치환적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

61.OpenStax 1권 · 5.5절 · 61번우리말 번역

$a>0$ 이고 $a\ne 1$ 인 고정된 상수 $a$ 에 대해, $t=0$ 과 $t=x$ 사이에서 $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래의 넓이를 구하고, $x\to \infty$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $f(t)=\frac{t}{{(1+{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x$ where $a>0$ and $a\ne 1$ is fixed, and evaluate the limit as $x\to \infty .$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 15번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

62.OpenStax 1권 · 5.5절 · 62번우리말 번역

$g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ 의 그래프 아래에서 $t=0$ 과 $t=x$ 사이의 넓이를 구하세요. 단, $0<x<1$ 이고 $a>0$ 은 고정된 상수입니다. $x\to 1$ 일 때의 극한값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find the area under the graph of $g(t)=\frac{t}{{(1-{t}^{2})}^{a}}$ between $t=0$ and $t=x,$ where $0<x<1$ and $a>0$ is fixed. Evaluate the limit as $x\to 1.$

정답·풀이 보기

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ $x\to 1$ 일 때 극한은 $a<1$ 이면 $\frac{1}{2(1-a)}$ 이고, $a\ge 1$ 이면 극한은 +∞ 로 발산한다.

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{0}^{x}g(t)dt=\frac{1}{2}{\int }_{u=1-{x}^{2}}^{1}\frac{du}{{u}^{a}}=\frac{1}{2(1-a)}{u}^{1-a}{|}_{u=1-{x}^{2}}^{1}=\frac{1}{2(1-a)}(1-{(1-{x}^{2})}^{1-a}).$ As $x\to 1$ the limit is $\frac{1}{2(1-a)}$ if $a<1,$ and the limit diverges to +∞ if $a\ge 1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

63.OpenStax 1권 · 5.5절 · 63번우리말 번역

반지름이 1인 반원의 넓이는 ${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx$ 로 나타낼 수 있습니다. 치환 $x=\cos t$ 를 사용하여 반원의 넓이를 삼각함수의 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

The area of a semicircle of radius 1 can be expressed as ${\int }_{-1}^{1}\sqrt{1-{x}^{2}}dx.$ Use the substitution $x=\cos t$ to express the area of a semicircle as the integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 58번

# 치환적분법활용자동 분류

64.OpenStax 1권 · 5.5절 · 64번우리말 번역

장축이 $x=-a$ 에서 $x=a$ 까지의 x축이고 단축이 $y=-b$ 에서 $y=b$ 까지의 y축인 타원의 위쪽 절반의 넓이는 ${\int }_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}dx$ 로 나타낼 수 있습니다. 치환 $x=a\cos t$ 를 사용하여 이 넓이를 삼각함수의 적분으로 나타내세요. 적분을 계산할 필요는 없습니다.

영어 원문 보기

The area of the top half of an ellipse with a major axis that is the x-axis from $x=-a$ to $x=a$ and with a minor axis that is the y-axis from $y=-b$ to $y=b$ can be written as ${\int }_{-a}^{a}b\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}}dx.$ Use the substitution $x=a\cos t$ to express this area in terms of an integral of a trigonometric function. You do not need to compute the integral.

정답·풀이 보기

${\int }_{t=\pi }^{0}b\sqrt{1-{\cos }^{2}t}\,\times \,(-a\sin t)dt={\int }_{t=0}^{\pi }ab{\sin }^{2}tdt$

원본 교재 풀이(영어)

${\int }_{t=\pi }^{0}b\sqrt{1-{\cos }^{2}t}\,\times \,(-a\sin t)dt={\int }_{t=0}^{\pi }ab{\sin }^{2}tdt$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 16번

# 치환적분법활용자동 분류

65.OpenStax 1권 · 5.5절 · 65번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 꺾이는 점(극값을 갖는 점)이 여섯 개 있다. 이 점들은 pi/4 직전, pi/2 직후, 3pi/4와 pi 사이, pi와 5pi/4 사이, 3pi/2 직전, 7pi/4 직후에 있으며, 값은 각각 약 3, -2, 1, -1, 2, -3이다. 그래프는 원점에서 시작하여 (2pi, 0)에서 끝난다. x축과는 pi/4와 pi/2 사이, 3pi/4 직전, pi, 5pi/4 직후, 3pi/2와 4pi/4 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(t)=a\sin (nt)+b\sin (mt).$ Estimate the coefficients a and b, and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\pi }f(t)dt.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 32번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

66.OpenStax 1권 · 5.5절 · 66번우리말 번역

[계산기 사용] 다음 그래프는 $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt)$ 꼴의 함수의 그래프입니다. 계수 a 와 b, 그리고 진동수 매개변수 n 과 m 을 어림하세요. 이 어림값을 이용하여 ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt$ 의 값을 근삿값으로 구하세요.

주어진 꼴의 함수의 그래프로, 구간 (0, 2pi)에서 그려져 있다. 그래프는 (0,1)에서 시작하여 (2pi, 1)에서 끝난다. 극점(극값을 갖는 점)이 다섯 개 있으며, pi/4 직후, pi/2와 3pi/4 사이, pi, 5pi/4와 3pi/2 사이, 7pi/4 직전에 있고, 값은 각각 약 -1.5, 2.5, -3, 2.5, -1이다. x축과는 0과 pi/4 사이, pi/2 직전, 3pi/4 직후, 5pi/4 직전, 3pi/2 직후, 7pi/4와 2pi 사이에서 만난다.

