벡터 미적분 전체 연습문제

561.APEX · 14.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

7–14번 문제에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어진다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (별도의 언급이 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위원판 위의 포물면 $f(x,y) = x^2+y^2$ 이고, $\vec F = \langle 1,0,0\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the paraboloid $f(x,y) = x^2+y^2$ over the unit disk; $\vec F = \langle 1,0,0\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 49번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

562.APEX · 14.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위구면이고, $\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the unit sphere; $\vec F = \langle y-z,z-x,x-y\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 42번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

563.APEX · 14.6절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하라. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 공간에서 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 정사각형이고( $\vec n$ 은 $y$ 성분이 양수가 되도록 택한다), $\vec F = \langle 0,-z,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the square in space with corners at $(0,0,0)$ , $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ (choose $\vec n$ such that it has a positive $y$ -component); $\vec F = \langle 0,-z,y\rangle$ .

답 쓰고 채점

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$-1/2$

원본 교재 풀이(영어)

$-1/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.3절 · 10번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

564.APEX · 14.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 $y$ - $z$ 평면 위에서 중심이 $(0,1,1)$ 이고 반지름이 1인 원판이고( $\vec n$ 은 $x$ 성분이 양수가 되도록 택한다), $\vec F = \langle y,z,x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the disk in the $y$ - $z$ plane with radius 1, centered at $(0,1,1)$ (choose $\vec n$ such that it has a positive $x$ -component); $\vec F = \langle y,z,x\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 21번

# 면적분과 플럭스계산자동 분류

565.APEX · 14.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. (달리 지시가 없는 한, $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아니면 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 닫힌 곡면으로, 경계가 $x$ - $y$ 평면 위의 타원 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1$ 인 $\mathcal{S}_1$ 과 타원포물면 $f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9$ 의 일부인 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어져 있다(그래프 참조). $\vec F = \langle 5,2,3\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the closed surface composed of $\mathcal{S}_1$ , whose boundary is the ellipse in the $x$ - $y$ plane described by $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}9 = 1$ and $\mathcal{S}_2$ , part of the elliptical paraboloid $f(x,y) = 1-\frac{x^2}{25}-\frac{y^2}9$ (see graph); $\vec F = \langle 5,2,3\rangle$ .

정답·풀이 보기

$0$ 이다. $\mathcal{S}_1$ 을 지나는 플럭스는 $-45\pi$ 이고 $\mathcal{S}_2$ 를 지나는 플럭스는 $45\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$0$ ; the flux over $\mathcal{S}_1$ is $-45\pi$ and the flux over $\mathcal{S}_2$ is $45\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.6절 · 4번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

566.APEX · 14.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–14번에서 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 플럭스를 계산하세요. ( $\mathcal{S}$ 가 닫힌 곡면이 아닌 경우, 달리 지시하지 않는 한 $\vec n$ 은 $z$ 성분이 양수가 되도록 택한다.)

$\mathcal{S}$ 는 단위구면의 일부인 $\mathcal{S}_1$ 과 평면 $z=1/2$ 의 일부인 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어진 닫힌 곡면이고(그래프 참조), $\vec F = \langle x,-y,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–14, a surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Compute the flux of $\vec F$ across $\mathcal{S}$ . (If $\mathcal{S}$ is not a closed surface, choose $\vec n$ so that it has a positive $z$ -component, unless otherwise indicated.)

$\mathcal{S}$ is the closed surface composed of $\mathcal{S}_1$ , part of the unit sphere and $\mathcal{S}_2$ , part of the plane $z=1/2$ (see graph); $\vec F = \langle x,-y,z\rangle$ .

정답·풀이 보기

$9\pi/8$ ; $\mathcal{S}_1$ 에서의 플럭스는 $3\pi/4$ 이고( $\pi/3\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ 에서 $\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle$ 를 사용한다), $\mathcal{S}_2$ 에서의 플럭스는 $3\pi/8$ 이다( $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ 에서 $\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle$ 를 사용한다.

