정적분의 뜻과 성질 연습문제

141.APEX · 5.2절 · 18번우리말 번역

물체가 64피트의 높이에서 똑바로 위로 던져졌으며, 속도(단위: ft/s)는 $v(t) = -32t+96$ 로 주어진다. 여기서 $t$ 의 단위는 초이다.

(a) 물체의 처음 속도를 구하세요. (b) 물체의 변위가 0이 되는 때는 언제인지 구하세요. (c) 물체가 처음 높이로 되돌아오는 데 걸리는 시간을 구하세요. (d) 물체의 높이가 210피트에 도달하는 때는 언제인지 구하세요.

영어 원문 보기

An object is thrown straight up with a velocity, in ft/s, given by $v(t) = -32t+96$ , where $t$ is in seconds, from a height of 64 feet.

(a) What is the object's initial velocity? (b) When is the object's displacement 0? (c) How long does it take for the object to return to its initial height? (d) When will the object reach a height of 210 feet?

정답·풀이 보기

(a) 96ft/s (b) 6초 (c) 6초 (d) 도달하지 않는다; 최대 높이는 208ft이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) 96ft/s (b) 6 seconds (c) 6 seconds (d) Never; the maximum height is 208ft.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 1번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류

142.APEX · 5.2절 · 19번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^2 \big(f(x)+g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

2

원본 교재 풀이(영어)

2

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 5.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

143.APEX · 5.2절 · 20번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^3 \big(f(x)-g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

5

원본 교재 풀이(영어)

5

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 22번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

144.APEX · 5.2절 · 21번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_2^3 \big(3f(x)+2g(x)\big) \ dx$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

16

원본 교재 풀이(영어)

16

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 58번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

145.APEX · 5.2절 · 22번우리말 번역

연습문제 19–22에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3$ , 그리고
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

다음을 만족하는 0이 아닌 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

영어 원문 보기

In Exercises 19–22, let

$\displaystyle \int_0^2 f(x)\ dx = 5,$
$\displaystyle \int_0^3 f(x) \ dx=7,$
$\displaystyle \int_0^2 g(x)\ dx = -3,$ and
$\displaystyle \int_2^3 g(x)\ dx = 5.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

Find nonzero values for $a$ and $b$ such that

$\displaystyle \int_0^3 \big(af(x)+bg(x)\big) \ dx=0$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 한 가지 해는 $a=-2$ , $b=7$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers can vary; one solution is $a=-2$ , $b=7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.4절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

146.APEX · 5.2절 · 23번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_0^3 \big(s(t) + r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

22

원본 교재 풀이(영어)

22

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 46번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

147.APEX · 5.2절 · 24번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_5^0 \big(s(t) - r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$-7$

원본 교재 풀이(영어)

$-7$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 14번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

148.APEX · 5.2절 · 25번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

$\displaystyle \int_3^3 \big(\pi s(t) - 7r(t)\big)\ dt$

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$0$

원본 교재 풀이(영어)

$0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

149.APEX · 5.2절 · 26번우리말 번역

연습문제 23–26에서 다음과 같다고 하자.

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1$ , 그리고
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11$

이 값들을 이용하여 주어진 정적분의 값을 구하세요.

다음을 만족하는 0이 아닌 $a$ , $b$ 의 값을 구하세요.

$\displaystyle \int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

영어 원문 보기

In Exercises 23–26, let

$\displaystyle \int_0^3 s(t)\ dt = 10,$
$\displaystyle \int_3^5 s(t) \ dt=8,$
$\displaystyle \int_3^5 r(t)\ dt = -1,$ and
$\displaystyle \int_0^5 r(t)\ dt = 11.$

Use these values to evaluate the given definite integrals.

Find nonzero values for $a$ and $b$ such that

$\displaystyle \int_0^5 \big(ar(t)+bs(t)\big) \ dt=0$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 한 가지 해는 $a=-18$ , $b=11$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers can vary; one solution is $a=-18$ , $b=11$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질계산자동 분류

150.CLP-2 · 1.2절 · 2번우리말 번역

$\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b$ 이면, $\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x$ 의 값은 얼마인지 구하세요.

