수열의 수렴과 발산 연습문제

81.APEX · 8.1절 · 20번우리말 번역

연습문제 17–28에서 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n-1}{n}-\frac{n}{n-1}\right\}$ , $n\geq 2$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n-1}{n}-\frac{n}{n-1}\right\}$ , $n\geq 2$

정답·풀이 보기

$0$ 으로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to $0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 57번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

82.APEX · 8.1절 · 21번우리말 번역

연습문제 17–28에서 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\ln (n)\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\ln (n)\right\}$

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 17번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

83.APEX · 8.1절 · 22번우리말 번역

연습문제 17–28에서 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n}{\sqrt{n^2+1}}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n}{\sqrt{n^2+1}}\right\}$

정답·풀이 보기

3 으로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 3

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 35번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

84.APEX · 8.1절 · 23번우리말 번역

연습문제 17–28에서, 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\left(1+\frac1n\right)^n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\left(1+\frac1n\right)^n\right\}$

정답·풀이 보기

$e$ 에 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to $e$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 13번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

85.APEX · 8.1절 · 24번우리말 번역

연습문제 17–28에서, 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{5-\frac1n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{5-\frac1n\right\}$

정답·풀이 보기

5에 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 18번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

86.APEX · 8.1절 · 25번우리말 번역

연습문제 17–28에서, 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{(-1)^{n+1}}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

0에 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 45번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

87.APEX · 8.1절 · 26번우리말 번역

연습문제 17–28에서, 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{1.1^n}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{1.1^n}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

발산한다

원본 교재 풀이(영어)

diverges

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 12번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

88.APEX · 8.1절 · 27번우리말 번역

연습문제 17–28에서, 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 그 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{2n}{n+1}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{2n}{n+1}\right\}$

정답·풀이 보기

2에 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 5번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

89.APEX · 8.1절 · 28번우리말 번역

연습문제 17–28에서 수열이 수렴하는지 발산하는지 판단하세요. 수렴하면 수열의 극한을 구하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{n^2}{2^n-1}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 17–28, determine whether the sequence converges or diverges. If convergent, give the limit of the sequence.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{n^2}{2^n-1}\right\}$

정답·풀이 보기

0으로 수렴한다

원본 교재 풀이(영어)

converges to 0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 1번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

90.APEX · 8.1절 · 29번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\sin n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\sin n\right\}$

정답·풀이 보기

유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 27번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

91.APEX · 8.1절 · 30번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\tan n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\tan n\right\}$

정답·풀이 보기

위로도 아래로도 유계가 아니다

원본 교재 풀이(영어)

neither bounded above or below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 28번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

92.APEX · 8.1절 · 31번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{3n-1}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{3n-1}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 13번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

93.APEX · 8.1절 · 32번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 위의 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-1}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{3n^2-1}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

아래로 유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 35번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

94.APEX · 8.1절 · 33번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 그 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{n\cos n\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{n\cos n\right\}$

정답·풀이 보기

위로도 아래로도 유계가 아니다

원본 교재 풀이(영어)

neither bounded above or below

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

95.APEX · 8.1절 · 34번우리말 번역

연습문제 29–34에서 수열이 유계인지, 위로 유계인지, 아래로 유계인지, 또는 그 어느 것도 아닌지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{2^n-n!\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 29–34, determine whether the sequence is bounded, bounded above, bounded below, or none of the above.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{2^n-n!\right\}$

정답·풀이 보기

위로 유계

원본 교재 풀이(영어)

bounded above

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 53번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

96.APEX · 8.1절 · 35번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n}{n+2}\right\}$

정답·풀이 보기

단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 11번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

97.APEX · 8.1절 · 36번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2-6n+9}{n}\right\}$

정답·풀이 보기

$n\geq 3$ 에서 단조증가

원본 교재 풀이(영어)

monotonically increasing for $n\geq 3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 9번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

98.APEX · 8.1절 · 37번우리말 번역

연습문제 35–38에서 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{(-1)^n\frac{1}{n^3}\right\}$

정답·풀이 보기

단조가 되는 경우가 없다

원본 교재 풀이(영어)

never monotonic

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 8.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

99.APEX · 8.1절 · 38번우리말 번역

연습문제 35–38에서, 수열이 단조증가인지 단조감소인지 판단하세요. 그렇지 않다면, 모든 $n\geq m$ 에 대해 단조가 되는 $m$ 이 있는지 판단하세요.

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, determine whether the sequence is monotonically increasing or decreasing. If it is not, determine if there is an $m$ such that it is monotonic for all $n\geq m$ .

$\displaystyle \{a_n\} = \left\{\frac{n^2}{2^n}\right\}$

정답·풀이 보기

$n\geq 3$ 에서 단조감소이다.

원본 교재 풀이(영어)

monotonically decreasing for $n\geq 3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 5.1절 · 31번

# 수열의 수렴과 발산계산자동 분류

100.APEX · 8.1절 · 41번우리말 번역

연습문제 39–42는 수열의 이론을 더 깊이 탐구한다.

수열에 대한 조임 정리를 증명하세요: $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 이 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$ 이고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = L$ 인 수열이라 하고, $\{c_n\}$ 은 모든 $n$ 에 대해 $a_n\leq c_n\leq b_n$ 인 수열이라 하자. 그러면 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L$ 이다.

영어 원문 보기

Exercises 39–42 explore further the theory of sequences.

Prove the Squeeze Theorem for sequences: Let $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ be such that $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = L$ and $\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = L$ , and let $\{c_n\}$ be such that $a_n\leq c_n\leq b_n$ for all $n$ . Then $\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = L$

정답·풀이 보기

증명 방법 하나의 개요:

임의의 $\epsilon>0$ 이 주어졌다고 하자. $\{a_n\}$ 과 $\{b_n\}$ 이 수렴하므로, 모든 $n\geq N$ 에 대해 $a_n$ 과 $b_n$ 이 모두 $L$ 로부터 $\epsilon/2$ 이내에 있게 하는 $N>0$ 이 존재한다. 따라서 두 값은 서로 많아야 $\epsilon$ 만큼 떨어져 있다고 결론지을 수 있다. $a_n\leq c_n \leq b_n$ 이므로 $c_n$ 이 $L$ 로부터 $\epsilon$ 이내에 있음을 보일 수 있고, 이로써 $\{c_n\}$ 도 $L$ 로 수렴함을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

A sketch of one proof method:

Let any $\epsilon>0$ be given. Since $\{a_n\}$ and $\{b_n\}$ converge, there exists an $N>0$ such that for all $n\geq N$ , both $a_n$ and $b_n$ are within $\epsilon/2$ of $L$ ; we can conclude that they are at most $\epsilon$ apart from each other. Since $a_n\leq c_n \leq b_n$ , one can show that $c_n$ is within $\epsilon$ of $L$ , showing that $\{c_n\}$ also converges to $L$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.1절 · 4번

# 수열의 수렴과 발산증명·논술자동 분류