적분법 전체 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 1권 · 6.4절 · 1번우리말 풀이

다음 문제에서 주어진 구간에서 함수의 그래프의 길이를 구하세요.

$y=5x$ ( $x=0$ 부터 $x=2$ 까지)

영어 원문 보기

For the following exercises, find the length of the functions over the given interval.

$y=5x\,\text{from}\,x=0\,\text{to}\,x=2$

답 쓰고 채점

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곡선의 길이는 $\int\sqrt{1+(y')^2}\,dx$ 예요.

1
곡선 $y=f(x)$ 의 $x=a$ 부터 $b$ 까지의 길이는 $L=\int_a^b\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}\,dx$ 예요.
2
$y'=5$ 이므로 $\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$ 이에요.
3
$L=\int_0^2\sqrt{26}\,dx=\sqrt{26}\,[x]_0^2=2\sqrt{26}$
4
검산해요. 두 점 $(0,0)$ , $(2,10)$ 사이의 거리는 $\sqrt{2^2+10^2}=\sqrt{104}=2\sqrt{26}$ 으로 같아요.

답

$2\sqrt{26}$

자주 하는 실수

근호 안에서 $1+5^2$ 대신 $1+5$ 로 쓰는 실수가 많아요. 기울기는 제곱해요.

원본 교재 풀이(영어)

$2\sqrt{26}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 6.4절 · 41번

# 곡선의 길이계산기본

22.OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번우리말 풀이

부분적분법을 쓸 때는 어느 식을 $u$ 로 놓을지 신중히 골라야 해요. 다음 각 문제에서 이 절의 지침을 써서 $u$ 를 고르세요. 적분을 계산하지는 마세요.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

영어 원문 보기

In using the technique of integration by parts, you must carefully choose which expression is u. For each of the following problems, use the guidelines in this section to choose u. Do not evaluate the integrals.

$\int {e}^{3x}\sin (2x)dx$

답 쓰고 채점

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$u$ 는 미분했을 때 간단해지거나 같은 꼴로 돌아오는 쪽으로 고르고, 보통 삼각함수를 지수함수보다 먼저(=u 로) 놓아요.

1
왜 이렇게 할까요? 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 에서 $u$ 를 고르는 기준이 필요해요. 흔히 로그·역삼각·다항·삼각·지수 순서(앞쪽일수록 $u$ 로 놓음)로 고르는 지침을 써요.
2
이 문제에 적용해요. 곱해진 두 함수는 $e^{3x}$ (지수함수)와 $\sin(2x)$ (삼각함수)예요. 지침에서 삼각함수가 지수함수보다 앞이므로 $u=\sin(2x)$ , $dv=e^{3x}dx$ 로 놓아요.
3
참고. 이 적분은 두 번 부분적분하면 처음 적분이 다시 나타나는 꼴이라, 어느 쪽을 $u$ 로 잡아도 두 번 모두 같은 방식으로 잡기만 하면 풀려요.

답

$u=\sin(2x)$ (그러면 $dv=e^{3x}dx$ )

자주 하는 실수

두 번째 부분적분에서 $u$ 와 $dv$ 의 역할을 바꿔서 처음 식으로 되돌아가 버려요.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin (2x)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 41번

# 부분적분법개념 확인기본

23.OpenStax 2권 · 3.1절 · 21번우리말 풀이

가장 간단한 방법으로 적분하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x{e}^{-{x}^{2}}dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

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지수 $-x^2$ 의 도함수 $-2x$ 가 앞의 $x$ 와 상수배 차이이므로, 부분적분 말고 치환적분이 더 간단해요.

1
왜 이렇게 할까요? $x$ 와 $e^{-x^2}$ 의 곱이라 부분적분이 떠오르지만, $e^{-x^2}$ 의 속함수 $-x^2$ 를 미분하면 $-2x$ 로 $x$ 와 닮았어요. 이럴 땐 치환적분이 훨씬 간단해요.
2
치환해요. $u=-x^2$ 으로 놓으면 $du=-2x\,dx$ , 즉 $x\,dx=-\frac12du$ 예요.
3
적분해요. $\int xe^{-x^2}dx=-\frac12\int e^u\,du=-\frac12e^u+C$
4
$x$ 로 되돌려요. $-\frac{e^{-x^2}}{2}+C$ 미분하면 $-\frac12e^{-x^2}\cdot(-2x)=xe^{-x^2}$ 으로 확인돼요.

