멱급수의 연산 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 2권 · 6.2절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 f 와 g 가 주어진 대로 정의될 때, $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=2\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=0}^{\infty }n{x}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}=2,{b}_{n}=n$ so ${c}_{n}=\sum_{k=0}^{n}{b}_{k}{a}_{n-k}=2\sum_{k=0}^{n}k=(n)(n+1)$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1){x}^{n}$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

22.OpenStax 2권 · 6.2절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}.$ $f(x)g(x)$ 의 계수를 ${H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ 로 나타내세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{x}^{n},g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}{x}^{n}.$ Express the coefficients of $f(x)g(x)$ in terms of ${H}_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

23.OpenStax 2권 · 6.2절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

정답·풀이 보기

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ 이므로 ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ 이고 $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

${a}_{n}={b}_{n}={2}^{-n}$ so ${c}_{n}=\sum_{k=1}^{n-1}{b}_{k}{a}_{n-k}={2}^{-n}\sum_{k=1}^{n-1}1=\frac{n-1}{{2}^{n}}$ and $f(x)g(x)=\sum_{n=2}^{\infty }(n-1){\left(\frac{x}{2}\right)}^{n}$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

24.OpenStax 2권 · 6.2절 · 24번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $f$ 와 $g$ 가 아래와 같이 주어질 때 $f(x)g(x)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the power series of $f(x)g(x)$ given f and g as defined.

$f(x)=g(x)=\sum_{n=1}^{\infty }n{x}^{n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

25.OpenStax 2권 · 6.2절 · 25번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 미분하여 $f$ 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

$f(x)=\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{n}$

정답·풀이 보기

$f$ 의 도함수는 $-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The derivative of $f$ is $-\frac{1}{{(1+x)}^{2}}=-\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}(n+1){x}^{n}.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

26.OpenStax 2권 · 6.2절 · 26번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 미분하여 $f$ 의 도함수에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}$

영어 원문 보기

In the following exercises, differentiate the given series expansion of f term-by-term to obtain the corresponding series expansion for the derivative of f.

$f(x)=\frac{1}{1-{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{2n}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

27.OpenStax 2권 · 6.2절 · 27번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 $f$ 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of $f$ term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of $f.$

$f(x)=\frac{2x}{{(1+{x}^{2})}^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}(2n){x}^{2n-1}$

정답·풀이 보기

$f$ 의 부정적분은 $-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The indefinite integral of $f$ is $-\frac{1}{1+{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

28.OpenStax 2권 · 6.2절 · 28번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 주어진 $f$ 의 급수 전개를 항별로 0부터 x 까지 적분하여 $f$ 의 부정적분에 대응하는 급수 전개를 구하세요.

$f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}$

영어 원문 보기

In the following exercises, integrate the given series expansion of $f$ term-by-term from zero to x to obtain the corresponding series expansion for the indefinite integral of $f.$

$f(x)=\frac{2x}{1+{x}^{2}}=2\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n+1}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

29.OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)$ 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}$ as ${f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.$

정답·풀이 보기

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4$ so $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{'}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n-1}}={\frac{d}{dx}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{1}{{(1-x)}^{2}}|}_{x=1/2}=4$ so $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{2}^{n}}=2.$

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

30.OpenStax 2권 · 6.2절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right)$ 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n}{{3}^{n}}$ as ${f}^{'}\left(\frac{1}{3}\right)$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

31.OpenStax 2권 · 6.2절 · 31번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 일 때, $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}$ 의 값을 ${f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)$ 로 보고 구하세요.

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}$ as ${f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}.$

정답·풀이 보기

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16$ so $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.$

원본 교재 풀이(영어)

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}=\frac{1}{1-x};{f}^{''}\left(\frac{1}{2}\right)=\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n-2}}={\frac{{d}^{2}}{d{x}^{2}}{(1-x)}^{-1}|}_{x=1/2}={\frac{2}{{(1-x)}^{3}}|}_{x=1/2}=16$ so $\sum_{n=2}^{\infty }\frac{n(n-1)}{{2}^{n}}=4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

32.OpenStax 2권 · 6.2절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, 각 무한급수를 등비급수의 도함수 또는 적분의 값으로 보고 그 값을 구하세요.

$\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}$ 의 값을 ${\int }_{0}^{1}f(t)dt$ 로 보고 구하세요. 여기서 $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate each infinite series by identifying it as the value of a derivative or integral of geometric series.

