벡터와 공간 전체 연습문제

801.APEX · 10.4절 · 26번대학 수준우리말 번역

연습문제 23–26에서, 주어진 벡터로 정의되는 평행사변형의 넓이를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 2,0\right\rangle$ , $\vec v = \left\langle 0,3\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, find the area of the parallelogram defined by the given vectors.

$\vec u = \left\langle 2,0\right\rangle$ , $\vec v = \left\langle 0,3\right\rangle$

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$6$

원본 교재 풀이(영어)

$6$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 1번

# 외적활용자동 분류

802.APEX · 10.4절 · 27번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서, 주어진 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이를 구하세요.

꼭짓점: $(0,0,0)$ , $(1,3,-1)$ , $(2,1,1)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the area of the triangle with the given vertices.

Vertices: $(0,0,0)$ , $(1,3,-1)$ and $(2,1,1)$ .

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$5\sqrt{2}/2$

원본 교재 풀이(영어)

$5\sqrt{2}/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 57번

# 외적활용자동 분류

803.APEX · 10.4절 · 28번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서, 주어진 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이를 구하세요.

꼭짓점: $(5,2,-1)$ , $(3,6,2)$ , $(1,0,4)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the area of the triangle with the given vertices.

Vertices: $(5,2,-1)$ , $(3,6,2)$ and $(1,0,4)$ .

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$3\sqrt{30}$

원본 교재 풀이(영어)

$3\sqrt{30}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 33번

# 외적활용자동 분류

804.APEX · 10.4절 · 29번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서, 주어진 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이를 구하세요.

꼭짓점: $(1,1)$ , $(1,3)$ , $(2,2)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the area of the triangle with the given vertices.

Vertices: $(1,1)$ , $(1,3)$ and $(2,2)$ .

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$1$

원본 교재 풀이(영어)

$1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 42번

# 외적활용자동 분류

805.APEX · 10.4절 · 30번대학 수준우리말 번역

연습문제 27–30에서 주어진 꼭짓점을 갖는 삼각형의 넓이를 구하세요.

꼭짓점: $(3,1)$ , $(1,2)$ , $(4,3)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 27–30, find the area of the triangle with the given vertices.

Vertices: $(3,1)$ , $(1,2)$ and $(4,3)$ .

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$5/2$

원본 교재 풀이(영어)

$5/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 44번

# 외적활용자동 분류

806.APEX · 10.4절 · 31번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–32에서 주어진 꼭짓점을 갖는 사각형의 넓이를 구하세요. (힌트: 사각형을 2개의 삼각형으로 나누세요.)

꼭짓점: $(0,0)$ , $(1,2)$ , $(3,0)$ , $(4,3)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–32, find the area of the quadrilateral with the given vertices. (Hint: break the quadrilateral into 2 triangles.)

Vertices: $(0,0)$ , $(1,2)$ , $(3,0)$ and $(4,3)$ .

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$7$

원본 교재 풀이(영어)

$7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 55번

# 외적활용자동 분류

807.APEX · 10.4절 · 32번대학 수준우리말 번역

연습문제 31–32에서 주어진 꼭짓점을 갖는 사각형의 넓이를 구하세요. (힌트: 사각형을 2개의 삼각형으로 나누세요.)

꼭짓점: $(0,0,0)$ , $(2,1,1)$ , $(-1,2,-8)$ , $(1,-1,5)$ .

영어 원문 보기

In Exercises 31–32, find the area of the quadrilateral with the given vertices. (Hint: break the quadrilateral into 2 triangles.)

Vertices: $(0,0,0)$ , $(2,1,1)$ , $(-1,2,-8)$ and $(1,-1,5)$ .

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$8\sqrt{7/2}$

원본 교재 풀이(영어)

$8\sqrt{7/2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 35번

# 외적활용자동 분류

808.APEX · 10.4절 · 33번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–34에서 주어진 벡터로 정해지는 평행육면체의 부피를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 1,2,3\right\rangle$ , $\vec w = \left\langle 1,0,1\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, find the volume of the parallelepiped defined by the given vectors.

$\vec u = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 1,2,3\right\rangle$ , $\vec w = \left\langle 1,0,1\right\rangle$

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$2$

원본 교재 풀이(영어)

$2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 3번

# 외적활용자동 분류

809.APEX · 10.4절 · 34번대학 수준우리말 번역

연습문제 33–34에서 주어진 벡터로 정해지는 평행육면체의 부피를 구하세요.

