선적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

101.APEX · 14.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3\cos t,3\sin t, t^2\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$8\pi^3$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi^3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 34번

# 선적분계산자동 분류

102.APEX · 14.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 3t,4t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$5/2$

원본 교재 풀이(영어)

$5/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 1번

# 선적분계산자동 분류

103.APEX · 14.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ , $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, t\rangle$ for $0\leq t\leq 4\pi$ ; $\delta(x,y,z) = z$ .

정답·풀이 보기

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ 이고, 질량중심은 $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M=8\sqrt{2}\pi^2$ ; center of mass is $(0,-1/(2\pi), 8\pi/3)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 19번

# 선적분계산자동 분류

104.APEX · 14.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 19–20에서 밀도가 $\delta$ 인 가는 철사를 나타내는 매개변수 곡선 $C$ 가 주어져 있다. 이 가는 철사의 질량과 질량중심을 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ , $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . 각 적분의 값은 공학적 도구를 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 19–20, a parametrized curve $C$ is given that represents a thin wire with density $\delta$ . Find the mass and center of mass of the thin wire.

$C$ : $\vec r(t) = \langle t-t^2,t^2-t^3,t^3-t^4\rangle$ for $0\leq t\leq 1$ ; $\delta(x,y,z) = x+2y+2z$ . Use technology to approximate the value of each integral.

정답·풀이 보기

$M\approx 0.237$ 이고, 질량중심은 약 $(0.173, 0.099,0.065)$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

$M\approx 0.237$ ; center of mass is approximately $(0.173, 0.099,0.065)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 21번

# 선적분계산자동 분류

105.APEX · 14.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 실제로 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때에는 벡터함수의 크기를 계산하게 된다.

영어 원문 보기

T/F: In practice, the evaluation of line integrals over vector fields involves computing the magnitude of a vector–valued function.

정답·풀이 보기

거짓. 다만 스칼라장에 대한 선적분에서는 참이다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It is true for line integrals over scalar fields, though.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 6번

# 선적분개념 확인자동 분류

106.APEX · 14.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\vec F(x,y)$ 를 평면 위의 벡터장, $\vec r(t)$ 를 2차원 벡터함수라 하자. “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” 가 왜 “표기의 남용”인지 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $\vec F(x,y)$ be a vector field in the plane and let $\vec r(t)$ be a two–dimensional vector–valued function. Why is “ $\vec F\big(\vec r(t)\big)$ ” an “abuse of notation”?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 의 입력은 평면 위의 점이어야 하며, 2차원 벡터가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

The input of $\vec F$ should be a point in the plane, not a two dimensional vector.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 3번

# 선적분개념 확인자동 분류

107.APEX · 14.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 벡터장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a vector field.

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정답·풀이 보기

참.

원본 교재 풀이(영어)

True.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

108.APEX · 14.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: 스칼라장에 대한 선적분을 계산할 때 곡선 $C$ 의 방향은 중요하다.

영어 원문 보기

T/F: The orientation of a curve $C$ matters when computing a line integral over a scalar field.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

거짓.

원본 교재 풀이(영어)

False.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 5번

# 선적분개념 확인자동 분류

109.APEX · 14.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

"적당한 조건" 아래에서 $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ 이면 벡터장 $\vec F$ 에 대해 무엇을 결론지을 수 있는가?

영어 원문 보기

Under “reasonable conditions,” if $\operatorname{curl} \vec F = \vec 0$ , what can we conclude about the vector field $\vec F$ ?

정답·풀이 보기

$\vec F$ 가 보존적이라고 결론지을 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

We can conclude that $\vec F$ is conservative.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

110.APEX · 14.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

$\vec F$ 가 보존장이고 $C$ 가 닫힌 곡선이라 하자. $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ 이라고 결론지을 수 있는 이유는 무엇인가?

영어 원문 보기

Let $\vec F$ be a conservative field and let $C$ be a closed curve. Why are we able to conclude that $\oint _C \vec F\cdot d\vec r = 0$ ?

정답·풀이 보기

선적분의 기본 정리에 의해, $\vec F$ 가 보존장이므로 $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ 이다. 여기서 $f$ 는 $\vec F$ 의 퍼텐셜 함수이고 $A$ 와 $B$ 는 각각 $C$ 의 시점과 종점이다. $C$ 가 닫힌 곡선이므로 $A = B$ 이고, 따라서 $f(B) - f(A) = 0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the Fundamental Theorem of Line Integrals, since $\vec F$ is conservative, $\oint_C \vec F\cdot d\vec r = f(B) - f(A)$ , where $f$ is a potential function for $\vec F$ and $A$ and $B$ are the initial and terminal points of $C$ , respectively. Since $C$ is a closed curve, $A = B$ , and hence $f(B) - f(A) = 0$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 4번

# 선적분개념 확인자동 분류

111.APEX · 14.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y, y^2\rangle$ ; $C$ 는 $(0,0)$ 에서 $(3,1)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y, y^2\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(0,0)$ to $(3,1)$ .

