벡터 미적분 전체 연습문제

521.APEX · 14.4절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 택하여 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산함으로써 $R$ 의 넓이를 구하세요.

$C$ 는 $0\leq t\leq 2\pi$ 에서 $\vec r(t) = \langle 4\cos t,3\sin t\rangle$ 로 매개화된 타원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ enclosing a region $R$ is given. Find the area of $R$ by computing $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ for an appropriate choice of vector field $\vec F$ .

$C$ is the ellipse parametrized by $\vec r(t) = \langle 4\cos t,3\sin t\rangle$ on $0\leq t\leq 2\pi$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ 일 때 선적분의 피적분함수는 단순히 6 이다. $R$ 의 넓이는 $12\pi$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of $\vec F$ is appropriate as long as $\operatorname{curl} \vec F = 1$ . When $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ , the integrand of the line integral is simply 6. The area of $R$ is $12\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.4절 · 2번

# 그린 정리활용자동 분류

522.APEX · 14.4절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 택하여 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산함으로써 $R$ 의 넓이를 구하세요.

$C$ 는 $-\pi/2\leq t\leq \pi/2$ 에서 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle$ 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ enclosing a region $R$ is given. Find the area of $R$ by computing $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ for an appropriate choice of vector field $\vec F$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle$ on $-\pi/2\leq t\leq \pi/2$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y,0\rangle$ 와 $\langle 0,x\rangle$ 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. $R$ 의 넓이는 $4/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of $\vec F$ is appropriate as long as $\operatorname{curl} \vec F = 1$ . The choices of $\vec F = \langle -y,0\rangle$ and $\langle 0,x\rangle$ each lead to reasonable integrands. The area of $R$ is $4/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 4.3절 · 2번

# 그린 정리활용자동 분류

523.APEX · 14.4절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 택하여 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산함으로써 $R$ 의 넓이를 구하세요.

$C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle$ 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ enclosing a region $R$ is given. Find the area of $R$ by computing $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ for an appropriate choice of vector field $\vec F$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin (2t)\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y,0\rangle$ , $\langle 0,x\rangle$ , $\langle -y/2,x/2\rangle$ 를 택하면 각각 계산하기 알맞은 피적분함수가 나온다. $R$ 의 넓이는 $16/15$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of $\vec F$ is appropriate as long as $\operatorname{curl} \vec F = 1$ . The choices of $\vec F = \langle -y,0\rangle$ , $\langle 0,x\rangle$ and $\langle -y/2,x/2\rangle$ each lead to reasonable integrands. The area of $R$ is $16/15$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 18번

# 그린 정리활용자동 분류

524.APEX · 14.4절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서는 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. 적절한 벡터장 $\vec F$ 를 택하여 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ 를 계산함으로써 $R$ 의 넓이를 구하세요.

$C$ 는 $0\leq t\leq 2\pi$ 에서 $\vec r(t) = \langle 2\cos t+\frac1{10}\cos(10t),2\sin t+\frac1{10}\sin (10t)\rangle$ 로 매개화된 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a closed curve $C$ enclosing a region $R$ is given. Find the area of $R$ by computing $\oint_C \vec F\cdot d\vec r$ for an appropriate choice of vector field $\vec F$ .

$C$ is the curve parametrized by $\vec r(t) = \langle 2\cos t+\frac1{10}\cos(10t),2\sin t+\frac1{10}\sin (10t)\rangle$ on $0\leq t\leq 2\pi$ .

정답·풀이 보기

$\operatorname{curl} \vec F = 1$ 이기만 하면 어떤 $\vec F$ 를 택해도 적절하다. $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ 를 택하면 간단히 한 뒤 피적분함수가 적당한 꼴이 된다. $R$ 의 넓이는 $41\pi/10$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Any choice of $\vec F$ is appropriate as long as $\operatorname{curl} \vec F = 1$ . The choice of $\vec F = \langle -y/2,x/2\rangle$ leads to a reasonable integrand after simplification. The area of $R$ is $41\pi/10$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 40번

# 그린 정리활용자동 분류

525.APEX · 14.4절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ 이고, $C$ 는 $0\leq x\leq 2$ 에서의 포물선 $y=x^2$ 과 이어서 점 $(2,4)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선분으로 이루어진 닫힌 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x-y,x+y\rangle$ ; $C$ is the closed curve composed of the parabola $y=x^2$ on $0\leq x\leq 2$ followed by the line segment from $(2,4)$ to $(0,0)$ .

