유형·난이도는 우리말 풀이가 붙은 문제는 선생님이 정했고, 나머지는 자동 분류라 다를 수 있어요. 난이도가 정해지지 않은 문제는 난이도로 거를 때 빠집니다.
736문제 · 37 / 37쪽
721.Active Calculus · 2.1절 · 10번우리말 번역
함수 r(t)=tt 와 s(t)=arccos(t) 를 생각합시다. 이 두 함수에 대해 r′(t)=tt(ln(t)+1) 이고 s′(t)=−1−t21 임이 주어져 있습니다. 이 도함수 공식이 어디에서 나오는지는 신경 쓰지 않아도 됩니다. 두 함수 모두 정의역을 0<t<1 로 제한하여 생각합니다.
(a) w(t)=3tt−2arccos(t) 라 할 때, w′(t) 를 구하세요.
(b) 점 (21,w(21)) 에서 y=w(t) 의 접선의 방정식을 구하세요.
(c) v(t)=tt+arccos(t) 라 할 때, t=21 인 순간에 v 는 증가하는지 감소하는지 판단하세요. 그 이유를 설명하세요.
영어 원문 보기
Consider the functions r(t)=tt and s(t)=arccos(t), for which you are given the facts that r′(t)=tt(ln(t)+1) and s′(t)=−1−t21. Do not be concerned with where these derivative formulas come from. We restrict our interest in both functions to the domain 0<t<1.
(a) Let w(t)=3tt−2arccos(t). Determine w′(t).
(b) Find an equation for the tangent line to y=w(t) at the point (21,w(21)).
(c) Let v(t)=tt+arccos(t). Is v increasing or decreasing at the instant t=21? Why?
정답·풀이 보기
(a) w 는 w(t)=3r(t)−2s(t) 의 꼴이므로, 합의 미분법과 상수배의 미분법에 의해 w′(t)=3r′(t)−2s′(t) 이다. r′ 과 s′ 에 대해 주어진 정보를 적용하면 w′(t)=3tt(ln(t)+1)+21−t21 이다.
(b) w(21)=3(21)21−2arccos(21)=3⋅21−2⋅3π=23−32π 이다. 마찬가지로,
w′(21)=3(21)21(ln(21)+1)+21−(21)21=23(ln(21)+1)+34. 이 값들을 이용하면, 점 (21,w(21) 에서 w 의 접선은
L(t)=w(21)+w′(21)(t−21)=(23−32π)+(23(ln(21)+1)+34)(t−21)
이다.
(c) t=21 에서 v 가 증가하는지 감소하는지 판단하기 위해 v′(21) 을 계산한다. 먼저 v′(t)=tt(ln(t)+1)−1−t21 이다. 따라서
v′(21)=(21)21(ln(21)+1)−1−(21)21≈−0.93772
이다. v′(21) 이 음수이므로 v 는 t=21 에서 감소한다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) We note that w has the structure w(t)=3r(t)−2s(t), so by the sum and constant multiple rules, w′(t)=3r′(t)−2s′(t). Applying the given information about r′ and s′, w′(t)=3tt(ln(t)+1)+21−t21.
(b) We see that w(21)=3(21)21−2arccos(21)=3⋅21−2⋅3π=23−32π. Similarly,
w′(21)=3(21)21(ln(21)+1)+21−(21)21=23(ln(21)+1)+34. Using these values, we find that the tangent line to w at the point (21,w(21) is
L(t)=w(21)+w′(21)(t−21)=(23−32π)+(23(ln(21)+1)+34)(t−21).
(c) To determine whether v is increasing or decreasing at t=21, we compute v′(21). First, v′(t)=tt(ln(t)+1)−1−t21. Hence,
v′(21)=(21)21(ln(21)+1)−1−(21)21≈−0.93772. Since v′(21) is negative, v is decreasing at t=21.
f(x)=ax 라 하자. 이 문제의 목표는 이 절의 앞부분에서 제시하고 사용했던 dxd[ax] 의 공식을 안다고 가정하지 않고, a 의 값이 f(x) 의 도함수에 어떤 영향을 주는지 알아보는 것이다.
(a) 도함수의 극한 정의를 이용하여 다음을 보이세요.
f′(x)=h→0limhax⋅ah−ax.
(b) 다음 등식도 성립하는 이유를 설명하세요.
f′(x)=ax⋅h→0limhah−1.
(c) 계산 도구와 작은 h 의 값을 이용하여 a=2 일 때
L=h→0limhah−1
의 값을 어림하세요. a=3 일 때도 마찬가지로 하세요.
(d) 극한 L 의 값이 1 이면 이상적이라는 점에 주목하자. 그러면 f 는 매우 특별한 함수가 되는데, 그 도함수가 단지 ax 이므로 도함수가 자기 자신이 되기 때문이다. 2 와 3 사이의 여러 a 의 값을 시험해 보면서
L=h→0limhah−1=1
이 되는 a 의 값을 찾아보세요.
(e) ln(2) 와 ln(3) 의 값을 계산하세요. (b)와 (c)에서 한 작업은 dxd[2x] 와 dxd[3x] 에 대해 어떤 사실을 암시하나요?
(f) (d)에서 한 탐구는 함수 f(x)=ex 에 관한 어떤 특별히 중요한 사실로 이어지나요?
영어 원문 보기
Let f(x)=ax. The goal of this problem is to explore how the value of a affects the derivative of f(x), without assuming we know the rule for dxd[ax] that we have stated and used in earlier work in this section.
(a) Use the limit definition of the derivative to show that
f′(x)=h→0limhax⋅ah−ax.
(b) Explain why it is also true that
f′(x)=ax⋅h→0limhah−1.
(c) Use computing technology and small values of h to estimate the value of
L=h→0limhah−1
when a=2. Do likewise when a=3.
(d) Note that it would be ideal if the value of the limit L was 1, for then f would be a particularly special function: its derivative would be simply ax, which would mean that its derivative is itself. By experimenting with different values of a between 2 and 3, try to find a value for a for which
L=h→0limhah−1=1.
(e) Compute ln(2) and ln(3). What does your work in (b) and (c) suggest is true about dxd[2x] and dxd[3x]?
(f) How do your investigations in (d) lead to a particularly important fact about the function f(x)=ex?
정답·풀이 보기
(a) 정의에 의해
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x).f(x)=ax 이고 ax+h=ax⋅ah 임을 이용하면
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhax+h−ax=h→0limhax⋅ah−ax=h→0limhax(ah−1), 이다. 여기서 마지막 등호는 분자의 각 항에서 공통인수 ax 을 묶어 내면 성립한다.
(b) ax 은 h 에 전혀 의존하지 않으므로, 이 극한에서 ax 을 상수로 취급할 수 있다. 따라서
f′(x)=h→0limhax(ah−1)=ax⋅h→0limhah−1. 이는 ax 의 도함수가 ax 의 어떤 상수 배임을 알려 준다. (그리고 그 상수의 값은 limh→0hah−1 이어야 한다.)
(c) h=±0.0001 을 이용하면, a=2 일 때 L≈0.6931 이고 a=3 일 때 L≈1.0986 인 것으로 보인다.
(d) 시험해 보면, 먼저 a≈2.7 임을 알 수 있다(L≈0.993 이므로 a 는 2.7 보다 조금 더 커야 한다). L 이 1 에 점점 더 가까워지는 a 의 값을 계속 시험하면 a≈2.71828 을 얻는다(L≈1.000 이 되는 값).
(e) ln(2)≈0.6931 이고 ln(3)≈1.0986 임에 주목하자. 이 값들은 a=2 와 a=3 일 때
h→0limhah−1
의 값과 일치하므로,
dxd[2x]=2x⋅ln(2)
그리고
dxd[3x]=3x⋅ln(3)
이라고 추측한다.
(f) 위의 작업은 dxd[ax]=ax⋅ln(a) 임을 암시하며, a=e≈2.71828 일 때
dxd[ex]=ex⋅ln(e)=ex
이다. 따라서 ex 은 매우 특별한 함수이다. 그 도함수가 자기 자신이다!
원본 교재 풀이(영어)
(a) By definition,
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x). Using the fact that f(x)=ax along with ax+h=ax⋅ah, we have
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhax+h−ax=h→0limhax⋅ah−ax=h→0limhax(ah−1), where the last equality follows by removing the common factor of ax from each term in the numerator.
(b) Since ax does not depend at all on h, we may treat ax as constant in the noted limit. Thus,
f′(x)=h→0limhax(ah−1)=ax⋅h→0limhah−1. Note that this tells us that the derivative of ax is some constant multiple of ax (and that the constant's values must be limh→0hah−1.)
(c) Using h=±0.0001, it appears that when a=2, L≈0.6931, while when a=3, L≈1.0986.
(d) By experimenting, we see first that a≈2.7 (for which L≈0.993, so a needs to be slightly bigger than 2.7). Continuing to try values of a that result in L being closer and closer to 1, we find a≈2.71828 (for which L≈1.000)
(e) We note that ln(2)≈0.6931 and ln(3)≈1.0986. Since these values correspond to the values of
h→0limhah−1
when a=2 and a=3, we conjecture that
dxd[2x]=2x⋅ln(2)
and
dxd[3x]=3x⋅ln(3)
(f) Our work suggests that dxd[ax]=ax⋅ln(a), and when a=e≈2.71828, it follows that
dxd[ex]=ex⋅ln(e)=ex
Thus, ex is a very special function: its derivative is itself!
g 가 미분가능한 함수이고 g′(2)=0 이라 하자. 또한 1<x<2 와 2<x<3 에서 g′(x) 가 양수임이 알려져 있다고 하자.
(a) x=2 에서 g 는 극댓값, 극솟값을 갖는지, 아니면 둘 다 갖지 않는지 답하세요. 그 이유는 무엇인가요?
(b) 1<x<3 인 모든 x 에 대해 g′′(x) 가 존재한다고 하자. 그래프를 이용하여 추론하여, 2 에 가까운 x 의 값에서 g′′(x) 의 변화 양상을 설명하세요.
(c) x=2 가 g 의 임계수라는 점 외에, g 의 그래프의 모양 측면에서 x=2 라는 값이 갖는 특별한 점은 무엇인가요?
