빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 미적분Ⅱ · 수열의 극한

수열의 수렴과 발산

수열이 한 값에 수렴하는지, 발산(∞·진동)하는지 판단한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
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121문제 · 3 / 7쪽

41.OpenStax 2권 · 5.1절 · 41번우리말 번역

조임 정리를 이용하여 다음 각 수열의 극한을 구하세요.

cos⁡(1/n)−11/n\frac{\cos (1/n)-1}{1/n}

영어 원문 보기

Use the Squeeze Theorem to find the limit of each of the following sequences.

cos⁡(1/n)−11/n\frac{\cos (1/n)-1}{1/n}

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

00

원본 교재 풀이(영어)

00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 19번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
42.OpenStax 2권 · 5.1절 · 42번우리말 번역

조임 정리를 사용하여 다음 각 수열의 극한을 구하세요.

an=n!nn{a}_{n}=\frac{n!}{{n}^{n}}

영어 원문 보기

Use the Squeeze Theorem to find the limit of each of the following sequences.

an=n!nn{a}_{n}=\frac{n!}{{n}^{n}}

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 1번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
43.OpenStax 2권 · 5.1절 · 43번우리말 번역

조임 정리를 사용하여 다음 각 수열의 극한을 구하세요.

an=sin⁡nsin⁡(1/n){a}_{n}=\sin n\sin (1/n)

영어 원문 보기

Use the Squeeze Theorem to find the limit of each of the following sequences.

an=sin⁡nsin⁡(1/n){a}_{n}=\sin n\sin (1/n)

정답·풀이 보기

0:∣sin⁡x∣≤∣x∣0:|\sin x|\le |x| 이고 ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le 1 이므로 −1n≤an≤1n).-\frac{1}{n}\le {a}_{n}\le \frac{1}{n}).

원본 교재 풀이(영어)

0:∣sin⁡x∣≤∣x∣0:|\sin x|\le |x| and ∣sin⁡x∣≤1|\sin x|\le 1 so −1n≤an≤1n).-\frac{1}{n}\le {a}_{n}\le \frac{1}{n}).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 13번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
44.OpenStax 2권 · 5.1절 · 44번우리말 번역

다음 수열에 대하여 처음 2525개 항을 그래프로 나타내고, 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] an=sin⁡n{a}_{n}=\sin n

영어 원문 보기

For the following sequences, plot the first 2525 terms of the sequence and state whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] an=sin⁡n{a}_{n}=\sin n

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 5번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
45.OpenStax 2권 · 5.1절 · 45번우리말 번역

다음 수열에 대하여 처음 2525개 항을 그래프로 나타내고, 그래프로 볼 때 수열이 수렴하는지 발산하는지 말하세요.

[계산기 사용] an=cos⁡n{a}_{n}=\cos n

영어 원문 보기

For the following sequences, plot the first 2525 terms of the sequence and state whether the graphical evidence suggests that the sequence converges or diverges.

[T] an=cos⁡n{a}_{n}=\cos n

정답·풀이 보기

그래프가 진동하며 극한이 없음을 시사한다.

x축의 0에서 25까지 1과 -1 사이를 오르내리며 진동하는 그래프이다. 극한은 없는 것으로 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Graph oscillates and suggests no limit.

This is a graph that oscillates between 1 and -1 from 0 to 25 on the x axis. There appears to be no limit.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 11번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
46.OpenStax 2권 · 5.1절 · 46번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=tan⁡−1(n2){a}_{n}={\tan }^{-1}({n}^{2})

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=tan⁡−1(n2){a}_{n}={\tan }^{-1}({n}^{2})

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 17번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
47.OpenStax 2권 · 5.1절 · 48번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=ln⁡(n2)ln⁡(2n){a}_{n}=\frac{\ln ({n}^{2})}{\ln (2n)}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=ln⁡(n2)ln⁡(2n){a}_{n}=\frac{\ln ({n}^{2})}{\ln (2n)}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 19번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
48.OpenStax 2권 · 5.1절 · 49번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(1−2n)n{a}_{n}={\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(1−2n)n{a}_{n}={\left(1-\frac{2}{n}\right)}^{n}