$\vec u = \left\langle -1,2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $\vec w = \left\langle 3,1,3\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 33–34, find the volume of the parallelepiped defined by the given vectors.

$\vec u = \left\langle -1,2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 2,2,1\right\rangle$ , $\vec w = \left\langle 3,1,3\right\rangle$

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$15$

원본 교재 풀이(영어)

$15$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 9번

# 외적활용자동 분류

810.APEX · 10.4절 · 35번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38에서 $\vec u$ 와 $\vec v$ 에 모두 수직인 단위벡터를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 2,0,1\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find a unit vector orthogonal to both $\vec u$ and $\vec v$ .

$\vec u = \left\langle 1,1,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 2,0,1\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\pm\frac{ 1}{\sqrt{6}}\left\langle 1,1,-2\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm\frac{ 1}{\sqrt{6}}\left\langle 1,1,-2\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 41번

# 외적계산자동 분류

811.APEX · 10.4절 · 36번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38에서 $\vec u$ 와 $\vec v$ 에 모두 수직인 단위벡터를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 1,-2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 3,2,1\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find a unit vector orthogonal to both $\vec u$ and $\vec v$ .

$\vec u = \left\langle 1,-2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle 3,2,1\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\pm\frac{ 1}{\sqrt{21}}\left\langle -2,1,4\right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\pm\frac{ 1}{\sqrt{21}}\left\langle -2,1,4\right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 45번

# 외적계산자동 분류

812.APEX · 10.4절 · 37번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38에서 $\vec u$ 와 $\vec v$ 에 모두 수직인 단위벡터를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 5,0,2\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle -3,0,7\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find a unit vector orthogonal to both $\vec u$ and $\vec v$ .

$\vec u = \left\langle 5,0,2\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle -3,0,7\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\left\langle 0,\pm 1,0 \right\rangle$

원본 교재 풀이(영어)

$\left\langle 0,\pm 1,0 \right\rangle$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 40번

# 외적계산자동 분류

813.APEX · 10.4절 · 38번대학 수준우리말 번역

연습문제 35–38에서 $\vec u$ 와 $\vec v$ 에 모두 수직인 단위벡터를 구하세요.

$\vec u = \left\langle 1,-2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle -2,4,-2\right\rangle$

영어 원문 보기

In Exercises 35–38, find a unit vector orthogonal to both $\vec u$ and $\vec v$ .

$\vec u = \left\langle 1,-2,1\right\rangle$ , $\vec v=\left\langle -2,4,-2\right\rangle$

정답·풀이 보기

$\vec u$ 와 $\vec v$ 가 평행하므로 $\vec u$ 에 수직인 단위벡터라면 어느 것이든 된다(예: $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\langle 1,0,-1\right\rangle$ ).

원본 교재 풀이(영어)

Since $\vec u$ and $\vec v$ are parallel, any unit vector orthogonal to $\vec u$ works (such as $\frac{1}{\sqrt{2}}\left\langle 1,0,-1\right\rangle$ ).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.4절 · 43번

# 외적계산자동 분류

814.APEX · 10.4절 · 39번대학 수준우리말 번역

자전거를 타는 사람가 크랭크축에서 수평으로 7in 뻗어 있는 페달에 150lb의 힘을 수직 아래 방향으로 가한다. 크랭크축에 작용하는 돌림힘의 크기를 구하세요.

영어 원문 보기

A bicycle rider applies 150lb of force, straight down, onto a pedal that extends 7in horizontally from the crankshaft. Find the magnitude of the torque applied to the crankshaft.

정답·풀이 보기

$87.5$ ft–lb

원본 교재 풀이(영어)

$87.5$ ft–lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 40번

# 외적계산자동 분류

815.APEX · 10.4절 · 40번대학 수준우리말 번역

자전거 운전자가 크랭크축에서 7in 떨어져 있고 수평과 $30^\circ$ 의 각을 이루는 페달에 150lb 의 힘을 수직 아래 방향으로 가한다. 크랭크축에 작용하는 돌림힘의 크기를 구하세요.

영어 원문 보기

A bicycle rider applies 150lb of force, straight down, onto a pedal that extends 7in from the crankshaft, making a $30^\circ$ angle with the horizontal. Find the magnitude of the torque applied to the crankshaft.

