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문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

벡터와 공간 전체 문제

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58문제 · 3 / 3쪽

41.CLP-4 · 1.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

주어진 위치 함수를 갖는 입자의 속력을 구하세요.

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

옳은 답을 고르세요.

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

영어 원문 보기

Find the speed of a particle with the given position function

r(t)=52 t ı^+e5t ȷ^−e−5t k^\mathbf{r}(t) = 5 \sqrt{2}\,t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} - e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

Select the correct answer:

(a) ∣v(t)∣=(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = \big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (b) ∣v(t)∣=10+5et+5e−t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + 5e^{t} + 5e^{-t}} (c) ∣v(t)∣=10+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{10 + e^{10t} + e^{-10t}} (d) ∣v(t)∣=5(e5t+e−5t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^{5t} + e^{-5t}\big) (e) ∣v(t)∣=5(et+e−t)|\mathbf{v}(t)| = 5\big(e^t + e^{-t}\big)

정답·풀이 보기

다음과 같다.

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

따라서

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2 이므로 답은 (d)이다.

원본 교재 풀이(영어)

We have

v(t)=r′(t)=52 ı^+5e5t ȷ^+5e−5t k^\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t) = 5 \sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 5e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +5 e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}

and hence

∣v(t)∣=∣r′(t)∣=5∣2 ı^+e5t ȷ^+e−5t k^∣=52+e10t+e−10t|\mathbf{v}(t)| = |\mathbf{r}'(t)| = 5 \big|\sqrt{2}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + e^{5t}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + e^{-5t}\,\hat{\mathbf{k}}\big| = 5\sqrt{2+ e^{10t}+ e^{-10t}}

Since 2+e10t+e−10t=(e5t+e−5t)22+ e^{10t}+ e^{-10t} = \big(e^{5t}+e^{-5t}\big)^2, that's (d).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 15번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
42.CLP-4 · 1.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

위치가 다음과 같은 입자의 시각 tt 에서의 속도, 속력, 가속도를 구하세요.

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

입자의 경로를 설명하세요.

영어 원문 보기

Find the velocity, speed and acceleration at time tt of the particle whose position is

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

Describe the path of the particle.

정답·풀이 보기

다음이 주어져 있다.

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

따라서 정의에 의해

속도=v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^속력=dsdt(t)=∣r′(t)∣=a2+c2가속도=a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \text{속도}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{속력}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{가속도}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

tt 가 길이 2π2\pi 인 구간을 움직이는 동안 (x,y)(x,y) 는 반지름이 aa 인 원을 그리고 zz 는 2πc2\pi c 만큼 증가한다. 경로는 반지름이 aa 이고 한 바퀴 돌 때마다 높이가 2πc2\pi c 만큼 올라가는 나선이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are told that

r(t)=acos⁡t ı^+asin⁡t ȷ^+ct k^\mathbf{r}(t)= a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+ct\,\hat{\mathbf{k}}

So, by definition,

velocity=v(t)=r′(t)=−asin⁡t ı^+acos⁡t ȷ^+c k^speed=dsdt(t)=∣r′(t)∣=a2+c2acceleration=a(t)=r′′(t)=−acos⁡t ı^−asin⁡t ȷ^\begin{aligned} \text{velocity}&= \mathbf{v}(t)= \mathbf{r}'(t)=-a \sin t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+a\cos t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+c\,\hat{\mathbf{k}}\\ \text{speed}&=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) = |\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{a^2+c^2} \\ \text{acceleration}&=\mathbf{a}(t)= \mathbf{r}''(t)=-a \cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-a\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} \end{aligned}

As tt runs over an interval of length 2π2\pi, (x,y)(x,y) traces out a circle of radius aa and zz increases by 2πc2\pi c. The path is a helix with radius aa and with each turn having height 2πc2\pi c.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 11번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
43.CLP-4 · 1.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 매개변수 곡선의 길이를 구하세요.

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

단, t=0t=0 에서 t=T>0t=T>0 까지입니다.

영어 원문 보기

Find the length of the parametric curve

x=acos⁡tsin⁡ty=asin⁡2tz=btx=a\cos t\sin t\qquad y=a\sin^2 t\qquad z=bt

between t=0t=0 and t=T>0t=T>0.

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

다음을 얻는다.

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

속력 dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) 가 상수이므로, 곡선의 길이는 dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

x′(t)=a[cos⁡2t−sin⁡2t]=acos⁡2ty′(t)=2asin⁡tcos⁡t=asin⁡2tz′(t)=b\begin{aligned} x'(t)&=a\big[\cos^2 t-\sin^2 t\big]=a\cos 2t\\ y'(t)&=2a\sin t\cos t=a\sin 2t\\ z'(t)&=b \end{aligned}

we have

dsdt(t)=x′(t)2+y′(t)2+z′(t)2=a2+b2\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) =\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}=\sqrt{a^2+b^2}

As the speed dsdt(t)\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) is constant, the length is just dsdt T=a2+b2 T\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\,T=\sqrt{a^2+b^2}\,T.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 19번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
44.CLP-4 · 1.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

평면  z=2x+3y \ z=2x+3y\ 이 원기둥  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 와 만나서 타원을 이룹니다.

(a) 이 타원의 매개변수 표현을 구하세요. (b) 이 타원의 둘레를 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다. (여기에 나오는 부정적분은 타원의 호의 길이와 관련되어 있어서 타원 적분이라고 불리는 적분들 중 하나입니다. 일반적으로 타원 적분은 초등함수로 나타낼 수 없습니다. 즐겨 쓰는 검색 엔진으로 타원 적분에 관한 설명을 쉽게 찾아볼 수 있습니다.)

영어 원문 보기

The plane  z=2x+3y \ z=2x+3y\ intersects the cylinder  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ in an ellipse.

(a) Find a parametrization of the ellipse. (b) Express the circumference of this ellipse as an integral. You need not evaluate the integral (The indefinite integral involved is one of a class of integrals called elliptic integrals because of their connections to arc lengths of ellipses. In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions. You can easily find discussions of elliptic integrals using your favourite search engine.).

정답·풀이 보기

(a) 원  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ 는 x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta 로 매개변수 표현할 수 있고, 이때 θ\theta 는 00 부터 2π2\pi 까지 변한다. z=2x+3yz=2x+3y 이므로 타원은 다음과 같이 매개변수 표현할 수 있다.

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) 다음이 성립하므로

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

타원의 둘레는 다음과 같다.

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

원본 교재 풀이(영어)

(a) We can parametrize the circle  x2+y2=9 \ x^2+y^2=9\ as x(θ)=3cos⁡θx(\theta)=3\cos\theta, y(θ)=3sin⁡θy(\theta)=3\sin\theta with θ\theta running from 00 to 2π2\pi. As z=2x+3yz=2x+3y, the ellipse can be parametrized by

x(θ)=3cos⁡θ, y(θ)=3sin⁡θ, z(θ)=2x(θ)+3y(θ)=6cos⁡θ+9sin⁡θ, 0≤θ≤2πx(\theta)=3\cos\theta,\ y(\theta)=3\sin\theta,\ z(\theta)=2x(\theta)+3 y(\theta) =6\cos\theta+9\sin\theta,\ 0\le\theta\le 2\pi

(b) As

dsdθ=x′(θ)2+y′(θ)2+z′(θ)2=9sin⁡2θ+9cos⁡2θ+36sin⁡2θ+81cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ=45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2+z'(\theta)^2}\\ &=\sqrt{9\sin^2\theta+9\cos^2\theta+36\sin^2\theta +81\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\\ &=\sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta} \end{aligned}

the circumference is

s=∫02π45+45cos⁡2θ−108sin⁡θcos⁡θ dθs=\int_0^{2\pi} \sqrt{45+45\cos^2\theta-108\sin\theta\cos\theta}\,\mathrm{d}\theta

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
45.CLP-4 · 1.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

곡선

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

을 생각하세요.

(a) t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이를 구하세요. (b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the curve

r(t)=13cos⁡3t ı^+13sin⁡3t ȷ^+sin⁡3t k^\mathbf{r}(t) = \frac{1}{3}\cos^3 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\frac{1}{3} \sin^3 t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \sin^3 t\,\hat{\mathbf{k}}

(a) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2}. (b) Compute the arc length of the curve from t=0t = 0 to t=πt = \pi.

답 쓰고 채점
(a)
(b)
정답·풀이 보기

(a) r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

이므로 t=0t = 0 에서 t=π2t = \frac{\pi}{2} 까지 곡선의 길이는

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u du여기서 u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{여기서 } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

이다.

