급수 심화 전체 연습문제

341.OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 치환이 제시된 경우 치환을 이용하여 각 급수를 기본함수로 나타내고, 그 합의 수렴 반지름을 구하세요.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ 에서 $y={2}^{-x}$ 로 치환하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, using a substitution if indicated, express each series in terms of elementary functions and find the radius of convergence of the sum.

$\sum_{k=1}^{\infty }{2}^{-kx}$ using $y={2}^{-x}$

정답·풀이 보기

$y={2}^{-x}$ 이면 $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}$ 이다. ${a}_{k}={2}^{-kx}$ 이면 $x>0$ 일 때 $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ 이다. 따라서 이 급수는 모든 $x>0$ 에 대해 수렴한다.

원본 교재 풀이(영어)

If $y={2}^{-x},$ then $\sum_{k=1}^{\infty }{y}^{k}=\frac{y}{1-y}=\frac{{2}^{-x}}{1-{2}^{-x}}=\frac{1}{{2}^{x}-1}.$ If ${a}_{k}={2}^{-kx},$ then $\frac{{a}_{k+1}}{{a}_{k}}={2}^{-x}<1$ when $x>0.$ So the series converges for all $x>0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

342.OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=0$ , ${a}_{1}=1$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{n}+\frac{{a}_{n-2}}{n(n-1)}.$ For ${a}_{0}=0$ and ${a}_{1}=1,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

정답·풀이 보기

세 개의 곡선을 그린 그래프이다. 곡선은 모두 증가하며, x = 0 에 가까워질수록 서로 매우 가까워진다. 그리고 x 가 0 에서 멀어지면 곡선들이 서로 갈라진다.

실선은 S₅ 이다. 파선은 S₂, 점선은 S₃, 일점쇄선은 S₄ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

This is a graph of three curves. They are all increasing and become very close as the curves approach x = 0. Then they separate as x moves away from 0.

The solid curve is S₅. The dashed curve is S₂, dotted is S₃, and dash-dotted is S₄

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

343.OpenStax 2권 · 6.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 급수 $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ 의 계수 a_n 이 점화 관계 ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}$ 로 정의된다고 하자. ${a}_{0}=1$ , ${a}_{1}=0$ 일 때, $[-1,1]$ 에서 $N=2,3,4,5$ 에 대해 부분합 ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ 을 계산하고 그래프를 그리세요.

영어 원문 보기

[T] Suppose that the coefficients a_n of the series $\sum_{n=0}^{\infty }{a}_{n}{x}^{n}$ are defined by the recurrence relation ${a}_{n}=\frac{{a}_{n-1}}{\sqrt{n}}-\frac{{a}_{n-2}}{\sqrt{n(n-1)}}.$ For ${a}_{0}=1$ and ${a}_{1}=0,$ compute and plot the sums ${S}_{N}=\sum_{n=0}^{N}{a}_{n}{x}^{n}$ for $N=2,3,4,5$ on $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

344.OpenStax 2권 · 6.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 가 주어졌을 때, $x=-1/2$ 에서 계산한 합의 항을 몇 개(N 개) 더해야 $\ln (2)$ 를 오차 1/1000 이내로 어림할 수 있는지 구하세요. 이에 해당하는 부분합 $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n},$ determine how many terms N of the sum evaluated at $x=-1/2$ are needed to approximate $\ln (2)$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{n=1}^{N}{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$

정답·풀이 보기

$x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}$ 일 때이다. $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}}$ 이므로 $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ 이고 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이다. 따라서 $N=10.$

원본 교재 풀이(영어)

When $x=-\frac{1}{2},-\ln (2)=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}.$ Since $\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{n{2}^{n}}<\sum_{n=11}^{\infty }\frac{1}{{2}^{n}}=\frac{1}{{2}^{10}},$ one has $\sum_{n=1}^{10}\frac{1}{n{2}^{n}}=0.69306\ldots$ whereas $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=10.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

