방향장과 정성적 해석 연습문제

41.OpenStax 2권 · 4.2절 · 41번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 계산 소프트웨어나 계산기를 사용하여, 주어진 간격 크기 $h$ 로 오일러 방법을 써서 초깃값 문제 $y'=ty,\quad y(0)=2$ 의 근삿값 해를 계산하세요. $t=1$ 에서의 해를 $h$ 에 대한 식으로 구하세요. 힌트: 다음은 $y'=f(t,y),y(0)={y}_{0}$ 에 대해 오일러 방법을 수행하는 컴퓨터 프로그램을 작성하는 방법을 나타낸 "의사 코드"입니다.

함수 $f(t,y)$ 를 만드세요.
매개변수 $y(0)={y}_{0},\,t(0)=0$ , 간격 크기 $h$ , 그리고 전체 단계 수 $N$ 을 정의하세요.
반복문을 작성하세요: 반복 $\text{k}=0\,\text{부터}\,N$ 까지 $\quad \text{fn}=\text{f}(\text{t}(\text{k}),\text{y}(\text{k}))$ $\quad \text{y}(\text{k+1})=\text{y}(\text{k})+\text{h*fn}$ $\quad \text{t}(\text{k+1})=\text{t}(\text{k})+\text{h}$

영어 원문 보기

[T] Use computational software or a calculator to compute an approximate solution to the initial-value problem $y'=ty,\quad y(0)=2$ using Euler's Method with a given step size $h.$ Find the solution at $t=1$ in terms of $h.$ Hint: Here is "pseudo-code" for how to write a computer program to perform Euler's Method for $y'=f(t,y),y(0)={y}_{0}:$

Create function $f(t,y).$
Define parameters $y(0)={y}_{0},\,t(0)=0,$ step size $h,$ and total number of steps, $N$
Write a for loop: for $\text{k}=0\,\text{to}\,N$ $\quad \text{fn}=\text{f}(\text{t}(\text{k}),\text{y}(\text{k}))$ $\quad \text{y}(\text{k+1})=\text{y}(\text{k})+\text{h*fn}$ $\quad \text{t}(\text{k+1})=\text{t}(\text{k})+\text{h}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 40번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

42.OpenStax 2권 · 4.2절 · 42번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제를 풀어 정확한 해를 구하세요.

영어 원문 보기

Solve the initial-value problem for the exact solution.

정답·풀이 보기

$y'=2{e}^{{t}^{2}/2}$

원본 교재 풀이(영어)

$y'=2{e}^{{t}^{2}/2}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 22번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

43.OpenStax 2권 · 4.2절 · 43번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

방향장을 그리세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Draw the directional field

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 38번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

44.OpenStax 2권 · 4.2절 · 44번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

$h=1$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using $h=1$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$2$

원본 교재 풀이(영어)

$2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 52번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

45.OpenStax 2권 · 4.2절 · 45번대학 수준우리말 번역

(본문 참조)에 대한 답을 참고하여 다음 연습문제를 푸세요.

[계산기 사용] $h=0.1$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.1$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 20번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

46.OpenStax 2권 · 4.2절 · 46번대학 수준우리말 번역

다음 문제를 풀 때 (본문 참조)에 대한 자신의 답을 참고하세요.

[계산기 사용] $h=0.001$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.001$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$3.2756$

원본 교재 풀이(영어)

$3.2756$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 50번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

47.OpenStax 2권 · 4.2절 · 47번대학 수준우리말 번역

다음 문제를 풀 때 (본문 참조)에 대한 자신의 답을 참고하세요.

[계산기 사용] $h=0.0001$ 을 사용하여 계산하세요.

영어 원문 보기

Refer to your answer for (see text) to solve the following exercises.

Compute using [T] $h=0.0001$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 18번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

48.OpenStax 2권 · 4.2절 · 48번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] $t=1$ 에서 정확한 해의 값을 구하세요. 오일러 방법의 해와 정확한 해 사이의 상대오차를 표로 만드세요. 오차는 얼마나 변하나요? 그 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

[T] Evaluate the exact solution at $t=1.$ Make a table of errors for the relative error between the Euler’s method solution and the exact solution. How much does the error change? Can you explain?

정답·풀이 보기

$2\sqrt{e}$

단계 크기	상대오차
$h=0.1$	$0.3935$
$h=0.01$	$0.06163$
$h=0.001$	$0.006612$
$h=0.0001$	$0.0006661$

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{e}$

Step Size	Relative Error
$h=0.1$	$0.3935$
$h=0.01$	$0.06163$
$h=0.001$	$0.006612$
$h=0.0001$	$0.0006661$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 16번

# 방향장과 정성적 해석그래프·표 해석자동 분류

49.OpenStax 2권 · 4.2절 · 49번대학 수준우리말 번역

초깃값 문제 $y'=-2y,\quad y(0)=2$ 를 생각하세요.

$y=2{e}^{-2x}$ 이 이 초깃값 문제의 해임을 보이세요.

영어 원문 보기

Consider the initial-value problem $y'=-2y,\quad y(0)=2.$

Show that $y=2{e}^{-2x}$ solves this initial-value problem.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류

50.OpenStax 2권 · 4.2절 · 50번대학 수준우리말 번역

이 미분방정식의 방향장을 그리세요.

영어 원문 보기

Draw the directional field of this differential equation.