정답·풀이 보기

포물선 위에서 선적분 $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 의 값은 $-22/3$ 이고, 직선 위에서는 $10$ 이다. 따라서 선적분의 전체 값은 $-22/3+10 = 8/3$ 이다. $R$ 위에서 $\operatorname{div} \vec F = 2$ 의 이중적분 값도 $8/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

The line integral $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ , over the parabola, is $-22/3$ ; over the line, it is $10$ . The total line integral is thus $-22/3+10 = 8/3$ . The double integral of $\operatorname{div} \vec F = 2$ over $R$ also has value $8/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 24번

# 그린 정리계산자동 분류

526.APEX · 14.4절 · 22번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ 이고, $C$ 는 단위원이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle -y,x\rangle$ ; $C$ is the unit circle.

정답·풀이 보기

선적분과 이중적분의 값은 모두 $0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Both the line integral and double integral have value of $0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 58번

# 그린 정리계산자동 분류

527.APEX · 14.4절 · 23번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서는 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어진다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle 0,y^2\rangle$ 이고, $C$ 는 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,0)$ , $(1,1)$ 인 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle 0,y^2\rangle$ ; $C$ the triangle with corners at $(0,0)$ , $(2,0)$ and $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ 를 계산하려면 세 개의 선적분을 구해야 한다. 어느 꼭짓점에서 먼저 시작하는지는 상관없지만, 삼각형을 반드시 반시계 방향으로 돌아야 한다.

$(0,0)$ 에서 $(2,0)$ 까지의 선적분 값은 0 이다. $(2,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 적분 값은 $1/3$ 이다. $(1,1)$ 에서 $(0,0)$ 까지의 선적분 값은 $1/3$ 이다. 전체 값은 $2/3$ 이다.

$R$ 위에서 $\operatorname{div}\vec F$ 의 이중적분 값도 $2/3$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Three line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ . It does not matter which corner one starts from first, but be sure to proceed around the triangle in a counterclockwise fashion.

From $(0,0)$ to $(2,0)$ , the line integral has a value of 0. From $(2,0)$ to $(1,1)$ the integral has a value of $1/3$ . From $(1,1)$ to $(0,0)$ the line integral has a value of $1/3$ . Total value is $2/3$ .

The double integral of $\operatorname{div}\vec F$ over $R$ also has value $2/3$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 46번

# 그린 정리계산자동 분류

528.APEX · 14.4절 · 24번대학 수준우리말 번역

연습문제 21–24에서, 벡터장 $\vec F$ 와 영역 $R$ 을 둘러싸는 닫힌 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ 와 $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ 를 각각 계산하여 두 값이 같음을 보임으로써 발산 정리를 확인하세요.

$\vec F = \langle x^2/2,y^2/2\rangle$ ; $C$ 는 $(0,1)$ 에서 출발하여 포물선 $y=(x-1)^2$ 을 따라 $(3,4)$ 까지 간 다음, 직선을 따라 $(0,1)$ 로 되돌아오는 곡선이다.

영어 원문 보기

In Exercises 21–24, a vector field $\vec F$ and a closed curve $C$ , enclosing a region $R$ , are given. Verify the Divergence Theorem by evaluating $\oint_C\vec F\cdot \vec n\ ds$ and $\iint_R \operatorname{div} \vec F\ dA$ , showing they are equal.

$\vec F = \langle x^2/2,y^2/2\rangle$ ; $C$ the curve that starts at $(0,1)$ , follows the parabola $y=(x-1)^2$ to $(3,4)$ , then follows a line back to $(0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ 를 계산하려면 두 개의 선적분을 계산해야 한다. 포물선을 따른 선적분의 값은 $159/20$ 이다. 직선을 따른 선적분의 값은 $6$ 이다. 이를 합한 전체 값은 $279/20$ 이다.

$R$ 위에서 $\operatorname{div}\vec F$ 의 이중적분의 값도 $279/20$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Two line integrals need to be computed to compute $\oint_C \vec F\cdot \vec n\ ds$ . Along the parabola, the line integral has value $159/20$ . Along the line, the line integral has value $6$ . Together, the total value is $279/20$ .

