치환적분법 연습문제 | 빌드라인 스쿨

41.OpenStax 1권 · 5.5절 · 39번우리말 번역

다음 연습문제에서, 변수 변환을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1}x\sqrt{1-{x}^{2}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{1}x\sqrt{1-{x}^{2}}dx$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 26번

# 치환적분법계산자동 분류

42.OpenStax 1권 · 5.5절 · 40번우리말 번역

다음 연습문제에서 변수 변환을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1+{x}^{2}}}dx$

정답·풀이 보기

$u=1+{x}^{2},du=2xdx,\frac{1}{2}{\int }_{1}^{2}{u}^{-1/2}du=\sqrt{2}-1$

원본 교재 풀이(영어)

$u=1+{x}^{2},du=2xdx,\frac{1}{2}{\int }_{1}^{2}{u}^{-1/2}du=\sqrt{2}-1$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 36번

# 치환적분법계산자동 분류

43.OpenStax 1권 · 5.5절 · 41번우리말 번역

다음 연습문제에서 변수 변환을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{2}\frac{t}{\sqrt{5+{t}^{2}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{2}\frac{t}{\sqrt{5+{t}^{2}}}dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 8번

# 치환적분법계산자동 분류

44.OpenStax 1권 · 5.5절 · 42번우리말 번역

다음 연습문제에서 변수 변환을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{3}}}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{1}\frac{{t}^{2}}{\sqrt{1+{t}^{3}}}dt$

정답·풀이 보기

$u=1+{t}^{3},du=3{t}^{2}dt,\frac{1}{3}{\int }_{1}^{2}{u}^{-1/2}du=\frac{2}{3}\left(\sqrt{2}-1\right)$

원본 교재 풀이(영어)

$u=1+{t}^{3},du=3{t}^{2}dt,\frac{1}{3}{\int }_{1}^{2}{u}^{-1/2}du=\frac{2}{3}\left(\sqrt{2}-1\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 30번

# 치환적분법계산자동 분류

45.OpenStax 1권 · 5.5절 · 43번우리말 번역

다음 연습문제에서 변수 변환을 이용하여 정적분의 값을 구하세요.

${\int }_{0}^{\pi /4}{\sec }^{2}\theta \tan \theta d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to evaluate the definite integral.

${\int }_{0}^{\pi /4}{\sec }^{2}\theta \tan \theta d\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 54번

# 치환적분법계산자동 분류

46.OpenStax 1권 · 5.5절 · 45번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int (2x+1){e}^{{x}^{2}+x-6}dx$ , 구간 $[-3,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int (2x+1){e}^{{x}^{2}+x-6}dx$ over $[-3,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 14번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

47.OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ , 구간 $[0,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{\cos (\ln (2x))}{x}dx$ on $[0,2]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째는 함수 f(x) = cos(ln(2x)) / x 의 그래프로, 대략 구간 (0,.25)에서 가파르게 증가한 뒤 x축을 향해 완만하게 감소한다. 두 번째는 함수 f(x) = sin(ln(2x)) 의 그래프로, 대략 구간 (0, .25)에서 가파르게 감소한 뒤 완만한 곡선을 그리며 증가하여 제1사분면으로 들어간다.

부정적분은 $y=\sin (\ln (2x))$ 이다. 이 부정적분은 $x=0$ 에서 연속이 아니므로, $y=\sin (\ln (2x))-C$ 가 정적분이 되도록 하는 C 의 값은 찾을 수 없다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = cos(ln(2x)) / x, which increases sharply over the approximate interval (0,.25) and then decreases gradually to the x axis. The second shows the function f(x) = sin(ln(2x)), which decreases sharply on the approximate interval (0, .25) and then increases in a gently curve into the first quadrant.

The antiderivative is $y=\sin (\ln (2x)).$ Since the antiderivative is not continuous at $x=0,$ one cannot find a value of C that would make $y=\sin (\ln (2x))-C$ work as a definite integral.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 34번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

48.OpenStax 1권 · 5.5절 · 47번우리말 번역

다음 문제에서 상수 $C=0$ 으로 하여 u-치환을 이용해 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음, 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{3{x}^{2}+2x+1}{\sqrt{{x}^{3}+{x}^{2}+x+4}}dx$ , 구간 $[-1,2]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{3{x}^{2}+2x+1}{\sqrt{{x}^{3}+{x}^{2}+x+4}}dx$ over $[-1,2]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 4번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