영어 원문 보기

If $\displaystyle\int_0^b \cos x\ \mathrm{d}x=\sin b$ , then what is $\displaystyle\int_a^b \cos x\ \mathrm{d}x$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

등식

$\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}$

을 이용하면 위와 같이 구할 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Using the identity

$\begin{aligned} \int\limits_a^b f(x)\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^c f(x)\ \mathrm{d}x+ \int\limits_c^b f(x)\ \mathrm{d}x\ , \\ \text{ we see} \\ \int\limits_a^b\cos x\ \mathrm{d}x &= \int\limits_a^0 \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\&= -\int\limits_0^a \cos x\ \mathrm{d}x+ \int\limits_0^b \cos x\ \mathrm{d}x\\ &=-\sin a + \sin b\\ &=\sin b - \sin a \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 3번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류

151.CLP-2 · 1.2절 · 3번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 거짓인지 판단하세요. 거짓이면 반례를 제시하고, 참이면 간단히 이유를 설명하세요.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) $f(x)$ 가 기함수이면 $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 이다. (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

영어 원문 보기

Decide whether each of the following statements is true or false. If false, provide a counterexample. If true, provide a brief justification.

(a) $\displaystyle\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=-\displaystyle\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x$ . (b) If $f(x)$ is an odd function, then $\displaystyle \int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ . (c) $\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\cdot g(x) ~\mathrm{d}x =\int_{0}^{1} f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int_{0}^{1} g(x) ~\mathrm{d}x$ .

정답·풀이 보기

(a) 거짓이다. 예를 들어

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<0$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge0$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

이면 $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ 이고 $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ 이다.

(b) 거짓이다. 예를 들어 $f(x)=x$ 이면 $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 음수이고 $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ 는 양수이므로 둘은 같을 수 없다.

(c) 거짓이다. 예를 들어 함수

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x\ge\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} &&\text{그리고}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{$x\ge \frac{1}{2}$일 때} \\ 1 & \text{$x<\frac{1}{2}$일 때} \end{cases} \end{aligned}$

을 생각하자.

그러면 모든 $x$ 에 대해 $f(x)\cdot g(x)=0$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ 이다. 그러나 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이고 $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ 이므로 $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) False. For example if

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$} \\ 1 & \text{for $x\ge0$} \end{cases} \end{aligned}$

then $\int_{-3}^{-2} f(x) \mathrm{d}x=0$ and $-\int_{3}^{2} f(x) \mathrm{d}x=\int^{3}_{2} f(x) \mathrm{d}x=1$ .

(b) False. For example, if $f(x)=x$ , then $\int_{-3}^{-2} f(x)\,\mathrm{d}x$ is negative while $\int_2^3 f(x)\,\mathrm{d}x$ is positive, so they cannot be the same.

(c) False. For example, consider the functions

$\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x\ge\frac{1}{2}$} \end{cases} &&\text{and}&&g(x) = \begin{cases} 0 & \text{for $x\ge \frac{1}{2}$} \\ 1 & \text{for $x<\frac{1}{2}$} \end{cases} \end{aligned}$

Then $f(x)\cdot g(x)=0$ for all $x$ , so $\int_0^1 f(x)\cdot g(x) \mathrm{d}x=0$ . However, $\int_0^1 f(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ and $\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{2}$ , so $\int_0^1 f(x)\mathrm{d}x \cdot \int_0^1 g(x) \mathrm{d}x= \frac{1}{4}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 4번

# 정적분의 뜻과 성질개념 확인기본자동 분류

152.CLP-2 · 1.2절 · 4번우리말 번역

$f(x)$ 가 양의 값만 갖는 함수일 때, $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ 를 어림하기 위해 구간 100개로 오른쪽 리만 합을 만들려고 한다.

(a) $\Delta x$ 는 얼마인지 구하세요. (b) 직사각형의 높이는 양수인지 음수인지 판단하세요. (c) 리만 합은 양수인지 음수인지 판단하세요. (d) $x=0$ 부터 $x=5$ 까지 곡선 $y=f(x)$ 아래의 부호 있는 넓이는 양수인지 음수인지 판단하세요.