정답·풀이 보기

$11/6$ . ( $C$ 의 한 가지 매개변수 표현은 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 3t,t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$11/6$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle 3t,t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분계산자동 분류

112.APEX · 14.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle x,x+y\rangle$ ; $C$ 는 포물선 $y=x^2$ 의 일부로 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle x,x+y\rangle$ ; $C$ is the portion of the parabola $y=x^2$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ .

정답·풀이 보기

$5/3$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t^2\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$5/3$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t^2\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

# 선적분계산자동 분류

113.APEX · 14.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x\rangle$ ; $C$ 는 단위원의 위쪽 절반으로, $(1,0)$ 에서 시작하여 $(-1,0)$ 에서 끝난다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y,x\rangle$ ; $C$ is the top half of the unit circle, beginning at $(1,0)$ and ending at $(-1,0)$ .

정답·풀이 보기

$0$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq \pi$ 에서 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$0$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t\rangle$ on $0\leq t\leq \pi$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

114.APEX · 14.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle xy,x\rangle$ ; $C$ 는 곡선 $y=x^3$ 의 $-1\leq x\leq 1$ 인 부분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle xy,x\rangle$ ; $C$ is the portion of the curve $y=x^3$ on $-1\leq x\leq 1$ .

정답·풀이 보기

$2/5$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $-1\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t^3\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$2/5$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t^3\rangle$ on $-1\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

115.APEX · 14.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle z,x^2,y\rangle$ ; $C$ 는 $(1,2,3)$ 에서 $(4,3,2)$ 까지의 선분이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle z,x^2,y\rangle$ ; $C$ is the line segment from $(1,2,3)$ to $(4,3,2)$ .

정답·풀이 보기

$12$ . ( $C$ 의 매개변수 표현 하나는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle 1,2,3\rangle+t\langle 3,1,-1\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$12$ . (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle 1,2,3\rangle+t\langle 3,1,-1\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 31번

# 선적분계산자동 분류

116.APEX · 14.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–12번에서 벡터장 $\vec F$ 와 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ 의 값을 구하세요.

$\vec F = \langle y+z,x+z,x+y\rangle$ ; $C$ 는 $0\leq t\leq 2\pi$ 에서 나선 $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t,t/(2\pi)\rangle$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 7–12, a vector field $\vec F$ and a curve $C$ are given. Evaluate $\displaystyle \int_C\vec F\cdot d\vec r$ .

$\vec F = \langle y+z,x+z,x+y\rangle$ ; $C$ is the helix $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t,t/(2\pi)\rangle$ on $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$1$ .

원본 교재 풀이(영어)

$1$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 23번

# 선적분계산자동 분류

117.APEX · 14.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 직선 $y=x$ 위의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 선분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the segment of the line $y=x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$5/6$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$5/6$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.3절 · 2번

# 선적분활용자동 분류

118.APEX · 14.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ 는 $y=\sqrt x$ 의 $(0,0)$ 에서 $(1,1)$ 까지의 부분이고, 거리는 미터 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle y,x^2\rangle$ N; $C$ is the portion of $y=\sqrt x$ from $(0,0)$ to $(1,1)$ , where distances are measured in meters.

정답·풀이 보기

$13/15$ 줄. ( $C$ 의 한 가지 매개변수화는 $0\leq t\leq 1$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

$13/15$ joules. (One parametrization for $C$ is $\vec r(t) = \langle t,\sqrt t\rangle$ on $0\leq t\leq 1$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 29번

# 선적분활용자동 분류

119.APEX · 14.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t, t^2, t^3\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 3번

# 선적분활용자동 분류

120.APEX · 14.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서, 힘의 장 $\vec F$ 가 입자를 경로 $C$ 를 따라 움직일 때 한 일을 구하세요.

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ 는 $0\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ 로 나타내어지는 $(0,0,0)$ 에서 $(2,4,8)$ 까지의 경로이고, 거리는 피트 단위로 잰다.

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the work performed by the force field $\vec F$ moving a particle along the path $C$ .

$\vec F = \langle 2xy,x^2,1\rangle$ lbs; $C$ is the path from $(0,0,0)$ to $(2,4,8)$ via $\vec r(t) = \langle t,2t, 4t\rangle$ on $0\leq t\leq 2$ , where distance are measured in feet.

정답·풀이 보기

$24$ ft-lbs.

원본 교재 풀이(영어)

$24$ ft-lbs.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 7번

# 선적분활용자동 분류