정답·풀이 보기

(1+1/n)n→e{(1+1/n)}^{n}\to e 이므로 k→∞k\to \infty 일 때 (1−2/n)n≈(1+k)−2k→e−2{(1-2/n)}^{n}\approx {(1+k)}^{-2k}\to {e}^{-2} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since (1+1/n)n→e,{(1+1/n)}^{n}\to e, one has (1−2/n)n≈(1+k)−2k→e−2{(1-2/n)}^{n}\approx {(1+k)}^{-2k}\to {e}^{-2} as k→∞.k\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 5번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
49.OpenStax 2권 · 5.1절 · 50번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=ln⁡(n+2n2−3){a}_{n}=\ln \left(\frac{n+2}{{n}^{2}-3}\right)

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=ln⁡(n+2n2−3){a}_{n}=\ln \left(\frac{n+2}{{n}^{2}-3}\right)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 25번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
50.OpenStax 2권 · 5.1절 · 51번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=2n+3n4n{a}_{n}=\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{4}^{n}}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=2n+3n4n{a}_{n}=\frac{{2}^{n}+{3}^{n}}{{4}^{n}}

정답·풀이 보기

2n+3n≤2⋅3n{2}^{n}+{3}^{n}\le 2\cdot {3}^{n} 이고 n→∞n\to \infty 일 때 3n/4n→0{3}^{n}/{4}^{n}\to 0 이므로 n→∞n\to \infty 일 때 an→0{a}_{n}\to 0 이다.

원본 교재 풀이(영어)

2n+3n≤2⋅3n{2}^{n}+{3}^{n}\le 2\cdot {3}^{n} and 3n/4n→0{3}^{n}/{4}^{n}\to 0 as n→∞,n\to \infty , so an→0{a}_{n}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 29번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
51.OpenStax 2권 · 5.1절 · 52번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 그 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(1000)nn!{a}_{n}=\frac{{(1000)}^{n}}{n!}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(1000)nn!{a}_{n}=\frac{{(1000)}^{n}}{n!}

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 14번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
52.OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번우리말 번역

수열의 극한을 구하거나 그 수열이 발산함을 보이세요. 수렴하면 그 극한을 구하세요.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

영어 원문 보기

Determine the limit of the sequence or show that the sequence diverges. If it converges, find its limit.

an=(n!)2(2n)!{a}_{n}=\frac{{(n!)}^{2}}{(2n)!}

정답·풀이 보기

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. 특히 an+1/an≤1/2{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2 이므로 n→∞n\to \infty 일 때 an→0{a}_{n}\to 0 이다.

원본 교재 풀이(영어)

an+1an=n!/(n+1)(n+2)⋯ (2n)\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n!/(n+1)(n+2)\cdots \,(2n) =1⋅2⋅3⋯n(n+1)(n+2)⋯ (2n)<1/2n.=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots n}{(n+1)(n+2)\cdots \,(2n)}<1/{2}^{n}. In particular, an+1/an≤1/2,{a}_{n+1}/{a}_{n}\le 1/2, so an→0{a}_{n}\to 0 as n→∞.n\to \infty .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 25번
# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
53.OpenStax 2권 · 5.1절 · 54번우리말 번역

뉴턴의 방법은 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의한다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대해 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 xx 의 정확한 식을 구한 다음, 소수 넷째 자리까지 정확한 극한 xx 의 값과 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=x2−2,f(x)={x}^{2}-2, x0=1{x}_{0}=1

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=x2−2,f(x)={x}^{2}-2, x0=1{x}_{0}=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 3번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
54.OpenStax 2권 · 5.1절 · 56번우리말 번역

뉴턴의 방법은 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법으로, 처음 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의한다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대해 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면 해 xx 의 정확한 식을 구한 다음, 소수 넷째 자리까지 정확한 극한 xx 의 값과 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=ex−2,f(x)={e}^{x}-2, x0=1{x}_{0}=1

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=ex−2,f(x)={e}^{x}-2, x0=1{x}_{0}=1

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 2번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
55.OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번우리말 번역

뉴턴의 방법은 초기 근삿값 x0{x}_{0} 에서 시작하여 수열 xn+1=xn−f(xn)f′(xn){x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})} 을 차례로 정의함으로써 방정식 f(x)=0f(x)=0 의 해를 어림하는 방법입니다. 주어진 ff 와 x0{x}_{0} 에 대하여 xn+1{x}_{n+1} 의 식을 쓰세요. 수열이 수렴하는 것으로 보이면, 해 xx 의 정확한 식을 구하고, 이어서 xx 를 소수 넷째 자리까지 정확하게 구한 뒤 xn{x}_{n} 이 xx 와 소수 넷째 자리까지 일치하는 가장 작은 nn 을 구하세요.

