미분방정식 전체 문제

시각 $t$ 에서 탱크 안 수은의 높이가 $h$ 이고, 이 값은 0 피트와 12 피트 사이라고 하자.

이때 수은의 윗면은 반지름이 $\sqrt{6^2-(h-6)^2}$ 인 원판을 이룬다. (위 그림의 삼각형에 피타고라스 정리를 적용하여 구한 것이다. 그림에서는 $h$ 가 6보다 큰 경우를 나타냈지만, $[0,12]$ 에 속하는 모든 $h$ 에 대해 같은 식이 성립한다.) 이제 아주 짧은 시간 $\mathrm{d}t$ 동안 탱크 안 수은의 높이가 $\mathrm{d}h$ 만큼 변한다고 하자(이 값은 음수이다). 그러면 이 시간 동안 탱크 안 수은의 양은 $-\pi\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)^2\mathrm{d}h$ 만큼 줄어든다. (위 그림의 빨간 원판의 부피이다.) 이 양은 같은 시간 동안 구멍으로 흘러나간 수은의 양과 같아야 한다. 구멍에서 나오는 수은은 원기둥 모양이다. 이 원기둥의 반지름은 구멍의 반지름인 $\frac{1}{12}$ 피트이고, 길이는 수은이 $\mathrm{d}t$ 초 동안 이동한 거리인 $v(t)\mathrm{d}t$ 피트이다. 따라서 흘러나간 수은의 부피는 $\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 v\,\mathrm{d}t =\pi\big(\frac{1}{12}\big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t$ 이다. 이로부터 변수분리형 미분방정식을 얻는다.

$$\begin{aligned} -\pi{\big(\sqrt{6^2-(h-6)^2}\ \big)}^2\mathrm{d}h &=\pi\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ -{\big({36-(h^2-12h+36)}\ \big)}\mathrm{d}h &=\Big(\frac{1}{12}\Big)^2 \sqrt{2gh}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^2-12h\big)\mathrm{d}h &=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\sqrt{h}\,\mathrm{d}t\\ \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \int \big(h^{3/2}-12h^{1/2}\big)\mathrm{d}h&=\int\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,\mathrm{d}t\\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t+C \\ \text{시각 $0$ 에서 높이는 $12$ 이므로 $C=\frac{12^{5/2}}{5/2}-12\frac{12^{3/2}}{3/2} =12^{5/2}\big(\frac{2}{5}-\frac{2}{3}\big) =-\frac{4}{15}12^{5/2}$ 이고, 따라서} \\ \frac{h^{5/2}}{5/2}-12\frac{h^{3/2}}{3/2}&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t -\frac{4}{15}12^{5/2} \\ \text{높이가 $h=0$ 이 되는 시각 $t$ 를 구하면 된다.} \\ 0&=\frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t-\frac{4}{15}12^{5/2}\\ \frac{1}{144} \sqrt{2g}\,t&=\frac{4}{15}12^{5/2}\\ t&=\frac{4\times 144}{15} \sqrt{\frac{12^5}{2g}}\\ &=38.4 \sqrt{\frac{124416}{g}}\approx 2,394\,\text{sec }\approx 0.665\, \text{hr} \end{aligned}$$

(a) $x=0$ 을 대입하면

$$\begin{aligned} f(0)=3+\int_0^0\big(f(t)-1\big)\big(f(t)-2\big)\ \mathrm{d}t= 3 \end{aligned}$$

(b) 미적분의 기본정리 제1부에 의해

$$\begin{aligned} f'(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_0^x\big(f(t)-1\big)\big(f(t)-2\big)\ \mathrm{d}t =\big(f(x)-1\big)\big(f(x)-2\big) \end{aligned}$$

따라서 $y=f(x)$ 는 미분방정식 $y'=(y-1)(y-2)$ 를 만족시킨다.

(c) $y\ne 1,2$ 이면,

$$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=(y-1)(y-2) \\ \frac{\mathrm{d}y}{(y-1)(y-2)}&=\mathrm{d}x\\ \int\frac{\mathrm{d}y}{(y-1)(y-2)}&=\int\mathrm{d}x \\ \text{부분분수 방법을 이용하면,} \\ \int\left(\frac{1}{y-2}-\frac{1}{y-1}\right)\mathrm{d}y&=\int \mathrm{d}x \\ \log|y-2|-\log|y-1|&=x+C\\ \log\left|\frac{y-2}{y-1}\right|&=x+C \\ \text{ 모든 $y\ge 2$ 에 대해 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(y-1)(y-2)>0$ 임을 알 수 있다. 즉, $f(x)>2$ 인 모든 $x$ 에서 $f(x)$ 는 증가한다. $f(0)=3$ 이므로 모든 $x\ge 0$ 에 대해 $f(x)$ 는 증가하고, 모든 $x\ge 0$ 에 대해 $f(x)\ge 3$ 이다. 따라서 절댓값 기호를 없앨 수 있다.} \\ \log\frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=x+C\\ \frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=e^Ce^x \\ \text{ $x=0$ 일 때 $\frac{f(x)-2}{f(x)-1}=\frac{1}{2}$ 이므로 $e^C=\frac{1}{2}$ 이다.} \\ \frac{f(x)-2}{f(x)-1}&=\frac{1}{2} e^x\\ 2f(x)-4&=[f(x)-1]e^x\\ [2-e^x]f(x)&=4-e^x \\ f(x)&=\frac{4-e^x}{2-e^x} \end{aligned}$$