(b) t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt절댓값 기호를 잊지 말 것!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{절댓값 기호를 잊지 말 것!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

이다. 피적분함수가 t→π−tt\rightarrow\pi-t 에 대해 변하지 않기 때문이다. 따라서 t=0t = 0 에서 t=πt = \pi 까지 곡선의 길이는 (a)에서 구한 곡선의 길이의 두 배, 즉 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

r′(t)=−sin⁡tcos⁡2t ı^+sin⁡2tcos⁡t ı^+3sin⁡2tcos⁡t k^=sin⁡tcos⁡t(−cos⁡t ı^+sin⁡t ȷ^+3sin⁡t k^)dsdt(t)=∣sin⁡tcos⁡t∣cos⁡2t+sin⁡2t+9sin⁡2t=∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t\begin{aligned} \mathbf{r}'(t) & = -\sin t\cos^2 t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin^2 t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 3\sin^2 t\cos t\,\hat{\mathbf{k}} = \sin t\cos t\big(-\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +3\sin t\,\hat{\mathbf{k}}\big) \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) & = |\sin t\cos t|\sqrt{\cos^2 t + \sin ^2 t + 9\sin^2 t} = |\sin t\cos t|\sqrt{1+ 9\sin^2 t} \end{aligned}

the arclength from t=0t = 0 to t=π2t = \frac{\pi}{2} is

∫0π/2dsdt(t) dt=∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt=118∫110u duwith u=1+9sin⁡2t, du=18sin⁡tcos⁡t dt=118[23u3/2]110=127(1010−1)\begin{aligned} \int_0^{\pi/2} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \\ &=\frac{1}{18}\int_1^{10} \sqrt{u}\ \mathrm{d}u \qquad \text{with } u = 1+ 9\sin^2 t,\ \mathrm{d}u = 18\sin t\cos t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{1}{18}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_1^{10}\\ &=\frac{1}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big) \end{aligned}

(b) The arclength from t=0t = 0 to t=πt = \pi is

∫0πdsdt(t) dt=∫0π∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dtDon’t forget the absolute value signs!=2∫0π/2∣sin⁡tcos⁡t∣1+9sin⁡2t dt=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+9sin⁡2t dt\begin{aligned} \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_0^{\pi} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \qquad\text{Don't forget the absolute value signs!}\\ &=2\int_0^{\pi/2} |\sin t\cos t| \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t = 2\int_0^{\pi/2} \sin t\cos t \sqrt{1+ 9\sin^2 t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}

since the integrand is invariant under t→π−tt\rightarrow\pi-t. So the arc length from t=0t = 0 to t=πt = \pi is just twice the arc length from part (a), namely 227(1010−1)\frac{2}{27}\big(10\sqrt{10}-1\big).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 3.2절 · 29번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
46.CLP-4 · 1.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0 라 하자. 시각 tt 까지의 곡선의 길이 s(ts(t)를 구하세요.

영어 원문 보기

Let r(t)=(13t3,12t2,12t)\mathbf{r}(t)=\big(\frac{1}{3}t^3,\frac{1}{2}t^2,\frac{1}{2}t\big), t≥0t\ge 0. Compute s(ts(t), the arclength of the curve at time tt.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=t33 ı^+t22 ȷ^+t2 k^r′(t)=t2 ı^+t ȷ^+12 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=t4+t2+14=(t2+12)2=t2+12\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= \frac{t^3}{3}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \frac{t^2}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{t}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}'(t)&= t^2\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + \frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)=|\mathbf{r}'(t)|&=\sqrt{t^4+t^2+\frac{1}{4}} =\sqrt{\Big(t^2+\frac{1}{2}\Big)^2}=t^2+\frac{1}{2} \end{aligned}

the length of the curve is

s(t)=∫0tdsdt(u) du=∫0t(u2+12) du=t33+t2\begin{aligned} s(t)=\int_0^t \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(u)\,\mathrm{d}u =\int_0^t \Big(u^2+\frac{1}{2}\Big)\,\mathrm{d}u =\frac{t^3}{3} +\frac{t}{2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.1절 · 20번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
47.CLP-4 · 1.1절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡선 r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) (0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, 단 m>0m > 0) 의 곡선의 길이를 구하세요. 결과를 mm, aa, bb 로 나타내세요.

영어 원문 보기

Find the arc length of the curve r(t)=(tm , tm , t3m/2)\mathbf{r}(t) = \big(t^m\,,\, t^m\,,\, t^{3m/2}\big) for 0≤a≤t≤b0 \le a \le t \le b, and where m>0m > 0. Express your result in terms of mm, aa, and bb.

정답·풀이 보기

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

이므로 곡선의 길이는 다음과 같다.

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu du단, u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{단, } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Since

r(t)=tm ı^+tm ȷ^+t3m/2 k^r′(t)=mtm−1 ı^+mtm−1 ȷ^+3m2t3m/2−1 k^dsdt=∣r′(t)∣=2m2t2m−2+9m24t3m−2=mtm−12+94tm\begin{aligned} \mathbf{r}(t) & = t^m\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + t^m\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + t^{3m/2}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \mathbf{r}'(t) &= mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + mt^{m-1}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +\frac{3m}{2}t^{3m/2-1}\,\hat{\mathbf{k}} \\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = |\mathbf{r}'(t)| & = \sqrt{ 2m^2 t^{2m-2} +\frac{9m^2}{4} t^{3m-2} } = mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m } \end{aligned}

the arc length is

∫abdsdt(t) dt=∫abmtm−12+94tm dt=49∫2+94am2+94bmu duwith u=2+94tm, du=9m4tm−1=49[23u3/2]2+94am2+94bm=827[(2+94bm)3/2−(2+94am)3/2]\begin{aligned} \int_a^b \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t)\,\mathrm{d}t &=\int_a^b mt^{m-1}\sqrt{2 + \frac{9}{4}t^m }\ \mathrm{d}t \\ &=\frac{4}{9}\int_{2 + \frac{9}{4}a^m}^{2 + \frac{9}{4}b^m}\sqrt{u}\,\mathrm{d}u \qquad\text{with } u = 2 + \frac{9}{4}t^m,\ \mathrm{d}u = \frac{9m}{4}t^{m-1}\\ &=\frac{4}{9}\Big[\frac{2}{3}u^{3/2}\Big]_{2 + \frac{9}{4}a^m} ^{2 + \frac{9}{4}b^m} \\ &=\frac{8}{27}\Big[\Big(2 + \frac{9}{4}b^m\Big)^{3/2} -\Big(2 + \frac{9}{4}a^m\Big)^{3/2}\Big] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 3번
# 벡터함수의 미분과 적분계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
48.CLP-4 · 1.1절 · 23번대학 수준우리말 번역

CC 를 포물기둥 x=y2x = y^2 과 쌍곡포물면 3z=2xy3z = 2xy 의 교선 중 y≥0y\ge 0 인 부분이라 하자.

(a) xx 를 매개변수로 하여 CC 의 벡터 매개변수 방정식을 쓰세요. (b) 원점과 점 (9,3,18)(9, 3, 18) 사이에 있는 CC 부분의 길이를 구하세요. (c) 입자가 xx 가 증가하는 방향으로 CC 를 따라 움직인다. 이 입자가 일정한 속력 9로 움직일 때, 점 (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}) 에 있을 때의 속도 벡터를 구하세요. (d) (c)의 입자가 점 (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}) 에 있을 때의 가속도 벡터를 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the part of the curve of intersection of the parabolic cylinder x=y2x = y^2 and the hyperbolic paraboloid 3z=2xy3z = 2xy with y≥0y\ge 0.

(a) Write a vector parametric equation for CC using xx as the parameter. (b) Find the length of the part of CC between the origin and the point (9,3,18)(9, 3, 18). (c) A particle moves along CC in the direction for which xx is increasing. If the particle moves with constant speed 9, find its velocity vector when it is at the point (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}). (d) Find the acceleration vector of the particle of part (c) when it is at the point (1,1,23)(1, 1, \frac{2}{3}).

정답·풀이 보기

(a) y=xy=\sqrt{x} 이고 z=23xy=23x3/2z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2} 이므로,

r(x)=x ı^+x ȷ^+23x3/2 k^\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이 문제의 나머지 부분을 위해 다음도 필요하다.

r′(x)=ı^+12x ȷ^+x k^r′′(x)=−14x3/2 ȷ^+12x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+14x+x=(12x+x)2=12x+xdsdx(1)=32\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}

(b)

∫C ds=∫09dsdx dx=∫09(12x+x) dx=[x+23x3/2]09=3+18=21\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21

(c) 다음과 같이 놓는다.

