극한의 엄밀한 정의(ε-δ) 연습문제

1.OpenStax 1권 · 2.5절 · 13번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}(5x+8)=18$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

2.OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 3}\frac{{x}^{2}-9}{x-3}=6$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 3}\frac{{x}^{2}-9}{x-3}=6$

정답·풀이 보기

$\delta =\varepsilon$ 이라 하자. $0<|x-3|<\varepsilon$ 이면 $|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\varepsilon .$ If $0<|x-3|<\varepsilon ,$ then $|x+3-6|=|x-3|<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

3.OpenStax 1권 · 2.5절 · 15번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}\frac{2{x}^{2}-3x-2}{x-2}=5$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}\frac{2{x}^{2}-3x-2}{x-2}=5$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

4.OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 사용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}{x}^{4}=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 0}{x}^{4}=0$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt[4]{\varepsilon }$ 이라 하자. $0<|x|<\sqrt[4]{\varepsilon }$ 이면 $|{x}^{4}|={x}^{4}<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\sqrt[4]{\varepsilon }.$ If $0<|x|<\sqrt[4]{\varepsilon },$ then $|{x}^{4}|={x}^{4}<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 10번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

5.OpenStax 1권 · 2.5절 · 17번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}({x}^{2}+2x)=8$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given limits.

$\lim_{x\to 2}({x}^{2}+2x)=8$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 16번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

6.OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {5}^{-}}\sqrt{5-x}=0$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {5}^{-}}\sqrt{5-x}=0$

정답·풀이 보기

$\delta ={\varepsilon }^{2}$ 이라 하자. $5-{\varepsilon }^{2}<x<5$ 이면 $|\sqrt{5-x}|=\sqrt{5-x}<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta ={\varepsilon }^{2}.$ If $5-{\varepsilon }^{2}<x<5,$ then $|\sqrt{5-x}|=\sqrt{5-x}<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 14번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

7.OpenStax 1권 · 2.5절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {0}^{+}}f(x)=-2,\,\text{단 여기서}\,f(x)=\{\begin{array}{c}8x-3,\,\text{(}\,x<0\text{ 일 때)}\\ 4x-2,\,\text{(}\,x\ge 0\text{ 일 때)}\end{array}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {0}^{+}}f(x)=-2,\,\text{where}\,f(x)=\{\begin{array}{c}8x-3,\,\text{if}\,x<0 \\ 4x-2,\,\text{if}\,x\ge 0\end{array}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

8.OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번대학 수준우리말 번역

다음 문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 한쪽 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=3,\,\text{여기서}\,f(x)=\{\begin{array}{c}5x-2,\,\text{(}\,x<1\text{ 일 때)}\\ 7x-1,\,\text{(}\,x\ge 1\text{ 일 때)}\end{array}.$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given one-sided limits.

$\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)=3,\,\text{where}\,f(x)=\{\begin{array}{c}5x-2,\,\text{if}\,x<1 \\ 7x-1,\,\text{if}\,x\ge 1\end{array}.$

정답·풀이 보기

$\delta =\varepsilon /5$ 로 놓는다. $1-\varepsilon /5<x<1$ 이면 $|f(x)-3|=5x-5<\varepsilon$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\varepsilon /5.$ If $1-\varepsilon /5<x<1,$ then $|f(x)-3|=5x-5<\varepsilon .$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

9.OpenStax 1권 · 2.5절 · 21번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대로의 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 0}\frac{1}{{x}^{2}}=\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 6번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

10.OpenStax 1권 · 2.5절 · 22번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to -1}\frac{3}{{(x+1)}^{2}}=\infty$

정답·풀이 보기

$\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이라 하자. $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}}$ 이면 $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\delta =\sqrt{\frac{3}{M}}.$ If $0<|x+1|<\sqrt{\frac{3}{M}},$ then $f(x)=\frac{3}{{(x+1)}^{2}}>M.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 28번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

11.OpenStax 1권 · 2.5절 · 23번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 주어진 무한대 극한을 증명하세요.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

영어 원문 보기

In the following exercises, use the precise definition of limit to prove the given infinite limits.