시각 $t$ (예를 들어 정오부터 시작하여 시간 단위로 잰다)에 탱크 안 물의 높이가 $y$ 이고, 이 값은 0 m와 2 m 사이라고 하자. 이때 물의 윗면은 반지름이 $r=y^p$ 인 원판을 이루고 그 넓이는 $A(y)=\pi y^{2p}$ 이다. 따라서 토리첼리의 법칙에 의해

$$\begin{aligned} \pi y^{2p}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}&=-c\sqrt{y}\\ -\frac{\pi}{c}\cdot y^{2p-{1\over 2}}\mathrm{d}y&=\,\mathrm{d}t\\ \int-\frac{\pi}{c}\cdot y^{2p-{1\over 2}}\mathrm{d}y&=\,\int \mathrm{d}t\\ -\frac{\pi}{c}\cdot\frac{y^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}+d &=t \\ \text{for some constant $d$. At time $t=0$, the height is $y=2$, so $d=\displaystyle\frac{\pi}{c}\cdot\frac{2^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}$ \ .} \\ t&=\frac{\pi}{c}\bigg(\frac{2^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}} -\frac{y^{2p+{1\over 2}}}{2p+{1\over 2}}\bigg)\\ &=\frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-y^{2p+\frac12}\right) \end{aligned}$$

높이가 $1$ 이 되는 시각은 이 식에 $y=1$ 을 대입하여 얻고, 높이가 $0$ 이 되는 시각은 이 식에 $y=0$ 을 대입하여 얻는다. 따라서 윗부분 절반($y=2$ 에서 $y=1$ 까지)이 물이 빠지는 데 걸리는 시간이 아랫부분 절반($y=1$ 에서 $y=0$ 까지)이 걸리는 시간과 정확히 같다는 조건은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} t(2)-t(1)&=t(1)-t(0)\\ 0-t(1)&=t(1)-t(0)\\ t(0)&=2t(1)\\ \frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-0^{2p+\frac12}\right)&= 2\frac{\pi}{c(2p+\frac12)}\left(2^{2p+\frac12}-1^{2p+\frac12}\right)\\ 2^{2p+\frac12}&= 2\left(2^{2p+\frac12}-1\right)\\ 2^{2p+\frac12}&= 2\cdot 2^{2p+\frac12}-2\\ 2&=2^{2p+\frac12}\\ 1&=2p+\frac12\\ p&=\frac14 \end{aligned}$$

먼저 양변을 $x$ 에 대해 부정적분한다.

$$\begin{aligned} \int \left(\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}\right)\,\mathrm{d}x&=\int\left(\frac{2}{y^3}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)\,\mathrm{d}x \\ \text{오른쪽 적분은 $y$ 로 변수를 바꾸는(치환하는) 데 쓰는 꼴 그대로이다.} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\int\left(\frac{2}{y^3}\right)\,\mathrm{d}y = -\frac{1}{y^2}+C \\ \text{$y=1$ 일 때 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=3$ 이다.} \\ 3& =-\frac{1}{1}+C\\ C&=4 \\ \text{따라서} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=-\frac{1}{y^2}+4 \\ \text{ 이것은 변수분리형 미분방정식이다. } \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{4y^2-1}{y^2} \\ \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y&=\mathrm{d}x\\ \int \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y&=\int \mathrm{d}x\tag{$*$} \end{aligned}$$

왼쪽 적분은 부분분수로 구할 수 있지만, 분자의 차수가 분모의 차수와 같으므로 먼저 식을 간단히 해야 한다. 여기서는 식을 보고 바로 변형하지만, 다항식의 나눗셈(조립제법이 아닌 직접 나눗셈)을 이용해도 된다.

$$\begin{aligned} \frac{y^2}{4y^2-1}&=\frac{\frac{1}{4}(4y^2-1)+\frac{1}{4}}{4y^2-1}\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{4y^2-1}\right)\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{(2y-1)(2y+1)}\right)\\ &=\frac{1}{4}\left(1+\frac{1/2}{2y-1}-\frac{1/2}{2y+1}\right) \end{aligned}$$

이제 ($*$)로 돌아간다.

$$\begin{aligned} \int \mathrm{d}x&=\int \frac{y^2}{4y^2-1}\,\mathrm{d}y\\ &= \int \frac{1}{4}\left(1+\frac{1/2}{2y-1}-\frac{1/2}{2y+1}\right)\,\mathrm{d}y\\ &= \frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log|2y-1| - \frac{1}{4}\log|2y+1|\right)\\ &= \frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ x+C&=\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right) \\ \text{$x=-\frac{1}{16}\log 3$ 일 때 $y=1$ 이다.} \\ -\frac{1}{16}\log 3 +C &=\frac{1}{4}\left(1+\frac14\log\left| \frac{2-1}{2+1}\right|\right) = \frac{1}{4}+\frac{1}{16}\log\frac{1}{3}\\ C&=\frac{1}{4} \\ \text{따라서} \\ x+\frac{1}{4}&=\frac{1}{4}\left(y+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ x&=\frac{1}{4}\left(y-1+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right) \end{aligned}$$