답

$-\dfrac{e^{-x^2}}{2}+C$

자주 하는 실수

모든 곱의 꼴에 부분적분을 쓰려다 계산이 더 복잡해져요. 속함수의 도함수가 보이면 치환을 먼저 생각해요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{{e}^{-{x}^{2}}}{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 44번

# 치환적분법계산기본

24.OpenStax 2권 · 3.1절 · 37번우리말 풀이

다음 적분을 가장 간단한 방법으로 구하세요. 모든 문제에 부분적분이 필요한 것은 아니에요.

$\int x\cosh x\,dx$

영어 원문 보기

Find the integral by using the simplest method. Not all problems require integration by parts.

$\int x\cosh x\,dx$

풀이 보기

곱의 꼴에서 미분하면 간단해지는 쪽( $x$ )을 $u$ 로 잡고 부분적분을 떠올려요.

1
$x$ 와 $\cosh x$ 가 곱해져 있고 치환으로는 풀리지 않아요. 그래서 부분적분 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ 를 써요. $x$ 는 미분하면 $1$ 이 되어 간단해지니까 $u=x$ , $dv=\cosh x\,dx$ 로 잡아요.
2
공식에 넣을 $du$ 와 $v$ 를 구해요. $du=dx$ 이고, $\sinh x$ 를 미분하면 $\cosh x$ 이므로 $v=\sinh x$ 예요.
3
공식에 대입해요. $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\int \sinh x\,dx$
4
남은 적분은 쉬워요. $\cosh x$ 를 미분하면 $\sinh x$ 이므로 $\int\sinh x\,dx=\cosh x$ 예요. 따라서 $\int x\cosh x\,dx=x\sinh x-\cosh x+C$
5
검산으로 미분해 봐요. $(x\sinh x-\cosh x)'=\sinh x+x\cosh x-\sinh x=x\cosh x$ 로 처음 식이 나와요.

답

$x\sinh x-\cosh x+C$

자주 하는 실수

$u=\cosh x$ , $dv=x\,dx$ 로 거꾸로 잡으면 $x^2$ 이 나와 적분이 더 어려워져요.

원본 교재 풀이(영어)

$-\cosh x+x\sinh x+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 2권 · 3.1절 · 5번

# 부분적분법계산보통

25.OpenStax 1권 · 5.1절 · 1번우리말 번역

주어진 합이 서로 같은지 다른지 말하세요.

a. $\sum_{i=1}^{10}i$ 와 $\sum_{k=1}^{10}k$ b. $\sum_{i=1}^{10}i$ 와 $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ c. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ 와 $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ d. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ 와 $\sum_{k=1}^{10}({k}^{2}-k)$

영어 원문 보기

State whether the given sums are equal or unequal.

a. $\sum_{i=1}^{10}i$ and $\sum_{k=1}^{10}k$ b. $\sum_{i=1}^{10}i$ and $\sum_{i=6}^{15}(i-5)$ c. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ and $\sum_{j=0}^{9}(j+1)j$ d. $\sum_{i=1}^{10}i(i-1)$ and $\sum_{k=1}^{10}({k}^{2}-k)$

정답·풀이 보기

a. 서로 같다. 둘 다 처음 10개의 자연수의 합을 나타낸다. b. 서로 같다. 둘 다 처음 10개의 자연수의 합을 나타낸다. c. $j=i-1$ 을 대입하면 서로 같다. d. 서로 같다. 첫 번째 합은 두 번째 합의 항을 인수분해한 것이다.

원본 교재 풀이(영어)

a. They are equal; both represent the sum of the first 10 whole numbers. b. They are equal; both represent the sum of the first 10 whole numbers. c. They are equal by substituting $j=i-1.$ d. They are equal; the first sum factors the terms of the second.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.1절 · 37번

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