빌드라인 스쿨

문제 은행 · 미적분 · 대학 미적분 · 벡터와 공간

내적과 정사영

내적으로 두 벡터 사이 각, 수직 여부, 정사영과 일을 구한다

유형전체개념 확인계산그래프·표 해석활용증명·논술
난이도전체기본보통도전
풀이전체우리말 풀이 있는 문제만

유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.

93문제 · 4 / 5쪽

61.APEX · 10.3절 · 1번대학 수준우리말 번역

두 벡터의 내적은 벡터가 아니라 _____ 이다.

영어 원문 보기

The dot product of two vectors is a _____, not a vector.

정답·풀이 보기

스칼라

원본 교재 풀이(영어)

Scalar

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 15번
# 내적과 정사영개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
62.APEX · 10.3절 · 2번대학 수준우리말 번역

내적과 벡터의 크기라는 개념은 서로 어떻게 관련되어 있습니까?

영어 원문 보기

How are the concepts of the dot product and vector magnitude related?

정답·풀이 보기

벡터의 크기는 그 벡터 자신과의 내적의 제곱근이다. 즉, ∥v⃗∥=v⃗⋅v⃗\left\|\vec v\right\| = \sqrt{\vec v\cdot \vec v}.

원본 교재 풀이(영어)

The magnitude of a vectors is the square root of the dot product of a vector with itself; that is, ∥v⃗∥=v⃗⋅v⃗\left\|\vec v\right\| = \sqrt{\vec v\cdot \vec v}.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 3번
# 내적과 정사영개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
63.APEX · 10.3절 · 3번대학 수준우리말 번역

두 벡터 사이의 각이 예각인지 둔각인지 어떻게 빠르게 알 수 있습니까?

영어 원문 보기

How can one quickly tell if the angle between two vectors is acute or obtuse?

정답·풀이 보기

두 벡터의 내적의 부호를 살펴보면 된다. 내적이 양수이면 그 각은 예각이고, 내적이 음수이면 그 각은 둔각이다.

원본 교재 풀이(영어)

By considering the sign of the dot product of the two vectors. If the dot product is positive, the angle is acute; if the dot product is negative, the angle is obtuse.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 1번
# 내적과 정사영개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
64.APEX · 10.3절 · 4번대학 수준우리말 번역

"직교"와 뜻이 같은 낱말을 하나 쓰세요.

영어 원문 보기

Give a synonym for “orthogonal.”

정답·풀이 보기

"수직"이 하나의 답이다.

원본 교재 풀이(영어)

“Perpendicular” is one answer.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 2번
# 내적과 정사영개념 확인자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
65.APEX · 10.3절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨2,−4⟩\vec u = \left\langle 2,-4\right\rangle , v⃗=⟨3,7⟩\vec v = \left\langle 3,7\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨2,−4⟩\vec u = \left\langle 2,-4\right\rangle , v⃗=⟨3,7⟩\vec v = \left\langle 3,7\right\rangle

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−22-22

원본 교재 풀이(영어)

−22-22

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 57번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
66.APEX · 10.3절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨5,3⟩\vec u = \left\langle 5,3\right\rangle , v⃗=⟨6,1⟩\vec v = \left\langle 6,1\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨5,3⟩\vec u = \left\langle 5,3\right\rangle , v⃗=⟨6,1⟩\vec v = \left\langle 6,1\right\rangle

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3333

원본 교재 풀이(영어)

3333

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 4번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
67.APEX · 10.3절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨1,−1,2⟩\vec u = \left\langle 1,-1,2\right\rangle , v⃗=⟨2,5,3⟩\vec v = \left\langle 2,5,3\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨1,−1,2⟩\vec u = \left\langle 1,-1,2\right\rangle , v⃗=⟨2,5,3⟩\vec v = \left\langle 2,5,3\right\rangle

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33

원본 교재 풀이(영어)

33

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 38번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
68.APEX · 10.3절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨3,5,−1⟩\vec u = \left\langle 3,5,-1\right\rangle , v⃗=⟨4,−1,7⟩\vec v = \left\langle 4,-1,7\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨3,5,−1⟩\vec u = \left\langle 3,5,-1\right\rangle , v⃗=⟨4,−1,7⟩\vec v = \left\langle 4,-1,7\right\rangle

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00

원본 교재 풀이(영어)

00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 3번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
69.APEX · 10.3절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨1,1⟩\vec u = \left\langle 1,1\right\rangle , v⃗=⟨1,2,3⟩\vec v = \left\langle 1,2,3\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨1,1⟩\vec u = \left\langle 1,1\right\rangle , v⃗=⟨1,2,3⟩\vec v = \left\langle 1,2,3\right\rangle