구한 답은 $x$ 에 대해 미분하여 확인할 수 있다.

$$\begin{aligned} x&=\frac{1}{4}\left(y-1+\frac{1}{4}\log\left|\frac{2y-1}{2y+1}\right|\right)\\ 4x&=y-1+\frac{1}{4}\log|2y-1| -\frac{1}{4}\log|2y+1|\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{4x\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left\{y-1+\frac{1}{4}\log|2y-1| -\frac{1}{4}\log|2y+1|\right\}\\ 4&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{4}\cdot\frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2y-1} - \frac{1}{4}\cdot\frac{2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{2y+1}\\ 4&=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(1+\frac{1/2}{2y-1} - \frac{1/2}{2y+1}\right) = \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\left(\frac{4y^2}{4y^2-1}\right)\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}&=\frac{4y^2-1}{y^2}=4-\frac{1}{y^2} \tag{$**$} \\ \text{합성함수의 미분법을 이용하여 $x$ 에 대해 다시 미분하면} \\ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}{x}^2}&=\frac{2}{y^3}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \end{aligned}$$

이것은 우리가 풀어야 했던 미분방정식과 정확히 같다.

(a) $\frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5$ 이고 $T(0)=105$ 이므로 $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105} = -\frac{1}{15}(105) + 5 = -7 + 5 = -2$ 이다. $T(0) = 105$ 라는 사실은 시각 $t = 0$ 에서 커피의 온도가 $T = 105$ 화씨도임을 뜻하고, $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105} = -2$ 는 $T = 105$ 인 순간(즉 $t = 0$ 일 때) 커피의 온도가 분당 화씨 $-2$도의 순간변화율로 감소하고 있음을 뜻한다. (b) $t = 0$ 에서 $T = 105$ 이고 $\frac{dT}{dt}\vert_{T=105}$ 가 음수이므로 $t=0$ 에서 $T$ 는 감소한다. (c) 주어진 정보와 함께 일차 근사 $T(1) \approx T(0) + \frac{dT}{dt}\vert_{t=0} (1-0)$ 을 이용하면 $$T(1) \approx 105 + (-2)(1) = 103$$ 화씨도이다. (d) $\frac{dT}{dt}$ 는 $T$ 에 대한 일차함수이고 기울기가 $-\frac{1}{15}$, 세로축 절편이 $(0,5)$ 이므로 그래프는 아래와 같다. 특히 $\frac{dT}{dt}\vert_{T = 75} = 0$ 임에 주목한다. (e) $T < 75$ 일 때 $\frac{dT}{dt} > 0$ 이므로 이 $T$ 값들에서 $T$ 는 증가한다. $T > 75$ 일 때 $\frac{dT}{dt} < 0$ 이므로 이 $T$ 값들에서 $T$ 는 감소한다. (f) 앞의 문제에서 화씨 $75$도가 $T$ 의 변화 양상을 바꾸는 경계가 되는 온도임을 확인했다. 화씨 $75$도가 방의 온도라고 생각할 수 있는 이유는 여러 가지이다. 커피의 온도가 방의 온도($75$)보다 높으면 온도가 내려가 방의 온도에 가까워지고, 방의 온도보다 낮으면 온도가 올라가 방의 온도에 가까워진다. 또 커피의 온도가 $75$(방의 온도와 같은 값)이면 변화율이 $0$ 이므로 커피의 온도는 변하지 않는다. (g) $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 가 초깃값 $T(0) = 105$ 인 이 미분방정식의 해임을 보이고, 충분히 오랜 시간이 지나면 이 해가 어떻게 되는지 구한다. $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 라고 하면 $$\frac{dT}{dt} = 30e^{-t/15} \left(-\frac{1}{15} \right) = -2e^{-t/15}\,$$ 이다. 또한 $$-\frac{1}{15}T + 5 = -\frac{1}{15}(75 + 30e^{-t/15}) + 5 = -5 - 2e^{-t/15} + 5 = -2e^{-t/15}\,$$ 이다. 위의 두 식으로부터 $$\frac{dT}{dt}= -\frac1{15}T+5$$ 에 $T$ 대신 $T(t) = 75 + 30e^{-t/15}$ 를 대입하면 등식이 성립함을 알 수 있으므로 이 함수는 주어진 미분방정식의 해이다. 또한 $T(0) = 75 + 30e^0 = 75 + 30 = 105$ 이므로 이 함수는 초기 조건도 만족한다. 마지막으로 $t \to \infty$ 일 때 $e^{-t/15} \to 0$ 이므로 $t \to \infty$ 일 때 $T(t) = 75 + 30e^{-t/15} \to 75$ 이다. 이는 예상대로 시간이 한없이 지날수록 해 함수의 값이 방의 온도에 가까워짐을 보여 준다.