영어 원문 보기

Suppose we want to make a right Riemann sum with 100 intervals to approximate $\int\limits_5^0 f(x)\ \mathrm{d}x$ , where $f(x)$ is a function that gives only positive values.

(a) What is $\Delta x$ ? (b) Are the heights of our rectangles positive or negative? (c) Is our Riemann sum positive or negative? (d) Is the signed area under the curve $y=f(x)$ from $x=0$ to $x=5$ positive or negative?

정답·풀이 보기

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

참고: 정적분의 리만 합 정의를 사용한다면, 이것이 등식 $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ 를 정당화하는 방법이다. (b) 직사각형의 높이는 $f(x_i)$ 로 주어지며, 여기서 $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ 이다. $f(x)$ 는 양의 값만 가지므로 $f(x_i) >0$ 이고, 따라서 직사각형의 높이는 양수이다. (c) 리만 합은 각 직사각형의 부호 있는 넓이의 합이다. 각 직사각형은 음수인 밑변( $\Delta x$ )과 양수인 높이( $f(x_i)$ )를 가진다. 따라서 합의 각 항은 음수이다. 음수들을 더하면 합은 음수이다. 그러므로 리만 합은 음수이다. (d) $f(x)$ 는 항상 $x$ 축 위쪽에 있으므로 $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ 는 양수이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\Delta x = \dfrac{b-a}{n}=\dfrac{0-5}{100} = -\dfrac{1}{20}$

Note: if we were to use the Riemann-sum definition of a definite integral, this is how we would justify the identity $\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x=-\int\limits_b^a f(x)\mathrm{d}x$ . (b) The heights of the rectangles are given by $f(x_i)$ , where $x_i = a+i\Delta x = 5 - \frac{i}{20}$ . Since $f(x)$ only gives positive values, $f(x_i) >0$ , so the heights of the rectangles are positive. (c) Our Riemann sum is the sum of the signed areas of individual rectangles. Each rectangle has a negative base ( $\Delta x$ ) and a positive height ( $f(x_i)$ ). So, each term of our sum is negative. If we add up negative numbers, the sum is negative. So, the Riemann sum is negative. (d) Since $f(x)$ is always above the $x$ -axis, $\int\limits_0^5 f(x)\mathrm{d}x$ is positive.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 12번

# 정적분의 뜻과 성질계산기본자동 분류

153.CLP-2 · 1.2절 · 12번우리말 번역

$\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

먼저 가법성을 이용한다:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

첫 번째 정적분은 높이가 5이고 너비가 4인 직사각형의 넓이를 나타내므로 $20$ 이다. 두 번째 정적분은 $x$ 축 위쪽이면서 곡선 $y=\sqrt{4-x^2}$ 또는 $x^2+y^2=4$ 아래쪽인 영역의 넓이를 나타낸다. 이것은 반지름이 2인 반원이고, 그 넓이는 $\frac{1}{2}\pi 2^2$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We first use additivity:

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = \int_{-2}^{2} 5\,\mathrm{d}x + \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,\mathrm{d}x \end{aligned}$

The first integral represents the area of a rectangle of height 5 and width 4 and so equals $20$ . The second integral represents the area above the $x$ –axis and below the curve $y=\sqrt{4-x^2}$ or $x^2+y^2=4$ . That is a semicircle of radius 2, which has area $\frac{1}{2}\pi 2^2$ . So

$\begin{aligned} \int_{-2}^{2} \left(5+\sqrt{4-x^2}\right)\mathrm{d}x = 20 + 2\pi \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 17번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

154.CLP-2 · 1.2절 · 15번우리말 번역

$\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ 의 값을 구하세요.

영어 원문 보기

Evaluate $\displaystyle\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

피적분함수 $f(x)=(x-3)^3$ 은 우함수도 기함수도 아니다. 그러나 이와 비슷한 대칭성을 가진다. 즉, $f(3+x)=-f(3-x)$ 이다. 따라서 $f$ 는 직선 $x=3$ 에 대해 "음의 대칭"이다. 이로부터 적분값이 0이 되리라고 짐작할 수 있다. $x=3$ 의 오른쪽에 있는 양의 넓이는 $x=3$ 의 왼쪽에 있는 음의 넓이와 같기 때문이다.

