선적분 연습문제 | 빌드라인 스쿨

81.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 21번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 ${\iint }_{S}\text{F}\cdot dS$ 의 값을 구하세요.

$\text{F}(x,y,z)=(2xy)\text{i}+(-{y}^{2})\text{j}+(2{z}^{3})\text{k}$ 이고, 여기서 $S$ 는 포물면 $z={x}^{2}+{y}^{2}$ 과 평면 $z=2$ 로 유계이다.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to evaluate ${\iint }_{S}\text{F}\cdot dS.$

$\text{F}(x,y,z)=(2xy)\text{i}+(-{y}^{2})\text{j}+(2{z}^{3})\text{k},$ where $S$ is bounded by paraboloid $z={x}^{2}+{y}^{2}$ and plane $z=2$

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$24\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$24\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 8번

# 선적분계산자동 분류

82.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 22번대학 수준우리말 번역

반지름이 2 m이고 높이가 100 m인 나선 계단을 올라가는 질량 50 kg의 여성이 한 일의 양을 구하세요. 이 여성은 올라가는 동안 다섯 바퀴를 돈다. 중력 가속도로 9.8 m/s²을 사용하세요.

영어 원문 보기

Find the amount of work performed by a 50-kg woman ascending a helical staircase with radius 2 m and height 100 m. The woman completes five revolutions during the climb. Use 9.8 m/s² as the acceleration due to gravity.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 25번

# 선적분활용자동 분류

83.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 23번대학 수준우리말 번역

반지름이 $\sqrt{2,}$ 인 위쪽 반원 모양이고 밀도 함수가 $\rho (x,y)=y+{x}^{2}$ 인 얇은 철사의 총질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total mass of a thin wire in the shape of an upper semicircle with radius $\sqrt{2,}$ and a density function of $\rho (x,y)=y+{x}^{2}.$

정답·풀이 보기

$\sqrt{2}\left(2\sqrt{2}+\pi \right)=4+\pi \sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{2}\left(2\sqrt{2}+\pi \right)=4+\pi \sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 10번

# 선적분계산자동 분류

84.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 24번대학 수준우리말 번역

$z\ge 0$ 에서 반지름이 2인 반구 모양이고 밀도 함수가 $\rho (x,y,z)=x+y+z$ 인 얇은 판의 총질량을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the total mass of a thin sheet in the shape of a hemisphere with radius 2 for $z\ge 0$ with a density function $\rho (x,y,z)=x+y+z.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 8번

# 선적분계산자동 분류

85.OpenStax 3권 · 6장 복습 · 25번대학 수준우리말 번역

발산 정리를 이용하여 $\text{F}(x,y,z)=3z\text{i}+2y\text{j}+2x\text{k}$ 일 때 단위구에 대한 플럭스 적분의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Use the divergence theorem to compute the value of the flux integral over the unit sphere with $\text{F}(x,y,z)=3z\text{i}+2y\text{j}+2x\text{k}.$

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정답·풀이 보기

$8\pi /3$

원본 교재 풀이(영어)

$8\pi /3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 7번

# 선적분계산자동 분류

86.APEX · 14.1절 · 1번대학 수준우리말 번역

선적분을 이용하여 곡선 아래의 넓이를 구하는 방법을 설명하세요.

영어 원문 보기

Explain how a line integral can be used to find the area under a curve.

정답·풀이 보기

$C$ 가 평면 위의 곡선이고 $f$ 가 $C$ 위에서 정의된 곡면일 때, $\int_C f(s)\ ds$ 는 $C$ 위에서 $f$ 위에 놓인 공간곡선 아래의 넓이를 나타낸다.

원본 교재 풀이(영어)

When $C$ is a curve in the plane and $f$ is a surface defined over $C$ , then $\int_C f(s)\ ds$ describes the area under the spatial curve that lies on $f$ , over $C$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 2번

# 선적분개념 확인자동 분류

87.APEX · 14.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

$\int_C f(s)\ ds$ 로 주어진 선적분의 계산은 $\oint_C f(s)\ ds$ 로 주어진 선적분의 계산과 어떻게 다릅니까?

