벡터와 공간 전체 문제

속도 벡터는

$$\mathbf{v}(\theta)=x'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\imath}}+y'(\theta)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi\theta^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$$

이다. 따라서 속력은

$$\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}(\theta)= |\mathbf{v}(\theta)|=1 \implies s(\theta)=\theta+s(0)$$

이다. $\theta=0$ 일 때 $s(\theta)$ 가 0 이므로 $s(\theta)=\theta$ 이고, 따라서

$$\hat{\mathbf{T}}(s)=\mathbf{v}(s) = \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}$$

이므로

$$\kappa (s)=\left|\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}(s)\right| =\big|-\pi s\sin\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\pi s \cos\big(\tfrac{1}{2}\pi s^2\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}}\big| =\pi s$$

이다.

곡선은 $y=y(x)={x^3}/{3}$ 이다. $y'(x) = x^2$ 이고 $y''(x) = 2x$ 이므로 곡률은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \kappa (x) &=\frac{\big|\frac{\mathrm{d^2}y}{\mathrm{d}{x}^2}(x)\big|} {\Big[1+\big(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}(x)\big)^2\Big]^{3/2}} =\frac{\big|2x\big|} {\big[1+x^4\big]^{3/2}} \end{aligned}$$

$\kappa (x)$ 의 임계점을 구하고 싶지만, 직접 미분하면 식이 복잡해 보인다. $\kappa (x)$ 는 음이 아닌 값만 가지므로, 그 최댓값은 함수 $\kappa ^2(x)$ 의 최댓값에 대응한다. 따라서 계산 수고를 덜기 위해 대신 $\kappa ^2(x)$ 의 임계점을 구한다.

$$\begin{aligned} 0&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\kappa (x)^2 =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{4x^2}{{(1+x^4)}^3} =\frac{8x}{{(1+x^4)}^3} - 3\frac{16x^5}{{(1+x^4)}^4} =\frac{8x(1+x^4)-3\times 16x^5}{{(1+x^4)}^4} \\ &=\frac{8x(1-5x^4)}{{(1+x^4)}^4} \end{aligned}$$

$\kappa (0)=0$ 이고 $x\rightarrow\pm \infty$ 일 때 $\kappa (x)\rightarrow 0$ 임에 주목한다. 따라서 최댓값은 $x=\pm 1/\sqrt[4]{5}$ 일 때 나타난다.

$\hat{\mathbf{T}}$ 는 곡선에 접하고, $\hat{\mathbf{N}}$ 은 곡선에 수직이다.

오른손 법칙과 $\hat{\mathbf{B}}=\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 을 이용하면 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 종이 밖(독자 쪽)을 향한다.

이를 확인하려면, 오른손의 네 손가락을 $\hat{\mathbf{T}}$ 의 방향으로 향한 뒤 $\hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이 될 때까지 안쪽으로 감아 쥔다. 이렇게 하려면 엄지손가락이 자신에게서 멀어지는 쪽이 아니라 자신을 향해야 한다. 엄지손가락이 가리키는 방향이 $\hat{\mathbf{T}} \times \hat{\mathbf{N}}$ 의 방향이다.

이 식에서 $s$ 는 호의 길이를 뜻한다.

$t$ 에서 $t+h$ 까지의 아주 작은 구간을 잡으면, 곡선이 직선으로 근사되므로 호의 길이의 변화량 $s(t+h)-s(t)$ 는 근사적으로 $|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|$ 이다. 따라서 $\frac{s(t+h)-s(t)}{h} \approx \frac{|\mathbf{r}(t+h)-\mathbf{r}(t)|}{h}$ 이고, 이로부터 $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=|\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}|=|\mathbf{v}(t)|$ 를 얻는다.

속도의 크기는 속력이며, 이 교재에서는 보통 이것을 $v$ 로 나타낸다. 즉 $v=|\mathbf{v}(t)|$ 이다. 이 때문에 $s$ 는 호의 길이를, $v$ 는 속력을 뜻한다는, 혼동하기 쉽지만 표준적인 관례가 생긴다.

(a) $\kappa (s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{T}}}{\mathrm{d}s}=\kappa (s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{T}}$ 는 상수이다. 따라서 $\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}s}(s)=\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(s) =s\hat{\mathbf{T}}+\mathbf{r}(0)$ 이므로, 이 곡선은 방향 벡터가 $\hat{\mathbf{T}}$ 이고 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나는 직선이다.