  • r(x)\mathbf{r}(x): 입자의 첫째 좌표가 xx 일 때의 위치,
  • R(t)\mathbf{R}(t): 시각 tt 에서의 입자의 위치,
  • x(t)x(t): 시각 tt 에서의 입자의 xx–좌표,
  • s(x)s(x): 원점에서 r(x)\mathbf{r}(x) 까지의 곡선의 길이.

모든 tt 에 대해 ∣R′(t)∣=9|\mathbf{R}'(t)|=9 임이 주어져 있다. 따라서

R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  9=∣R′(t)∣=dsdx(x(t))dxdt(t)=(12x(t)+x(t))dxdt(t)\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}

특히 입자가 시각 00 에 (1,1,23)(1,1,\frac{2}{3}) 에 있다면 x(0)=1x(0)=1 이고

9=(121+1)dxdt(0)  ⟹  dxdt(0)=69=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

이므로

R′(0)=r′(1)dxdt(0)=(ı^+12 ȷ^+k^)6= 6 ı^+3 ȷ^+6 k^\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

이다.

(d) 곱의 미분법과 연쇄 법칙에 의해,

R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt(t))2+r′(x(t))d2xdt2(t)\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)

(c)에서 9=∣R′(t)∣=(12x(t)+x(t))dxdt(t)9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) 임을 보았으므로

dxdt(t)=9(12x(t)+x(t))−1\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}

이다. 이를 미분하면

d2xdt2(t)=−9(12x(t)+x(t))−2(−14x(t)3/2+12x(t))dxdt(t)\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)

이다. 특히 t=0t=0 일 때 x(0)=1x(0)=1 이고 dxdt(0)=6\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6 이므로

d2xdt2(0)=−9(32)−2(14)6=−6\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6

이고, 따라서

R′′(0)=r′′(1) (6)2+r′(1)(−6)=36(−14 ȷ^+12 k^)−6(ı^+12 ȷ^+k^)=−6 ı^−12 ȷ^+12 k^\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) Since y=xy=\sqrt{x} and z=23xy=23x3/2z=\frac{2}{3}xy=\frac{2}{3}x^{3/2},

r(x)=x ı^+x ȷ^+23x3/2 k^\begin{aligned} \mathbf{r}(x)&=x\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sqrt{x}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{2}{3}x^{3/2}\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

For the remaining parts of this problem we will also need

r′(x)=ı^+12x ȷ^+x k^r′′(x)=−14x3/2 ȷ^+12x k^dsdx=∣r′(x)∣=1+14x+x=(12x+x)2=12x+xdsdx(1)=32\begin{aligned} \mathbf{r}'(x)&=\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\sqrt{x}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{r}''(x)&=-\frac{1}{4x^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}=|\mathbf{r}'(x)| &=\sqrt{1+\frac{1}{4x}+x} =\sqrt{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)^2} =\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}(1)&=\frac{3}{2} \end{aligned}

(b)

∫C ds=∫09dsdx dx=∫09(12x+x) dx=[x+23x3/2]09=3+18=21\int_C \ ds =\int_0^9 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\ \mathrm{d}x =\int_0^9 \left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\sqrt{x}\right)\ \mathrm{d}x =\left[\sqrt{x}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^9 =3+18 =21

(c) Denote by

  • r(x)\mathbf{r}(x) the position of the particle when its first coordinate is xx,
  • R(t)\mathbf{R}(t) the position of the particle at time tt,
  • x(t)x(t) the xx–coordinate of the particle at time tt, and
  • s(x)s(x) the arc length of the curve from the origin to r(x)\mathbf{r}(x).

We are told that ∣R′(t)∣=9|\mathbf{R}'(t)|=9 for all tt. So

R(t)=r(x(t))  ⟹  R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  9=∣R′(t)∣=dsdx(x(t))dxdt(t)=(12x(t)+x(t))dxdt(t)\begin{aligned} \mathbf{R}(t)=\mathbf{r}\big(x(t)\big)&\implies \mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \\ &\implies 9=|\mathbf{R}'(t)|=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}x}\big(x(t)\big) \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) \end{aligned}

In particular, if the particle is at (1,1,23)(1,1,\frac{2}{3}) at time 00, then x(0)=1x(0)=1 and

9=(121+1)dxdt(0)  ⟹  dxdt(0)=69=\left(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\sqrt{1}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) \implies \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

so that

R′(0)=r′(1)dxdt(0)=(ı^+12 ȷ^+k^)6= 6 ı^+3 ȷ^+6 k^\mathbf{R}'(0)=\mathbf{r}'(1)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0) =\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right)6 =\ 6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+3\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+6\,\hat{\mathbf{k}}

(d) By the product and chain rules,

R′(t)=r′(x(t))dxdt(t)  ⟹  R′′(t)=r′′(x(t))(dxdt(t))2+r′(x(t))d2xdt2(t)\mathbf{R}'(t)=\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\implies \mathbf{R}''(t)=\mathbf{r}''\big(x(t)\big)\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)\right)^2 +\mathbf{r}'\big(x(t)\big)\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(t)

We saw in part (c) that 9=∣R′(t)∣=(12x(t)+x(t))dxdt(t)9=|\mathbf{R}'(t)|=\Big(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\Big)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t) so that

dxdt(t)=9(12x(t)+x(t))−1\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)=9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-1}

Differentiating that gives

d2xdt2(t)=−9(12x(t)+x(t))−2(−14x(t)3/2+12x(t))dxdt(t)\frac{d^2x}{dt^2}(t)=-9\left(\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}+\sqrt{x(t)}\right)^{-2} \left(-\frac{1}{4x(t)^{3/2}}+\frac{1}{2\sqrt{x(t)}}\right)\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(t)

In particular, when t=0t=0, x(0)=1x(0)=1 and dxdt(0)=6\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}(0)=6

d2xdt2(0)=−9(32)−2(14)6=−6\frac{\mathrm{d^2}x}{\mathrm{d}{t}^2}(0)=-9\left(\frac{3}{2}\right)^{-2} \left(\frac{1}{4}\right)6=-6

so

R′′(0)=r′′(1) (6)2+r′(1)(−6)=36(−14 ȷ^+12 k^)−6(ı^+12 ȷ^+k^)=−6 ı^−12 ȷ^+12 k^\begin{aligned} \mathbf{R}''(0)&=\mathbf{r}''(1)\ \big(6\big)^2+\mathbf{r}'(1)\big(-6\big) =36\left(-\frac{1}{4}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\mathbf{k}}\right) -6\left(\hat{\boldsymbol{\imath}}+\frac{1}{2}\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\hat{\mathbf{k}}\right) \\ &=-6\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-12\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}+12\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 2번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
49.CLP-4 · 1.1절 · 24번대학 수준우리말 번역

질량이 상수 mm 인 입자가 위치 r\mathbf{r} 에서 속도 v\mathbf{v} 로 움직이고 있다면, 이 입자의 각운동량은 L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}) 입니다.

질량이 m=1m=1 이고 위치 함수가 r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t) 인 입자에 대해 ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right| 를 구하세요.

영어 원문 보기

If a particle has constant mass mm, position r\mathbf{r}, and is moving with velocity v\mathbf{v}, then its angular momentum is L=m(r×v)\mathbf{L}=m(\mathbf{r}\times\mathbf{v}).

For a particle with mass m=1m=1 and position function r=(sin⁡t,cos⁡t,t)\mathbf{r}=(\sin t, \cos t, t), find ∣dLdt∣\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} \right|.

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

입자의 위치가 주어졌으므로 속도를 구할 수 있다: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) 주어진 공식을 적용하면 L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • 풀이 1: 먼저 외적을 계산한 다음 미분할 수 있다:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • 풀이 2: 곱의 미분법을 이용한다:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

Given the position of the particle, we can find its velocity: v(t)=r′(t)=(cos⁡t,−sin⁡t,1)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=(\cos t, -\sin t , 1) Applying the given formula, L(t)=r×v=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(cos⁡t,−sin⁡t,1).\mathbf{L}(t)=\mathbf{r} \times \mathbf{v}=(\sin t , \cos t , t) \times (\cos t, -\sin t , 1).