영어 원문 보기
Suppose that g is a differentiable function and g′(2)=0. In addition, suppose that on 1<x<2 and 2<x<3 it is known that g′(x) is positive.
(a) Does g have a local maximum, local minimum, or neither at x=2? Why?
(b) Suppose that g′′(x) exists for every x such that 1<x<3. Reasoning graphically, describe the behavior of g′′(x) for x-values near 2.
(c) Besides being a critical number of g, what is special about the value x=2 in terms of the behavior of the graph of g?
정답·풀이 보기
(a) f′ 가 x=2 에서 부호가 바뀌지 않으므로 g 는 x=2 에서 극댓값도 극솟값도 갖지 않는다.
(b) g′(2)=0 이고 1<x<2 와 2<x<3 에서 g′ 가 양수이므로, 1<x<2 에서 g′ 는 감소하고 2<x<3 에서 g′ 는 증가해야 한다. g′ 가 x=2 에서 감소에서 증가로 바뀌므로 g′ 는 x=2 에서 극솟값을 갖고, 따라서 g′′(2)=0 이다. 또한 g′′(x) 는 x=2 에서 음수에서 양수로 부호가 바뀌어야 한다. 즉, 1<x<2 에서 g′′ 는 음수이고 2<x<3 에서 g′′ 는 양수이다.
(c) g 는 x=2 에서 수평인 접선을 갖고, x=2 이전에는 증가하며 x=2 이후에는 감소하고, x=2 이전에는 위로 볼록이며 x=2 이후에는 아래로 볼록이므로, g 는 x=2 에서 변곡점을 갖는다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) g has neither a local maximum nor local minimum at x=2 because f′ does not change sign at x=2.
(b) Because g′(2)=0 and g′ is positive for 1<x<2 and for 2<x<3, it must be that g′ is decreasing for 1<x<2 and g′ is increasing for 2<x<3. Since g′ changes from decreasing to increasing at x=2, it follows that g′ has a local minimum at x=2 and thus g′′(2)=0. In addition, g′′(x) must change sign from negative to positive at x=2. In particular, g′′ is negative for 1<x<2 and positive for 2<x<3.
(c) g has a horizontal tangent line at x=2, is increasing before x=2 and decreasing after x=2, and concave down before x=2 and concave up after x=2, and thus g has a point of inflection at x=2.
함수 g(x) 가 x=2 인 모든 x 의 값에서 연속이고, 그 1계 도함수가 g′(x)=x−2(x+4)(x−1)2 라고 하자. 또한 g 가 x=2 에서 수직 점근선을 갖는 것으로 알려져 있다고 가정하자.
(a) g 의 모든 임계수를 구하세요.
(b) 1계 도함수의 부호표를 정확히 표기하여 만들고, 각 임계수에서 g 가 극댓값을 갖는지, 극솟값을 갖는지, 아니면 둘 다 갖지 않는지 판단하세요. 참고: g′(x) 는 g(x) 의 수직 점근선에서 부호가 바뀔 수 있음에 유의하세요.
(c) g 는 최댓값을 갖나요? 최솟값을 갖나요? 그 근거를 설명하세요.
(d) limx→∞g′(x) 의 값은 얼마인가요? 이 극한값은 g 의 장기적인 변화 양상에 대해 무엇을 말해 주나요?
(e) y=g(x) 의 가능한 그래프를 그리세요.
영어 원문 보기
Suppose that g(x) is a function continuous for every value of x=2 whose first derivative is g′(x)=x−2(x+4)(x−1)2. Further, assume that it is known that g has a vertical asymptote at x=2.
(a) Determine all critical numbers of g.
(b) By developing a carefully labeled first derivative sign chart, decide whether g has as a local maximum, local minimum, or neither at each critical number. Note: observe that g′(x) can change sign at the vertical asymptote of g(x).
(c) Does g have a global maximum? global minimum? Justify your claims.
(d) What is the value of limx→∞g′(x)? What does the value of this limit tell you about the long-term behavior of g?
(e) Sketch a possible graph of y=g(x).
정답·풀이 보기
(a) g′(x)=x−2(x+4)(x−1)2 이므로 g′(x)=0 이면 x=−4 또는 x=1 임을 알 수 있다. x=2 는 g′ 을 정의되지 않게 하지만, g 가 x=2 에서 수직 점근선을 갖는다고 하였으므로 x=2 는 g 의 정의역에 속하지 않고, 따라서 엄밀히 말해 g 의 임계수가 아니다. 그럼에도 수직 점근선은 g′ 의 부호가 바뀔 수 있는 위치이므로, 1계 도함수의 부호표에는 x=2 를 표시한다.
(b) 1계 도함수의 부호표는 x<−4 일 때 g′(x)>0, −4<x<1 일 때 g′(x)<0, 1<x<2 일 때 g′(x)<0, x>2 일 때 g′(x)>0 임을 보여 준다. 1계 도함수 판정법에 의해 g 는 x=−4 에서 극댓값을 갖고, x=1 에서는 극댓값도 극솟값도 갖지 않는다. 이 두 값이 유일한 임계수이므로, 극값이 가능한 위치는 이 두 곳뿐이다. (참고: g 가 x=2 에서 감소에서 증가로 바뀌지만, 이는 수직 점근선 때문이며 g 는 그곳에서 극솟값을 갖지 않는다.)
(c) g 는 x→2− 일 때 (이곳에서 g 는 수직 점근선을 갖는다) 감소하므로 g 는 최솟값을 갖지 않는다. x>2 에서 g 는 항상 증가하므로 g 가 최댓값을 갖지 않을 것으로 짐작된다. (다만 g 가 한없이 증가하는지는 확실히 알지 못한다.)
(d) 다음을 관찰하자.
x→∞limg′(x)=(=(=(=(x→∞limx−2(x+4)(x−1)2x→∞limx−2x3+2x2−7x+4⋅x1x1x→∞lim1−x2x2+2x−7+x4∞x→∞ 일 때 g′(x)→∞ 이므로, 이는 x→∞ 일 때 g 가 한없이 증가함을 말해 준다.
(e) 위의 모든 풀이로부터 g 는 x=−4 에서 극댓값을 갖고, x=1 에서는 극댓값도 극솟값도 갖지 않으면서 수평인 접선을 가지며, x=2 에서 수직 점근선을 갖고, 또한 x→∞ 일 때 g 와 g′ 이 모두 한없이 증가함을 알 수 있다. 따라서 g 의 가능한 그래프는 다음과 같다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Since g′(x)=x−2(x+4)(x−1)2, we see that g′(x)=0 implies that x=−4 or x=1. While x=2 makes g′ undefined, we are told that g has a vertical asymptote at x=2, so x=2 is not in the domain of g, and hence is technically not a critical number of g. Nonetheless, we place x=2 on our first derivative sign chart since the vertical asymptote is a location at which g′ may change sign.
(b) The first derivative sign chart shows that g′(x)>0 for x<−4, g′(x)<0 for −4<x<1, g′(x)<0 for 1<x<2, and g′(x)>0 for x>2. By the first derivative test, g has a local maximum at x=−4 and neither a max nor min at x=1. As these are the only two critical numbers, these are the only two locations for possible extremes. (Note: although g changes from decreasing to increasing at x=2, this is due to a vertical asymptote, and g does not have a minimum there.)
(c) Because g is decreasing as x→2− (where g has a vertical asymptote), g does not have a global minimum. For x>2, g is always increasing, which suggests that g does not have a global maximum (though we do not know for sure that g increases without bound).
(d) We observe that
x→∞limg′(x)=(=(=(=(x→∞limx−2(x+4)(x−1)2x→∞limx−2x3+2x2−7x+4⋅x1x1x→∞lim1−x2x2+2x−7+x4∞
Since g′(x)→∞ as x→∞, this tells us that g increases without bound as x→∞.
(e) From all of our work above, we know that g has a local maximum at x=−4, a horizontal tangent line with neither a max nor min at x=1, and a vertical asymptote at x=2, plus g and g′ both increase without bound as x→∞. Thus, a possible graph of g is the following.
(a) p 의 이계도함수 부호표를 만들고, p 의 모든 변곡점을 구하세요.
(b) x=25−1 가 p 의 임계점임을 추가로 안다고 하자. x=25−1 에서 p 는 극솟값, 극댓값, 또는 둘 다 아닌 값 중 어느 것을 가지는지 판단하세요. 그 이유는 무엇인지 설명하세요.
(c) 점 (2,e212) 이 y=p(x) 의 그래프 위에 있고 p′(2)=−e25 일 때, x=2 인 점에서 y=p(x) 의 접선의 방정식을 구하세요. 이 값에서 접선은 곡선의 위쪽에 있는지, 아래쪽에 있는지, 아니면 어느 쪽도 아닌지 판단하세요. 그 이유는 무엇인지 설명하세요.
영어 원문 보기
Let p be a function whose second derivative is p′′(x)=(x+1)(x−2)e−x.
(a) Construct a second derivative sign chart for p and determine all inflection points of p.
(b) Suppose you also know that x=25−1 is a critical number of p. Does p have a local minimum, local maximum, or neither at x=25−1? Why?
(c) If the point (2,e212) lies on the graph of y=p(x) and p′(2)=−e25, find the equation of the tangent line to y=p(x) at the point where x=2. Does the tangent line lie above the curve, below the curve, or neither at this value? Why?
정답·풀이 보기
(a) p′′(x)=0 이 되는 것은 x=−1 과 x=2 일 때이다. p 의 이계도함수 부호표를 보면 −1<x<2 일 때 p′′(x) 는 음수이고, x 의 그 밖의 모든 값에서는 양수이다. p′′ 의 부호가 x=−1 과 x=2 에서 바뀌므로 p 는 x=−1 과 x=2 에서 변곡점을 가진다. 특히 p 는 −1<x<2 에서 위로 볼록이고, x 의 그 밖의 모든 값에서는 아래로 볼록이다.
(b) p′′(25−1) 를 계산하면 p′′(25−1)≈−1.205 이므로, p 는 x=25−1 에서 위로 볼록이다. 이 점에서 p 의 접선이 수평이므로, 이계도함수 판정법에 의해 p 는 x=25−1 에서 극댓값을 가진다.