345.OpenStax 2권 · 6.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 가 주어졌을 때, 교대급수 판정법을 이용하여 ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ 를 오차 1/1000 이내로 어림하려면 $x=1$ 에서 계산한 합의 항이 몇 개(N) 필요한지 판단하세요. 그에 해당하는 부분합 $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Given the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1},$ use the alternating series test to determine how many terms N of the sum evaluated at $x=1$ are needed to approximate ${\tan }^{-1}(1)=\frac{\pi }{4}$ accurate to within 1/1000. Evaluate the corresponding partial sum $\sum_{k=0}^{N}{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

346.OpenStax 2권 · 6.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}$ 임을 떠올리세요. $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 의 값을 정확한 값으로 가정하고, 거듭제곱급수 전개 ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ 의 $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$ 에서의 부분합 ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 을 계산하여 $\frac{\pi }{6}$ 을 어림하세요. $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ 이 π 를 오차 0.001 이내로 어림하는 가장 작은 수 N 은 얼마인지 구하세요. 오차 0.00001 이내로 어림하려면 항이 몇 개 필요한지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Recall that ${\tan }^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi }{6}.$ Assuming an exact value of $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right),$ estimate $\frac{\pi }{6}$ by evaluating partial sums ${S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ of the power series expansion ${\tan }^{-1}(x)=\sum_{k=0}^{\infty }{(-1)}^{k}\frac{{x}^{2k+1}}{2k+1}$ at $x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ What is the smallest number N such that $6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ approximates π accurately to within 0.001? How many terms are needed for accuracy to within 0.00001?

정답·풀이 보기

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ 이므로 $N=5$ 가 오차 0.001 이내인 가장 작은 부분합이다. 또한 $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ 이고 $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ 이므로 $N=8$ 이 오차 0.00001 이내가 되는 가장 작은 N 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$6{S}_{N}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\sum_{n=0}^{N}{(-1)}^{n}\frac{1}{{3}^{n}(2n+1)}.$ One has $\pi -6{S}_{4}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00101\ldots$ and $\pi -6{S}_{5}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00028\ldots$ so $N=5$ is the smallest partial sum with accuracy to within 0.001. Also, $\pi -6{S}_{7}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0.00002\ldots$ while $\pi -6{S}_{8}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=-0.000007\ldots$ so $N=8$ is the smallest N to give accuracy to within 0.00001.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 3번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

347.OpenStax 2권 · 6.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 42번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

348.OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ ( $a=-1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=1+x+{x}^{2}$ at $a=-1$

정답·풀이 보기

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$f(-1)=1;{f}^{'}(-1)=-1;{f}^{''}(-1)=2;f(x)=1-(x+1)+{(x+1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 3.6절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

349.OpenStax 2권 · 6.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\cos (2x)$ 의 $a=\pi$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\cos (2x)$ at $a=\pi$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 40번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

350.OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sin (2x)$ , $a=\frac{\pi }{2}$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sin (2x)$ at $a=\frac{\pi }{2}$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=2\cos (2x);{f}^{''}(x)=-4\sin (2x);{p}_{2}(x)=-2\left(x-\frac{\pi }{2}\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 2번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

351.OpenStax 2권 · 6.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\sqrt{x}$ ( $a=4$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\sqrt{x}$ at $a=4$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

352.OpenStax 2권 · 6.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\ln x$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(x)=\frac{1}{x};{f}^{''}(x)=-\frac{1}{{x}^{2}};{p}_{2}(x)=0+(x-1)-\frac{1}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 4번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

353.OpenStax 2권 · 6.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x}$ ( $a=1$ 에서)

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)=\frac{1}{x}$ at $a=1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

354.OpenStax 2권 · 6.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 점을 중심으로 주어진 함수를 근사하는 2차 테일러 다항식을 구하세요.

$f(x)={e}^{x}$ , $a=1$ 에서

영어 원문 보기

In the following exercises, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.

