극한의 엄밀한 정의(ε-δ) 연습문제

21.OpenStax 1권 · 2.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대로의 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

22.OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이라 하자. $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이면 $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}.$ If $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}},$ then $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

23.OpenStax 1권 · 2.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

24.OpenStax 1권 · 2.5절 · 24번대학 수준우리말 번역

한 공학자가 기계를 사용하여 넓이가 144 cm²인 평평한 정사각형 에어로젤을 자르고 있습니다. 넓이의 최대 허용 오차가 8 cm²라면, 모든 변의 길이가 같다고 할 때 변을 얼마나 정확하게 잘라야 하나요? 이 수들은 $\delta ,$ ε, a, $L$ 과 어떤 관계가 있나요?

영어 원문 보기

An engineer is using a machine to cut a flat square of Aerogel of area 144 cm². If there is a maximum error tolerance in the area of 8 cm², how accurately must the engineer cut on the side, assuming all sides have the same length? How do these numbers relate to $\delta ,$ ε, a, and L?

정답·풀이 보기

공학자는 각 변을 12 cm에서 0.328 cm 이내의 오차로 잘라야 한다; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

원본 교재 풀이(영어)

The engineer must cut within 0.328 cm of 12 cm on each side; $\varepsilon =8,\delta =0.328,a=12,L=144$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)활용자동 분류

25.OpenStax 1권 · 2.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ .

영어 원문 보기

Use the precise definition of limit to prove that the following limit does not exist: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

26.OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

극한의 정확한 정의를 이용하여, $f(x)$ 가 올림 함수일 때 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요. (힌트: 임의의 $\delta <1.)$ 로 시도해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist, given that $f(x)$ is the ceiling function. (Hint: Try any $\delta <1.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

27.OpenStax 1권 · 2.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{:}\,x\,\text{가 유리수일 때} \\ 0\,\text{:}\,x\,\text{가 무리수일 때}\end{array}\right..$ (힌트: 유리수 $0<r<d$ 를 항상 고를 수 있지만 $|f(r)-0|=1.)$ 임을 생각해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{if}\,x\,\text{is rational} \\ 0\,\text{if}\,x\,\text{is irrational}\end{array}\right..$ (Hint: Think about how you can always choose a rational number $0<r<d,$ but $|f(r)-0|=1.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

28.OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{,}\,x\,\text{가 유리수일 때} \\ 0\,\text{,}\,x\,\text{가 무리수일 때}\end{array}\right.$ 에 대하여 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 를 구하세요. (힌트: x 가 유리수인 경우와 x 가 무리수인 경우의 두 가지로 나누어 생각하세요.)

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, determine $\lim_{x\to 0}f(x)$ for $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\,\text{is rational} \\ 0\,\text{if}\,x\,\text{is irrational}\end{array}\right..$ (Hint: Break into two cases, x rational and x irrational.)

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

0

원본 교재 풀이(영어)

0

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 3번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

29.OpenStax 1권 · 2.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

앞의 연습문제의 함수를 이용하여, 극한의 정확한 정의로 $a\ne 0$ 일 때 $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

Using the function from the previous exercise, use the precise definition of limits to show that $\lim_{x\to a}f(x)$ does not exist for $a\ne 0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

30.OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정합니다. 극한의 정확한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

31.OpenStax 1권 · 2.5절 · 31번대학 수준우리말 번역

임의의 실수 상수 c 에 대해 $\lim_{x\to a}[cf(x)]=cL$ 이다. (힌트: 두 경우 $c=0$ 과 $c\ne 0.)$ 로 나누어 생각하세요.

영어 원문 보기

$\lim_{x\to a}[cf(x)]=cL$ for any real constant c (Hint: Consider two cases: $c=0$ and $c\ne 0.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)계산자동 분류

32.OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정하세요. 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (힌트: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (Hint: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

33.APEX · 1.2절 · 1번대학 수준우리말 번역

다음 극한의 "정의"에는 무엇이 잘못되어 있는지 설명하세요.

" $x$ 가 $a$ 에 가까워질 때 $f(x)$ 의 극한이 $K$ 이다"라는 것은, 임의의 $\delta>0$ 에 대해 $\epsilon>0$ 이 존재하여 $|f(x)-K|< \epsilon$ 일 때마다 $|x-a|<\delta$ 임을 뜻한다.

영어 원문 보기

What is wrong with the following “definition” of a limit?