(c) p(2)=e212 이고 p′(2)=−e25 이므로, x=2 에서 p 의 접선의 방정식은 y=−e25(x−2)+e212 이다. x=2 에서 접선이 y=p(x) 의 그래프의 위쪽에 있는지 아래쪽에 있는지 판단하기 위해 p 의 오목·볼록을 살펴본다. p′′(2)=0 이고 p 는 x=2 의 왼쪽에서 위로 볼록, 오른쪽에서 아래로 볼록임을 상기하자. 따라서 접선은 x=2 에서 y=p(x) 의 그래프 아래쪽에만 있거나 위쪽에만 있지 않으며, x=2 의 오른쪽에서는 y=p(x) 의 아래쪽에, x=2 의 왼쪽에서는 y=p(x) 의 위쪽에 있다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Note that p′′(x)=0 at x=−1 and x=2. The second derivative sign chart for p shows that p′′(x) is negative for −1<x<2 and positive for all other values of x. Since p′′ changes sign at x=−1 and x=2, p has points of inflection at x=−1 and x=2. In particular, p is concave down for −1<x<2 and concave up for all other values of x.
(b) If we compute p′′(25−1), we find that p′′(25−1)≈−1.205, which means that p is concave down at x=25−1. Since p has a horizontal tangent line at this point, it follows that p has a local maximum at x=25−1 by the second derivative test.
(c) Since p(2)=e212 and p′(2)=−e25, the equation of the tangent line to p at x=2 is given by y=−e25(x−2)+e212. To determine whether the tangent line lies above or below the graph of y=p(x) at x=2, we consider the concavity of p. Recall we know that p′′(2)=0 and that p is concave down to the left of x=2 and concave up to the right. Thus, the tangent line lies neither solely below nor solely above the graph of y=p(x) at x=2; it lies below y=p(x) to the right of x=2 and above y=p(x) to the left of x=2.
(a) 각 함수가 3차 다항식이며 x=0 에서 중복된 영점을, x=a 에서 또 다른 영점을 갖는다는 사실을 이용하여, 이 함수족의 대표적인 한 함수의 그래프를 그리세요.
(b) p 의 모든 임계점을 구하세요.
(c) p′′ 을 구하고 p′′(x)=0 인 모든 값을 구하세요. 이를 바탕으로 p 의 이계도함수 부호표를 만드세요.
(d) a 가 변함에 따라 p 의 임계점과 변곡점의 위치가 어떻게 변하는지 설명하세요. 즉, a 의 값이 커지면 임계점과 변곡점은 어떻게 되는지 설명하세요.
영어 원문 보기
Consider the one-parameter family of functions given by p(x)=x3−ax2, where a>0.
(a) Sketch a plot of a typical member of the family, using the fact that each is a cubic polynomial with a repeated zero at x=0 and another zero at x=a.
(b) Find all critical numbers of p.
(c) Compute p′′ and find all values for which p′′(x)=0. Hence construct a second derivative sign chart for p.
(d) Describe how the location of the critical numbers and the inflection point of p change as a changes. That is, if the value of a is increased, what happens to the critical numbers and inflection point?
정답·풀이 보기
(a) p(x)=x3−ax2=x2(x−a) 로 쓰면 x=0 과 x=a 에서 p(x)=0 임을 알 수 있다. 또 모든 x 에 대해 x2≥0 이므로, x<a 일 때마다 p(x)≤0 이고 모든 x>a 에 대해 p(x)>0 임을 알 수 있다. 이러한 함수의 대표적인 예를 아래에 그렸다.
(b) p 의 임계점을 구하기 위해 먼저 p′(x) 를 구한다. a 를 상수로 보면 p′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a) 이다. 따라서 p′(x)=0 으로 놓으면 x(3x−2a)=0 이므로 x=0 과 x=32a 가 p 의 임계점이다.
(c) p′′(x)=6x−2a 이므로 p′′(x)=0 에서 x=3a 이다. p′′(x) 는 기울기가 양인 일차함수이므로 x=3a 에서 p′′(x) 의 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 p 는 x<3a 에서 위로 볼록, x>3a 에서 아래로 볼록이며, x=3a 는 p 의 유일한 변곡점이다.
(d) x=0 은 항상 p 의 임계점이다. 그러나 x=32a 에 있는 다른 임계점과 x=3a 에 있는 변곡점은 모두 a 에 직접 의존함이 분명하다. a 의 값을 키우면 이 임계점과 변곡점의 위치가 모두 a 와 함께 오른쪽으로 이동한다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Writing p(x)=x3−ax2=x2(x−a), we see that p(x)=0 at x=0 and x=a. Further, since x2≥0 for all x, we note that p(x)≤0 whenever x<a and p(x)>0 for all x>a. A typical such function is plotted below.
(b) To find the critical numbers of p, we first compute p′(x). Treating a as constant, we have p′(x)=3x2−2ax=x(3x−2a). Thus, setting p′(x)=0, we find that x(3x−2a)=0 and thus x=0 and x=32a are the critical numbers of p.
(c) Observe that p′′(x)=6x−2a and thus p′′(x)=0 implies that x=3a. Since p′′(x) is linear with positive slope, we see that p′′(x) changes sign from negative to positive at x=3a, and thus p is concave down for x<3a and concave up for x>3a and x=3a is the only inflection point of p.
(d) There is always a critical number of p at x=0. But the other critical number at x=32a and the inflection point at x=3a both obviously depend directly on a: as we increase the value of a, both the location of the critical number and the inflection point move to the right along with a.
(a) q 가 x=c 에서 수직 점근선을 갖는 이유를 설명하세요.
(b) limx→∞q(x) 와 limx→−∞q(x) 를 구하세요.
(c) q′(x) 를 구하고, q 의 모든 임계수를 구하세요.
(d) q 의 일계도함수 부호표를 만들고, 각 임계수가 함수 q 의 극솟값, 극댓값, 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것으로 이어지는지 판단하세요.
(e) 이 함수족의 대표적인 함수 하나의 그래프를 중요한 성질을 분명히 표시하여 그리세요.
영어 원문 보기
Let q(x)=x−ce−x be a one-parameter family of functions where c>0.
(a) Explain why q has a vertical asymptote at x=c.
(b) Determine limx→∞q(x) and limx→−∞q(x).
(c) Compute q′(x) and find all critical numbers of q.
(d) Construct a first derivative sign chart for q and determine whether each critical number leads to a local minimum, local maximum, or neither for the function q.
(e) Sketch a typical member of this family of functions with important behaviors clearly labeled.
정답·풀이 보기
(a) x=c 에서 분자의 값은 e−c=0 이고, 분모의 값은 x=c 에서 0 이다. 따라서 limx→c+x−ce−x=∞ 이고 limx→c−x−ce−x=−∞ 이다. 그러므로 직선 x=c 는 q 의 수직 점근선이다.
(b) q(x) 를 q(x)=(x−c)ex1 로 쓸 수 있으므로, x→∞ 일 때 분모가 한없이 커짐을 알 수 있다. 따라서 limx→∞x−ce−x=0 이다. 그러므로 직선 y=0 은 q 의 수평 점근선이다. x→−∞ 일 때 e−x 는 한없이 커지고 (x−c) 는 한없이 작아진다. 따라서 x→−infty 일 때 q 는 부정형이다. 로피탈의 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
x→−∞limx−ce−x=x→−∞lim1−e−x=−∞.
(c) q(x)=(x−c)ex1 를 이용하여 몫의 미분법과 곱의 미분법을 쓰고 식을 정리하면 다음과 같다.
q′(x)=−(x−c)2(ex)2(x−c)ex+ex=−(x−c)2exx−c+1. 함수 q 의 임계점은 정의역 안에서 q′(x)=0 이거나 q′(x) 가 존재하지 않는 곳에 있다. q′(x) 는 x=c 에서 정의되지 않지만, c 는 mq의 정의역에 속하지 않는다. 따라서 q 의 임계점은 q′(x)=0 일 때만 생긴다. 분수 q′(x) 가 0 이 되는 경우는 분자가 0 일 때뿐이다. x−c+1=0 이 되는 것은 x=c−1 일 때이므로, q 의 임계수는 x=c−1 하나뿐이다.
(d) 지수함수 ex 와 이차식 (x−c)2 의 값은 x=c 일 때 양수이므로, q′(x)=−(x−c)2exx−c+1 의 부호는 전적으로 x−(c−1) 의 부호에 달려 있다. x<c−1 일 때 q′(x)>0 이고 x>c−1 일 때 q′(x)<0 이다. 따라서 q 는 (−∞,c−1) 에서 증가하고 (c−1,c) 에서 감소하므로, q(c−1) 은 극댓값이다. (b)에서 보인 것처럼 q 의 값은 얼마든지 크게 만들 수 있으므로, 이 값은 극댓값이다.
(e) q(x)=(x−c)ex1 로 주어진 함수족의 대표적인 함수는 x=c 에서 수직 점근선을 갖고, c 의 왼쪽으로 1만큼 떨어진 x=c−1 에서 극댓값을 갖는 임계수가 있음을 보였다. 대표적인 그래프는 아래와 같다. q 가 (d)에서 구한 대로 증가하고 감소하는 모습에 주목하자.
원본 교재 풀이(영어)
(a) The value of the numerator at x=c is e−c=0, while the value of the denominator is 0 at x=c. Thus, limx→c+x−ce−x=∞ and limx→c−x−ce−x=−∞. This makes the line x=c a vertical asymptote for q.
(b) We can write q(x) as q(x)=(x−c)ex1 and thus see the denominator increases without bound as x→∞. Therefore, limx→∞x−ce−x=0. This makes the line y=0 a horizontal asymptote for q. As x→−∞, e−x increases without bound, while (x−c) decreases without bound. Thus, q has an indeterminate form as x→−infty. Applying L'Hopital's Rule gives us
x→−∞limx−ce−x=x→−∞lim1−e−x=−∞.