The double integral of $\operatorname{div}\vec F$ over $R$ also has value $279/20$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.4절 · 52번

# 그린 정리계산자동 분류

529.APEX · 14.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 있는 곡면이 무엇인지 자신의 말로 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what an orientable surface is.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있으나, 일반적으로 “양면”과 같은 용어가 의미 있게 포함되어야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary, though generally should meaningfully include terms like “two sided”.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

530.APEX · 14.5절 · 2번대학 수준우리말 번역

방향을 줄 수 없는 곡면의 예를 하나 드세요.

영어 원문 보기

Give an example of a non-orientable surface.

정답·풀이 보기

가능한 답은 많으며, 교재에서 든 예는 뫼비우스 띠이다.

원본 교재 풀이(영어)

Many possible answers exist; the one given by the book is the Mobius band.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면개념 확인자동 분류

531.APEX · 14.5절 · 3번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ 은 $-1\leq x\leq 1$ 과 $0\leq y\leq 2$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 중심이 $(1,2)$ 이고 반지름이 3인 원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,2)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 $x$ 축과 $y = 1-x^2$ 의 그래프로 유계인 영역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 3x^2y$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $-1\leq x\leq 1$ and $0\leq y\leq 2$ . (b) $R$ is the circle of radius 3, centered at $(1,2)$ . (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(1,0)$ and $(0,2)$ . (d) $R$ is the region bounded by the $x$ -axis and the graph of $y = 1-x^2$ .

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 3u^2v\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 2$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 3v\cos u+1, 3v\sin u+2, 3(3v\cos u+1)^2(3v\sin u+2)\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, v(2-2u), 3u^2v(2-2u)\rangle$ on $0\leq u, v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 3u^2v(1-u^2)\rangle$ on $-1\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

532.APEX · 14.5절 · 4번대학 수준우리말 번역

연습문제 3–4에서, 함수 $z=f(x,y)$ 로 정의된 곡면을 $x$ - $y$ 평면의 주어진 각 영역 $R$ 위에서 매개화하세요.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ 은 $1\leq x\leq 4$ 와 $5\leq y\leq 7$ 로 유계인 직사각형이다. (b) $R$ 은 원점을 중심으로 하고, 길이가 8인 장축은 $x$ 축에 평행하며 길이가 6인 단축은 $y$ 축에 평행한 타원이다. (c) $R$ 은 꼭짓점이 $(0,0)$ , $(2,2)$ , $(0,4)$ 인 삼각형이다. (d) $R$ 은 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원과 반지름 5인 원 사이로 유계인 원환이다.

영어 원문 보기

In Exercises 3–4, parametrize the surface defined by the function $z=f(x,y)$ over each of the given regions $R$ of the $x$ - $y$ plane.

$z = 4x+2y^2$ ;

(a) $R$ is the rectangle bounded by $1\leq x\leq 4$ and $5\leq y\leq 7$ . (b) $R$ is the ellipse with major axis of length 8 parallel to the $x$ -axis, and minor axis of length 6 parallel to the $y$ -axis, centered at the origin. (c) $R$ is the triangle with vertices $(0,0)$ , $(2,2)$ and $(0,4)$ . (d) $R$ is the annulus bounded between the circles, centered at the origin, with radius 2 and radius 5.

정답·풀이 보기

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\vec r(u,v) = \langle u, v, 4u+2u^2\rangle$ on $1\leq u\leq 4$ , $5\leq v\leq 7$ . (b) $\vec r(u,v) = \langle 4v\cos u, 3v\sin u, 16v\cos u+2(3v\sin u)^2\rangle$ , on $0\leq u\leq 2\pi$ , $0\leq v\leq 1$ . (c) $\vec r(u,v) = \langle u, u+v(4-2u), 4u+2\big(u+v(4-2u)\big)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ . (d) $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v\sin u, 4v\cos u + 2(v\sin u)^2\rangle$ on $0\leq u\leq 2\pi$ , $2\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 7번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

533.APEX · 14.5절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 직사각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the rectangle in space with corners at $(0,0,0)$ , $(0,2,0)$ , $(0,2,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 0, u, v\rangle$ with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 4번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

534.APEX · 14.5절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 꼭짓점이 $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ , $(0,0,1)$ 인 공간의 삼각형이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the triangle in space with corners at $(1,0,0)$ , $(1,0,1)$ and $(0,0,1)$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle u, 0, 1-u+vu\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 13번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

535.APEX · 14.5절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 타원체 $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the ellipsoid $\displaystyle \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{16} = 1$ .