“The limit of $f(x)$ , as $x$ approaches $a$ , is $K$ ” means that given any $\delta>0$ there exists $\epsilon>0$ such that whenever $|f(x)-K|< \epsilon$ , we have $|x-a|<\delta$ .

정답·풀이 보기

먼저 $\epsilon$ 이 주어져야 하며, 제한 조건 $|x-a|<\delta$ 가 $|f(x)-K|< \epsilon$ 을 함의하는 것이지 그 반대가 아니다.

원본 교재 풀이(영어)

$\epsilon$ should be given first, and the restriction $|x-a|<\delta$ implies $|f(x)-K|< \epsilon$ , not the other way around.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)개념 확인자동 분류

34.APEX · 1.2절 · 2번대학 수준우리말 번역

극한을 정할 때 $x$ -허용오차와 $y$ -허용오차 중 어느 것이 먼저 주어지나요?

영어 원문 보기

Which is given first in establishing a limit, the $x$ –tolerance or the $y$ –tolerance?

정답·풀이 보기

$y$ -허용오차이다.

원본 교재 풀이(영어)

The $y$ –tolerance.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 8번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)개념 확인자동 분류

35.APEX · 1.2절 · 3번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $\epsilon$ 은 항상 양수여야 한다.

영어 원문 보기

T/F: $\epsilon$ must always be positive.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)개념 확인자동 분류

36.APEX · 1.2절 · 4번대학 수준우리말 번역

참/거짓: $\delta$ 는 항상 양수여야 한다.

영어 원문 보기

T/F: $\delta$ must always be positive.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 1번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)개념 확인자동 분류

37.APEX · 1.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-4|<\delta$ 일 때 $|f(x)-13|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-13|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon/2$ 로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-4|<\delta$ , $|f(x)-13|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-13|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon/2$ . Then:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

38.APEX · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-5|<\delta$ 일 때 $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon$ 으로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-5|<\delta$ , $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon$ . Then:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

39.APEX · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-3|<\delta$ 일 때 $|f(x)-6|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-3|$ 에 대한 식을 얻어야 함에 유의하면서 $|f(x)-6|<\epsilon$ 을 생각하자.

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있으므로, 예를 들어 $2<x<4$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{7}$ 로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있다고 가정하면 $x+3$ 은 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-3|<\delta$ , $|f(x)-6|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-6|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-3|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 3, we can safely assume that, for instance, $2<x<4$ . Thus

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{7}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 3, $x+3$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 1번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

40.APEX · 1.2절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} \big(x^2+x-5\big) = 15$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} \big(x^2+x-5\big) = 15$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-4|<\delta$ 일 때 $|f(x)-15|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-4|$ 에 대한 식을 얻어야 함에 유의하면서 $|f(x)-15|<\epsilon$ 을 생각하자.

$\begin{gathered} |f(x) -15 | < \epsilon \\ |x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\ | x^2+x-20 | < \epsilon \\ | x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\ | x-4 | < \epsilon/|x+5| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 4 가까이에 있으므로, 예를 들어 $3<x<5$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 3+5<x+5<5+5 \\ 8 < x+5 < 10 \\ \frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\ \frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{10}$ 으로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ |x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\ |x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\ |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 4 가까이에 있다고 가정하면 $x+5$ 는 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\ |x^2+x-20| < \epsilon\\ |(x^2+x-5) -15| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-4|<\delta$ , $|f(x)-15|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-15|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-4|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -15 | < \epsilon \\ |x^2+x-5 -15 |<\epsilon \\ | x^2+x-20 | < \epsilon \\ | x-4 |\cdot|x+5| < \epsilon \\ | x-4 | < \epsilon/|x+5| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 4, we can safely assume that, for instance, $3<x<5$ . Thus

$\begin{gathered} 3+5<x+5<5+5 \\ 8 < x+5 < 10 \\ \frac{1}{10} < \frac{1}{x+5} < \frac{1}{8} \\ \frac{\epsilon}{10} < \frac{\epsilon}{x+5} < \frac{\epsilon}{8} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{10}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ |x-4| < \frac{\epsilon}{10}\\ |x-4| < \frac{\epsilon}{x+5}\\ |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot|x+5|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 4, $x+5$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-4|\cdot|x+5| < \frac{\epsilon}{x+5}\cdot(x+5)\\ |x^2+x-20| < \epsilon\\ |(x^2+x-5) -15| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류