(c) Using q(x)=(x−c)ex1, the quotient and product rules along with algebraic simplification show that
q′(x)=−(x−c)2(ex)2(x−c)ex+ex=−(x−c)2exx−c+1. The function q has critical points in its domain where q′(x)=0 or q′(x) doesn't exist. Note that q′(x) is undefined at x=c, but c is not in the domain of mq. Thus, the only critical points of q occur when q′(x)=0. The only way the fraction q′(x) can be 0 is if the numerator is 0. Since x−c+1=0 when x=c−1, the only critical number for q is x=c−1.
(d) The values of the exponential function ex and the quadratic (x−c)2 are positive for x=c, so the sign of q′(x)=−(x−c)2exx−c+1 depends entirely on the sign of x−(c−1). When x<c−1 we see that q′(x)>0 and when x>c−1 we have q′(x)<0. Thus, q is increasing on (−∞,c−1) and is decreasing on (c−1,c), so it follows that q(c−1) is a relative maximum value. This value is a local maximum, since the value of q can be made as large as we like as shown in part (b).
(e) We've shown that a typical member of the family of functions given by q(x)=(x−c)ex1 has a vertical asymptote at x=c and a critical number at which a local maximum occurs one unit to the left of c at x=c−1. A typical such graph is shown below. Note how q is increasing and decreasing according to our earlier work in (d).
E(x)=e−2s2(x−m)2 이라 하세요. 여기서 m 은 임의의 실수이고 s 는 양의 실수입니다.
(a) E′(x) 를 구하고, 이를 이용하여 E 의 모든 임계수를 구하세요.
(b) E 에 대한 1계 도함수의 부호표를 만들고, 함수의 각 임계수가 극솟값, 극댓값, 또는 둘 다 아닌 것 중 어느 것인지 분류하세요.
(c) E′′(x) 는 다음 식으로 주어짐을 보일 수 있습니다.
E′′(x)=e−2s2(x−m)2(s4(x−m)2−s2).E′′(x)=0 인 x 의 값을 모두 구하세요.
(d) limx→∞E(x) 와 limx→−∞E(x) 를 구하세요.
(e) y=E(x) 의 그래프 위의 중요한 점들이 m 과 s 에 어떻게 의존하는지 분명하게 보이도록, 일반적인 함수 E 의 그래프를 이름을 붙여 그리세요.
영어 원문 보기
Let E(x)=e−2s2(x−m)2, where m is any real number and s is a positive real number.
(a) Compute E′(x) and hence find all critical numbers of E.
(b) Construct a first derivative sign chart for E and classify each critical number of the function as a local minimum, local maximum, or neither.
(c) It can be shown that E′′(x) is given by the formula
E′′(x)=e−2s2(x−m)2(s4(x−m)2−s2). Find all values of x for which E′′(x)=0.
(d) Determine limx→∞E(x) and limx→−∞E(x).
(e) Construct a labeled graph of a typical function E that clearly shows how important points on the graph of y=E(x) depend on m and s.
정답·풀이 보기
(a) m 과 s 를 상수로 보고 연쇄 법칙을 적용하면,
E′(x)=e−2s2(x−m)2⋅dxd[−2s2(x−m)2]=e−2s2(x−m)2⋅[−2s22(x−m)]E′(x) 는 모든 x 의 값에서 정의되므로, 임계수는 E′(x)=0 인 곳에서만 나타난다. e 의 거듭제곱은 결코 0이 되지 않으므로, E′(x)=0 이 되는 방법은 [−2s22(x−m)]=0 인 경우뿐이고, 이로부터 x=m 이다. 따라서 x=m 이 E 의 유일한 임계수이다.
(b) (a)에서 보았듯이 x=m 이 E 의 유일한 임계수이다. 게다가 e 의 거듭제곱은 항상 양수이므로, E′(x) 의 부호는 전적으로 식 −2s22(x−m)=−21(x−m) 에 의해 정해진다. x 의 이 일차함수는 기울기가 음수이므로 x<m 에서 양수이고 x>m 에서 음수이며, 따라서 E′(x) 는 x<m 에서 양수이고 x>m 에서 음수이다. 그러므로 x<m 에서 E 는 증가하고 x>m 에서 E 는 감소하며, x=m 에서 극댓값을 가진다.
(c) 주어진 E′′(x) 의 식과, e 의 거듭제곱은 양수라는 사실로부터, E′′(x)=0 이 되는 방법은
(s4(x−m)2−s2)=0 인 경우뿐이고, 이로부터 (x−m)2=s2 이므로 x−m=±s, 즉 x=m±s 이다. 이 두 값이 E′′(x)=0 이 되는 x 의 값이다.
(d) x→±∞ 일 때, 이차함수 −2s2(x−m)2 은 한없이 감소한다. 이 이차함수의 그래프는 위로 볼록한 포물선이므로 그렇다. 따라서 E(x) 의 식에서 e 의 지수는 한없이 감소하고, e 를 절댓값이 점점 더 큰 음수만큼 거듭제곱하면 그 결과가 0에 가까워지므로 E(x) 는 0 에 가까워진다. 그러므로 limx→∞E(x)=limx→−∞E(x)=0 이다.
(e) E 는 x=m 에서 하나의 임계수를 가지고, x=m±s 에서 변곡점이 될 수 있는 두 점을 가지며, x→±∞ 일 때 E(x)→0 임을 보였다. 이 모든 성질이 다음 그림에 나타나 있다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Treating m and s as constants, by the chain rule,
E′(x)=e−2s2(x−m)2⋅dxd[−2s2(x−m)2]=e−2s2(x−m)2⋅[−2s22(x−m)]
Note that E′(x) is defined for every value of x, thus the only critical numbers occur where E′(x)=0. Since e raised to any power is never zero, the only way that E′(x)=0 is for [−2s22(x−m)]=0, which implies that x=m. Thus, x=m is the only critical number of E.
(b) As we noted in (a), x=m is the only critical number of E. More over, since e to any power is always positive, the sign of E′(x) depends entirely on the expression −2s22(x−m)=−21(x−m). This linear function of x has negative slope, and thus is positive for x<m and negative for x>m, and thus E′(x) is positive for x<m and negative for x>m. Therefore, E is increasing for x<m and decreasing for x>m, with a local maximum at x=m.
(c) From the given formula for E′′(x) and our knowledge that e to any power is positive, the only way E′′(x)=0 is for
(s4(x−m)2−s2)=0, which implies that (x−m)2=s2, and therefore x−m=±s, or x=m±s. These are the two values for which E′′(x)=0.
(d) As x→±∞, we know that the quadratic function −2s2(x−m)2 must decrease without bound because the quadratic function opens down. Thus, the power to which we are raising e in the formula for E(x) is decreasing without bound, which means that E(x) must approach 0 since raising e to more and more negative numbers drives the result to 0. Thus, limx→∞E(x)=limx→−∞E(x)=0.
(e) We've shown that E has a single critical number at x=m and two potential points of inflection at x=m±s, as well as that E(x)→0 as x→±∞. All of these properties are reflected in the following figure.
각 함수에 대해 주어진 정보를 바탕으로, 그 함수가 최댓값만 갖는지, 최솟값만 갖는지, 둘 다 갖지 않는지, 둘 다 갖는지, 아니면 정보가 더 없으면 알 수 없는지 판단하세요. 따로 언급이 없으면 각 함수는 두 번 미분가능하고 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정합니다. 각 경우에 결론을 설명하는 문장을 한 문장씩 쓰세요.
(a) f 는 모든 x 에 대해 f′′(x)<0 인 함수이다.
(b) g 는 임계수가 두 개(a 와 b, 단 a<b)인 함수이고, x<a 일 때 g′(x)<0, a<x<b 일 때 g′(x)<0, x>b 일 때 g′(x)>0 이다.
(c) h 는 임계수가 두 개(a 와 b, 단 a<b)인 함수이고, x<a 일 때 h′(x)<0, a<x<b 일 때 h′(x)>0, x>b 일 때 h′(x)<0 이다. 또한 limx→∞h(x)=0 이고 limx→−∞h(x)=0 이다.
(d) p 는 x=a 를 제외한 모든 곳에서 미분가능한 함수이고, x<a 일 때 p′′(x)>0, x>a 일 때 p′′(x)<0 이다.
영어 원문 보기
Based on the given information about each function, decide whether the function has global maximum, a global minimum, neither, both, or that it is not possible to say without more information. Assume that each function is twice differentiable and defined for all real numbers, unless noted otherwise. In each case, write one sentence to explain your conclusion.
(a) f is a function such that f′′(x)<0 for every x.
(b) g is a function with two critical numbers a and b (where a<b), and g′(x)<0 for x<a, g′(x)<0 for a<x<b, and g′(x)>0 for x>b.
(c) h is a function with two critical numbers a and b (where a<b), and h′(x)<0 for x<a, h′(x)>0 for a<x<b, and h′(x)<0 for x>b. In addition, limx→∞h(x)=0 and limx→−∞h(x)=0.
(d) p is a function differentiable everywhere except at x=a and p′′(x)>0 for x<a and p′′(x)<0 for x>a.
정답·풀이 보기
(a) 정보가 더 없으면 알 수 없다. 예를 들어 함수 f(x)=e−x, f(x)=e−x, f(x)=x2 은 각각 항상 아래로 볼록하지만, 이 중 최솟값을 갖는 것은 하나뿐이다. 항상 아래로 볼록하므로 f 가 최댓값을 가질 수 없고, 최댓값과 최솟값을 모두 가질 수도 없음은 확실히 말할 수 있다. 최솟값을 가질 수도 있고, 둘 다 갖지 않을 수도 있다.
(b) 두 번 미분가능하므로 x 가 g 의 임계수일 때마다 g′(x)=0 임을 안다. 따라서 주어진 구간에서 g′(x) 의 부호로부터, g 는 x=a 이전에 감소하고 a<x<b 에서도 감소하며, x=a 에서 접선이 수평이다. 또한 x>b 에서 g 는 증가한다. 따라서 g 는 x=b 에서 최솟값을 가짐을 알 수 있다.