원본 교재 풀이(영어)

$9\pi/8$ ; the flux over $\mathcal{S}_1$ is $3\pi/4$ (use $\vec r(u,v) = \langle \sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u\rangle$ on $\pi/3\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ ) and the flux over $\mathcal{S}_2$ is $3\pi/8$ (use $\vec r(u,v) = \langle v\sqrt{3}\cos (u)/2, v\sqrt{3}\sin(u)/2,1/2\rangle$ for $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.6절 · 31번

# 면적분과 플럭스그래프·표 해석자동 분류

567.APEX · 14.7절 · 2번대학 수준우리말 번역

발산 정리는 벡터장의 어떤 성질을 플럭스와 관련짓습니까?

영어 원문 보기

What property of a vector field does the Divergence Theorem relate to flux?

정답·풀이 보기

발산이다.

원본 교재 풀이(영어)

Divergence.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.7절 · 3번

# 발산 정리개념 확인자동 분류

568.APEX · 14.7절 · 3번대학 수준우리말 번역

스토크스 정리는 벡터장의 어떤 성질을 순환과 관련짓습니까?

영어 원문 보기

What property of a vector field does Stokes' Theorem relate to circulation?

정답·풀이 보기

회전이다.

원본 교재 풀이(영어)

Curl.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 18번

# 발산 정리개념 확인자동 분류

569.APEX · 14.7절 · 4번대학 수준우리말 번역

스토크스 정리는 다른 어떤 정리를 공간으로 확장한 것입니까?

영어 원문 보기

Stokes' Theorem is the spatial version of what other theorem?

정답·풀이 보기

그린 정리이다.

원본 교재 풀이(영어)

Green's Theorem.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.7절 · 2번

# 발산 정리개념 확인자동 분류

570.APEX · 14.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서 영역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리가 성립함을 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=2-x/2-2y/3$ 와 제1팔분공간의 좌표평면들로 둘러싸인 영역 $D$ 의 경계가 되는 곡면이다. $\vec F = \langle x^2,y^2,x\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by the plane $z=2-x/2-2y/3$ and the coordinate planes in the first octant; $\vec F = \langle x^2,y^2,x\rangle$ .

정답·풀이 보기

평면 $z=2-x/2-2y/3$ 를 지나는 바깥쪽 플럭스는 14이고, 평면 $z=0$ 을 지나는 바깥쪽 플럭스는 $-8$ 이며, 평면 $x=0$ 과 $y=0$ 을 지나는 바깥쪽 플럭스는 0이다.

바깥쪽 플럭스의 합: $14$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{4}\int_0^{3-3x/4}\int_0^{2-x/2-2y/3}(2x+2y)\ dz\ dy\ dx = 14$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the plane $z=2-x/2-2y/3$ is 14; across the plane $z=0$ the outward flux is $-8$ ; across the planes $x=0$ and $y=0$ the outward flux is 0.

Total outward flux: $14$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{4}\int_0^{3-3x/4}\int_0^{2-x/2-2y/3}(2x+2y)\ dz\ dy\ dx = 14$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 42번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

571.APEX · 14.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 원기둥 $x^2+y^2=1$ 과 평면 $z=-3$ , $z=3$ 으로 둘러싸인 정의역 $D$ 를 감싸는 곡면이고, $\vec F = \langle -x,y,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by the cylinder $x^2+y^2=1$ and the planes $z=-3$ and $z=3$ ; $\vec F = \langle -x,y,z\rangle$ .

정답·풀이 보기

원기둥 $x^2+y^2=1$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 0이고, 평면 $z=3$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $3\pi$ 이며, 평면 $z=-3$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $3\pi$ 이다.

바깥쪽 선속의 합: $6\pi$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{1}\int_{-3}^{3}r\ dz\ dr\ d\theta = 6\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the cylinder $x^2+y^2=1$ is 0; across the plane $z=3$ the outward flux is $3\pi$ ; across the plane $z=-3$ the outward flux is $3\pi$ .