  • Solution 1: We can first compute the cross product, then differentiate:

L(t)=(cos⁡t+tsin⁡t)ı^+(tcos⁡t−sin⁡t)ȷ^−k^L′(t)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2(sin⁡2t+cos⁡2t)=t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}(t)& = (\cos t + t\sin t)\hat{\boldsymbol{\imath}} + (t\cos t - \sin t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}-\hat{\mathbf{k}}\\ \mathbf{L}'(t)&=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}} -t\sin t\, \hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)}=\sqrt{t^2}=|t| \end{aligned}

  • Solution 2: Using the product rule:

L′(t)=r′(t)×v(t)+r(t)×v′(t)=r′(t)×r′(t)⏟0+r(t)×v′(t)=(sin⁡t,cos⁡t,t)×(−sin⁡t,−cos⁡t,0)=tcos⁡t ı^−tsin⁡t ȷ^∣L′(t)∣=t2cos⁡2t+t2sin⁡t2=∣t∣\begin{aligned} \mathbf{L}'(t)&=\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{v}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &=\underbrace{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}'(t)}_{0} + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{v}'(t)\\ &= (\sin t ,\cos t,t)\times(-\sin t , -\cos t, 0)\\ &=t\cos t\,\hat{\boldsymbol{\imath}}-t\sin t\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\\ |\mathbf{L}'(t)|&=\sqrt{t^2\cos^2 t + t^2\sin t^2 }=|t| \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.2절 · 1번
# 벡터함수의 미분과 적분활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
50.CLP-4 · 1.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

r(t)=(cos⁡t+sin⁡t,sin⁡t−cos⁡t)\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t) 의 곡률 κ(t)\kappa (t) 를 구하세요.

영어 원문 보기

Find the curvature κ(t)\kappa (t) of r(t)=(cos⁡t+sin⁡t,sin⁡t−cos⁡t)\mathbf{r}(t)=(\cos t+\sin t , \sin t - \cos t).

정답·풀이 보기
  • 풀이 1: 모든 tt 에 대해 (cos⁡t+sin⁡t)2+(sin⁡t−cos⁡t)2=2(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2 임에 주목한다. 따라서 이 곡선의 점 (x,y)(x,y) 는 x2+y2=2x^2+y^2=2 위에 있으며, 이는 반지름이 2\sqrt{2} 인 원이다. 실제로

x(t)=cos⁡t+sin⁡t=2[cos⁡tcos⁡π4+sin⁡tsin⁡π4]=2cos⁡(t−π4)y(t)=sin⁡t−cos⁡t=2[sin⁡tcos⁡π4−cos⁡tsin⁡π4]=2sin⁡(t−π4)\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}

따라서 r(t)\mathbf{r}(t) 는 반지름이 2\sqrt{2} 인 원을 따라 돌므로, 곡률은 κ=12\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}} 이다.

  • 풀이 2: 공식 κ=∣v(t)×a(t)∣∣(dsdt)3∣\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|} 을 사용한다. 이때 v(t)=r′(t)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t), a(t)=r′′(t)\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t), dsdt=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right| 임을 기억한다.

v(t)=r′(t)=(−sin⁡t+cos⁡t,cos⁡t+sin⁡t)a(t)=r′′(t)=(−cos⁡t−sin⁡t,−sin⁡t+cos⁡t)v(t)×a(t)=[(−sin⁡t+cos⁡t)2+(cos⁡t+sin⁡t)2]k^=2k^dsdt=∣dvdt∣=(−sin⁡t+cos⁡t)2+(cos⁡t+sin⁡t)2=2κ=∣v(t)×a(t)(dsdt)3∣=∣2k^23∣=12\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)
  • Solution 1: Note that (cos⁡t+sin⁡t)2+(sin⁡t−cos⁡t)2=2(\cos t+\sin t )^2+(\sin t - \cos t)^2=2 for all tt. So, the points (x,y)(x,y) of our curve lie on x2+y2=2x^2+y^2=2, which is a circle of radius 2\sqrt{2}. Indeed

x(t)=cos⁡t+sin⁡t=2[cos⁡tcos⁡π4+sin⁡tsin⁡π4]=2cos⁡(t−π4)y(t)=sin⁡t−cos⁡t=2[sin⁡tcos⁡π4−cos⁡tsin⁡π4]=2sin⁡(t−π4)\begin{aligned} x(t)&= \cos t+\sin t =\sqrt{2}\big[\cos t \cos\tfrac{\pi}{4} +\sin t \sin\tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\cos\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \\ y(t)&= \sin t-\cos t =\sqrt{2}\big[\sin t \cos\tfrac{\pi}{4}-\cos t\sin \tfrac{\pi}{4}\big] \\ &=\sqrt{2}\sin\big(t-\tfrac{\pi}{4}\big) \end{aligned}

So, r(t)\mathbf{r}(t) circumnavigates a circle of radius 2\sqrt{2} and consequently has curvature κ=12\kappa =\frac{1}{\sqrt{2}}.

  • Solution 2: We use the formula κ=∣v(t)×a(t)∣∣(dsdt)3∣\kappa = \dfrac{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|}{\left| \left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3\right|}, remembering that v(t)=r′(t)\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t), a(t)=r′′(t)\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t), and dsdt=∣r′(t)∣\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\left| \mathbf{r}'(t)\right|.

v(t)=r′(t)=(−sin⁡t+cos⁡t,cos⁡t+sin⁡t)a(t)=r′′(t)=(−cos⁡t−sin⁡t,−sin⁡t+cos⁡t)v(t)×a(t)=[(−sin⁡t+cos⁡t)2+(cos⁡t+sin⁡t)2]k^=2k^dsdt=∣dvdt∣=(−sin⁡t+cos⁡t)2+(cos⁡t+sin⁡t)2=2κ=∣v(t)×a(t)(dsdt)3∣=∣2k^23∣=12\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=\mathbf{r}'(t)=(-\sin t +\cos t, \cos t + \sin t)\\ \mathbf{a}(t)&=\mathbf{r}''(t)=(-\cos t -\sin t, -\sin t + \cos t)\\ \mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)&=\big[(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t)^2\big]\hat{\mathbf{k}}=2\hat{\mathbf{k}}\\ \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}&=\left|\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \right|=\sqrt{(-\sin t + \cos t)^2+(\cos t + \sin t )^2}=\sqrt2\\ \kappa &=\left|\frac{\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^3}\right|=\left|\frac{2\hat{\mathbf{k}}}{\sqrt{2}^3}\right|=\frac{1}{\sqrt 2} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.5절 · 6번
# 호의 길이와 곡률계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
51.CLP-4 · 1.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

타원 x(t)=acos⁡tx(t)= a \cos t, y(t)=bsin⁡ty(t)=b\sin t 의 곡률의 최솟값과 최댓값을 구하세요. 여기서 a>b>0a>b>0 입니다.

영어 원문 보기

Find the minimum and maximum values for the curvature of the ellipse x(t)=acos⁡tx(t)= a \cos t, y(t)=bsin⁡ty(t)=b\sin t. Here a>b>0a>b>0.

정답·풀이 보기

주어진 타원에 대해

r(t)=acos⁡t ı^+bsin⁡t ȷ^v(t)=−asin⁡t ı^+bcos⁡t ȷ^∣v(t)∣=a2sin⁡2t+b2cos⁡2ta(t)=−acos⁡t ı^−bsin⁡t ȷ^v(t)×a(t)=det⁡[ı^ȷ^k^−asin⁡tbcos⁡t0−acos⁡t−bsin⁡t0]=ab k^κ(t)=∣v(t)×a(t)∣∣v(t)∣3=ab[a2sin⁡2t+b2cos⁡2t]3/2\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}

따라서 곡률의 최댓값(최솟값)은 분모가 최소(최대)일 때 얻어지며, 이는 sin⁡t=0\sin t =0 (cos⁡t=0\cos t=0)일 때이다. 그러므로 κmax=ab2\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2} 이고 κmin=ba2\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2} 이다.

원본 교재 풀이(영어)

For the given ellipse

r(t)=acos⁡t ı^+bsin⁡t ȷ^v(t)=−asin⁡t ı^+bcos⁡t ȷ^∣v(t)∣=a2sin⁡2t+b2cos⁡2ta(t)=−acos⁡t ı^−bsin⁡t ȷ^v(t)×a(t)=det⁡[ı^ȷ^k^−asin⁡tbcos⁡t0−acos⁡t−bsin⁡t0]=ab k^κ(t)=∣v(t)×a(t)∣∣v(t)∣3=ab[a2sin⁡2t+b2cos⁡2t]3/2\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&= a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)&= -a\sin t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} +b\cos t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ |\mathbf{v}(t)|& = \sqrt{a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t}\\ \mathbf{a}(t)&= -a\cos t\ \hat{\boldsymbol{\imath}} -b\sin t\ \hat{\boldsymbol{\jmath}} \\ \mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\boldsymbol{\imath}} & \hat{\boldsymbol{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ -a\sin t & b\cos t & 0 \\ -a\cos t & -b\sin t & 0 \end{matrix}\right] = ab\,\hat{\mathbf{k}}\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{|\mathbf{v}(t)|^3} =\frac{ab}{{[a^2\sin^2t+b^2\cos^2 t]}^{3/2}} \end{aligned}

Hence the maximum (minimum) curvature is achieved when the denominator is a minimum (maximum) which is the case when sin⁡t=0\sin t =0 (cos⁡t=0\cos t=0). So κmax=ab2\kappa _{\rm max}=\frac{a}{b^2} and κmin=ba2\kappa _{\rm min}=\frac{b}{a^2}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.3절 · 8번
# 호의 길이와 곡률계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
52.CLP-4 · 1.4절 · 6번대학 수준우리말 번역

CC 를 다음과 같은 공간곡선이라 하세요.

r(t)=(et−e−t) ı^+(et+e−t) ȷ^+2t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(a) r′\mathbf{r}', r′′\mathbf{r}'' 와 CC 의 곡률을 구하세요. (b) r(0)\mathbf{r}(0) 과 r(1)\mathbf{r}(1) 사이의 곡선의 길이를 구하세요.