49.OpenStax 1권 · 5.5절 · 48번우리말 번역

다음 문제에서 $u$ -치환을 이용하여 상수 $C=0$ 인 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$ , 구간 $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int \frac{\sin x}{{\cos }^{3}x}dx$ over $\left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 구간 (-5pi/16, 5pi/16) 에서 함수 f(x) = sin(x) / cos(x)^3 의 그래프이다. 0보다 작은 값에서는 증가하면서 위로 볼록하고, 0보다 큰 값에서는 증가하면서 아래로 볼록하다. 두 번째 그래프는 같은 구간에서 함수 f(x) = ½ sec(x)^2 의 그래프이다. 폭이 넓고 아래로 볼록한 곡선이며, 0보다 작은 값에서는 감소하고 0보다 큰 값에서는 증가한다.

부정적분은 $y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x$ 이다. $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0$ 이 되도록 $C=-2$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

The antiderivative is $y=\frac{1}{2}{\sec }^{2}x.$ You should take $C=-2$ so that $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 15번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

50.OpenStax 1권 · 5.5절 · 49번우리말 번역

다음 문제에서 $u$ -치환을 이용하여 상수 $C=0$ 인 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 그 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하다면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점입니다.

[계산기 사용] $\int (x+2){e}^{-{x}^{2}-4x+3}dx$ , 구간 $[-5,1]$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int (x+2){e}^{-{x}^{2}-4x+3}dx$ over $[-5,1]$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 20번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

51.OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번우리말 번역

다음 연습문제에서 u 치환을 이용하여 상수 $C=0$ 일 때의 부정적분 $\int f(x)dx$ 의 값을 구하세요. 그런 다음 주어진 구간에서 함수와 부정적분의 그래프를 그리세요. 가능하면, 부정적분이 정적분 $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt$ 와 같아지도록 부정적분에 더해야 하는 C 의 값을 어림하세요. 여기서 a 는 주어진 구간의 왼쪽 끝점이다.

[계산기 사용] $[0,1]$ 에서 $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$

영어 원문 보기

In the following exercises, evaluate the indefinite integral $\int f(x)dx$ with constant $C=0$ using u-substitution. Then, graph the function and the antiderivative over the indicated interval. If possible, estimate a value of C that would need to be added to the antiderivative to make it equal to the definite integral $F(x)={\int }_{a}^{x}f(t)dt,$ with a the left endpoint of the given interval.

[T] $\int 3{x}^{2}\sqrt{2{x}^{3}+1}dx$ over $[0,1]$

정답·풀이 보기

그래프 두 개이다. 첫 번째 그래프는 함수 f(x) = 3x^2 * √(2x^3 + 1) 을 나타낸다. 원점에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다. 두 번째 그래프는 함수 f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3) 을 나타낸다. 약 0.3에서 시작하여 증가하며 아래로 볼록한 곡선이다.

부정적분은 $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}$ 이다. $C=-\frac{1}{3}$ 로 잡아야 한다.

원본 교재 풀이(영어)

Two graphs. The first shows the function f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). It is an increasing concave up curve starting at the origin. The second shows the function f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). It is an increasing concave up curve starting at about 0.3.

The antiderivative is $y=\frac{1}{3}{(2{x}^{3}+1)}^{3/2}.$ One should take $C=-\frac{1}{3}.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 52번

# 치환적분법그래프·표 해석자동 분류

52.OpenStax 1권 · 5.5절 · 51번우리말 번역

$h(a)=h(b)$ 일 때, ${\int }_{a}^{b}g'(h(x))h'(x)dx$ 의 값에 대해 무엇을 말할 수 있나요?

영어 원문 보기

If $h(a)=h(b)$ in ${\int }_{a}^{b}g'(h(x))h'(x)dx,$ what can you say about the value of the integral?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 50번

# 치환적분법계산자동 분류

53.OpenStax 1권 · 5.5절 · 52번우리말 번역

정적분 ${\int }_{0}^{2}\frac{x}{1-{x}^{2}}dx$ 에서 치환 $u=1-{x}^{2}$ 을 사용해도 되나요? 안 된다면 그 이유는 무엇인가요?

영어 원문 보기

Is the substitution $u=1-{x}^{2}$ in the definite integral ${\int }_{0}^{2}\frac{x}{1-{x}^{2}}dx$ okay? If not, why not?

정답·풀이 보기

아니요, 피적분함수가 $x=1$ 에서 불연속이기 때문입니다.