(c) h 는 x<a 에서 항상 감소하고, a<x<b 에서 항상 증가하며, x>b 에서 항상 감소하므로, h 는 x=a 에서 극솟값을 갖고 x=b 에서 극댓값을 갖는다. 게다가 x→±∞ 일 때 h(x)to0 이므로 이 극값들은 모두 최댓값 또는 최솟값이기도 하다. 특히 x>b 에서 h(x) 는 0 으로 감소하고 a<x<b 에서 증가하므로, h(b) 는 (a,∞) 에서 h(x) 의 가장 큰 값이고 h(b)>0 이다. 마찬가지로 h(x) 는 (−∞,a) 에서 감소하고 x→−∞ 일 때 0 에 가까워지며 a<x<b 에서 증가하므로, h(a) 는 (−∞,b) 에서 h(x) 의 가장 작은 값이고 h(b)<0 이어야 한다. 따라서 x<a 에서 h(x) 는 항상 음수이고 x>b 에서 h(x) 는 항상 양수이다. 이 모든 관찰로부터 h 는 x=a 에서 최솟값을 갖고 x=b 에서 최댓값을 갖는다.
(d) 먼저 가정에 의해 p 는 모든 실수에서 정의되므로 p(a) 는 어떤 유한한 값을 가짐에 주목한다. 그러나 p 는 x=a 에서 미분가능하지 않고, p 는 x=a 의 왼쪽에서 아래로 볼록하며 x=a 의 오른쪽에서 위로 볼록하다. 이는 p 가 x=a 에서 극댓값을 가짐을 나타낸다. 그러나 이 극댓값이 최댓값인지, 또는 p 가 다른 어떤 점에서 최솟값을 갖는지는 판단하기에 주어진 정보가 충분하지 않다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) It's not possible to say without more information: for instance, the functions f(x)=e−x, f(x)=e−x, and f(x)=x2 are each always concave up, but only one of them has a global minimum. We can say for sure that by being always concave up, f cannot have a global maximum, and it also cannot have both a global maximum and a global minimum. It might have a global minimum, or it might have neither.
(b) By being twice differentiable, we know that g′(x)=0 any time x is a critical number of g. Thus, given the signs of g′(x) on the stated intervals, g is decreasing before x=a and decreasing on a<x<b, with a horizontal tangent line at x=a. In addition, g is increasing for x>b. Thus, we know that g has a global minimum at x=b.
(c) Since h is always decreasing for x<a, always increasing for a<x<b, and always decreasing for x>b, we know that h has a local minimum at x=a and a local maximum at x=b. Moreover, these local extremes are both global extremes since h(x)to0 as x→±∞. In particular, since h(x) decreases to 0 for x>b and increases on a<x<b, it follows that h(b) is the largest value of h(x) on (a,∞), and that h(b)>0. Similarly, since h(x) decreases on (−∞,a) and approaches 0 as x→−∞, and h(x) increases on a<x<b, it must be the case that h(a) is the least value of h(x) on (−∞,b) and that h(b)<0. Hence, h(x) is always negative on x<a and h(x) is always positive on x>b. From all of these observations, it follows that h has a global minimum at x=a and a global maximum at x=b.
(d) First, observe that p is defined for all real numbers by assumption, so p(a) has some finite value. However, p is not differentiable at x=a and p is concave up to the left of x=a and concave down to the right of x=a. This indicates that p has a relative maximum at x=a. Not enough information is provided, however, to determine if this relative maximum is a global maximum, nor if p happens to have a global minimum at some other point.
For each family of functions that depends on one or more parameters, determine the function's absolute maximum and absolute minimum on the given interval.
(a) [0,a]에서 p(x)=x3−a2x가 주어졌으므로, 먼저 [0,a]에 속하는 p의 임계수를 구한다. p′(x)=3x2−a2=3(x2−3a2)이므로 p는 x=±3a에서 임계수를 가진다. 음의 임계수는 구간 밖에 있고, 양의 임계수는 0<31<1이므로 구간 안에 있다. 양 끝점과 구간 안의 임계수에서 p의 값을 구하면 p(0)=0, p(a)=a3−a2⋅a=0, p(3a)=(3a)3−a2⋅(3a)=33a3−3a3=−332a3이다. 따라서 [0,a]에서 p의 최댓값은 p(0)=p(a)=0이고 최솟값은 p(3a)=−332a3이다.
(b) [2b1,b2]에서 r(x)=axe−bx가 주어졌으므로, 먼저 주어진 구간에 속하는 r의 임계수를 구한다. 곱의 미분법에 의해 r′(x)=axe−bx(−b)+e−bxa이다. 인수분해하면 r′(x)=ae−bx(−bx+1)이므로 r의 임계수는 x=b1 하나뿐이다. b>1이므로 2b1<b1<b이고, 따라서 임계수는 구간 안에 있다.
양 끝점과 임계수에서 r의 값을 구하면 다음과 같다.
r(2b1)=a⋅2b1⋅e−1/2≈0.6072ba=0.3035ba
r(b2)=a⋅b2⋅e−2≈0.135b2a=0.270ba
r(b1)=a⋅b1⋅e−1≈0.368ba
따라서 r의 최댓값은 r(b1)≈0.368ba이고 최솟값은 r(b2)≈0.270ba이다.
(c) [b,3b]에서 w(x)=a(1−e−bx)에 대해, 먼저 w′(x)=a(be−bx)=abe−bx이다. a와 b는 모두 양수이고 모든 x의 값에 대해 e−bx도 양수이므로, 모든 x의 값에 대해 w′(x)>0임을 알 수 있다. w는 항상 증가하므로(특히 [b,3b]에서), w는 왼쪽 끝점(g(b)=a(1−e−b2))에서 최솟값을, 오른쪽 끝점(g(3b)=a(1−e−3b2))에서 최댓값을 가진다.
(d) 마지막으로 [3kπ,6k5π]에서 s(x)=sin(kx)에 대해, s′(x)=kcos(kx)이고 어떤 정수 n에 대해 kx=2π±nπ일 때 cos(kx)=0이므로 x=2kπ±nπ=2kπ±2nπ이다. 이 x의 값들이 s의 임계수이다. n=−1,0,1일 때 해당하는 임계수는 다음과 같다.
x=−2kπ,2kπ,2k3π−2π, 2kπ, 2k3π의 값을 3π 및 65π과 비교하면, 2kπ만 주어진 구간 [3kπ,6k5π] 안에 있음을 알 수 있다. 따라서 x=2kπ가 s의 값을 구해야 하는 유일한 임계수이다.
양 끝점과 해당 임계수에서 s의 값을 구하면 다음과 같다.
s(3kπ)=sin(k⋅3kπ)=sin(3π)=23;
s(6k5π)=sin(k⋅6k5π)=sin(65π)=21;
s(2kπ)=sin(k⋅2kπ)=sin(2π)=1.
따라서 [3kπ,6k5π]에서 s의 최댓값은 s(2kπ)=1이고 s의 최솟값은 s(6k5π)=21이다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) Given p(x)=x3−a2x on [0,a], we first find the critical number(s) of p that lie in [0,a]. Since p′(x)=3x2−a2=3(x2−3a2), we know p has critical numbers at x=±3a. The negative critical number lies outside the interval, while the positive one lies within the interval since 0<31<1. Evaluating p at the endpoints and the critical number within the interval, we find that p(0)=0, p(a)=a3−a2⋅a=0, and p(3a)=(3a)3−a2⋅(3a)=33a3−3a3=−332a3. Hence, the absolute maximum of p on [0,a] is p(0)=p(a)=0 and the absolute minimum is p(3a)=−332a3.
(b) Given r(x)=axe−bx on [2b1,b2], we first find the critical numbers of r that lie in the given interval. Note that by the product rule, r′(x)=axe−bx(−b)+e−bxa. Factoring, r′(x)=ae−bx(−bx+1), and thus the only critical number of r occurs where x=b1. Note that 2b1<b1<b since b>1, and thus the critical number lies within the interval.
Evaluating r at the endpoints and the critical number, we find
r(2b1)=a⋅2b1⋅e−1/2≈0.6072ba=0.3035ba
r(b2)=a⋅b2⋅e−2≈0.135b2a=0.270ba
r(b1)=a⋅b1⋅e−1≈0.368ba
The absolute max of r is therefore r(b1)≈0.368ba and the absolute min is r(b2)≈0.270ba.
(c) For w(x)=a(1−e−bx) on [b,3b], we first note that w′(x)=a(be−bx)=abe−bx. Since a and b are both positive and so is e−bx for every value of x, we see that w′(x)>0 for every value of x. Because w is always increasing (specifically on [b,3b]), w has its absolute minimum at the left endpoint (g(b)=a(1−e−b2)) and its absolute maximum at the right endpoint (g(3b)=a(1−e−3b2)).
(d) Finally, for s(x)=sin(kx) on [3kπ,6k5π], we know s′(x)=kcos(kx), and cos(kx)=0 when kx=2π±nπ for some integer n, so x=2kπ±nπ=2kπ±2nπ. These x-values are the critical numbers of s. Note that when n=−1,0,1, the corresponding critical numbers are
x=−2kπ,2kπ,2k3π
Comparing the values of −2π, 2kπ, and 2k3π to 3π and 65π, we see that only 2kπ lies in the given interval [3kπ,6k5π], and thus x=2kπ is the only critical number at which we need to evaluate s.
Evaluating s at the endpoints and relevant critical number, we find:
s(3kπ)=sin(k⋅3kπ)=sin(3π)=23;
s(6k5π)=sin(k⋅6k5π)=sin(65π)=21; and
s(2kπ)=sin(k⋅2kπ)=sin(2π)=1.
Hence the absolute max of s on [3kπ,6k5π] is s(2kπ)=1 and the absolute min of s is s(6k5π)=21.
아래에 설명된 각 함수([a,b]에서 연속)에 대하여, 구간 [a,b]에서 함수의 최댓값과 최솟값이 어디에서 나타나는지 말하거나, 결론을 내리기에 주어진 정보가 충분하지 않다고 말하세요. 문제에 언급된 임계수는 그 함수가 [a,b]에서 갖는 임계수 전부라고 가정하세요. 각 경우에 답의 이유를 한 문장으로 쓰세요.