$f(x)={e}^{x}$ at $a=1$

정답·풀이 보기

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

원본 교재 풀이(영어)

${p}_{2}(x)=e+e(x-1)+\frac{e}{2}{(x-1)}^{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 23번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

355.OpenStax 2권 · 6.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

근사식 ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ 에 −x² 을 대입한 식을 적분하여 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Integrate the approximation ${e}^{x}\approx 1+x+\frac{{x}^{2}}{2}+\cdots +\frac{{x}^{6}}{720}$ evaluated at −x² to approximate ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ 이고, 반면 ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{1}\left(1-{x}^{2}+\frac{{x}^{4}}{2}-\frac{{x}^{6}}{6}+\frac{{x}^{8}}{24}-\frac{{x}^{10}}{120}+\frac{{x}^{12}}{720}\right)dx$

$=1-\frac{{1}^{3}}{3}+\frac{{1}^{5}}{10}-\frac{{1}^{7}}{42}+\frac{{1}^{9}}{9\cdot 24}-\frac{{1}^{11}}{120\cdot 11}+\frac{{1}^{13}}{720\cdot 13}\approx 0.74683$ whereas ${\int }_{0}^{1}{e}^{-{x}^{2}}dx\approx 0.74682.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 54번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

356.OpenStax 2권 · 6.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\sin x$ , 구간 $[-\pi ,\pi ],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\sin x$ on $[-\pi ,\pi ],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 36번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

357.OpenStax 2권 · 6.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)=\cos x$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)=\cos x$ on $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)$ 는 $\sin z$ 또는 $\cos z$ 이므로 $M=1$ 이다. $|x-0|\le \frac{\pi }{2}$ 이므로 $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=7$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{7}\le 0.00092$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)$ is $\sin z$ or $\cos z,$ we have $M=1.$ Since $|x-0|\le \frac{\pi }{2},$ we seek the smallest n such that $\frac{{\pi }^{n+1}}{{2}^{n+1}(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=7.$ The remainder estimate is ${R}_{7}\le 0.00092.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 12번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

358.OpenStax 2권 · 6.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-2x}$ , 구간 $[-1,1],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-2x}$ on $[-1,1],a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 48번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

359.OpenStax 2권 · 6.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $M$ 이 $a$ 와 주어진 점 사이의 구간에서 $|{f}^{(n+1)}(z)|$ 의 최댓값일 때, 나머지 추정식 $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$ 이 주어진 구간에서 $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ 이 되도록 하는 n 의 최솟값을 구하세요.

$f(x)={e}^{-x}$ , 구간 $[-3,3],a=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the smallest value of n such that the remainder estimate $|{R}_{n}|\le \frac{M}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1},$ where M is the maximum value of $|{f}^{(n+1)}(z)|$ on the interval between a and the indicated point, yields $|{R}_{n}|\le \frac{1}{1000}$ on the indicated interval.

$f(x)={e}^{-x}$ on $[-3,3],a=0$

정답·풀이 보기

${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ 이므로 $M={e}^{3}$ 이다. $|x-0|\le 3$ 이므로 $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001$ 을 만족시키는 n 의 최솟값을 구한다. 이를 만족시키는 최솟값은 $n=14$ 이다. 나머지 추정값은 ${R}_{14}\le 0.000220$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since ${f}^{(n+1)}(z)=\pm {e}^{-z}$ one has $M={e}^{3}.$ Since $|x-0|\le 3,$ one seeks the smallest n such that $\frac{{3}^{n+1}{e}^{3}}{(n+1)!}\le 0.001.$ The smallest such value is $n=14.$ The remainder estimate is ${R}_{14}\le 0.000220.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.3절 · 38번

# 테일러·매클로린 급수계산자동 분류

360.OpenStax 2권 · 6.3절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 구간 $[a-R,a+R]$ 에서 나머지 추정식 $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ 의 우변의 최댓값은 $a$ 또는 $a\pm R$ 에서 나타난다. 이 최댓값을 $R$ 의 함수로 그래프에 나타내어, $[a-R,a+R]$ 에서 $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ 을 만족시키는 $R$ 의 최댓값을 어림하세요.

[계산기 사용] e^x 을 $1+x,a=0$ 으로 근사

영어 원문 보기

In the following exercises, the maximum of the right-hand side of the remainder estimate $|{R}_{1}|\le \frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}$ on $[a-R,a+R]$ occurs at a or $a\pm R.$ Estimate the maximum value of R such that $\frac{\max |{f}^{''}(z)|}{2}{R}^{2}\le 0.1$ on $[a-R,a+R]$ by plotting this maximum as a function of R.

[T] e^x approximated by $1+x,a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6장 복습 · 11번

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