이를 확인하는 또 다른 방법은 $f(x)=(x-3)^3$ 의 그래프가 $g(x)=x^3$ 의 그래프를 오른쪽으로 3만큼 평행이동한 것과 같고, $g(x)$ 는 기함수라는 점에 주목하는 것이다. 따라서 $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

원본 교재 풀이(영어)

Our integrand $f(x)=(x-3)^3$ is neither even nor odd. However, it does have a similar symmetry. Namely, $f(3+x)=-f(3-x)$ . So, $f$ is “negatively symmetric" across the line $x=3$ . This suggests that the integral should be 0: the positive area to the right of $x=3$ will be the same as the negative area to the left of $x=3$ .

Another way to see this is to notice that the graph of $f(x)=(x-3)^3$ is equivalent to the graph of $g(x)=x^3$ shifted three units to the right, and $g(x)$ is an odd function. So, $\int_{0}^6 (x-3)^3\,\mathrm{d}x = \int_{-3}^3 x^3\,\mathrm{d}x=0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 20번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

155.CLP-2 · 1.2절 · 16번우리말 번역

어떤 (양의 값이라고 하자) 상수 $a$ , $b$ 에 대하여 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 의 넓이를 구하려고 한다.

(a) 이 방정식을 타원의 위쪽 절반에 대해 푸세요. 답은 “ $y=\cdots$ " 꼴이어야 합니다. (b) 타원의 위쪽 절반의 넓이를 나타내는 적분을 쓰세요. 적분의 성질을 이용하여 피적분함수가 원의 위쪽 절반처럼 보이게 하세요. (c) 기하학적 방법과 (b)의 답을 이용하여 타원의 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

We want to compute the area of an ellipse, $(ax)^2+(by)^2=1$ for some (let's say positive) constants $a$ and $b$ .

(a) Solve the equation for the upper half of the ellipse. It should have the form “ $y=\cdots$ " (b) Write an integral for the area of the upper half of the ellipse. Using properties of integrals, make the integrand look like the upper half of a circle. (c) Using geometry and your answer to part (b), find the area of the ellipse.

정답·풀이 보기

(a) $\begin{aligned} (ax)^2+(by)^2&=1\\ by&=\sqrt{1-(ax)^2}\\ y &= \frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2} \end{aligned}$ (b) 위 함수의 정의역에 속하는 $x$ 의 값은 $1-(ax)^2 \geq 0$ 을 만족하는 값이다. 즉 $-\frac{1}{a}\leq x \leq \frac{1}{a}$ 이다. 따라서 타원의 위쪽 절반의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{b}&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{1-(ax)^2}\ \mathrm{d}x \\ \text{원의 위쪽 절반의 방정식은 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 이다. } \\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{a^2\left(\frac{1}{a^2}-x^2\right)}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}a\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{a}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$ (c) 함수 $y=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-x^2}$ 은 원점을 중심으로 하고 반지름이 $\dfrac{1}{a}$ 인 원의 위쪽 절반이다. 따라서 (b)의 식의 값은 $\left(\dfrac{a}{b}\right)\dfrac{\pi}{2a^2} = \dfrac{\pi}{2ab}$ 이다.

(b)의 식은 타원의 절반이었으므로, 타원의 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

참고: 이 방법은 결과를 얻기에는 다소 길게 돌아가는 방법이었다. 기본적인 추론은 다음과 같다.