Evaluate $\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^{n}}{2n+1}$ as ${\int }_{0}^{1}f(t)dt$ where $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{x}^{2n}=\frac{1}{1+{x}^{2}}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

33.OpenStax 2권 · 6.2절 · 33번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)=\ln x$ 의 $x=1$ 에서의 거듭제곱급수 (힌트: $x=1-(1-x))$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\ln x$ centered at $x=1$ (Hint: $x=1-(1-x))$

정답·풀이 보기

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

$\int \sum {(1-x)}^{n}dx=\int \sum {(-1)}^{n}{(x-1)}^{n}dx=\sum \frac{{(-1)}^{n}{(x-1)}^{n+1}}{n+1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 43번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

34.OpenStax 2권 · 6.2절 · 34번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-x)$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$\ln (1-x)$ at $x=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 멱급수의 연산계산자동 분류

35.OpenStax 2권 · 6.2절 · 35번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $\ln (1-{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$\ln (1-{x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

원본 교재 풀이(영어)

$-{\int }_{t=0}^{{x}^{2}}\frac{1}{1-t}dt=-\sum_{n=0}^{\infty }{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{n}dx-\sum_{n=0}^{\infty }\frac{{x}^{2(n+1)}}{n+1}=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n}}{n}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 45번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

36.OpenStax 2권 · 6.2절 · 36번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서의 $f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}}$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\frac{2x}{{(1-{x}^{2})}^{2}}$ at $x=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 19번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

37.OpenStax 2권 · 6.2절 · 37번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\tan }^{-1}({x}^{2})$ at $x=0$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{{x}^{2}}\frac{dt}{1+{t}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}{\int }_{0}^{{x}^{2}}{t}^{2n}dt={\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{t}^{2n+1}}{2n+1}|}_{t=0}^{{x}^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{x}^{4n+2}}{2n+1}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 47번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

38.OpenStax 2권 · 6.2절 · 38번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$x=0$ 에서 $f(x)=\ln (1+{x}^{2})$

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)=\ln (1+{x}^{2})$ at $x=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 29번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

39.OpenStax 2권 · 6.2절 · 39번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n}$ 임을 이용하여, 항별 미분 또는 항별 적분을 사용해 주어진 점을 중심으로 하는 각 함수의 거듭제곱급수를 구하세요.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ 이고 $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$ 일 때

영어 원문 보기

In the following exercises, given that $\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }{x}^{n},$ use term-by-term differentiation or integration to find power series for each function centered at the given point.

$f(x)={\int }_{0}^{x}\ln tdt$ where $\ln (x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}$

정답·풀이 보기

항별 적분을 하면 ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Term-by-term integration gives ${\int }_{0}^{x}\ln tdt=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{(x-1)}^{n+1}}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right){(x-1)}^{n+1}=(x-1)\ln x+\sum_{n=2}^{\infty }{(-1)}^{n}\frac{{(x-1)}^{n}}{n}=x\ln x-x.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 49번

# 멱급수의 연산계산자동 분류

40.OpenStax 2권 · 6.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $\ln (1+x)$ 의 무한급수에서 $\ln (1-x)$ 의 무한급수를 빼서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$ 의 거듭제곱급수를 구하세요. $x=\frac{1}{3}$ 에서 값을 구하세요. 이 급수의 제 N 부분합이 $\ln (2)$ 를 오차 0.001 미만으로 근사하게 되는 가장 작은 N 은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Subtract the infinite series of $\ln (1-x)$ from $\ln (1+x)$ to get a power series for $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right).$ Evaluate at $x=\frac{1}{3}.$ What is the smallest N such that the Nth partial sum of this series approximates $\ln (2)$ with an error less than 0.001?

정답·풀이 보기

$\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ 이므로 $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}$ 이다. 따라서 $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}$ 이다. $x=\frac{1}{3}$ 일 때 $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}$ 을 얻는다. $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots$ 이고 $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ 이며 $\ln (2)=0.69314\ldots$ 이므로 $N=4$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have $\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{n}}{n}$ so $\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n-1}\frac{{x}^{n}}{n}.$ Thus, $\ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right)=\sum_{n=1}^{\infty }(1+{(-1)}^{n-1})\frac{{x}^{n}}{n}=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{{x}^{2n-1}}{2n-1}.$ When $x=\frac{1}{3}$ we obtain $\ln (2)=2\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}.$ We have $2\sum_{n=1}^{3}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69300\ldots ,$ while $2\sum_{n=1}^{4}\frac{1}{{3}^{2n-1}(2n-1)}=0.69313\ldots$ and $\ln (2)=0.69314\ldots ;$ therefore, $N=4.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 6.2절 · 9번

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