[계산기 사용] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

영어 원문 보기

Newton’s method seeks to approximate a solution f(x)=0f(x)=0 that starts with an initial approximation x0{x}_{0} and successively defines a sequence xn+1=xn−f(xn)f′(xn).{x}_{n+1}={x}_{n}-\frac{f({x}_{n})}{{f}^{'}({x}_{n})}. For the given choice of ff and x0,{x}_{0}, write out the formula for xn+1.{x}_{n+1}. If the sequence appears to converge, give an exact formula for the solution x,x, then identify the limit xx accurate to four decimal places and the smallest nn such that xn{x}_{n} agrees with xx up to four decimal places.

[T] f(x)=ln⁡x−1,f(x)=\ln x-1, x0=2{x}_{0}=2

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

원본 교재 풀이(영어)

xn+1=xn−xn(ln⁡(xn)−1);{x}_{n+1}={x}_{n}-{x}_{n}(\ln ({x}_{n})-1); x=e,x=e, x≈2.7183,x\approx 2.7183, n=5n=5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
56.OpenStax 2권 · 5.1절 · 58번우리말 번역

[계산기 사용] 식초 1리터에서 시작하여, 0.1 L 를 덜어 내고 그만큼 물로 채운 뒤 섞는 과정을 반복한다고 합시다.

a. nn 단계 후의 농도에 대한 식을 구하세요. b. 몇 단계 후에 혼합액의 식초 비율이 10%10\% 미만이 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose you start with one liter of vinegar and repeatedly remove 0.1 L,0.1\,\text{L,} replace with water, mix, and repeat.

a. Find a formula for the concentration after nn steps. b. After how many steps does the mixture contain less than 10%10\% vinegar?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 5번
# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
57.OpenStax 2권 · 5.1절 · 59번우리말 번역

[계산기 사용] 어떤 호수에 처음에 물고기가 20002000 마리 있습니다. 포식자나 그 밖의 제거 요인이 없다면 물고기 개체 수는 매달 6%6\% 씩 증가한다고 합시다. 그러나 모든 요인을 고려하면 매달 물고기 150150 마리가 사라집니다.

a. nn 개월 후의 물고기 개체 수가 P0=2000{P}_{0}=2000 일 때 Pn=1.06Pn−1−150{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150 으로 모형화되는 이유를 설명하세요. b. 1년 후 연못에 물고기가 몇 마리 있게 되는지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] A lake initially contains 20002000 fish. Suppose that in the absence of predators or other causes of removal, the fish population increases by 6%6\% each month. However, factoring in all causes, 150150 fish are lost each month.

a. Explain why the fish population after nn months is modeled by Pn=1.06Pn−1−150{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}-150 with P0=2000.{P}_{0}=2000. b. How many fish will be in the pond after one year?

정답·풀이 보기

a. 손실이 없다면 개체 수는 Pn=1.06Pn−1{P}_{n}=1.06{P}_{n-1} 을 따를 것이다. 150150 을 빼는 것은 물고기의 손실을 나타낸다. b. 1212 개월 후에는 P12≈1494{P}_{12}\approx 1494 이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. Without losses, the population would obey Pn=1.06Pn−1.{P}_{n}=1.06{P}_{n-1}. The subtraction of 150150 accounts for fish losses. b. After 1212 months, we have P12≈1494.{P}_{12}\approx 1494.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 51번
# 수열의 수렴과 발산활용자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
58.OpenStax 2권 · 5.1절 · 62번우리말 번역

[계산기 사용] 등비적 증가와 등차적 감소를 결합한 급수를 생각하세요. a1=1{a}_{1}=1 이라 하세요. a>1a>1 과 0<b<a0<b<a 를 고정하세요. an+1=a.an−b{a}_{n+1}=a.{a}_{n}-b 로 정하세요. an,{a}^{n}, aa, 그리고 bb 로 나타낸 an+1{a}_{n+1} 의 식과, an{a}_{n} 이 수렴하기 위한 aa 와 bb 사이의 관계를 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Consider a series combining geometric growth and arithmetic decrease. Let a1=1.{a}_{1}=1. Fix a>1a>1 and 0<b<a.0<b<a. Set an+1=a.an−b.{a}_{n+1}=a.{a}_{n}-b. Find a formula for an+1{a}_{n+1} in terms of an,{a}^{n}, a,a, and bb and a relationship between aa and bb such that an{a}_{n} converges.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 43번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
59.OpenStax 2권 · 5.1절 · 64번우리말 번역