(a) [a,b]의 모든 x에 대해 f′(x)≤0
(b) g는 a<c<b인 c에서 임계수를 가지며, x<c일 때 g′(x)>0이고 x>c일 때 g′(x)<0
(c) h(a)=h(b)이고 [a,b]의 모든 x에 대해 h′′(x)<0
(d) p(a)>0, p(b)<0이고, a<c<b인 임계수 c에 대해 x<c일 때 p′(x)<0이고 x>c일 때 p′(x)>0
영어 원문 보기
For each of the functions described below (each continuous on [a,b]), state the location of the function's absolute maximum and absolute minimum on the interval [a,b], or say there is not enough information provided to make a conclusion. Assume that any critical numbers mentioned in the problem statement represent all of the critical numbers the function has in [a,b]. In each case, write one sentence to explain your answer.
(a) f′(x)≤0 for all x in [a,b]
(b) g has a critical number at c such that a<c<b and g′(x)>0 for x<c and g′(x)<0 for x>c
(c) h(a)=h(b) and h′′(x)<0 for all x in [a,b]
(d) p(a)>0, p(b)<0, and for the critical number c such that a<c<b, p′(x)<0 for x<c and p′(x)>0 for x>c
정답·풀이 보기
(a) [a,b]의 모든 x에 대해 f′(x)≤0이라는 것은 이 구간에서 f가 증가할 수 없다는 뜻이다. 따라서 이 구간에서 f는 상수이거나 어딘가에서 f가 감소한다. 그러므로 f의 최댓값은 x=a에서, 최솟값은 x=b에서 나타난다고 결론지을 수 있다.
(b) 주어진 정보에 따르면 g는 (a,c)에서 증가하고 (c,b)에서 감소한다. 따라서 g는 x=c에서 최댓값을 갖는다. g의 최솟값은 x=a 또는 x=b에서 나타나야 한다. 주어진 정보만으로는 g가 (a,c)에서 얼마나 증가하고 (c,b)에서 얼마나 감소하는지 알 수 없으므로, g가 최솟값을 갖는 끝점이 어느 쪽인지는 판단할 수 없다.
(c) h(a)=h(b)이고 [a,b]의 모든 x에 대해 h′′(x)<0이려면, h의 그래프는 구간 [a,b]에서 위로 볼록한, 즉 아래쪽으로 열린 포물선과 비슷한 모양이어야 한다. 따라서 h는 x=a와 x=b에서 최솟값을 갖고 (a,b) 안의 어딘가에서 최댓값을 갖지만, h가 최댓값을 갖는 정확한 점은 알 수 없다.
(d) 주어진 정보에 따르면 p의 그래프는 (a,c)에서 감소한 다음 (c,b)에서 증가한다. 따라서 p(c)<p(b)여야 하고, p는 x=c에서 최솟값을 갖는다. p(a)>p(b)이므로 p(a)가 [a,b]에서 p의 최댓값이 된다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) The fact that f′(x)≤0 for all x in [a,b] means that f cannot increase in this interval. So either f is constant or f decreases somewhere in this interval. We can conclude that the global maximum value of f occurs at x=a and the global minimum value at x=b.
(b) The information we are given shows that g is increasing on (a,c) and decreasing on (c,b). So g has a global maximum value at x=c. We know that g must have a global minimum at either x=a or x=b. The information given does not tell us how much g increases on (a,c) and decreases on (c,b), so we cannot determine the endpoint at which g attains its global minimum value.
(c) In order for h(a)=h(b) and h′′(x)<0 for all x in [a,b], the graph of h must look something like a parabola that opens down on the interval [a,b]. Consequently, h has its global minimum at x=a and x=b, and its global maximum somewhere in (a,b), but we do not know the exact point at which h attains its global maximum.
(d) The given information forces the graph of p to decrease on (a,c) then increase on (c,b). Thus, we must have p(c)<p(b) and so p has its global minimum value at x=c. Since p(a)>p(b), this makes p(a) the global maximum value of p on [a,b].
Let s(t)=3sin(2(t−6π))+5. Find the exact absolute maximum and minimum of s on the provided intervals by testing the endpoints and finding and evaluating all relevant critical numbers of s.
(a) s(t)=3sin(2(t−6π))+5 에서 s′(t)=3cos(2(t−6π))⋅2=6cos(2(t−6π)) 이다. 따라서 s′(t)=0 일 필요충분조건은 cos(2(t−6π))=0 이고, 그러므로 어떤 정수 k 에 대해 2(t−6π)=2π±kπ 이다. 이 방정식을 t 에 대해 풀면 t−6π=4π±2kπ 이므로
t=6π+4π±2kπ=125π±2kπ. 이제 주어진 구간 [6π,67π] 을 생각하자. 이 구간은 [122π,1214π] 로 볼 수 있다. t=125π 는 이 구간에 속하고, t=125π+2π=1211π 도 속한다. 따라서 구간 안에 s 의 값을 계산해야 할 임계수가 두 개 있고, 양 끝점에서도 값을 계산한다.
계산하면 다음과 같다.
s(125π)=8;
s(1211π)=2;
s(6π)=5; 그리고
s(67π)=5.
따라서 [6π,67π] 에서 s 의 최댓값은 s(125π)=8 이고, 최솟값은 s(1211π)=2 이다.
(b) (a)의 풀이에서 s 의 임계수는 t=125π±2kπ 임을 알 수 있다. 구간 [0,2π] 에서는 t=125π 만 구간에 속한다. 따라서 s 의 값을 계산할 점은 세 개이다.
계산하면:
s(125π)=8;
s(0)=3sin(2(0−6π))+5=3sin(−3π)+5=5−233≈2.402; 그리고
s(2π)=3sin(2(2π−6π))+5=3sin(32π)+5=5+233≈7.598.
따라서 [0,2π] 에서 s 의 최댓값은 s(125π)=8 이고, 최솟값은 s(0)=5−233≈2.402 이다.
(c) t=0 부터 t=2π 까지의 구간에서 s 는 거의 두 주기를 완전히 지나므로 최댓값과 최솟값을 모두 갖는다. 최댓값은 (a)에서 구한 대로 8 이고, 최솟값은 2 이다. 예를 들어 s(125π)=8 이고, 최솟값은 s(1211π)=2 이다. 주어진 구간에서 함수가 이 값들을 갖는 다른 점들도 있다.
(d) 구간 [3π,65π]=[124π,1210π] 에서는 임계수 t=125π 만 구간에 속한다. 따라서 s 의 값을 계산할 점은 세 개이다.
계산하면:
s(125π)=8;
s(3π)=3sin(2(3π−6π))+5=3sin(3π)+5=233+5≈7.598; 그리고
s(65π)=3sin(2(65π−6π))+5=3sin(34π)+5=5−233≈2.402.
따라서 [3π,65π] 에서 s 의 최댓값은 s(125π)=8 이고, 최솟값은 s(65π)≈2.402 이다.
원본 교재 풀이(영어)
(a) For s(t)=3sin(2(t−6π))+5, s′(t)=3cos(2(t−6π))⋅2=6cos(2(t−6π)). It follows that s′(t)=0 if and only if cos(2(t−6π))=0, and thus 2(t−6π)=2π±kπ for some integer value of k. Solving this most recent equation for t, we have t−6π=4π±2kπ, so
t=6π+4π±2kπ=125π±2kπ. Now we consider the given interval [6π,67π], which we can think of as [122π,1214π]. The value t=125π lies in this interval, as does t=125π+2π=1211π. Thus, we have two critical numbers in the interval at which to evaluate s, as well as at the endpoints.
Doing so, we find:
s(125π)=8;
s(1211π)=2;
s(6π)=5; and
s(67π)=5.
The absolute max of s on [6π,67π] is thus s(125π)=8, while the absolute min is s(1211π)=2.
(b) From our work in (a), we know that s has critical numbers at t=125π±2kπ. On the interval [0,2π], only t=125π lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate s.
Doing so:
s(125π)=8;
s(0)=3sin(2(0−6π))+5=3sin(−3π)+5=5−233≈2.402; and
s(2π)=3sin(2(2π−6π))+5=3sin(32π)+5=5+233≈7.598.
The absolute max of s on [0,2π] is thus s(125π)=8, while the absolute min is s(0)=5−233≈2.402.
(c) On the interval from t=0 to t=2π, s completes nearly two full periods, and thus achieves each of its maximum and minimum values. The absolute maximum is 8 as determined in (a), and the absolute minimum is 2. These occur, for example, at s(125π)=8, while the absolute min is s(1211π)=2. There are other points at which the function achieves these values on the given interval.
(d) On the interval [3π,65π]=[124π,1210π], only the critical number t=125π lies in the interval. Thus we have three values at which to evaluate s.
Doing so:
s(125π)=8;
s(3π)=3sin(2(3π−6π))+5=3sin(3π)+5=233+5≈7.598; and
s(65π)=3sin(2(65π−6π))+5=3sin(34π)+5=5−233≈2.402.
The absolute max of s on [3π,65π] is thus s(125π)=8, while the absolute min is s(65π)≈2.402.
정사각형 밑면과 닫힌 윗면을 가진 직육면체 상자를 두 가지 재료로 만들려고 합니다. 옆면의 재료는 제곱피트당 $1.50이고, 윗면과 밑면의 재료는 제곱피트당 $3.00입니다. 상자에 $15를 쓸 수 있다면, 상자에 담을 수 있는 가장 큰 부피는 얼마입니까? 미적분을 사용하여 답을 완전히 정당화하세요.
영어 원문 보기
A rectangular box with a square bottom and closed top is to be made from two materials. The material for the sides costs $1.50 per square foot and the material for the top and bottom costs $3.00 per square foot. If you are willing to spend $15 on the box, what is the largest volume it can contain? Justify your answer completely using calculus.
정답·풀이 보기
x 를 정사각형 밑면의 한 변의 길이, h 를 옆면의 높이라고 하자. 먼저 상자의 부피 V 는 V=x2h 이고, 상자의 겉넓이는 S=2x2+4xh 임에 주목한다. 넓이가 x2 인 정사각형 면이 두 개(밑면과 윗면) 있고, 넓이가 xh 인 똑같은 옆면이 네 개 있기 때문이다. 윗면과 밑면의 재료는 제곱피트당 $3.00이고 옆면의 재료는 제곱피트당 $1.50이므로, 겉넓이가 S 인 상자의 총비용은
C=3.00(2x2)+1.50(4xh)=6x2+6xh
이다.