$\lim_{x\to 2}-\frac{1}{{(x-2)}^{2}}=-\infty$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

12.OpenStax 1권 · 2.5절 · 25번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한이 존재하지 않음을 증명하세요: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}$ .

영어 원문 보기

Use the precise definition of limit to prove that the following limit does not exist: $\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{x-1}.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

13.OpenStax 1권 · 2.5절 · 26번대학 수준우리말 번역

극한의 정확한 정의를 이용하여, $f(x)$ 가 올림 함수일 때 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요. (힌트: 임의의 $\delta <1.)$ 로 시도해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist, given that $f(x)$ is the ceiling function. (Hint: Try any $\delta <1.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

14.OpenStax 1권 · 2.5절 · 27번대학 수준우리말 번역

극한의 엄밀한 정의를 이용하여 $\lim_{x\to 0}f(x)$ 가 존재하지 않음을 증명하세요: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{:}\,x\,\text{가 유리수일 때} \\ 0\,\text{:}\,x\,\text{가 무리수일 때}\end{array}\right..$ (힌트: 유리수 $0<r<d$ 를 항상 고를 수 있지만 $|f(r)-0|=1.)$ 임을 생각해 보세요.

영어 원문 보기

Using precise definitions of limits, prove that $\lim_{x\to 0}f(x)$ does not exist: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1\,\text{if}\,x\,\text{is rational} \\ 0\,\text{if}\,x\,\text{is irrational}\end{array}\right..$ (Hint: Think about how you can always choose a rational number $0<r<d,$ but $|f(r)-0|=1.)$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 2번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

15.OpenStax 1권 · 2.5절 · 29번대학 수준우리말 번역

앞의 연습문제의 함수를 이용하여, 극한의 정확한 정의로 $a\ne 0$ 일 때 $\lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재하지 않음을 보이세요.

영어 원문 보기

Using the function from the previous exercise, use the precise definition of limits to show that $\lim_{x\to a}f(x)$ does not exist for $a\ne 0.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 20번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

16.OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서 $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정합니다. 극한의 정확한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$

정답·풀이 보기

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

원본 교재 풀이(영어)

$\begin{array}{c}\lim_{x\to a}(f(x))+\lim_{x\to a}(g(x)) \\ =L+M\end{array}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 18번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

17.OpenStax 1권 · 2.5절 · 32번대학 수준우리말 번역

다음 연습문제에서, $\lim_{x\to a}f(x)=L$ 과 $\lim_{x\to a}g(x)=M$ 이 모두 존재한다고 가정하세요. 극한의 엄밀한 정의를 이용하여 다음 극한의 성질을 증명하세요:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (힌트: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

영어 원문 보기

For the following exercises, suppose that $\lim_{x\to a}f(x)=L$ and $\lim_{x\to a}g(x)=M$ both exist. Use the precise definition of limits to prove the following limit laws:

$\lim_{x\to a}[f(x)g(x)]=LM.$ (Hint: $|f(x)g(x)-LM|=$ $|f(x)g(x)-f(x)M+f(x)M-LM|\le |f(x)||g(x)-M|+|M||f(x)-L|.)$

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 30번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

18.APEX · 1.2절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x+5) = 13$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-4|<\delta$ 일 때 $|f(x)-13|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-13|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon/2$ 로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-4|<\delta$ , $|f(x)-13|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-13|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) -13 | < \epsilon \\ |(2x+5)-13 |<\epsilon \\ | 2x-8 | < \epsilon \\ 2| x-4 | < \epsilon \\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon/2$ . Then:

$\begin{gathered} |x-4|<\delta \\ -\delta < x-4 < \delta\\ -\epsilon/2 < x-4 < \epsilon/2\\ -\epsilon < 2x-8 < \epsilon \\ -\epsilon < (2x+5)-13 < \epsilon \\ |(2x+5) - 13| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.5절 · 12번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