(b) $\tau(s)\equiv 0$ 이면 $\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{B}}}{\mathrm{d}s}=-\tau(s)\hat{\mathbf{N}}(s)\equiv 0$ 이므로 $\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이다. $\hat{\mathbf{T}}(s)\perp\hat{\mathbf{B}}$ 이므로

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} (\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}} =\hat{\mathbf{T}}(s)\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$$

이고, $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}$ 는 상수이어야 한다. 이 상수는 0이어야 하므로($s=0$ 을 대입), $(\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}(0))\cdot\hat{\mathbf{B}}=0$ 이고 $\mathbf{r}(s)$ 는 항상 $\mathbf{r}(0)$ 을 지나고 법선 벡터가 $\hat{\mathbf{B}}$ 인 평면 위에 놓인다.

(c) 곡선을 호의 길이로 매개화한다. $s$ 에서의 "곡률 중심"을 다음과 같이 정의한다.

$$\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}(s)+\frac{1}{\kappa (s)}\hat{\mathbf{N}}(s)$$

$\kappa (s)=\kappa _0$ 는 상수이고 $\tau(s)\equiv 0$ 이므로

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\mathbf{r}_c(s) =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[\tau(s)\hat{\mathbf{B}}-\kappa (s)\hat{\mathbf{T}}\big] =\hat{\mathbf{T}}(s)+\frac{1}{\kappa _0}\big[0\hat{\mathbf{B}}-\kappa _0\hat{\mathbf{T}}\big] =0$$

이다. 따라서 $\mathbf{r}_c(s)=\mathbf{r}_c$ 는 상수이고, $\big|\mathbf{r}(s)-\mathbf{r}_c\big|=\frac{1}{\kappa _0}$ 이므로 곡선은 중심이 $\mathbf{r}_c$ 이고 반지름이 $\frac{1}{\kappa _0}$ 인 구 위에 놓인다. $\tau(s)\equiv 0$ 이므로 곡선은 한 평면 위에도 놓이고, 따라서 이 곡선은 원이다.

(a) 다음과 같으므로

$$\begin{aligned} \mathbf{r}'(t)&=\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +2\,\hat{\mathbf{k}} & \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) &=|\mathbf{r}'(t)|= \sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}} =\sqrt{2}\big(e^t+e^{-t}\big)\\ \mathbf{r}''(t)&=\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + \big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} & \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)&=-2\big(e^t + e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\imath}} + 2\big(e^t - e^{-t}\big)\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} +4\,\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$

곡률은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \kappa (t) &= \frac{|\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\big)^3} =\frac{2\sqrt{4+2e^{2t}+2e^{-2t}}}{[4+2e^{2t}+2e^{-2t}]^{3/2}} =\frac{1}{2+e^{2t}+e^{-2t}} \end{aligned}$$

(b) $\mathbf{r}(0)$ 과 $\mathbf{r}(1)$ 사이의 $C$ 의 길이는 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}(t) \ \mathrm{d}t &= \sqrt{2} \int_0^1 (e^t+e^{-t}) \ \mathrm{d}t =\sqrt{2}\Big[e^t-e^{-t}\Big]_0^1 =\sqrt{2}\Big[e-\frac{1}{e}\Big] \end{aligned}$$

점 $(2,4,8)$ 은 $t=2$ 일 때이다.

$$\begin{aligned} \mathbf{v}(t)&=(1,2t,3t^2) & \mathbf{v}(2)&=(1,4,12)\\ \mathbf{a}(t)&=(0,2,6t) & \mathbf{a}(2)&=(0,2,12)\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&=(0,0,6) & \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(2)&=(0,0,6)\\ && \mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)&=(24,-12,2)\\ && |\mathbf{v}(2) \times \mathbf{a}(2)|&=2\sqrt{181} \end{aligned}$$

이제 열률 공식을 사용한다:

$$\begin{aligned}\tau(t)&=\dfrac{(\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)}{|\mathbf{v}(t) \times \mathbf{a}(t)|^2}\\ \tau(2)&=\frac{(24,-12,2)\cdot(0,0,6)}{(2\sqrt{181})^2}=\frac{3}{{181}} \end{aligned}$$

먼저 준비 계산을 한다:

$$\begin{aligned} \mathbf{r}(t)&=(t^3,t,e^{ct}) & \mathbf{r}(5)&=(5^3,5,e^{5c})\\ \mathbf{v}(t)&=(3t^2,1,ce^{ct}) & \mathbf{v}(5)&=(3\cdot 5^2,1,ce^{5c})\\ \mathbf{a}(t)&=(6t,0,c^2e^{ct}) & \mathbf{a}(5)&=(6\cdot 5,0,c^2e^{5c}) \\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(t)&= (6,0,c^3e^{ct})& \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)&= (6,0,c^3e^{5c})\\ && \mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)&=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30) \end{aligned}$$