우리는 $15를 들여 만들 수 있는 부피가 가장 큰 상자에 관심이 있다. 이 비용 조건에 의해
15=6x2+6xh 이고, 이를 h 에 대해 풀면 h 를 x 의 함수로 나타낼 수 있다. 그렇게 하면 6xh=15−6x2 이므로
h=6x15−6x2
이다. 이 관계를 이용하면 상자의 부피 V 를 변수 x 하나의 함수로 나타낼 수 있다. h 의 식을 대입하면
V=x2h=x2⋅6x15−6x2=61x(15−6x2)=615x−x3
이다. 특히 상자가 만들어지려면 x>0 이고 h>0 이어야 함에 유의한다. 뒤의 조건과 h=6x15−6x2 로부터 15−6x2>0 이어야 하므로 x2<615, 즉 x<615 이다. 따라서 V(x) 의 정의역은 0<x<615 이다.
x→0+ 또는 x→615− 일 때 상자는 사라지고(부피는 0에 가까워지고), 따라서 최댓값은 이 두 값 사이의 임계수에서 나타나야 함이 분명하다. V 를 미분하면 V′(x)=615−3x2 이다. 정의역에서 V 의 모든 임계수를 찾기 위해 V′(x)=0 을 풀면 x2=1815 이고, 따라서 x=±1815 이므로 0<x<615 에 속하는 임계수는 x=1815 뿐이다. 최솟값 V=0 이 양 끝점에서 나타나므로, 최댓값은 V(1815)=615(1815)−(1815)3≈1.52145 세제곱피트이다.
원본 교재 풀이(영어)
Let x be the length of one side of the square bottom and h the height of one of the sides. We first note that the volume, V, of the box is V=x2h, and the surface area of the box is S=2x2+4xh, since there are two square sides (bottom and top) of area x2 and four identical sides of area xh. Since the material for the top and bottom costs $3.00 per square foot and the material for the sides costs $1.50 per square foot, it follows that the total cost of a box with surface area S is
C=3.00(2x2)+1.50(4xh)=6x2+6xh.
We are interested in building box of largest volume for which we spend $15. This cost constraint implies that
15=6x2+6xh, which allows us to express h as a function of x by solving for h. Doing so, we see that 6xh=15−6x2, so
h=6x15−6x2. Using this relationship, we are now able to express the volume, V, of the box as a function of the single variable x. Subsituting the expression for h, we have
V=x2h=x2⋅6x15−6x2=61x(15−6x2)=615x−x3. Note particularly that in order to have a box, we require that both x>0 and h>0. The latter condition along with the fact that h=6x15−6x2 shows that we need 15−6x2>0, and thus x2<615, so x<615. Hence we are considering V(x) on the domain 0<x<615.
It is apparent that the box vanishes (and its volume tends to zero) as either x→0+ or x→615−, and thus the absolute maximum volume must appear between these values at a critical number. Differentiating V, we find that V′(x)=615−3x2. Solving V′(x)=0 to find all critical numbers of V in the domain, we see that x2=1815, and thus x=±1815, so only x=1815 is a critical number that lies in 0<x<615. Noting that the absolute minimum volume V=0 occurs at each endpoint, it must be the case that the absolute maximum volume is V(1815)=615(1815)−(1815)3≈1.52145 cubic feet.
한 농부가 소, 말, 염소, 양을 기르기 시작하려 하며, 동물들이 풀을 뜯을 직사각형 목초지를 갖고 싶어 합니다. 그러나 서로 다른 종류의 동물은 함께 풀을 뜯을 수 없습니다. 농부는 필요한 울타리의 양을 최소로 하기 위해, 큰 직사각형 영역을 울타리로 두른 다음, 이미 있는 두 변에 평행한 울타리 세 개를 큰 직사각형 안쪽에 추가하여 이를 크기가 같은 네 개의 우리로 나누기로 했습니다. 농부는 울타리 7500 ft 를 구입하기로 했습니다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 얼마인지 구하세요.
영어 원문 보기
A farmer wants to start raising cows, horses, goats, and sheep, and desires to have a rectangular pasture for the animals to graze in. However, no two different kinds of animals can graze together. In order to minimize the amount of fencing she will need, she has decided to enclose a large rectangular area and then divide it into four equally sized pens by adding three segments of fence inside the large rectangle that are parallel to two existing sides. She has decided to purchase 7500 ft of fencing. What is the maximum possible area that each of the four pens will enclose?
정답·풀이 보기
농부는 길이 x 와 너비 y 를 아직 모르는 직사각형 영역에 울타리를 칠 것이다. 직사각형 영역 전체의 넓이는 넓이가 같은 직사각형 4개로 이루어진다. 아래 그림과 같이 이렇게 나누는 방법은 두 가지이다(다만 문제의 설정을 명시적으로 따르는 것은 왼쪽 그림뿐이다).
우리는 작은 직사각형 영역 각각의 넓이를 최대로 하려고 한다. 이는 전체 직사각형 영역의 넓이 A=xy 를 최대로 하는 것과 같다. A 에는 변수가 두 개 있으므로 아직 미적분 기법을 바로 적용할 수 없다. 울타리의 양에 관한 정보를 이용하여 x 와 y 의 관계를 세우고, A 를 변수 하나만으로 나타낸다.
그림의 왼쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 2x+5y 이다. 울타리 7500 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 2x+5y=7500 이다. x 에 대해 풀면 x=3750−2.5y 이다. 이 식을 넓이 공식의 x 에 대입하면 A 를 y 만으로 나타낼 수 있다.
A(y)=(3750−2.5y)y=3750y−2.5y2. 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 y>0 이고 x>0 이어야 하며, x=3750−2.5y 이므로 2.5y<3750 이어야 하고 따라서 y<1500 이다. 이 정의역에서 A 의 최댓값을 구하기 위해 A 의 임계점을 구한다. A′(y)=3750−5y 이므로 A′(y)=0 인 것은 y=750 일 때, 그리고 그때뿐이다. 0<y<750 에서는 A′(y)>0 이고 750<y<1500 에서는 A′(y)<0 이다. 따라서 A(750)=1406250 제곱피트가 A 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 351562.5 제곱피트이다.
그림의 오른쪽 울타리 방식의 경우, 네 개의 방목지를 둘러싸는 데 필요한 울타리의 총량은 3x+3y 이다. 울타리 7500 피트를 모두 사용한다고 가정하므로 3x+3y=7500 이다. x 에 대해 풀어 A 에 대입하면 x=2500−y 이고
A(y)=(2500−y)y=2500y−y2. 어떤 영역을 둘러싸려면 당연히 y>0 이고 x>0 이어야 하며, x=2500−y 이므로 y<2500 이어야 한다. 이 정의역에서 A 의 최댓값을 구하기 위해 A 의 임계점을 구한다. A′(y)=2500−2y 이므로 A′(y)=0 인 것은 y=1250 일 때, 그리고 그때뿐이다. 0<y<1250 에서는 A′(y)>0 이고 1250<y<2500 에서는 A′(y)<0 이다. 따라서 A(1250)=1406250 제곱피트가 A 의 최댓값이다. 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 전체의 4분의 1, 즉 390625 제곱피트이다.
따라서 네 개의 우리 각각이 둘러쌀 수 있는 최대 넓이는 390625 제곱피트이며, 오른쪽 방식이 왼쪽 방식보다 더 최적임을 알 수 있다.
원본 교재 풀이(영어)
The farmer will fence a rectangular area whose length x and width y are unknown. The total area of the rectangular area is composed of 4 equal area rectangles. There are two ways to do this as shown in the figure below (though only the one on the left explicitly follows the way the problem is framed).
We want to maximize the area of each subrectangular region, which is the same as maximizing the total area A=xy of the entire rectangular region. Since A has two variables, we can't yet directly apply calculus techniques to it. We use the information about the amount of fencing to relate x and y in order to write A in terms of just one variable.
In the case of the fencing option on the left in the figure, the total amount of fencing that is needed to enclose the four grazing areas is 2x+5y. We assume that all of the 7500 feet of fencing will be used, so 2x+5y=7500. Solving for x, x=3750−2.5y. Substituting this expression for x into the area formula allows us to write A in terms of y alone:
A(y)=(3750−2.5y)y=3750y−2.5y2. To enclose any area, we of course must have y>0 and x>0, and since x=3750−2.5y, it follows that we need to have 2.5y<3750 so y<1500. To find the maximum value of A on this domain, we find the critical numbers of A. Since A′(y)=3750−5y, we see that A′(y)=0 when and only when y=750. For 0<y<750, we see that A′(y)>0 and for 750<y<1500 we have A′(y)<0. So A(750)=1406250 square feet is the absolute maximum value of A. The maximum possible area that each of the four pens can enclose is one quarter of the total, or 351562.5 square feet.
In the case of the fencing option on the right in the figure, the total amount of fencing that is needed to enclose the four grazing areas is 3x+3y. We assume that all of the 7500 feet of fencing will be used, so 3x+3y=7500. Solving for x and substituting into A, we find x=2500−y and
A(y)=(2500−y)y=2500y−y2. To enclose any area, we of course must have y>0 and x>0, and since x=2500−y, it follows that we need to have y<2500. To find the maximum value of A on this domain, we find the critical numbers of A. Since A′(y)=2500−2y, we see that A′(y)=0 when and only when y=1250. For 0<y<1250, we see that A′(y)>0 and for 1250<y<2500 we have A′(y)<0. So A(1250)=1406250 square feet is the absolute maximum value of A. The maximum possible area that each of the four pens can enclose is one quarter of the total, or 390625 square feet.
So the maximum possible area that each of the four pens can enclose is 390625 square feet, and we see that the righthand alternative is even more optimal than the left one.