영어 원문 보기

Let CC be the space curve

r(t)=(et−e−t) ı^+(et+e−t) ȷ^+2t k^\begin{aligned} \mathbf{r}(t) = \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2t\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

(a) Find r′\mathbf{r}', r′′\mathbf{r}'' and the curvature of CC. (b) Find the length of the curve between r(0)\mathbf{r}(0) and r(1)\mathbf{r}(1).

정답·풀이 보기

(a) 다음과 같으므로

r′(t)=(et+e−t) ı^+(et−e−t) ȷ^+2 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=4+2e2t+2e−2t=2(et+e−t)r′′(t)=(et−e−t) ı^+(et+e−t) ȷ^r′(t)×r′′(t)=−2(et+e−t) ı^+2(et−e−t) ȷ^+4 k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t)&=\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\,\hat{\mathbf{k}} & \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &=|\mathbf{r}'(t)|= \sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}} =\sqrt{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\\ \mathbf{r}''(t)&=\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} & \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)&=-2\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +4\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

곡률은 다음과 같다.

κ(t)=∣v(t)×a(t)∣(dsdt)3=24+2e2t+2e−2t[4+2e2t+2e−2t]3/2=12+e2t+e−2t\begin{aligned} \kappa (t) &= \frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\big)^3} =\frac{2\sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}}}{[4+2e^{2t}+2e^{-2t}]^{3/2}} =\frac{1}{2+e^{2t}+e^{-2t}} \end{aligned}

(b) r(0)\mathbf{r}(0) 과 r(1)\mathbf{r}(1) 사이의 CC 의 길이는 다음과 같다.

∫01dsdt(t) dt=2∫01(et+e−t) dt=2[et−e−t]01=2[e−1e]\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) \ \mathrm{d}t &= \sqrt{2} \int_0^1 (e^t+e^{-t}) \ \mathrm{d}t =\sqrt{2}\Big[e^t-e^{-t}\Big]_0^1 =\sqrt{2}\Big[e-\frac{1}{e}\Big] \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) As

r′(t)=(et+e−t) ı^+(et−e−t) ȷ^+2 k^dsdt(t)=∣r′(t)∣=4+2e2t+2e−2t=2(et+e−t)r′′(t)=(et−e−t) ı^+(et+e−t) ȷ^r′(t)×r′′(t)=−2(et+e−t) ı^+2(et−e−t) ȷ^+4 k^\begin{aligned} \mathbf{r}'(t)&=\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\,\hat{\mathbf{k}} & \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &=|\mathbf{r}'(t)|= \sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}} =\sqrt{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\\ \mathbf{r}''(t)&=\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} & \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)&=-2\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +4\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

the curvature

κ(t)=∣v(t)×a(t)∣(dsdt)3=24+2e2t+2e−2t[4+2e2t+2e−2t]3/2=12+e2t+e−2t\begin{aligned} \kappa (t) &= \frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\big)^3} =\frac{2\sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}}}{[4+2e^{2t}+2e^{-2t}]^{3/2}} =\frac{1}{2+e^{2t}+e^{-2t}} \end{aligned}

(b) The length of CC between r(0)\mathbf{r}(0) and r(1)\mathbf{r}(1) is

∫01dsdt(t) dt=2∫01(et+e−t) dt=2[et−e−t]01=2[e−1e]\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) \ \mathrm{d}t &= \sqrt{2} \int_0^1 (e^t+e^{-t}) \ \mathrm{d}t =\sqrt{2}\Big[e^t-e^{-t}\Big]_0^1 =\sqrt{2}\Big[e-\frac{1}{e}\Big] \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 7번
# 단위접선·법선벡터계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
53.CLP-4 · 1.4절 · 7번대학 수준우리말 번역

점 (2,4,8)(2,4,8) 에서 r(t)=(t,t2,t3)\mathbf{r}(t)=(t,t^2,t^3) 의 열률을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the torsion of r(t)=(t,t2,t3)\mathbf{r}(t)=(t,t^2,t^3) at the point (2,4,8)(2,4,8).

답 쓰고 채점
정답·풀이 보기

점 (2,4,8)(2,4,8) 은 t=2t=2 일 때이다.

v(t)=(1,2t,3t2)v(2)=(1,4,12)a(t)=(0,2,6t)a(2)=(0,2,12)dadt(t)=(0,0,6)dadt(2)=(0,0,6)v(2)×a(2)=(24,−12,2)∣v(2)×a(2)∣=2181\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=(1,2t,3t^2) & \mathbf{v}(2)&=(1,4,12)\\ \mathbf{a}(t)&=(0,2,6t) & \mathbf{a}(2)&=(0,2,12)\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&=(0,0,6) & \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(2)&=(0,0,6)\\ && \mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)&=(24,-12,2)\\ && |\mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)|&=2\sqrt{181} \end{aligned}

이제 열률 공식을 사용한다:

τ(t)=(v(t)×a(t))⋅dadt(t)∣v(t)×a(t)∣2τ(2)=(24,−12,2)⋅(0,0,6)(2181)2=3181\begin{aligned}\tau(t)&=\dfrac{(\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)}{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|^2}\\ \tau(2)&=\frac{(24,-12,2)\cdot(0,0,6)}{(2\sqrt{181})^2}=\frac{3}{{181}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

The point (2,4,8)(2,4,8) occurs when t=2t=2.

v(t)=(1,2t,3t2)v(2)=(1,4,12)a(t)=(0,2,6t)a(2)=(0,2,12)dadt(t)=(0,0,6)dadt(2)=(0,0,6)v(2)×a(2)=(24,−12,2)∣v(2)×a(2)∣=2181\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=(1,2t,3t^2) & \mathbf{v}(2)&=(1,4,12)\\ \mathbf{a}(t)&=(0,2,6t) & \mathbf{a}(2)&=(0,2,12)\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&=(0,0,6) & \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(2)&=(0,0,6)\\ && \mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)&=(24,-12,2)\\ && |\mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)|&=2\sqrt{181} \end{aligned}

Now, we use a formula for torsion:

τ(t)=(v(t)×a(t))⋅dadt(t)∣v(t)×a(t)∣2τ(2)=(24,−12,2)⋅(0,0,6)(2181)2=3181\begin{aligned}\tau(t)&=\dfrac{(\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)}{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|^2}\\ \tau(2)&=\frac{(24,-12,2)\cdot(0,0,6)}{(2\sqrt{181})^2}=\frac{3}{{181}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 16번
# 단위접선·법선벡터계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
54.CLP-4 · 1.4절 · 9번대학 수준우리말 번역

어떤 상수 cc 에 대하여 r(t)=(t3,t,ect)\mathbf{r}(t)=(t^3,t,e^{ct}) 라고 하자. cc 의 어떤 값에 대하여 τ(5)=0\tau(5)=0 인지 구하세요. 그러한 각각의 cc 의 값에 대하여, t=5t=5 에서 이 곡선의 접촉원을 포함하는 평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

For some constant cc, define r(t)=(t3,t,ect)\mathbf{r}(t)=(t^3,t,e^{ct}). For which value(s) of cc is τ(5)=0\tau(5)=0? For each of those values of cc, find an equation for the plane containing the osculating circle to the curve at t=5t=5.