[계산기 사용] π\pi 의 근삿값을 구하기 위해 a0=2+1,{a}_{0}=\sqrt{2+1}, a1=2+a0{a}_{1}=\sqrt{2+{a}_{0}} 로 놓고, 일반적으로 an+1=2+an{a}_{n+1}=\sqrt{2+{a}_{n}} 으로 놓습니다. 마지막으로 pn=3.2n+12−an{p}_{n}={3.2}^{n+1}\sqrt{2-{a}_{n}} 으로 놓습니다. pn{p}_{n} 의 처음 열 개의 항을 구하고 그 값을 π\pi 와 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] To find an approximation for π,\pi , set a0=2+1,{a}_{0}=\sqrt{2+1}, a1=2+a0,{a}_{1}=\sqrt{2+{a}_{0}}, and, in general, an+1=2+an.{a}_{n+1}=\sqrt{2+{a}_{n}}. Finally, set pn=3.2n+12−an.{p}_{n}={3.2}^{n+1}\sqrt{2-{a}_{n}}. Find the first ten terms of pn{p}_{n} and compare the values to π.\pi .

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번
# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류
OpenStax Calculus Volume 2 CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
60.OpenStax 2권 · 5.1절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] K=16,807K=16,807 과 M=2,147,483,647M=2,147,483,647 에서 시작하여, 서로 다른 열 개의 처음값 a1{a}_{1} 을 사용해 n=1000n=1000 까지 비트 bn{b}_{n} 의 수열을 계산하고, 그 평균을 난수 비트 생성기로 만든 그러한 열 개의 수열의 평균과 비교하세요.

영어 원문 보기

[T] Starting with K=16,807K=16,807 and M=2,147,483,647,M=2,147,483,647, using ten different starting values of a1,{a}_{1}, compute sequences of bits bn{b}_{n} up to n=1000,n=1000, and compare their averages to ten such sequences generated by a random bit generator.

정답·풀이 보기

처음값 a1=1,{a}_{1}=1, a2=2,…,{a}_{2}=2,\ldots , a1=10{a}_{1}=10 에 대해, 제시된 방법으로 계산한 비트 평균은 각각 0.5220,0.5220, 0.5000,0.5000, 0.4960,0.4960, 0.4870,0.4870, 0.4860,0.4860, 0.4680,0.4680, 0.5130,0.5130, 0.5210,0.5210, 0.5040,0.5040, 0.48400.4840 이다. 다음은 난수 생성기로 만든 10001000 비트 열 열 개의 대응하는 평균의 한 예이다: 0.4880,0.4880, 0.4870,0.4870, 0.5150,0.5150, 0.5490,0.5490, 0.5130,0.5130, 0.5180,0.5180, 0.4860,0.4860, 0.5030,0.5030, 0.5050,0.5050, 0.49800.4980. 어느 쪽 평균에서도 뚜렷한 규칙은 없다. 난수 생성기로 만든 평균은 0.48600.4860 에서 0.54900.5490 사이에 분포하여 그 범위가 0.06300.0630 인 반면, 계산으로 얻은 의사난수 생성기의 비트 평균은 0.46800.4680 에서 0.52200.5220 사이에 분포하여 그 범위가 0.05400.0540 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For the starting values a1=1,{a}_{1}=1, a2=2,…,{a}_{2}=2,\ldots , a1=10,{a}_{1}=10, the corresponding bit averages calculated by the method indicated are 0.5220,0.5220, 0.5000,0.5000, 0.4960,0.4960, 0.4870,0.4870, 0.4860,0.4860, 0.4680,0.4680, 0.5130,0.5130, 0.5210,0.5210, 0.5040,0.5040, and 0.4840.0.4840. Here is an example of ten corresponding averages of strings of 10001000 bits generated by a random number generator: 0.4880,0.4880, 0.4870,0.4870, 0.5150,0.5150, 0.5490,0.5490, 0.5130,0.5130, 0.5180,0.5180, 0.4860,0.4860, 0.5030,0.5030, 0.5050,0.5050, 0.4980.0.4980. There is no real pattern in either type of average. The random-number-generated averages range between 0.48600.4860 and 0.5490,0.5490, a range of 0.0630,0.0630, whereas the calculated PRNG bit averages range between 0.46800.4680 and 0.5220,0.5220, a range of 0.0540.0.0540.

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