둘째, $\tau(5)=0$ 이 되게 하는 $c$ 의 값을 구한다.

$$\begin{aligned} 0&=\tau(5)=\dfrac{(\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5))\cdot\frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)}{|\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)|^2}\\ 0&=(\mathbf{v}(5)\times\mathbf{a}(5))\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{a}}{\mathrm{d}t}(5)\\ &=(c^2e^{5c},15ce^{5c}(2-5c),-30)\cdot (6,0,c^3e^{5c})\\ &=6c^2e^{5c}(1-5c)\\ c&=0 \text{ 또는 } c=\frac15 \end{aligned}$$

$c=0$ 이면 $\mathbf{r}(t)=(t^3,t,1)$ 이므로 곡선 전체가 평면 $z=1$ 위에 놓인다. (꼬임률은 $t=5$ 에서만이 아니라 모든 곳에서 0이다.)

$c=\frac15$ 인 경우를 생각하자. $t=5$ 일 때, 곡선(과 그 접촉원)은 점 $\mathbf{r}(5)=(5^3,5,e)$ 를 지난다. 접촉원이 놓인 평면의 법선벡터는 종법선벡터 $\hat{\mathbf{B}}(5)=\frac{\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)}{|\mathbf{v}(5)\times \mathbf{a}(5)|}$ 이다. 평면의 법선벡터가 단위벡터일 필요는 없으므로, 평면의 법선벡터로 간단히 $\mathbf{v}(5) \times \mathbf{a}(5)$, 즉 $(e/25,3e,-30)$ 을 택할 수 있다. 그러면 접촉원을 포함하는 평면의 방정식은 $(e/25)x+(3e)y-30z=-10e$ 이다. 이 평면의 같은 방정식은 $(1/25)x+3y-(30/e)z=-10$ 이다.

(a) 곡선 $x^2+y^2=1$ 은 반지름이 $1$ 인 원이다. 따라서 $x(\theta)=\cos\theta$, $y(\theta)=\sin\theta$, $0\le\theta<2\pi$ 로 매개변수화할 수 있다. 교선 위의 임의의 점의 $z$좌표는 $z=1-x-y$ 로 정해진다. 그러므로 다음을 쓸 수 있다.

$$\mathbf{r}(\theta) = \cos\theta\,\hat{\boldsymbol{\imath}} +\sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\jmath}} + (1-\cos\theta-\sin\theta)\,\hat{\mathbf{k}} \qquad 0\le\theta<2\pi$$

(b) 다음과 같으므로

$$\begin{aligned} \mathbf{v}(\theta)=\mathbf{r}'(\theta)&=\big(-\sin\theta,\cos\theta,\sin\theta-\cos\theta\big) \\ \mathbf{a}(\theta)=\mathbf{v}'(\theta)&=\big(-\cos\theta,-\sin\theta,\cos\theta+\sin\theta\big) \end{aligned}$$

다음을 얻고

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta} &= |\mathbf{r}'(\theta)| =\sqrt{\sin^2\theta+\cos^2\theta+(\sin\theta-\cos\theta)^2}\\ &=\sqrt{2-2\sin\theta\cos\theta} \\ &=\sqrt{2-\sin(2\theta)} \\ \mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)&=\big(1,1,1\big) \end{aligned}$$

곡률은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} \kappa (\theta) &= \frac{|\mathbf{v}(\theta)\times\mathbf{a}(\theta)|}{\big(\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\big)^3} =\frac{\sqrt{3}}{[2-\sin(2\theta)]^{3/2}} \end{aligned}$$

(c) 곡률은

• $2-\sin(2\theta)$ 가 최소(최대)일 때 최대(최소)이고,
• 이는 $\sin(2\theta)=1$ ($\sin(2\theta)=-1$)일 때이며,
• 이는 다시 $\theta=\frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{4}$ ($\theta=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}$)일 때이다.

따라서

$$\begin{aligned} \text{최대 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-1]^{3/2}}=\sqrt{3} && \text{에서 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1-\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\quad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+(1+\sqrt{2})\,\hat{\mathbf{k}} \\ \text{최소 곡률 }&= \frac{\sqrt{3}}{[2-(-1)]^{3/2}}=\frac{1}{3} && \text{에서 }\qquad-\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}+\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \\ & && \text{그리고 }\qquad\frac{\hat{\boldsymbol{\imath}}}{\sqrt{2}}-\frac{\hat{\boldsymbol{\jmath}}}{\sqrt{2}}+\hat{\mathbf{k}} \end{aligned}$$