영어 원문 보기

How does the evaluation of a line integral given as $\int_C f(s)\ ds$ differ from a line integral given as $\oint_C f(s)\ ds$ ?

정답·풀이 보기

계산 방법은 같다. $\oint$ 기호는 곡선 $C$ 가 닫힌곡선임을 나타낼 뿐, 계산 방법은 같다.

원본 교재 풀이(영어)

The evaluation is the same. The $\oint$ notation signifies that the curve $C$ is a closed curve, though the evaluation is the same.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 57번

# 선적분개념 확인자동 분류

88.APEX · 14.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

세 개의 부분곡선으로 이루어진, 구간별로 매끄러운 닫힌곡선을 그리세요.

영어 원문 보기

Sketch a closed, piecewise smooth curve composed of three subcurves.

정답·풀이 보기

답은 다양하다

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 14.1절 · 1번

# 선적분개념 확인자동 분류

89.APEX · 14.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서는 평면곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어집니다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 두 점 $(-2,-1)$ 과 $(1,2)$ 를 잇는 선분이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+y^2+2$ 입니다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the line segment joining the points $(-2,-1)$ and $(1,2)$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+y^2+2$ .

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$12\sqrt{2}$

원본 교재 풀이(영어)

$12\sqrt{2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 29번

# 선적분계산자동 분류

90.APEX · 14.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $[1,2]$ 에서 $y=3x+2$ 의 선분이고, 곡면은 $f(x,y)=5x+2y$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the segment of $y=3x+2$ on $[1,2]$ ; the surface is $f(x,y)=5x+2y$ .

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$41\sqrt{10}/2$

원본 교재 풀이(영어)

$41\sqrt{10}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 11번

# 선적분계산자동 분류

91.APEX · 14.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 점 $(4,2)$ 를 중심으로 하고 반지름이 2인 원이고, 곡면은 $f(x,y)=3x-y$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the circle with radius 2 centered at the point $(4,2)$ ; the surface is $f(x,y)=3x-y$ .

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$40\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$40\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6장 복습 · 7번

# 선적분계산자동 분류

92.APEX · 14.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $[0,2\pi]$ 에서 $\vec r(t) = \langle \cos t+t\sin t, \sin t-t\cos t\rangle$ 로 주어진 곡선이고, 곡면은 $f(x,y)=5$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the curve given by $\vec r(t) = \langle \cos t+t\sin t, \sin t-t\cos t\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=5$ .

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$10\pi^2$

원본 교재 풀이(영어)

$10\pi^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 59번

# 선적분계산자동 분류

93.APEX · 14.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 $(0,1)$ 에서 $(1,1)$ 까지 잇고, 이어서 $(1,1)$ 에서 $(1,0)$ 까지 잇는 선분들로 이루어진 구간별 곡선이고, 곡면은 $f(x,y)=x+y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the piecewise curve composed of the line segments that connect $(0,1)$ to $(1,1)$ , then connect $(1,1)$ to $(1,0)$ ; the surface is $f(x,y)=x+y^2$ .

정답·풀이 보기

$C$ 의 첫 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $3/2$ 이고, 두 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $4/3$ 이다. 따라서 선적분의 전체 값은 $17/6$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Over the first subcurve of $C$ , the line integral has a value of $3/2$ ; over the second subcurve, the line integral has a value of $4/3$ . The total value of the line integral is thus $17/6$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 2.4절 · 32번

# 선적분계산자동 분류

94.APEX · 14.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10번에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어진다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 의 값을 구하세요.

$C$ 는 두 점 $(0,0)$ 과 $(1,1)$ 을 잇는 선분과, $[0,\pi/2]$ 에서 $\langle \cos t,-\sin t+1\rangle$ 로 매개화된 사분원(점 $(1,1)$ 에서 시작하여 점 $(0,0)$ 에서 끝난다)으로 이루어진 구간별 곡선이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Evaluate the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds.$

$C$ is the piecewise curve composed of the line segment joining the points $(0,0)$ and $(1,1)$ , along with the quarter–circle parametrized by $\langle \cos t,-\sin t+1\rangle$ on $[0,\pi/2]$ (which starts at the point $(1,1)$ and ends at $(0,0)$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+y^2$ .