정답·풀이 보기

먼저 준비 계산을 한다:

r(t)=(t3,t,ect)r(5)=(53,5,e5c)v(t)=(3t2,1,cect)v(5)=(3⋅52,1,ce5c)a(t)=(6t,0,c2ect)a(5)=(6⋅5,0,c2e5c)dadt(t)=(6,0,c3ect)dadt(5)=(6,0,c3e5c)v(5)×a(5)=(c2e5c,15ce5c(2−5c),−30)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(t^3,t,e^{ct}) & \mathbf{r}(5)&=(5^3,5,e^{5c})\\ \mathbf{v}(t)&=(3t^2,1,ce^{ct}) & \mathbf{v}(5)&=(3\cdot 5^2,1,ce^{5c})\\ \mathbf{a}(t)&=(6t,0,c^2e^{ct}) & \mathbf{a}(5)&=(6\cdot 5,0,c^2e^{5c}) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&= (6,0,c^3e^{ct})& \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)&= (6,0,c^3e^{5c})\\ && \mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)&=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30) \end{aligned}

둘째, τ(5)=0\tau(5)=0 이 되게 하는 cc 의 값을 구한다.

0=τ(5)=(v(5)×a(5))⋅dadt(5)∣v(5)×a(5)∣20=(v(5)×a(5))⋅dadt(5)=(c2e5c,15ce5c(2−5c),−30)⋅(6,0,c3e5c)=6c2e5c(1−5c)c=0 또는 c=15\begin{aligned} 0&=\tau(5)=\dfrac{(\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)}{|\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)|^2}\\ 0&=(\mathbf{v}(5)\times\mathbf{a}(5))\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)\\ &=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30)\cdot (6,0,c^3e^{5c})\\ &=6c^2e^{5c}(1-5c)\\ c&=0 \text{ 또는 } c=\frac15 \end{aligned}

c=0c=0 이면 r(t)=(t3,t,1)\mathbf{r}(t)=(t^3,t,1) 이므로 곡선 전체가 평면 z=1z=1 위에 놓인다. (꼬임률은 t=5t=5 에서만이 아니라 모든 곳에서 0이다.)

c=15c=\frac15 인 경우를 생각하자. t=5t=5 일 때, 곡선(과 그 접촉원)은 점 r(5)=(53,5,e)\mathbf{r}(5)=(5^3,5,e) 를 지난다. 접촉원이 놓인 평면의 법선벡터는 종법선벡터 B^(5)=v(5)×a(5)∣v(5)×a(5)∣\hat{\mathbf{B}}(5)=\frac{\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)}{|\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)|} 이다. 평면의 법선벡터가 단위벡터일 필요는 없으므로, 평면의 법선벡터로 간단히 v(5)×a(5)\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5), 즉 (e/25,3e,−30)(e/25,3e,-30) 을 택할 수 있다. 그러면 접촉원을 포함하는 평면의 방정식은 (e/25)x+(3e)y−30z=−10e(e/25)x+(3e)y-30z=-10e 이다. 이 평면의 같은 방정식은 (1/25)x+3y−(30/e)z=−10(1/25)x+3y-(30/e)z=-10 이다.

원본 교재 풀이(영어)

First, some preliminaries:

r(t)=(t3,t,ect)r(5)=(53,5,e5c)v(t)=(3t2,1,cect)v(5)=(3⋅52,1,ce5c)a(t)=(6t,0,c2ect)a(5)=(6⋅5,0,c2e5c)dadt(t)=(6,0,c3ect)dadt(5)=(6,0,c3e5c)v(5)×a(5)=(c2e5c,15ce5c(2−5c),−30)\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(t^3,t,e^{ct}) & \mathbf{r}(5)&=(5^3,5,e^{5c})\\ \mathbf{v}(t)&=(3t^2,1,ce^{ct}) & \mathbf{v}(5)&=(3\cdot 5^2,1,ce^{5c})\\ \mathbf{a}(t)&=(6t,0,c^2e^{ct}) & \mathbf{a}(5)&=(6\cdot 5,0,c^2e^{5c}) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&= (6,0,c^3e^{ct})& \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)&= (6,0,c^3e^{5c})\\ && \mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)&=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30) \end{aligned}

Second, we figure out what value of cc makes τ(5)=0\tau(5)=0.

0=τ(5)=(v(5)×a(5))⋅dadt(5)∣v(5)×a(5)∣20=(v(5)×a(5))⋅dadt(5)=(c2e5c,15ce5c(2−5c),−30)⋅(6,0,c3e5c)=6c2e5c(1−5c)c=0 or c=15\begin{aligned} 0&=\tau(5)=\dfrac{(\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)}{|\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)|^2}\\ 0&=(\mathbf{v}(5)\times\mathbf{a}(5))\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)\\ &=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30)\cdot (6,0,c^3e^{5c})\\ &=6c^2e^{5c}(1-5c)\\ c&=0 \text{ or } c=\frac15 \end{aligned}

If c=0c=0, then r(t)=(t3,t,1)\mathbf{r}(t)=(t^3,t,1), and so the entire curve is contained inside the plane z=1z=1. (Its torsion is zero everywhere — not just at t=5t=5.)

Consider the case c=15c=\frac15. When t=5t=5, our curve (and its osculating circle) passes through the point r(5)=(53,5,e)\mathbf{r}(5)=(5^3,5,e). The normal vector to the plane of the osculating curve is the binormal vector B^(5)=v(5)×a(5)∣v(5)×a(5)∣\hat{\mathbf{B}}(5)=\frac{\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)}{|\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)|}. Since we don't need the normal vector to the plane to be a unit vector, we can take as the normal vector to the plane simply v(5)×a(5)\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5), or (e/25,3e,−30)(e/25,3e,-30). Then, an equation of the plane containing the osculating circle is (e/25)x+(3e)y−30z=−10e(e/25)x+(3e)y-30z=-10e. An equivalent equation for this plane is (1/25)x+3y−(30/e)z=−10(1/25)x+3y-(30/e)z=-10.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 11.4절 · 1번
# 단위접선·법선벡터계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
55.CLP-4 · 1.4절 · 16번대학 수준우리말 번역

곡선 CC 가 원기둥 x2+y2=1x^2 +y^2 = 1 과 평면 x+y+z=1x+y+z = 1 의 교선이라고 하자.

(a) CC 의 매개변수 표현을 구하세요. (b) CC 의 곡률을 구하세요. (c) 곡률이 최대가 되는 점을 구하고, 이 점에서의 곡률의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose the curve CC is the intersection of the cylinder x2+y2=1x^2 +y^2 = 1 with the plane x+y+z=1x+y+z = 1.

(a) Find a parameterization of CC. (b) Determine the curvature of CC. (c) Find the points at which the curvature is maximum and determine the value of the curvature at these points.

정답·풀이 보기

(a) 곡선 x2+y2=1x^2+y^2=1 은 반지름이 11 인 원이다. 따라서 x(θ)=cos⁡θx(\theta)=\cos\theta, y(θ)=sin⁡θy(\theta)=\sin\theta, 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi 로 매개변수화할 수 있다. 교선 위의 임의의 점의 zz좌표는 z=1−x−yz=1-x-y 로 정해진다. 그러므로 다음을 쓸 수 있다.

r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^+(1−cos⁡θ−sin⁡θ) k^0≤θ<2π\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi

(b) 다음과 같으므로

v(θ)=r′(θ)=(−sin⁡θ,cos⁡θ,sin⁡θ−cos⁡θ)a(θ)=v′(θ)=(−cos⁡θ,−sin⁡θ,cos⁡θ+sin⁡θ)\begin{aligned} \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta)&=\big(-\sin\theta,\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta\big) \\ \mathbf{a}(\theta)=\mathbf{v}'(\theta)&=\big(-\cos\theta,-\sin\theta,\cos\theta+\sin\theta\big) \end{aligned}

다음을 얻고

dsdθ=∣r′(θ)∣=sin⁡2θ+cos⁡2θ+(sin⁡θ−cos⁡θ)2=2−2sin⁡θcos⁡θ=2−sin⁡(2θ)v(θ)×a(θ)=(1,1,1)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &= |\mathbf{r}'(\theta)| =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta+(\sin\theta-\cos\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\sin\theta\cos\theta} \\ &=\sqrt{2-\sin(2\theta)} \\ \mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)&=\big(1,1,1\big) \end{aligned}

곡률은 다음과 같다.

κ(θ)=∣v(θ)×a(θ)∣(dsdθ)3=3[2−sin⁡(2θ)]3/2\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}

(c) 곡률은

  • 2−sin⁡(2θ)2-\sin(2\theta) 가 최소(최대)일 때 최대(최소)이고,
  • 이는 sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta)=1 (sin⁡(2θ)=−1\sin(2\theta)=-1)일 때이며,
  • 이는 다시 θ=π4,5π4\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4} (θ=3π4,7π4\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4})일 때이다.

