영어 원문 보기

Find the limit of each of the following sequences, using L’Hôpital’s rule when appropriate.

$\frac{{n}^{2}}{{2}^{n}}$

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정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 37번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 5.1절 · 28번우리말 번역

다음 각 수열의 극한을 구하세요. 적절한 경우 로피탈의 정리를 이용하세요.

$\frac{{(n-1)}^{2}}{{(n+1)}^{2}}$

영어 원문 보기

Find the limit of each of the following sequences, using L’Hôpital’s rule when appropriate.

$\frac{{(n-1)}^{2}}{{(n+1)}^{2}}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 45번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 5.1절 · 29번우리말 번역

다음 각 수열의 극한을 구하세요. 적절한 경우 로피탈의 정리를 이용하세요.

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$

영어 원문 보기

Find the limit of each of the following sequences, using L’Hôpital’s rule when appropriate.

$\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1$

원본 교재 풀이(영어)

$1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 5.1절 · 30번우리말 번역

다음 각 수열의 극한을 구하세요. 적절한 경우 로피탈의 정리를 이용하세요.

${n}^{1/n}$ (힌트: ${n}^{1/n}={e}^{\frac{1}{n}\ln \,n})$

영어 원문 보기

Find the limit of each of the following sequences, using L’Hôpital’s rule when appropriate.

${n}^{1/n}$ (Hint: ${n}^{1/n}={e}^{\frac{1}{n}\ln \,n})$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 13번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 5.1절 · 32번우리말 번역

다음 각 수열의 $n\text{th}$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 결국 단조인지, 증가인지, 감소인지 말하세요.

$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 24번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 5.1절 · 33번우리말 번역

다음 각 수열의 $n\text{th}$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 결국 단조인지, 증가인지, 감소인지 말하세요.

$\sin n$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$\sin n$

정답·풀이 보기

유계, 단조가 아니다

원본 교재 풀이(영어)

bounded, not monotone

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 7번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

35.OpenStax 2권 · 5.1절 · 34번우리말 번역

다음 각 수열의 $n\text{th}$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 결국 단조인지, 증가인지, 감소인지 말하세요.

$\cos ({n}^{2})$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$\cos ({n}^{2})$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 63번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

36.OpenStax 2권 · 5.1절 · 35번우리말 번역

다음 각 수열의 $n\text{th}$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 결국 단조인지, 증가인지, 감소인지 말하세요.

${n}^{1/n},$ $n\ge 3$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

${n}^{1/n},$ $n\ge 3$

정답·풀이 보기

유계, 감소

원본 교재 풀이(영어)

bounded, decreasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 33번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

37.OpenStax 2권 · 5.1절 · 36번우리말 번역

다음 각 수열의 $n\text{th}$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 어떤 항부터 단조(증가 또는 감소)인지 말하세요.

${n}^{-1/n},$ $n\ge 3$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

${n}^{-1/n},$ $n\ge 3$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 7번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

38.OpenStax 2권 · 5.1절 · 37번우리말 번역

다음 각 수열의 제 $n$ 항이 주어져 있을 때, 그 수열이 유계인지, 그리고 결국 단조인지, 증가하는지, 감소하는지 말하세요.

$\tan n$

영어 원문 보기

For each of the following sequences, whose $n\text{th}$ terms are indicated, state whether the sequence is bounded and whether it is eventually monotone, increasing, or decreasing.

$\tan n$