정답·풀이 보기

$C$ 의 첫 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $2\sqrt{2}/3$ 이고, 두 번째 부분 곡선 위에서 선적분의 값은 $\pi-2$ 이다. 따라서 선적분의 전체 값은 $\pi+2\sqrt{2}/3-2$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Over the first subcurve of $C$ , the line integral has a value of $2\sqrt{2}/3$ ; over the second subcurve, the line integral has a value of $\pi-2$ . The total value of the line integral is thus $\pi+2\sqrt{2}/3-2$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 13번

# 선적분계산자동 분류

95.APEX · 14.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 포물선 $y=2x^2+x+1$ 의 $[0,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x^2+2y$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the parabola $y=2x^2+x+1$ on $[0,1]$ ; the surface is $f(x,y)=x^2+2y$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^1(5t^2+_2t+2)\sqrt{(4t+1)^2+1}\ dt \approx 17.071$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 10번

# 선적분계산자동 분류

96.APEX · 14.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 곡선 $y=\sin x$ 의 $[0,\pi]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=x$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of the curve $y=\sin x$ on $[0,\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=x$ .

정답·풀이 보기

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_0^\pi t\sqrt{1+\cos^2t}\ dt \approx 6.001$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 15번

# 선적분계산자동 분류

97.APEX · 14.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $[0,2\pi]$ 에서 $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ 로 주어진 타원이고, 곡면은 $f(x,y)=10-x^2-y^2$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the ellipse given by $\vec r(t) = \langle 2\cos t,\sin t\rangle$ on $[0,2\pi]$ ; the surface is $f(x,y)=10-x^2-y^2$ .

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$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

원본 교재 풀이(영어)

$\oint_0^{2\pi} \big(10-4\cos^2t-\sin^2t\big)\sqrt{\cos^2t+4\sin^2t}\ dt \approx 74.986$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.6절 · 7번

# 선적분계산자동 분류

98.APEX · 14.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–14에서는 평면 곡선 $C$ 와 $C$ 위에서 정의된 곡면 $f$ 가 주어져 있다. 선적분 $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ 를 세운 다음, 공학 도구를 이용하여 그 값을 어림하세요.

$C$ 는 $y=x^3$ 의 $[-1,1]$ 구간에 해당하는 부분이고, 곡면은 $f(x,y)=2x+3y+5$ 이다.

영어 원문 보기

In Exercises 11–14, a planar curve $C$ is given along with a surface $f$ that is defined over $C$ . Set up the line integral $\displaystyle \int_Cf(s)\ ds$ , then approximate its value using technology.

$C$ is the portion of $y=x^3$ on $[-1,1]$ ; the surface is $f(x,y)=2x+3y+5$ .

정답·풀이 보기

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

원본 교재 풀이(영어)

$\int_{-1}^{1} \big(3t^3+2t+5\big)\sqrt{9t^4+1}\ dt \approx 15.479$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 51번

# 선적분계산자동 분류

99.APEX · 14.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서는 공간에서 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $1\leq t\leq 2$ 에서 $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle 5t,t,t^2\rangle$ for $1\leq t\leq 2$ .

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$7\sqrt{26}/3$

원본 교재 풀이(영어)

$7\sqrt{26}/3$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 55번

# 선적분계산자동 분류

100.APEX · 14.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 15–18에서 공간의 매개변수로 나타낸 곡선 $C$ 가 주어져 있다. $x$ - $y$ 평면 위쪽에 있으면서 $C$ 아래에 있는 부분의 넓이를 구하세요.

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ , $0\leq t\leq 2\pi$ .

영어 원문 보기

In Exercises 15–18, a parametrized curve $C$ in space is given. Find the area above the $x$ - $y$ plane that is under $C$ .

$C$ : $\vec r(t) = \langle \cos t,\sin t, \sin(2t)+1\rangle$ for $0\leq t\leq 2\pi$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2\pi$

원본 교재 풀이(영어)

$2\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 6.2절 · 3번

# 선적분계산자동 분류