높이가 각각 60 ft, 80 ft인 두 수직 기둥이 평평한 땅 위에 밑면 사이의 거리 100 ft를 두고 서 있습니다. 케이블을 한 기둥의 꼭대기에서 두 기둥 사이의 땅 위의 한 점까지 늘인 다음, 다시 다른 기둥의 꼭대기까지 늘입니다. 필요한 케이블 길이의 가능한 최솟값은 얼마인가요? 미적분을 이용하여 답을 완전하게 정당화하세요.
영어 원문 보기
Two vertical poles of heights 60 ft and 80 ft stand on level ground, with their bases 100 ft apart. A cable that is stretched from the top of one pole to some point on the ground between the poles, and then to the top of the other pole. What is the minimum possible length of cable required? Justify your answer completely using calculus.
정답·풀이 보기
먼저 전체 상황을 정확하게 그림으로 나타낸다. 케이블이 땅에 닿는 점이 첫 번째 기둥에서 떨어진 거리를 x, 첫 번째 기둥 꼭대기에서 땅까지의 케이블 길이를 y, 땅에서 두 번째 기둥 꼭대기까지의 케이블 길이를 z라 하자. 다음 그림과 같다. 주어진 기둥의 높이와 기둥 사이의 거리도 함께 나타내었다.
사용되는 케이블의 전체 길이 L(이것을 최소로 하려 한다)은 L=y+z 이다. 이 상황의 기하적 관계를 이용하여 y 와 z 를 모두 x 로 나타낼 수 있다. 첫 번째 직각삼각형에서 피타고라스 정리에 의해 x2+602=y2 이므로 y=x2+3600 이다. 두 번째 직각삼각형에서 가로 변의 길이는 100−x 이므로 (100−x)2+802=z2 이고, 따라서 z=(100−x)2+6400 이다. 그러므로 L=y+z 에서
L(x)=x2+3600+6400+(100−x)2. 또한 주어진 상황에서 L 의 정의역은 0≤x≤100 임이 분명하다. 이 닫힌구간에서 L 의 최솟값을 구하려 하므로, L 의 임계점을 찾는 일이 남아 있다.
계산 도구를 사용하여 방정식 L′(x)=0 을 풀면, 구간 0≤x≤100 에서 해는 x≈42.85714 하나뿐이다.
정의역에서 L 의 최솟값을 구하기 위해 양 끝점과 유일한 임계점에서 L 의 값을 구한다. 계산하면 L(0)≈188.062, L(100)≈196.619, L(42.85714)≈172.047 이다. 따라서 사용할 수 있는 케이블의 최소 길이는 약 172.047 피트이며, 케이블을 첫 번째 기둥에서 약 42.85714 피트 떨어진 곳에 고정할 때 이루어진다.
원본 교재 풀이(영어)
We start by constructing a careful diagram of the overall situation. Let x be the distance from the first pole to the second pole where the cable touches the ground, and let y be the length of the cable from the top of the first tower to the ground, and z the length of cable from the ground to the top of the second tower, as pictured in the following figure. Note that we have included the given heights of the towers and the distance between them.
The total amount of cable, L, used (which we wish to minimize) is given by L=y+z. We can use the geometry of the situation to write both y and z in terms of x. In the first right triangle, by the Pythagorean Theorem we know that x2+602=y2, and thus y=x2+3600. In the second right triangle, note that the horizontal leg of the triangle has length 100−x, and thus (100−x)2+802=z2, so z=(100−x)2+6400. It follows that with L=y+z,
L(x)=x2+3600+6400+(100−x)2. It is also apparent from the given situation that the relevant domain for L is 0≤x≤100. Given that we want to minimize L on this closed interval, it remains to find any critical numbers of L.
We use technology to solve the equation L′(x)=0 and find that it has a single solution in the interval 0≤x≤100: x≈42.85714.
To find the absolute minimum of L on the relevant domain, we evaluate L at the endpoints and the only critical number. Doing so, we fine L(0)≈188.062, L(100)≈196.619, and L(42.85714)≈172.047. Hence the least amount of cable we can use is approximately 172.047 feet and is accomplished by anchoring the cable about 42.85714 feet from the first tower.
한 회사가 양 끝이 반구 모양인 원기둥 모양의 프로판 탱크를 설계하고 있다. 이 회사는 탱크에 1000세제곱피트의 가스가 들어가도록 하려 하며, 양 끝 부분은 만드는 데 더 비싸서 제곱피트당 $5가 들고, 양 끝 사이의 원기둥 몸통 부분은 제곱피트당 $2가 든다고 가정하자. 미적분을 이용하여 이러한 탱크를 만드는 데 드는 최소 비용을 구하세요.
영어 원문 보기
A company is designing propane tanks that are cylindrical with hemispherical ends. Assume that the company wants tanks that will hold 1000 cubic feet of gas, and that the ends are more expensive to make, costing $5 per square foot, while the cylindrical barrel between the ends costs $2 per square foot. Use calculus to determine the minimum cost to construct such a tank.
정답·풀이 보기
탱크의 원기둥 부분의 길이를 h, 원기둥의 반지름을 r 라 하자. 그러면 탱크 양 끝의 반구의 반지름도 r 이다. 먼저 원기둥 부분과 반구 부분을 살펴 탱크의 부피와 겉넓이에 대한 식을 구한다.
탱크의 원기둥 부분의 부피는 Vc=πr2h 이고, 옆면의 넓이는 Ac=2πrh 이다(이는 원기둥 밑면의 둘레에 원기둥의 높이를 곱한 값이다 -- 원기둥을 펼치면 직사각형이 되는 것을 생각해 보자). 두 반구 모양의 끝 부분을 합치면 완전한 구가 되며, 구의 부피는 Vs=34πr3 이고 구의 겉넓이는 As=4πr2 이다.
따라서 탱크 전체의 부피는
V=Vc+Vs=πr2h+34πr3, 이고, 전체 겉넓이는
A=Ac+As=2πrh+4πr2. 또한 원기둥 옆면과 반구 모양의 끝 부분의 재료 비용이 서로 다른 것을 고려하면, 탱크의 총비용은
C=2(2πrh)+5(4πr2)=4πrh+20πr2.
우리의 목표는 탱크의 부피가 1000세제곱미터가 되도록 하는 조건에서 탱크의 총비용을 최소로 하는 것이다. 이 조건에서 방정식 1000=πr2h+34πr3 을 얻고, 이를 h 에 대해 풀면 πr2h=1000−34πr3 이므로
h=πr21000−34πr3. 이제 h 에 대한 이 식을 앞에서 구한 비용의 식에 대입하면 비용을 하나의 변수 r 의 함수로 나타낼 수 있다. 즉,
C(r)=r4000−316πr2+20πr2=r4000+344πr2. 문제의 물리적 조건에 따라 r>0 이고 h>0 인 값만 생각한다. h=πr21000−34πr3 이므로
34πr3<1000
이어야 하고, 따라서 r3<4π3⋅1000=750 이며, 그러므로 r<3π750≈6.2035 이다. 이제 구간 0<r<3π750 에서 C(r) 을 최소로 만드는 값을 찾는다.
C 의 도함수를 구하면 C′(r)=−r24000+388πr 이다. C′(r)=0 으로 놓으면
r24000=388πr
이고, 따라서
4000⋅88π3=r3. 그러므로 r3=11π1500 이고, r=311π1500≈3.5144 가 C 의 유일한 임계수이다. 이 값은 구간 0<r<3π750≈6.2035 안에 있음을 확인하자.
구간 0<r<3π750 에서 도함수 y=C′(r) 의 그래프를 그려 보면, 0<r<3.5144 에서는 C′(r)<0 이고 3.5144<r<6.2035 에서는 C′(r)>0 이다. 이는 C 가 임계수 이전에는 감소하고 임계수 이후에는 증가함을 보여 주므로, C 는 C(311π1500)≈1707.27 에서 최솟값을 가진다. 따라서 주어진 조건에서 원하는 탱크를 만드는 데 드는 최소 비용은 $1707.27이다.
원본 교재 풀이(영어)
We let the length of the cylindrical part of the tank be h with the radius of the cylinder given by r. It follows that the radius of the hemispherical ends of the tank is also r. We first identify formulas for both the volume and surface area of the tank by looking at the cylindrical and hemispherical pieces.
The cylindrical part of the tank has volume Vc=πr2h, and the surface area of its sides is Ac=2πrh (which is the circumference of the cylinder's base times the cylinder's height -- think about how a cylinder unfurls to form a rectangle). The two hemispherical ends together constitute a full sphere, and the volume of a sphere is Vs=34πr3, while the surface area of a sphere is As=4πr2.
The overall volume of the tank is therefore
V=Vc+Vs=πr2h+34πr3, and its total surface area is
A=Ac+As=2πrh+4πr2. Moreover, taking into account the different costs of material for the cylindrical sides and hemispherical ends, we find that the total cost of the tank is
C=2(2πrh)+5(4πr2)=4πrh+20πr2.
Our goal is to minimize the total cost of the tank given that we want it to hold 1000 cubic meters of volume. From this constraint, we have the equation 1000=πr2h+34πr3, which we can solve for h to get πr2h=1000−34πr3, so
h=πr21000−34πr3. This allows us to now write cost as a function of the single variable r by substituting the expression for h into the earlier formula we found for cost. In particular,
C(r)=r4000−316πr2+20πr2=r4000+344πr2. Based on the physical constraints of the problem, we obviously will only consider values of r>0 and h>0. Since h=πr21000−34πr3, we must have
34πr3<1000
so r3<4π3⋅1000=750, and thus r<3π750≈6.2035. We now work to minimize C(r) on the interval 0<r<3π750.
Taking the derivative of C, we find that C′(r)=−r24000+388πr. Setting C′(r)=0, it follows that
r24000=388πr
and thus
4000⋅88π3=r3. Therefore, r3=11π1500, so r=311π1500≈3.5144 is the only critical number of C; observe that it lies within the interval 0<r<3π750≈6.2035.
If we plot the derivative function, y=C′(r), on the interval 0<r<3π750, we see that for 0<r<3.5144, C′(r)<0, and for 3.5144<r<6.2035, C′(r)>0, which shows that C is decreasing before the critical number and increasing after the critical number, and hence C has a global minimum of C(311π1500)≈1707.27, so $1707.27 is the minimum cost to build the desired tank under the given constraints.
(b) 
