극한·미분 심화 전체 연습문제

21.OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=3,\,\text{여기서}\,f(x)=\{\begin{array}{c}5x-2,\,\text{(}\,x<1\text{ 일 때)}\\ 7x-1,\,\text{(}\,x\ge 1\text{ 일 때)}\end{array}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=3,\,\text{where}\,f(x)=\{\begin{array}{c}5x-2,\,\text{if}\,x<1 \\ 7x-1,\,\text{if}\,x\ge 1\end{array}.$

정답·풀이 보기

$\delta =\varepsilon /5$ 로 놓는다. $1-\varepsilon /5<x<1$ 이면 $|f(x)-3|=5x-5<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\varepsilon /5.$ If $1-\varepsilon /5<x<1,$ then $|f(x)-3|=5x-5<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

22.OpenStax 1권 · 2.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대로의 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

23.OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이라 하자. $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이면 $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}.$ If $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}},$ then $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

24.OpenStax 1권 · 2.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

25.OpenStax 1권 · 2.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

한 공학자가 기계를 사용하여 넓이가 144 cm²인 평평한 정사각형 에어로젤을 자르고 있습니다. 넓이의 최대 허용 오차가 8 cm²라면, 모든 변의 길이가 같다고 할 때 변을 얼마나 정확하게 잘라야 하나요? 이 수들은 $\delta ,$ ε, a, $L$ 과 어떤 관계가 있나요?

영어 원문 보기

An engineer is using a machine to cut a flat square of Aerogel of area 144 cm². If there is a maximum error tolerance in the area of 8 cm², how accurately must the engineer cut on the side, assuming all sides have the same length? How do these numbers relate to $\delta ,$ ε, a, and L?

정답·풀이 보기

공학자는 각 변을 12 cm에서 0.328 cm 이내의 오차로 잘라야 한다; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

원본 교재 풀이(영어)

The engineer must cut within 0.328 cm of 12 cm on each side; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)활용자동 분류

26.OpenStax 1권 · 2.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ .

영어 원문 보기

Use the precise definition of limit to prove that the following limit does not exist: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

27.OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

극한의 정확한 정의를 이용하여, $f(x)$ 가 올림 함수일 때 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요. (힌트: 임의의 $\delta <1.)$ 로 시도해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist, given that $f(x)$ is the ceiling function. (Hint: Try any $\delta <1.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

28.OpenStax 1권 · 2.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{:}\,x\,\text{가 유리수일 때} \\ 0\,\text{:}\,x\,\text{가 무리수일 때}\end{array}\right..$ (힌트: 유리수 $0<r<d$ 를 항상 고를 수 있지만 $|f(r)-0|=1.)$ 임을 생각해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{if}\,x\,\text{is rational} \\ 0\,\text{if}\,x\,\text{is irrational}\end{array}\right..$ (Hint: Think about how you can always choose a rational number $0<r<d,$ but $|f(r)-0|=1.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

29.OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{,}\,x\,\text{가 유리수일 때} \\ 0\,\text{,}\,x\,\text{가 무리수일 때}\end{array}\right.$ 에 대하여 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 를 구하세요. (힌트: x 가 유리수인 경우와 x 가 무리수인 경우의 두 가지로 나누어 생각하세요.)

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, determine $\lim_{x\to 0}f(x)$ for $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\,\text{is rational} \\ 0\,\text{if}\,x\,\text{is irrational}\end{array}\right..$ (Hint: Break into two cases, x rational and x irrational.)

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정답·풀이 보기

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한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 3번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

30.OpenStax 1권 · 2.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

앞의 연습문제의 함수를 이용하여, 극한의 정확한 정의로 $a\ne 0$ 일 때 $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

Using the function from the previous exercise, use the precise definition of limits to show that $\lim_{x\to a}f(x)$ does not exist for $a\ne 0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

31.OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정합니다. 극한의 정확한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

32.OpenStax 1권 · 2.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

임의의 실수 상수 c 에 대해 $\lim_{x\to a}[cf(x)]=cL$ 이다. (힌트: 두 경우 $c=0$ 과 $c\ne 0.)$ 로 나누어 생각하세요.

영어 원문 보기

$\lim_{x\to a}[cf(x)]=cL$ for any real constant c (Hint: Consider two cases: $c=0$ and $c\ne 0.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

33.OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정하세요. 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (힌트: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (Hint: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

34.OpenStax 1권 · 4.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

임의의 일차함수 $y=mx+b?$ 에 대한 선형 근사는 무엇인가요?

영어 원문 보기

What is the linear approximation for any generic linear function $y=mx+b?$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

35.OpenStax 1권 · 4.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

선형 근사 함수가 상수가 되기 위한 필요조건을 구하세요. 그래프를 이용하여 결과를 증명하세요.

영어 원문 보기

Determine the necessary conditions such that the linear approximation function is constant. Use a graph to prove your result.

정답·풀이 보기

${f}^{'}(a)=0$

원본 교재 풀이(영어)

${f}^{'}(a)=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 3번

# 선형근사와 미분소증명·논술자동 분류

36.OpenStax 1권 · 4.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

$x$ 와 $a$ 사이의 거리가 멀어질수록 선형 근사가 덜 정확해지는 이유를 설명하세요. 그래프를 이용하여 주장을 증명하세요.

영어 원문 보기

Explain why the linear approximation becomes less accurate as you increase the distance between $x$ and $a.$ Use a graph to prove your argument.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 1번

# 선형근사와 미분소증명·논술자동 분류

37.OpenStax 1권 · 4.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

선형 근사는 언제 정확한가요?

영어 원문 보기

When is the linear approximation exact?

정답·풀이 보기

선형 근사는 $y=f(x)$ 가 일차함수이거나 상수함수일 때 정확하다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation exact when $y=f(x)$ is linear or constant.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 3.4절 · 4번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

38.OpenStax 1권 · 4.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 근처에서의 선형 근사 $L(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=x+{x}^{4},a=0$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the linear approximation $L(x)$ to $y=f(x)$ near $x=a$ for the function.

$f(x)=x+{x}^{4},a=0$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 4번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

39.OpenStax 1권 · 4.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서(또는 다음 연습문제에서) 함수 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 근처에서의 선형 근사 $L(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\frac{1}{x},a=2$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the linear approximation $L(x)$ to $y=f(x)$ near $x=a$ for the function.

$f(x)=\frac{1}{x},a=2$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$L(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)$

원본 교재 풀이(영어)

$L(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 4.2절 · 4번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

40.OpenStax 1권 · 4.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 주어진 함수에 대해 $x=a$ 근처에서 $y=f(x)$ 의 선형 근사 $L(x)$ 를 구하세요.

$f(x)=\tan x,a=\frac{\pi }{4}$

영어 원문 보기

For the following exercises, find the linear approximation $L(x)$ to $y=f(x)$ near $x=a$ for the function.

$f(x)=\tan x,a=\frac{\pi }{4}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4.4절 · 6번

# 선형근사와 미분소계산자동 분류

극한·미분 심화 전체 문제