19.APEX · 1.2절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 5} (3-x) = -2$

정답·풀이 보기

임의의 $\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-5|<\delta$ 일 때 $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 이 성립하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|f(x)-(-2)|<\epsilon$ 을 살펴보면:

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

이로부터 $\delta =\epsilon$ 으로 놓을 수 있다. 그러면:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하려던 바이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-5|<\delta$ , $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-(-2)|<\epsilon$ :

$\begin{gathered} |f(x) + 2 | < \epsilon \\ |(3-x) + 2 |<\epsilon \\ | 5-x | < \epsilon \\ -\epsilon < 5-x < \epsilon \\ -\epsilon < x-5 < \epsilon. \\ \end{gathered}$

This implies we can let $\delta =\epsilon$ . Then:

$\begin{gathered} |x-5|<\delta \\ -\delta < x-5 < \delta\\ -\epsilon < x-5 < \epsilon\\ -\epsilon < (x-3)-2 < \epsilon \\ -\epsilon < (-x+3)-(-2) < \epsilon \\ |3-x - (-2)| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 4번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류

20.APEX · 1.2절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–14에서, $\epsilon - \delta$ 증명을 이용하여 주어진 극한을 증명하세요.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

영어 원문 보기

In Exercises 5–14, prove the given limit using an $\epsilon - \delta$ proof.

$\displaystyle \lim_{x\to 3} \big(x^2-3\big) = 6$

정답·풀이 보기

$\epsilon >0$ 이 주어졌다고 하자. $|x-3|<\delta$ 일 때 $|f(x)-6|<\epsilon$ 이 성립하도록 하는 $\delta >0$ 을 찾으려 한다.

$|x-3|$ 에 대한 식을 얻어야 함에 유의하면서 $|f(x)-6|<\epsilon$ 을 생각하자.

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있으므로, 예를 들어 $2<x<4$ 라고 가정해도 무방하다. 따라서

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

$\delta =\frac{\epsilon}{7}$ 로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

$x$ 가 3 가까이에 있다고 가정하면 $x+3$ 은 양수이므로 오른쪽의 절댓값 기호를 없앨 수 있다.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

이는 우리가 증명하고자 했던 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $\epsilon >0$ be given. We wish to find $\delta >0$ such that when $|x-3|<\delta$ , $|f(x)-6|<\epsilon$ .

Consider $|f(x)-6|<\epsilon$ , keeping in mind we want to make a statement about $|x-3|$ :

$\begin{gathered} |f(x) -6 | < \epsilon \\ |x^2-3 -6 |<\epsilon \\ | x^2-9 | < \epsilon \\ | x-3 |\cdot|x+3| < \epsilon \\ | x-3 | < \epsilon/|x+3| \\ \end{gathered}$

Since $x$ is near 3, we can safely assume that, for instance, $2<x<4$ . Thus

$\begin{gathered} 2+3<x+3<4+3 \\ 5 < x+3 < 7 \\ \frac{1}{7} < \frac{1}{x+3} < \frac{1}{5} \\ \frac{\epsilon}{7} < \frac{\epsilon}{x+3} < \frac{\epsilon}{5} \\ \end{gathered}$

Let $\delta =\frac{\epsilon}{7}$ . Then:

$\begin{gathered} |x-3|<\delta \\ |x-3| < \frac{\epsilon}7\\ |x-3| < \frac{\epsilon}{x+3}\\ |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot|x+3|\\ \end{gathered}$

Assuming $x$ is near 3, $x+3$ is positive and we can drop the absolute value signs on the right.

$\begin{gathered} |x-3|\cdot|x+3| < \frac{\epsilon}{x+3}\cdot(x+3)\\ |x^2-9| < \epsilon\\ |(x^2-3) - 6| < \epsilon, \end{gathered}$

which is what we wanted to prove.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.2절 · 1번

# 극한의 엄밀한 정의(ε-δ)증명·논술자동 분류