원본 교재 풀이(영어)

No, because the integrand is discontinuous at $x=1.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 32번

# 치환적분법계산자동 분류

54.OpenStax 1권 · 5.5절 · 53번우리말 번역

다음 문제에서 치환을 이용하여 각 정적분의 값이 0과 같음을 보이세요.

${\int }_{0}^{\pi }{\cos }^{2}(2\theta )\sin (2\theta )d\theta$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{\pi }{\cos }^{2}(2\theta )\sin (2\theta )d\theta$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 2번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

55.OpenStax 1권 · 5.5절 · 54번우리말 번역

다음 문제에서 변수변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0과 같음을 보이세요.

${\int }_{0}^{\sqrt{\pi }}t\cos ({t}^{2})\sin ({t}^{2})dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{\sqrt{\pi }}t\cos ({t}^{2})\sin ({t}^{2})dt$

정답·풀이 보기

$u=\sin ({t}^{2})$ ; 적분은 $\frac{1}{2}{\int }_{0}^{0}udu$ 이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\sin ({t}^{2});$ the integral becomes $\frac{1}{2}{\int }_{0}^{0}udu.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 42번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

56.OpenStax 1권 · 5.5절 · 55번우리말 번역

다음 문제에서 변수변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0과 같음을 보이세요.

${\int }_{0}^{1}(1-2t)dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{1}(1-2t)dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 2번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

57.OpenStax 1권 · 5.5절 · 56번우리말 번역

다음 문제에서 변수변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0과 같음을 보이세요.

${\int }_{0}^{1}\frac{1-2t}{\left(1+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^{2}\right)}dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{1}\frac{1-2t}{\left(1+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^{2}\right)}dt$

정답·풀이 보기

$u=\left(1+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^{2}\right)$ ; 적분은 $-{\int }_{5/4}^{5/4}\frac{1}{u}du$ 이 된다.

원본 교재 풀이(영어)

$u=\left(1+{\left(t-\frac{1}{2}\right)}^{2}\right);$ the integral becomes $-{\int }_{5/4}^{5/4}\frac{1}{u}du.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 40번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

58.OpenStax 1권 · 5.5절 · 57번우리말 번역

다음 문제에서 변수 변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0임을 보이세요.

${\int }_{0}^{\pi }\sin \left({\left(t-\frac{\pi }{2}\right)}^{3}\right)\cos \left(t-\frac{\pi }{2}\right)dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{\pi }\sin \left({\left(t-\frac{\pi }{2}\right)}^{3}\right)\cos \left(t-\frac{\pi }{2}\right)dt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기Active Calculus · 5.3절 · 11번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

59.OpenStax 1권 · 5.5절 · 58번우리말 번역

다음 문제에서 변수 변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0임을 보이세요.

${\int }_{0}^{2}(1-t)\cos (\pi t)dt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{0}^{2}(1-t)\cos (\pi t)dt$

정답·풀이 보기

$u=1-t$ 이면 정적분은 다음과 같이 된다. $\begin{array}{c}{\int }_{1}^{-1}u\cos (\pi (1-u))du \\ ={\int }_{1}^{-1}u[\cos \pi \cos \pi u-\sin \pi \sin \pi u]du \\ =-{\int }_{1}^{-1}u\cos \pi udu \\ ={\int }_{-1}^{1}u\cos \pi udu=0\end{array}$ 피적분함수가 기함수이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

$u=1-t;$ the integral becomes $\begin{array}{c}{\int }_{1}^{-1}u\cos (\pi (1-u))du \\ ={\int }_{1}^{-1}u[\cos \pi \cos \pi u-\sin \pi \sin \pi u]du \\ =-{\int }_{1}^{-1}u\cos \pi udu \\ ={\int }_{-1}^{1}u\cos \pi udu=0\end{array}$ since the integrand is odd.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.5절 · 46번

# 치환적분법증명·논술자동 분류

60.OpenStax 1권 · 5.5절 · 59번우리말 번역

다음 문제에서 변수 변환을 이용하여 각 정적분의 값이 0임을 보이세요.

${\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}{\sin }^{2}t\cos tdt$

영어 원문 보기

In the following exercises, use a change of variables to show that each definite integral is equal to zero.

${\int }_{\pi /4}^{3\pi /4}{\sin }^{2}t\cos tdt$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.4절 · 14번

# 치환적분법증명·논술자동 분류