따라서

최대 곡률 =3[2−1]3/2=3에서 ı^2+ȷ^2+(1−2) k^그리고 −ı^2−ȷ^2+(1+2) k^최소 곡률 =3[2−(−1)]3/2=13에서 −ı^2+ȷ^2+k^그리고 ı^2−ȷ^2+k^\begin{aligned} \text{최대 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{에서 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{최소 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{에서 }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

원본 교재 풀이(영어)

(a) The curve x2+y2=1x^2+y^2=1 is a circle of radius 11. So we can parametrize it by x(θ)=cos⁡θx(\theta)=\cos\theta, y(θ)=sin⁡θy(\theta)=\sin\theta, 0≤θ<2π0\le\theta<2\pi. The zz-coordinate of any point on the intersection is determined by z=1−x−yz=1-x-y. So we can use

r(θ)=cos⁡θ ı^+sin⁡θ ȷ^+(1−cos⁡θ−sin⁡θ) k^0≤θ<2π\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi

(b) As

v(θ)=r′(θ)=(−sin⁡θ,cos⁡θ,sin⁡θ−cos⁡θ)a(θ)=v′(θ)=(−cos⁡θ,−sin⁡θ,cos⁡θ+sin⁡θ)\begin{aligned} \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta)&=\big(-\sin\theta,\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta\big) \\ \mathbf{a}(\theta)=\mathbf{v}'(\theta)&=\big(-\cos\theta,-\sin\theta,\cos\theta+\sin\theta\big) \end{aligned}

we have

dsdθ=∣r′(θ)∣=sin⁡2θ+cos⁡2θ+(sin⁡θ−cos⁡θ)2=2−2sin⁡θcos⁡θ=2−sin⁡(2θ)v(θ)×a(θ)=(1,1,1)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &= |\mathbf{r}'(\theta)| =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta+(\sin\theta-\cos\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\sin\theta\cos\theta} \\ &=\sqrt{2-\sin(2\theta)} \\ \mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)&=\big(1,1,1\big) \end{aligned}

and the curvature

κ(θ)=∣v(θ)×a(θ)∣(dsdθ)3=3[2−sin⁡(2θ)]3/2\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}

(c) The curvature is

  • a maximum (minimum) when 2−sin⁡(2θ)2-\sin(2\theta) is a minimum (maximum),
  • which is the case when sin⁡(2θ)=1\sin(2\theta)=1 (sin⁡(2θ)=−1\sin(2\theta)=-1),
  • which in turn is the case when θ=π4,5π4\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4} (θ=3π4,7π4\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}).

So

maximum curvature =3[2−1]3/2=3at ı^2+ȷ^2+(1−2) k^and −ı^2−ȷ^2+(1+2) k^minimum curvature =3[2−(−1)]3/2=13at −ı^2+ȷ^2+k^and ı^2−ȷ^2+k^\begin{aligned} \text{maximum curvature }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{at }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{and }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{minimum curvature }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{at }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{and }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.4절 · 1번
# 단위접선·법선벡터계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
56.CLP-4 · 1.7절 · 5번대학 수준우리말 번역

질량이 100 kg인 스케이트보더가 반지름이 5 m인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 자유롭게 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 수직 높이 0 m와 3 m 사이를 왕복한다면, 이 계의 에너지 EE 는 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

A skateboarder of mass 100 kg is freely rolling in a frictionless circular culvert of radius 5 m. If the skateboarder oscillates between vertical heights of 0 and 3 m, what is the energy EE of the system?

답 쓰고 채점
J
정답·풀이 보기

스케이트보더는 yS=Emgy_S=\frac{E}{mg} 에서 다시 내려가기 시작하므로, 3 m=E100kg⋅9.8 ms23\textrm{ m}=\frac{E}{100 \mathrm{ kg} \cdot 9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} 을 풀어 E=2940 kg⋅m2s2=2940JE=2940 ~\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}=2940 J 를 얻는다.

참고: 스케이트보더가 배수로를 끝까지 한 바퀴 돌지 않으려면 지름이 3m보다 커야 했지만, r=5r=5 를 택하든 예를 들어 r=50r=50 을 택하든 답은 달라지지 않는다.

원본 교재 풀이(영어)

The skateboarder starts going back down at yS=Emgy_S=\frac{E}{mg}, so we solve 3 m=E100kg⋅9.8 ms23\textrm{ m}=\frac{E}{100 \mathrm{ kg} \cdot 9.8~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} to find E=2940 kg⋅m2s2=2940JE=2940 ~\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2}=2940 J

Remark: we needed the diameter to be greater than 3m for the skateboarder to not be going all the way around the culvert, but choosing r=5r=5 leads to an answer no different from, say, r=50r=50.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 13번
# 공간에서의 운동계산보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
57.CLP-4 · 1.7절 · 6번대학 수준우리말 번역

스케이트보더가 반지름이 5 m 인 마찰이 없는 원형 배수로 안에서 굴러가고 있습니다. 스케이트보더가 배수로를 한 바퀴 완전히 돌려면, 배수로의 맨 아래(y=0y=0)에서 속력이 얼마여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A skateboarder is rolling on a frictionless circular culvert of radius 5 m. What should their speed be when they're at the bottom of the culvert (y=0y=0) for them to make it all the way around?

정답·풀이 보기

교재에서, 스케이트보더가 한 바퀴 완전히 돌 조건은 52(5)≤Emg\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg} 이다. 에너지 EE 는 계의 운동 에너지와 위치 에너지의 합인 E=12m∣v∣2+mgyE=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy 로 주어진다. y=0y=0 일 때 에너지는 모두 운동 에너지이므로 E=12m∣v∣2E=\frac12m|\mathbf{v}|^2 이다. 여기서 ∣v∣|\mathbf{v}| 는 배수로의 맨 아래에서 스케이트보더의 속도이다.

따라서 다음을 푼다:

252≤Emg=12m∣v∣2m⋅9.8∣v∣≥59.8\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}

따라서 59.85\sqrt{9.8} m/s 이상의 속력이 필요하다. (이는 약 56 km/h 이다.)

원본 교재 풀이(영어)

From the text, the skateboarder will make it all the way around when 52(5)≤Emg\frac{5}{2}(5) \le\frac{E}{mg}. Energy EE is given by E=12m∣v∣2+mgyE=\frac12m|\mathbf{v}|^2+mgy, the sum of the kinetic and potential energy of the system. At y=0y=0, all the energy is kinetic, so E=12m∣v∣2E=\frac12m|\mathbf{v}|^2, where ∣v∣|\mathbf{v}| is the skater's velocity at the bottom of the culvert.

So, we solve:

252≤Emg=12m∣v∣2m⋅9.8∣v∣≥59.8\begin{aligned} \frac{25}{2}&\le\frac{E}{mg}=\frac{\frac12m|\mathbf{v}|^2}{m\cdot9.8}\\ |\mathbf{v}|&\ge5\sqrt{9.8} \end{aligned}

So, a speed of 59.85\sqrt{9.8} m/s or higher is needed. (That's about 56 kph.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 5번
# 공간에서의 운동활용보통자동 분류
CLP-4 Vector Calculus CC BY-NC-SA 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
58.CLP-4 · 1.7절 · 9번대학 수준우리말 번역

스키 선수가 언덕을 미끄러져 내려가고 있습니다. 이 언덕은 r(t)=(ln⁡t,1−t)\mathbf{r}(t)=(\ln t, 1-t), 1/e≤t≤e1/e \le t \le e 로 나타낼 수 있고, 좌표는 킬로미터 단위로 잰 값입니다. 스키 선수가 공중으로 떠오르려면 얼마나 빠르게 움직여야 하는지 구하세요.

영어 원문 보기

A skier is gliding down a hill. The hill can be described as r(t)=(ln⁡t,1−t)\mathbf{r}(t)=(\ln t, 1-t), 1/e≤t≤e1/e \le t \le e, with coordinates measured in kilometres. How fast would the skier have to be moving in order to catch air?