영어 원문 보기

[T] The following graph is of a function of the form $f(x)=a\cos (nt)+b\cos (mt).$ Estimate the coefficients a and b and the frequency parameters n and m. Use these estimates to approximate ${\int }_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(t)dt.$

정답·풀이 보기

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

원본 교재 풀이(영어)

$f(t)=2\cos (3t)-\cos (2t);{\int }_{0}^{\pi }(2\cos (3t)-\cos (2t))dt=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

67.APEX · 6.1절 · 1번우리말 번역

치환은 어떤 미분 법칙을 "되돌리는" 것인가요?

영어 원문 보기

Substitution “undoes” what derivative rule?

정답·풀이 보기

연쇄 법칙이다.

원본 교재 풀이(영어)

Chain Rule.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 8번

# 치환적분법개념 확인자동 분류

68.APEX · 6.1절 · 2번우리말 번역

참/거짓: 적분의 피적분함수를 대수적으로 고쳐 써서 더 쉽게 계산할 수 있다.

영어 원문 보기

T/F: One can use algebra to rewrite the integrand of an integral to make it easier to evaluate.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

T

원본 교재 풀이(영어)

T

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 6.1절 · 1번

# 치환적분법개념 확인자동 분류

69.APEX · 6.1절 · 3번우리말 번역

연습문제 3–14번에서 치환을 이해하기 위해 다음 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int 3 x^2 \left(x^3-5\right)^7 dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int 3 x^2 \left(x^3-5\right)^7 dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac18(x^3-5)^8+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac18(x^3-5)^8+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 10번

# 치환적분법계산자동 분류

70.APEX · 6.1절 · 4번우리말 번역

연습문제 3–14번에서 치환을 이해하기 위해 다음 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int (2 x-5) \left(x^2-5 x+7\right)^3 dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int (2 x-5) \left(x^2-5 x+7\right)^3 dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac14(x^2-5x+7)^4+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac14(x^2-5x+7)^4+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 4번

# 치환적분법계산자동 분류

71.APEX · 6.1절 · 5번우리말 번역

연습문제 3–14에서 치환에 대한 이해를 키우기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int x \left(x^2+1\right)^8 dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int x \left(x^2+1\right)^8 dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{18} \left(x^2+1\right)^9+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{18} \left(x^2+1\right)^9+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 9번

# 치환적분법계산자동 분류

72.APEX · 6.1절 · 6번우리말 번역

연습문제 3–14에서 치환에 대한 이해를 키우기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int (12 x+14) \left(3 x^2+7 x-1\right)^5 dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int (12 x+14) \left(3 x^2+7 x-1\right)^5 dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac13(3 x^2+7 x-1)^6+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac13(3 x^2+7 x-1)^6+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 8번

# 치환적분법계산자동 분류

73.APEX · 6.1절 · 7번우리말 번역

연습문제 3–14에서 치환에 대한 이해를 키우기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{1}{2 x+7} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{1}{2 x+7} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{1}{2} \ln |2 x+7|+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{1}{2} \ln |2 x+7|+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 64번

# 치환적분법계산자동 분류

74.APEX · 6.1절 · 8번우리말 번역

연습문제 3–14에서 치환에 대한 이해를 키우기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{2 x+3}} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{2 x+3}} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\sqrt{2 x+3}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\sqrt{2 x+3}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.3절 · 11번

# 치환적분법계산자동 분류

75.APEX · 6.1절 · 9번우리말 번역

연습문제 3–14에서 치환에 대한 이해를 키우기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+3}} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{x+3}} dx$

정답·풀이 보기

$\frac23(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2}+C = \frac{2}{3} (x-6) \sqrt{x+3}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac23(x+3)^{3/2}-6(x+3)^{1/2}+C = \frac{2}{3} (x-6) \sqrt{x+3}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 12번

# 치환적분법계산자동 분류

76.APEX · 6.1절 · 10번우리말 번역

연습문제 3~14번에서, 치환을 이해하기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{x^3-x}{\sqrt{x}} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{x^3-x}{\sqrt{x}} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{2}{21} x^{3/2} \left(3 x^2-7\right)+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2}{21} x^{3/2} \left(3 x^2-7\right)+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 4번

# 치환적분법계산자동 분류

77.APEX · 6.1절 · 11번우리말 번역

연습문제 3~14번에서, 치환을 이해하기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$2 e^{\sqrt{x}}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$2 e^{\sqrt{x}}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 22번

# 치환적분법계산자동 분류

78.APEX · 6.1절 · 12번우리말 번역

연습문제 3~14번에서, 치환을 이해하기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{x^4}{\sqrt{x^5+1}} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{2 \sqrt{x^5+1}}{5}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{2 \sqrt{x^5+1}}{5}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 34번

# 치환적분법계산자동 분류

79.APEX · 6.1절 · 13번우리말 번역

연습문제 3~14번에서, 치환을 이해하기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{\frac{1}{x}+1}{x^2} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{\frac{1}{x}+1}{x^2} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$-\frac{1}{2 x^2}-\frac{1}{x}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$-\frac{1}{2 x^2}-\frac{1}{x}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 14번

# 치환적분법계산자동 분류

80.APEX · 6.1절 · 14번우리말 번역

연습문제 3~14번에서, 치환을 이해하기 위해 부정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int \frac{\ln (x)}{x} dx$

영어 원문 보기

In Exercises 3–14, evaluate the indefinite integral to develop an understanding of Substitution.

$\displaystyle \int \frac{\ln (x)}{x} dx$

답 쓰고 채점

부정적분은 끝에 「+ C」 도 붙여요

정답·풀이 보기

$\frac{\ln ^2(x)}{2}+C$

원본 교재 풀이(영어)

$\frac{\ln ^2(x)}{2}+C$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 12번

# 치환적분법계산자동 분류