Total outward flux: $6\pi$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^{1}\int_{-3}^{3}r\ dz\ dr\ d\theta = 6\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 40번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

572.APEX · 14.7절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서, 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z=xy(3-x)(3-y)$ 와 평면 $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역 $D$ 를 감싸는 곡면이고, $\vec F = \langle 3x,4y,5z+1\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface bounding the domain $D$ enclosed by $z=xy(3-x)(3-y)$ and the plane $z=0$ ; $\vec F = \langle 3x,4y,5z+1\rangle$ .

정답·풀이 보기

곡면 $z=xy(3-x)(3-y)$ 를 지나는 바깥쪽 선속은 252이고, 평면 $z=0$ 을 지나는 바깥쪽 선속은 $-9$ 이다.

바깥쪽 선속의 합: $243$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{3}\int_0^{3}\int_{0}^{xy(3-x)(3-y)}12\ dz\ dy\ dx = 243$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the surface $z=xy(3-x)(3-y)$ is 252; across the plane $z=0$ the outward flux is $-9$ .

Total outward flux: $243$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{3}\int_0^{3}\int_{0}^{xy(3-x)(3-y)}12\ dz\ dy\ dx = 243$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 11번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

573.APEX · 14.7절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 정의역 $D$ 를 둘러싸는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $\mathcal{S}$ 에서 발산 정리를 확인하세요. 즉, $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ 임을 보이세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z\geq 0$ 에서의 포물면 $z=4-x^2-y^2$ 인 $\mathcal{S}_1$ 과, 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원판 $\mathcal{S}_2$ 로 이루어진 곡면이고, $\vec F = \langle x,y,z^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a closed surface $\mathcal{S}$ enclosing a domain $D$ and a vector field $\vec F$ are given. Verify the Divergence Theorem on $\mathcal{S}$ ; that is, show $\iint_\mathcal{S} \vec F\cdot \vec n\ dS = \iiint_D\operatorname{div} \vec F\ dV$ .

$\mathcal{S}$ is the surface composed of $\mathcal{S}_1$ , the paraboloid $z=4-x^2-y^2$ for $z\geq 0$ , and $\mathcal{S}_2$ , the disk of radius 2 centered at the origin; $\vec F = \langle x,y,z^2\rangle$ .

정답·풀이 보기

포물면을 지나는 바깥쪽 선속은 $112\pi/3$ 이고, 원판을 지나는 바깥쪽 선속은 0이다.

바깥쪽 전체 선속: $112\pi/3$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2}(2z+2)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3$ .

원본 교재 풀이(영어)

Outward flux across the paraboloid is $112\pi/3$ ; across the disk the outward flux is 0.

Total outward flux: $112\pi/3$ .

$\iint_D\operatorname{div}\vec F\ dV = \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_0^{4-r^2}(2z+2)r\ dz\ dr\ d\theta = 112\pi/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 15번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

574.APEX · 14.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, 1\rangle$ 로 매개화된 곡선이고 $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=x^2+y^2$ 의 부분이다. $\vec F = \langle z,-x,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, 1\rangle$ and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=x^2+y^2$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle z,-x,y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 36번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

575.APEX · 14.7절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, e^{-1}\rangle$ 로 매개화된 곡선이고 $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=e^{-x^2-y^2}$ 의 부분이다. $\vec F = \langle -y,x,1\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t, \sin t, e^{-1}\rangle$ and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=e^{-x^2-y^2}$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle -y,x,1\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \pi$

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 30번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

576.APEX · 14.7절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리를 검증하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 꼭짓점이 $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ , $(0,3,0)$ 인 삼각형을 따라 이 순서대로 꼭짓점을 지나 다시 $(0,0,2)$ 로 돌아오는 곡선이고, $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 평면 $z=2-x/2-2y/3$ 의 부분이다. $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve that follows the triangle with vertices at $(0,0,2)$ , $(4,0,0)$ and $(0,3,0)$ , traversing the the vertices in that order and returning to $(0,0,2)$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of the plane $z=2-x/2-2y/3$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y,-z,y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: $(0,0,2)$ 에서 $(4,0,0)$ 까지의 선분을 따른 흐름은 0이고, $(4,0,0)$ 에서 $(0,3,0)$ 까지는 $-6$ 이며, $(0,3,0)$ 에서 $(0,0,2)$ 까지는 6이다. 따라서 전체 순환은 $0+(-6)+6=0$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the line from $(0,0,2)$ to $(4,0,0)$ is 0; from $(4,0,0)$ to $(0,3,0)$ it is $-6$ , and from $(0,3,0)$ to $(0,0,2)$ it is 6. The total circulation is $0+(-6)+6=0$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = \iint_\mathcal{S} 0 \ dS = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