정답·풀이 보기

교재의 식에 따르면 스키 선수는 다음일 때 공중에 뜬다. ∣v∣>gκ∣ȷ^⋅N^∣|\mathbf{v}|>\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}|} 곡선의 방정식을 이용하여 κ\kappa 와 N^\hat{\mathbf{N}} 을 구한다.

gg 는 미터와 초 단위로 주어졌지만 다른 양은 킬로미터와 시간 단위임에 유의한다. 단위를 바꾸면, 9.89.8 m/s2^2 은 (9.8 m1 s2)(1 km1000 m)(3600 s1 시간)2=98⋅64 kmh2=25⋅34⋅72 kmh2\left(\frac{9.8\text{ m}}{1 \text{ s}^2}\right)\left( \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}\right)\left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ 시간}} \right)^2=98\cdot 6^4~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}=2^5\cdot 3^4\cdot 7^2~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2} 과 같다.

r(t)=(ln⁡t,1−t)r′(t)=v(t)=(t−1,−1)dsdt=∣v(t)∣=1+t−2r′′(t)=a(t)=(−t−2,0)κ(t)=∣v×a∣(dsdt)3=t−21+t−23=∣t∣(1+t2)3/2=t(1+t2)3/2주어진 구간에서 t 는 양수임에 유의한다.T^(t)=v(t)∣v(t)∣=11+t−2(t−1,−1)=(11+t2,−t1+t2)T^′(t)=(−t(1+t2)3/2,−1(1+t2)3/2)∣T^′(t)∣=1t2+1N^(t)=T^′(t)∣T^′(t)∣=(−t1+t2,−11+t2)∣N^⋅ȷ^∣=11+t2\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\ln t,1-t)\\ \mathbf{r}'(t)&=\mathbf{v}(t)=(t^{-1}, -1)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{-2}}\\ \mathbf{r}''(t)&=\mathbf{a}(t)=(-t^{-2},0)\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^{3}}=\frac{t^{-2}}{\sqrt{1+t^{-2}}^3}=\frac{|t|}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}} \\ \text{주어진 구간에서 $t$ 는 양수임에 유의한다.} \\ \hat{\mathbf{T}}(t)&=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{-2}}}(t^{-1},-1)=\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\frac{-t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)\\ \hat{\mathbf{T}}'(t)&= \left( \frac{-t}{({1+t^2})^{3/2}},\frac{-1}{({1+t^2})^{3/2}}\right)\qquad\qquad |\hat{\mathbf{T}}'(t)|=\frac{1}{t^2+1}\\ \hat{\mathbf{N}}(t)&=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{|\hat{\mathbf{T}}'(t)|}=\left( \frac{-t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\ |\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \end{aligned}

이제 지면의 “탈출 속도”를 구하는 데 필요한 값을 모두 얻었다.

∣v∣=gκ∣N^⋅ȷ^∣=g⋅(1+t2)3/2t(1+t2)1/2=g(1+t2)t\begin{aligned} |\mathbf{v}|&=\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|}=\sqrt{\frac{g\cdot (1+t^{2})^{3/2}}{t(1+t^2)^{1/2}}}=\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} \end{aligned}

스키 선수는 언덕의 어디에서든 떠오를 수 있으므로, 1/e≤t≤e1/e \le t \le e 일 때 g(1+t2)t\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} 의 최솟값보다 속도가 크기만 하면 된다. 그 최솟값을 구하기 위해 더 간단한 함수 g(t)=1+t2tg(t)=\frac{1+t^2}{t} 의 최솟값이 있는 위치를 찾는다. 미분법을 이용하면 t=1t=1 일 때 최소가 됨을 알 수 있다. 따라서 g(1+t2)t\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} 의 최솟값(즉, 떠오르기 위한 최소 속력)은 t=1t=1 에서 나타난다. 그러므로 최소 속력은 다음보다 커야 한다.

g(1+t2)∣t∣∣t=1=2g=26⋅34⋅72=23⋅32⋅7=504 km/h\begin{aligned} \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{|t|}}\Bigg|_{t=1}&=\sqrt{2g}=\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2}=2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504\text{ km/h} \end{aligned}

(스키를 타고 이 속력에 도달하기는 어려울 것이다. 더 크게 굽은 언덕을 찾기 전까지 스키 선수는 아마 땅에 붙어 있을 것이다.)

원본 교재 풀이(영어)

According to the equation in the text, the skier will become airborne when: ∣v∣>gκ∣ȷ^⋅N^∣|\mathbf{v}|>\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\boldsymbol{\jmath}}\cdot\hat{\mathbf{N}}|} We'll use the equation of the curve to find κ\kappa and N^\hat{\mathbf{N}}.

Note that gg is given in metres per second, while the other quantities are in kilometres and hours. Converting, 9.89.8 m/s2^2 is the same as (9.8 m1 s2)(1 km1000 m)(3600 s1 hr)2=98⋅64 kmh2=25⋅34⋅72 kmh2\left(\frac{9.8\text{ m}}{1 \text{ s}^2}\right)\left( \frac{1 \text{ km}}{1000 \text{ m}}\right)\left(\frac{3600 \text{ s}}{1 \text{ hr}} \right)^2=98\cdot 6^4~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}=2^5\cdot 3^4\cdot 7^2~ \frac{\text{km}}{\text{h}^2}.

r(t)=(ln⁡t,1−t)r′(t)=v(t)=(t−1,−1)dsdt=∣v(t)∣=1+t−2r′′(t)=a(t)=(−t−2,0)κ(t)=∣v×a∣(dsdt)3=t−21+t−23=∣t∣(1+t2)3/2=t(1+t2)3/2Note t is positive in the interval in question.T^(t)=v(t)∣v(t)∣=11+t−2(t−1,−1)=(11+t2,−t1+t2)T^′(t)=(−t(1+t2)3/2,−1(1+t2)3/2)∣T^′(t)∣=1t2+1N^(t)=T^′(t)∣T^′(t)∣=(−t1+t2,−11+t2)∣N^⋅ȷ^∣=11+t2\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(\ln t,1-t)\\ \mathbf{r}'(t)&=\mathbf{v}(t)=(t^{-1}, -1)\qquad\qquad \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{1+t^{-2}}\\ \mathbf{r}''(t)&=\mathbf{a}(t)=(-t^{-2},0)\\ \kappa (t)&=\frac{|\mathbf{v} \times \mathbf{a}|}{\left(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right)^{3}}=\frac{t^{-2}}{\sqrt{1+t^{-2}}^3}=\frac{|t|}{(1+t^{2})^{3/2}}=\frac{t}{(1+t^{2})^{3/2}} \\ \text{Note $t$ is positive in the interval in question.} \\ \hat{\mathbf{T}}(t)&=\frac{\mathbf{v}(t)}{|\mathbf{v}(t)|}=\frac{1}{\sqrt{1+t^{-2}}}(t^{-1},-1)=\left( \frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}},\frac{-t}{\sqrt{1+t^{2}}}\right)\\ \hat{\mathbf{T}}'(t)&= \left( \frac{-t}{({1+t^2})^{3/2}},\frac{-1}{({1+t^2})^{3/2}}\right)\qquad\qquad |\hat{\mathbf{T}}'(t)|=\frac{1}{t^2+1}\\ \hat{\mathbf{N}}(t)&=\frac{\hat{\mathbf{T}}'(t)}{|\hat{\mathbf{T}}'(t)|}=\left( \frac{-t}{\sqrt{1+t^2}},\frac{-1}{\sqrt{1+t^2}}\right)\\ |\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|&=\frac{1}{\sqrt{1+t^2}} \end{aligned}

Now, we have all the pieces we need to find the “escape velocity" of the ground.

∣v∣=gκ∣N^⋅ȷ^∣=g⋅(1+t2)3/2t(1+t2)1/2=g(1+t2)t\begin{aligned} |\mathbf{v}|&=\sqrt{\frac{g}{\kappa}|\hat{\mathbf{N}} \cdot \hat{\boldsymbol{\jmath}}|}=\sqrt{\frac{g\cdot (1+t^{2})^{3/2}}{t(1+t^2)^{1/2}}}=\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} \end{aligned}

Since the skier can take off anywhere on the hill, we just need their velocity to be larger than the smallest value of g(1+t2)t\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} when 1/e≤t≤e1/e \le t \le e. To find that minimum, we find the location of the minimum of the simpler function g(t)=1+t2tg(t)=\frac{1+t^2}{t}. Using first-semester calculus, we find it to occur when t=1t=1. So, the minimum value of g(1+t2)t\sqrt{\frac{g(1+t^2)}{t}} (that is, smallest speed to achieve lift-off) occurs at t=1t=1. We therefore need a minimum speed greater than:

g(1+t2)∣t∣∣t=1=2g=26⋅34⋅72=23⋅32⋅7=504 kph\begin{aligned} \sqrt{\frac{g(1+t^2)}{|t|}}\Bigg|_{t=1}&=\sqrt{2g}=\sqrt{2^6\cdot3^4\cdot7^2}=2^3\cdot 3^2\cdot 7 = 504\text{ kph} \end{aligned}

(It seems unlikely that one could reach this speed on skis. The skier is probably earth-bound until they find a curvier hill.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-4 · 1.7절 · 6번
# 공간에서의 운동계산보통자동 분류
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