정답·풀이 보기

x축 상에서는 화살표가 모두 오른쪽을 향해 수평으로 놓여 있는 방향장이다. x축 위쪽에서는 화살표가 오른쪽 아래를 향하고, x축 아래쪽에서는 화살표가 오른쪽 위를 향한다. 화살표가 x축에 가까울수록 더 수평에 가깝고, x축에서 멀어질수록 더 수직에 가깝다.

원본 교재 풀이(영어)

A direction field with horizontal arrows pointing to the right on the x axis. Above the x axis, the arrows point down and to the right. Below the x axis, the arrows point up and to the right. The closer the arrows are to the x axis, the more horizontal the arrows are, and the further away they are from the x axis, the more vertical the arrows are.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 18번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

51.OpenStax 2권 · 4.2절 · 51번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 손으로 또는 계산기나 컴퓨터로 $h=5$ 를 사용하여 오일러 방법으로 $t=10$ 에서의 해를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] By hand or by calculator or computer, approximate the solution using Euler’s Method at $t=10$ using $h=5.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 14번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

52.OpenStax 2권 · 4.2절 · 52번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 계산기나 컴퓨터로 $h=100$ 을 사용하여 오일러 방법으로 $t=10$ 에서의 해를 어림하세요.

영어 원문 보기

[T] By calculator or computer, approximate the solution using Euler’s Method at $t=10$ using $h=100.$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$4.0741{e}^{-10}$

원본 교재 풀이(영어)

$4.0741{e}^{-10}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 20번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

53.OpenStax 2권 · 4.2절 · 53번대학 수준우리말 번역

[계산기 사용] 방향장 위에 정확한 답과 각 $h$ 에서의 오일러 근삿값( $h=5$ 와 $h=100)$ 일 때)을 그래프로 나타내세요. 무엇을 알 수 있나요?

영어 원문 보기

[T] Plot exact answer and each Euler approximation (for $h=5$ and $h=100)$ at each $h$ on the directional field. What do you notice?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6번

# 방향장과 정성적 해석계산자동 분류

54.APEX · 1번대학 수준우리말 번역

여러분 자신의 말로, 초깃값 문제란 무엇이며 미분방정식과는 어떻게 다른지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, what is an initial value problem, and how is it different than a differential equation?

정답·풀이 보기

초깃값 문제는 미분방정식에 하나 이상의 초기 조건이 짝지어진 것이다. 미분방정식은 초기 조건 없이 방정식만 있는 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

An initial value problems is a differential equation that is paired with one or more initial conditions. A differential equation is simply the equation without the initial conditions.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 6번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

55.APEX · 2번대학 수준우리말 번역

여러분 자신의 말로, 함수가 미분방정식의 해라는 것이 무엇을 뜻하는지 설명하세요.

영어 원문 보기

In your own words, describe what it means for a function to be a solution to a differential equation.

정답·풀이 보기

답은 다양할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 2번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

56.APEX · 3번대학 수준우리말 번역

함수가 미분방정식의 해임을 어떻게 확인할 수 있습니까?

영어 원문 보기

How can we verify that a function is a solution to a differential equation?

정답·풀이 보기

주어진 함수를 미분방정식에 대입하여, 그 식이 성립함을 보인다.

원본 교재 풀이(영어)

Substitute the proposed function into the differential equation, and show the the statement is satisfied.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 2번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

57.APEX · 4번대학 수준우리말 번역

특수해와 일반해의 차이를 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the difference between a particular solution and a general solution.

정답·풀이 보기

특수해는 해의 족에 속하는 하나의 특정한 해이며, 임의의 상수를 포함하지 않는다. 일반해는 해의 족으로서 미분방정식의 가능한 모든 해를 포함하며, 보통 하나 이상의 임의의 상수를 포함한다.

원본 교재 풀이(영어)

A particular solution is one specifica member of a family of solutions, and has no arbitrary constants. A general solution is a family of solutions, includes all possible solutions to the differential equation, and typically includes one or more arbitrary constants.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 3번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

58.APEX · 5번대학 수준우리말 번역

미분방정식을 풀어 해석적인 해를 구하는 대신, 그래프나 수치적 방법으로 미분방정식의 해를 연구하는 이유는 무엇일까요?

영어 원문 보기

Why might we use a graphical or numerical technique to study solutions to a differential equation instead of simply solving the differential equation to find an analytic solution?

정답·풀이 보기

많은 미분방정식은 해석적으로 풀 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Many differential equations are impossible to solve analytically.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 4번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

59.APEX · 6번대학 수준우리말 번역

오일러 방법과 같은 수치적 방법에 사용할 $h$ 값을 정할 때 고려해야 할 점을 설명하세요.

영어 원문 보기

Describe the considerations that should be made when choosing an $h$ value to use in a numerical method like Euler's Method.

정답·풀이 보기

$h$ 값이 작을수록 수치해가 참해에 더 가까워지지만, $h$ 값을 줄이면 계산량이 더 많아진다.

원본 교재 풀이(영어)

A smaller $h$ value leads to a numerical solution that is closer to the true solution, but decreasing the $h$ value leads to more computational effort.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 48번

# 방향장과 정성적 해석개념 확인자동 분류

60.APEX · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 7–10에서, 주어진 함수가 미분방정식 또는 초깃값 문제의 해임을 확인하세요.

$y = Ce^{-6x^2}$ ; $y' = -12xy$ .

영어 원문 보기

In Exercises 7–10, verify that the given function is a solution to the differential equation or initial value problem.

$y = Ce^{-6x^2}$ ; $y' = -12xy$ .

정답·풀이 보기

답은 다를 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers will vary.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 4.2절 · 32번

# 방향장과 정성적 해석증명·논술자동 분류