577.APEX · 14.7절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–12에서는 곡면 $\mathcal{S}$ 의 경계인 닫힌 곡선 $C$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. $C$ 에서 스토크스 정리가 성립함을 확인하세요. 즉, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ 임을 보이세요.

$C$ 는 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 $x=1$ 에서 $x=-1$ 까지 포물선 $y=1-x^2$ 을 따라가고, 이어서 $(-1,0)$ 에서 $(1,0)$ 까지 직선을 따라 되돌아오는 곡선이며, $C$ 의 $z$ 좌표는 $f(x,y) = 2x^2+y^2$ 으로 정해진다. $\mathcal{S}$ 는 $C$ 로 둘러싸인 $z=2x^2+y^2$ 의 부분이고, $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–12, a closed curve $C$ that is the boundary of a surface $\mathcal{S}$ is given along with a vector field $\vec F$ . Verify Stokes' Theorem on $C$ ; that is, show $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = \iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\,\big)\cdot\vec n\ dS$ .

$C$ is the curve whose $x$ and $y$ coordinates follow the parabola $y=1-x^2$ from $x=1$ to $x=-1$ , then follow the line from $(-1,0)$ back to $(1,0)$ , where the $z$ coordinates of $C$ are determined by $f(x,y) = 2x^2+y^2$ , and $\mathcal{S}$ is the portion of $z=2x^2+y^2$ enclosed by $C$ ; $\vec F = \langle y^2+z,x,x^2-y\rangle$ .

정답·풀이 보기

$C$ 에서의 순환: 포물선을 따른 흐름은 $-32/15$ 이고, 직선을 따른 흐름은 $4/3$ 이다. 따라서 전체 순환은 $4/3-32/15 = -4/5$ 이다.

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Circulation on $C$ : The flow along the parabola is $-32/15$ ; the flow along the line is $4/3$ . The total circulation is $4/3-32/15 = -4/5$ .

$\iint_\mathcal{S}\big(\operatorname{curl} \vec F\big)\cdot\vec n\ dS = -4/5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 10번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

578.APEX · 14.7절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $z=0$ 과 $z=(x^2-1)(y^2-1)$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of $z=0$ and $z=(x^2-1)(y^2-1)$ ; $\vec F = \langle x^2+1,yz,xz^2\rangle$ .

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$128/225$

원본 교재 풀이(영어)

$128/225$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.2절 · 43번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

579.APEX · 14.7절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=\frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle x,y^2,z\rangle$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8$

원본 교재 풀이(영어)

$8$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 44번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

580.APEX · 14.7절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서는 닫힌 곡면 $\mathcal{S}$ 와 벡터장 $\vec F$ 가 주어져 있다. 직접 계산하거나 발산 정리를 이용하여 $\mathcal{S}$ 를 지나는 $\vec F$ 의 바깥쪽 선속을 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 평면 $z=2y$ , 곡면 $y=4-x^2$ , 평면 $z=0$ 이 만나서 이루어지는 곡면이고, $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, a closed surface $\mathcal{S}$ and a vector field $\vec F$ are given. Find the outward flux of $\vec F$ over $\mathcal{S}$ either through direct computation or through the Divergence Theorem.

$\mathcal{S}$ is the surface formed by the intersections of the planes $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ ; $\vec F = \langle xz,0,xz\rangle$ .

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정답·풀이 보기

$8192/105\approx 78.019$

원본 교재 풀이(영어)

$8192/105\approx 78.019$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.8절 · 26번

# 발산 정리그래프·표 해석자동 분류

벡터 미적분 전체 문제