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정의되지 않는다

원본 교재 풀이(영어)

not defined

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 37번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
70.APEX · 10.3절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 주어진 벡터의 내적을 구하세요.

u⃗=⟨1,2,3⟩\vec u = \left\langle 1,2,3\right\rangle , v⃗=⟨0,0,0⟩\vec v = \left\langle 0,0,0\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, find the dot product of the given vectors.

u⃗=⟨1,2,3⟩\vec u = \left\langle 1,2,3\right\rangle , v⃗=⟨0,0,0⟩\vec v = \left\langle 0,0,0\right\rangle

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00

원본 교재 풀이(영어)

00

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 41번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
71.APEX · 10.3절 · 11번대학 수준우리말 번역

R2\mathbb{R}^2 에서 벡터 u⃗\vec u, v⃗\vec v, w⃗\vec w 를 직접 만들어 u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u\cdot (\vec v+\vec w) = \vec u\cdot \vec v + \vec u\cdot \vec w 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Create your own vectors u⃗\vec u, v⃗\vec v and w⃗\vec w in R2\mathbb{R}^2 and show that u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec u\cdot (\vec v+\vec w) = \vec u\cdot \vec v + \vec u\cdot \vec w.

정답·풀이 보기

답은 학생마다 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 23번
# 내적과 정사영증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
72.APEX · 10.3절 · 12번대학 수준우리말 번역

R3\mathbb{R}^3 에서 벡터 u⃗\vec u 와 v⃗\vec v, 스칼라 cc 를 직접 만들어 c(u⃗⋅v⃗)=u⃗⋅(cv⃗)c(\vec u\cdot \vec v) = \vec u\cdot (c\vec v) 임을 보이세요.

영어 원문 보기

Create your own vectors u⃗\vec u and v⃗\vec v in R3\mathbb{R}^3 and scalar cc and show that c(u⃗⋅v⃗)=u⃗⋅(cv⃗)c(\vec u\cdot \vec v) = \vec u\cdot (c\vec v).

정답·풀이 보기

답은 다양하다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 4번
# 내적과 정사영증명·논술자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
73.APEX · 10.3절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 두 벡터가 이루는 각의 크기를 라디안과 도로 각각 구하세요.

u⃗=⟨1,1⟩\vec u = \left\langle 1,1\right\rangle , v⃗=⟨1,2⟩\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the measure of the angle between the two vectors in both radians and degrees.

u⃗=⟨1,1⟩\vec u = \left\langle 1,1\right\rangle , v⃗=⟨1,2⟩\vec v = \left\langle 1,2\right\rangle

답 쓰고 채점
°
정답·풀이 보기

θ=0.3218≈18.43∘\theta = 0.3218 \approx 18.43^\circ

원본 교재 풀이(영어)

θ=0.3218≈18.43∘\theta = 0.3218 \approx 18.43^\circ

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 29번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
74.APEX · 10.3절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 두 벡터가 이루는 각의 크기를 라디안과 도로 각각 구하세요.

u⃗=⟨−2,1⟩\vec u = \left\langle -2,1\right\rangle , v⃗=⟨3,5⟩\vec v = \left\langle 3,5\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the measure of the angle between the two vectors in both radians and degrees.

u⃗=⟨−2,1⟩\vec u = \left\langle -2,1\right\rangle , v⃗=⟨3,5⟩\vec v = \left\langle 3,5\right\rangle

답 쓰고 채점
°
정답·풀이 보기

θ=1.6476≈94.4∘\theta = 1.6476 \approx 94.4^\circ

원본 교재 풀이(영어)

θ=1.6476≈94.4∘\theta = 1.6476 \approx 94.4^\circ

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 45번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
75.APEX · 10.3절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 두 벡터가 이루는 각의 크기를 라디안과 도로 각각 구하세요.

u⃗=⟨8,1,−4⟩\vec u = \left\langle 8,1,-4\right\rangle , v⃗=⟨2,2,0⟩\vec v = \left\langle 2,2,0\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the measure of the angle between the two vectors in both radians and degrees.

u⃗=⟨8,1,−4⟩\vec u = \left\langle 8,1,-4\right\rangle , v⃗=⟨2,2,0⟩\vec v = \left\langle 2,2,0\right\rangle

정답·풀이 보기

θ=π/4=45∘\theta = \pi/4 = 45^\circ

원본 교재 풀이(영어)