정답·풀이 보기

$43.75\sqrt{3}\approx 75.78$ ft–lb

원본 교재 풀이(영어)

$43.75\sqrt{3}\approx 75.78$ ft–lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 41번

# 외적계산자동 분류

816.APEX · 10.4절 · 41번대학 수준우리말 번역

고집 센 볼트를 돌리기 위해 길이 10in 의 렌치에 80lb 의 힘을 가한다. 볼트에 작용할 수 있는 돌림힘의 최댓값은 얼마입니까?

영어 원문 보기

To turn a stubborn bolt, 80lb of force is applied to a 10in wrench. What is the maximum amount of torque that can be applied to the bolt?

정답·풀이 보기

$200/3\approx 66.67$ ft–lb

원본 교재 풀이(영어)

$200/3\approx 66.67$ ft–lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 42번

# 외적계산자동 분류

817.APEX · 10.4절 · 42번대학 수준우리말 번역

잘 풀리지 않는 볼트를 돌리기 위해 좁은 공간에서 길이 10in 의 렌치에 80lb 의 힘을 가하는데, 힘을 가하는 방향이 렌치와 $10^\circ$ 의 각을 이룬다. 그러면 렌치에 작용하는 돌림힘은 얼마입니까?

영어 원문 보기

To turn a stubborn bolt, 80lb of force is applied to a 10in wrench in a confined space, where the direction of applied force makes a $10^\circ$ angle with the wrench. How much torque is subsequently applied to the wrench?

정답·풀이 보기

$11.58$ ft–lb

원본 교재 풀이(영어)

$11.58$ ft–lb

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 17번

# 외적계산자동 분류

818.APEX · 10.4절 · 43번대학 수준우리말 번역

외적의 정의를 이용하여 $\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0$ 임을 보이세요. 즉, $\vec u$ 가 $\vec u$ 와 $\vec v$ 의 외적과 수직임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show, using the definition of the Cross Product, that $\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0$ ; that is, that $\vec u$ is orthogonal to the cross product of $\vec u$ and $\vec v$ .

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle$ , $\vec v = \left\langle v_1,v_2,v_3\right\rangle$ 이라 하면

$\begin{aligned} \vec u\cdot(\vec u\times\vec v) &= \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle \cdot (\left\langle u_2v_3-u_3v_2,-(u_1v_3-u_3v_1),u_1v_2-u_2v_1\right\rangle ) \\ &= u_1(u_2v_3-u_3v_2) - u2(u_1v_3-u_3v_1)+u3(u_1v_2-u_2v_1)\\ &=0. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

With $\vec u = \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle$ and $\vec v = \left\langle v_1,v_2,v_3\right\rangle$ , we have

$\begin{aligned} \vec u\cdot(\vec u\times\vec v) &= \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle \cdot (\left\langle u_2v_3-u_3v_2,-(u_1v_3-u_3v_1),u_1v_2-u_2v_1\right\rangle ) \\ &= u_1(u_2v_3-u_3v_2) - u2(u_1v_3-u_3v_1)+u3(u_1v_2-u_2v_1)\\ &=0. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 6번

# 외적계산자동 분류

819.APEX · 10.4절 · 44번대학 수준우리말 번역

외적의 정의를 이용하여 $\vec u\times\vec u=\vec 0$ 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Show, using the definition of the Cross Product, that $\vec u\times\vec u=\vec 0$ .

정답·풀이 보기

$\vec u = \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle$ 이라 하면

$\begin{aligned} \vec u\times\vec u &= \left\langle u_2u_3-u_3u_2,-(u_1u_3-u_3u_1),u_1u_2-u_2u_1\right\rangle ) \\ &= \left\langle 0,0,0\right\rangle \\ &=\vec 0. \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

With $\vec u = \left\langle u_1,u_2,u_3\right\rangle$ , we have

$\begin{aligned} \vec u\times\vec u &= \left\langle u_2u_3-u_3u_2,-(u_1u_3-u_3u_1),u_1u_2-u_2u_1\right\rangle ) \\ &= \left\langle 0,0,0\right\rangle \\ &=\vec 0. \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.4절 · 43번

# 외적계산자동 분류

820.APEX · 10.5절 · 1번대학 수준우리말 번역

직선의 방정식을 구하려면 어떤 두 가지 정보가 필요한지 쓰세요.

영어 원문 보기

To find an equation of a line, what two pieces of information are needed?

정답·풀이 보기

직선 위의 한 점과 직선의 방향이다.

원본 교재 풀이(영어)

A point on the line and the direction of the line.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.5절 · 2번

# 직선과 평면의 방정식개념 확인자동 분류

벡터와 공간 전체 문제