정답·풀이 보기

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

원본 교재 풀이(영어)

$\vec r(u,v) = \langle 3\sin u\cos v, 2\sin u\sin v, 4\cos u\rangle$ with $0\leq u\leq \pi$ , $0\leq v\leq 2\pi$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 15번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

536.APEX · 14.5절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–8에서는 공간에 있는 곡면 $\mathcal{S}$ 가 주어지며, 이 곡면은 함수 $z=f(x,y)$ 로 나타낼 수 없다. $\mathcal{S}$ 의 매개변수화를 구하세요.

$\mathcal{S}$ 는 $-1 \leq y \leq 5$ 에서 타원뿔 $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–8, a surface $\mathcal{S}$ in space is described that cannot be defined in terms of a function $z=f(x,y)$ . Give a parametrization of $\mathcal{S}$ .

$\mathcal{S}$ is the elliptic cone $\displaystyle y^2= x^2+\frac{z^2}{16}$ , for $-1 \leq y \leq 5$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다. 한 가지 풀이는 $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; one solution is $\vec r(u,v) = \langle v\cos u, v, 4v\sin u\rangle$ with $0\leq u\leq 2\pi$ , $-1\leq v\leq 5$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.5절 · 2번

# 매개변수 곡면계산자동 분류

537.APEX · 14.5절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서는 공간의 정의역 $D$ 가 주어진다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수화하세요.

$D$ 는 평면 $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z = \frac12(3-x)$ , $x=1$ , $y=0$ , $y=2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지일 수 있다.

$z = \frac12(3-x)$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$ .

$x=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , 단 $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$y=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , 단 $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z = \frac12(3-x)$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v , \frac12(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ and $0\leq v\leq 2$ .

For $x=1$ : $\vec r(u,v) = \langle 0,u,v\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,0,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=2$ : $\vec r(u,v) = \langle u,2,v/2(3-u)\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u,v,0\rangle$ , with $1\leq u\leq 3$ , $0\leq v\leq 2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 1번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

538.APEX · 14.5절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 평면 $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by the planes $z=2x+4y-4$ , $x=2$ , $y=1$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$z=2x+4y-4$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

$y=1$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2x+4y-4$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2, 2u+4(1-u/2+uv/2)-4\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$ .

For $x=2$ : $\vec r(u,v) = \langle 2,u,4uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$

For $y=1$ : $\vec r(u,v) = \langle u,1,2uv\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u/2+uv/2,0\rangle$ , with $0\leq u\leq 2$ , $0\leq v\leq 1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.1절 · 3번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

539.APEX · 14.5절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 의 경계를 이루는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $z=2y$ , $y=4-x^2$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $z=2y$ , $y=4-x^2$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

$z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

$z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ 에 대해 $-2\leq u\leq 2$ 이고 $0\leq v\leq 1$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $z=2y: \vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=4-x^2: \vec r(u,v) = \langle u, 4-u^2, 2v(4-u^2)\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(4-u^2), 0\rangle$ with $-2\leq u\leq 2$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 18번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

540.APEX · 14.5절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 9–16번에서 공간의 정의역 $D$ 가 주어져 있다. $D$ 를 둘러싸는 각 곡면을 매개변수로 나타내세요.

$D$ 는 $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ , $z=0$ 으로 둘러싸인 정의역이다.

영어 원문 보기

In Exercises 9–16, a domain $D$ in space is given. Parametrize each of the bounding surfaces of $D$ .

$D$ is the domain bounded by $y=1-z^2$ , $y=1-x^2$ , $x=0$ , $y=0$ and $z=0$ .

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 될 수 있다.

$y=1-z^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=1-x^2$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$x=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$y=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

$z=0$ 에 대해: $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ , $0\leq u\leq 1$ , $0\leq v\leq 1$ .

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

For $y=1-z^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), \sqrt{1-v(1-u^2)}\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=1-x^2$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 1-u^2, uv\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $x=0$ : $\vec r(u,v) = \langle 0, v(1-u^2),u\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $y=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, 0,v\rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

For $z=0$ : $\vec r(u,v) = \langle u, v(1-u^2), 0rangle$ with $0\leq u\leq 1$ and $0\leq v\leq 1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 3.2절 · 17번

# 매개변수 곡면그래프·표 해석자동 분류

벡터 미적분 전체 문제