θ=π/4=45∘\theta = \pi/4 = 45^\circ

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 1번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
76.APEX · 10.3절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 13–16에서 두 벡터가 이루는 각의 크기를 라디안과 도로 각각 구하세요.

u⃗=⟨1,7,2⟩\vec u = \left\langle 1,7,2\right\rangle , v⃗=⟨4,−2,5⟩\vec v = \left\langle 4,-2,5\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 13–16, find the measure of the angle between the two vectors in both radians and degrees.

u⃗=⟨1,7,2⟩\vec u = \left\langle 1,7,2\right\rangle , v⃗=⟨4,−2,5⟩\vec v = \left\langle 4,-2,5\right\rangle

정답·풀이 보기

θ=π/2=90∘\theta = \pi/2 = 90^\circ

원본 교재 풀이(영어)

θ=π/2=90∘\theta = \pi/2 = 90^\circ

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 47번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
77.APEX · 10.3절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 벡터 v⃗\vec v 가 주어져 있다. v⃗\vec v 에 직교하는 벡터 두 개를 구하세요.

v⃗=⟨4,7⟩\vec v = \left\langle 4,7\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a vector v⃗\vec v is given. Give two vectors that are orthogonal to v⃗\vec v.

v⃗=⟨4,7⟩\vec v = \left\langle 4,7\right\rangle

정답·풀이 보기

답은 여러 가지이다. 가능한 답의 예로 ⟨−7,4⟩\left\langle -7,4\right\rangle 와 ⟨14,−8⟩\left\langle 14,-8\right\rangle 이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; two possible answers are ⟨−7,4⟩\left\langle -7,4\right\rangle and ⟨14,−8⟩\left\langle 14,-8\right\rangle .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 2.3절 · 5번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
78.APEX · 10.3절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 벡터 v⃗\vec v 가 주어져 있다. v⃗\vec v 에 직교하는 벡터 두 개를 구하세요.

v⃗=⟨−3,5⟩\vec v = \left\langle -3,5\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a vector v⃗\vec v is given. Give two vectors that are orthogonal to v⃗\vec v.

v⃗=⟨−3,5⟩\vec v = \left\langle -3,5\right\rangle

정답·풀이 보기

답은 여러 가지이다. 가능한 답의 예로 ⟨5,3⟩\left\langle 5,3\right\rangle 와 ⟨−15,−9⟩\left\langle -15,-9\right\rangle 이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; two possible answers are ⟨5,3⟩\left\langle 5,3\right\rangle and ⟨−15,−9⟩\left\langle -15,-9\right\rangle .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 1번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
79.APEX · 10.3절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 벡터 v⃗\vec v 가 주어져 있다. v⃗\vec v 에 직교하는 벡터 두 개를 구하세요.

v⃗=⟨1,1,1⟩\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a vector v⃗\vec v is given. Give two vectors that are orthogonal to v⃗\vec v.

v⃗=⟨1,1,1⟩\vec v = \left\langle 1,1,1\right\rangle

정답·풀이 보기

답은 여러 가지이다. 가능한 답의 예로 ⟨1,0,−1⟩\left\langle 1,0,-1\right\rangle 와 ⟨4,5,−9⟩\left\langle 4,5,-9\right\rangle 가 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; two possible answers are ⟨1,0,−1⟩\left\langle 1,0,-1\right\rangle and ⟨4,5,−9⟩\left\langle 4,5,-9\right\rangle .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 34번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)
80.APEX · 10.3절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–20에서 벡터 v⃗\vec v 가 주어져 있다. v⃗\vec v 에 직교하는 벡터 두 개를 구하세요.

v⃗=⟨1,−2,3⟩\vec v = \left\langle 1,-2,3\right\rangle

영어 원문 보기

In Exercises 17–20, a vector v⃗\vec v is given. Give two vectors that are orthogonal to v⃗\vec v.

v⃗=⟨1,−2,3⟩\vec v = \left\langle 1,-2,3\right\rangle

정답·풀이 보기

답은 여러 가지이다. 가능한 답의 예로 ⟨2,1,0⟩\left\langle 2,1,0\right\rangle 와 ⟨1,1,1/3⟩\left\langle 1,1,1/3\right\rangle 이 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary; two possible answers are ⟨2,1,0⟩\left\langle 2,1,0\right\rangle and ⟨1,1,1/3⟩\left\langle 1,1,1/3\right\rangle .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 10.3절 · 4번
# 내적과 정사영계산자동 분류
APEX Calculus V5 CC BY-NC 4.0우리말 번역: 빌드라인 스쿨 — AI 번역·자동 검토(원문과 같은 조건)