단위원 $x^2+y^2=1$ 의 넓이는 $\pi$ 이다.
타원 $(ax)^2+y^2=1$ 은 단위원을 가로 방향으로 $a$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{a}$ 이다.
또한 타원 $(ax)^2+(by)^2=1$ 은 앞의 타원을 세로 방향으로 $b$ 배만큼 줄인 것이다. 따라서 그 넓이는 $\dfrac{\pi}{ab}$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\begin{aligned} (ax)^2+(by)^2&=1\\ by&=\sqrt{1-(ax)^2}\\ y &= \frac{1}{b}\sqrt{1-(ax)^2} \end{aligned}$ (b) The values of $x$ in the domain of the function above are those that satisfy $1-(ax)^2 \geq 0$ . That is, $-\frac{1}{a}\leq x \leq \frac{1}{a}$ . Therefore, the upper half of the ellipse has area

$\begin{aligned} \displaystyle\frac{1}{b}&\displaystyle\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{1-(ax)^2}\ \mathrm{d}x \\ \text{The upper half of a circle has equation $y=\sqrt{r^2-x^2}$. } \\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{a^2\left(\frac{1}{a^2}-x^2\right)}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}a\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x\\ &=\frac{a}{b}\int_{-\frac{1}{a}}^{\frac{1}{a}}\sqrt{\frac{1}{a^2}-x^2}\ \mathrm{d}x \end{aligned}$ (c) The function $y=\sqrt{\dfrac{1}{a^2}-x^2}$ is the upper-half of the circle centred at the origin with radius $\dfrac{1}{a}$ . So, the expression from (b) evaluates to $\left(\dfrac{a}{b}\right)\dfrac{\pi}{2a^2} = \dfrac{\pi}{2ab}$ .

The expression from (b) was half of the ellipse, so the area of the ellipse is $\dfrac{\pi}{ab}$ .

Remark: this was a slightly long-winded way of getting the result. The reasoning is basically this:

The area of the unit circle $x^2+y^2=1$ is $\pi$ .
The ellipse $(ax)^2+y^2=1$ is obtained by shrinking the unit circle horizontally by a factor of $a$ . So, its area is $\dfrac{\pi}{a}$ .
Further, the ellipse $(ax)^2+(by)^2=1$ is obtained from the previous ellipse by shrinking it vertically by a factor of $b$ . So, its area is $\dfrac{\pi}{ab}$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 15번

# 정적분의 뜻과 성질활용도전자동 분류

156.CLP-2 · 1.2절 · 17번우리말 번역

다음 표를 채우세요: (우함수/기함수)와 (우함수/기함수)의 곱은 (우함수/기함수)이다. 두 함수 모두 모든 실수에서 정의되어 있다고 가정해도 됩니다.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

영어 원문 보기

Fill in the following table: the product of an (even/odd) function with an (even/odd) function is an (even/odd) function. You may assume that both functions are defined for all real numbers.

$\begin{array}{|c||c|c|}\hline \times & \text{even} & \text{odd} \\ \hline \hline \text{even} & & \\ \hline \text{odd} & & \\ \hline \end{array}$

정답·풀이 보기

우함수와 기함수의 정의를 떠올려 보자. $f(x)$ 가 우함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=f(x)$ 라는 뜻이고, $f(x)$ 가 기함수라는 것은 정의역에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(-x)=-f(x)$ 라는 뜻이다.

$h(x)=f(x)\cdot g(x)$ 라 하자.

**우함수 $\times$ 우함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 우함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**기함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 와 $g$ 가 모두 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 우함수이다.
**우함수 $\times$ 기함수: ** $f$ 가 우함수이고 $g$ 가 기함수이면 $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ 이므로 두 함수의 곱은 기함수이다. 곱셈은 교환법칙이 성립하므로 두 함수를 곱하는 순서는 상관없다.

이 표는 함수가 아니라 짝수와 홀수인 수를 (곱하는 것이 아니라) 더할 때의 표와 같음을 알 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Let's recall the definitions of even and odd functions: $f(x)$ is even if $f(-x)=f(x)$ for every $x$ in its domain, and $f(x)$ is odd if $f(-x)=-f(x)$ for every $x$ in its domain.

Let $h(x)=f(x)\cdot g(x)$ .

**even $\times$ even: ** If $f$ and $g$ are both even, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**odd $\times$ odd: ** If $f$ and $g$ are both odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) =[- f(x)]\cdot [-g(x)]=f(x)\cdot g(x)=h(x)$ , so their product is even.
**even $\times$ odd: ** If $f$ is even and $g$ is odd, then $h(-x)=f(-x)\cdot g(-x) = f(x)\cdot[- g(x)]=-[f(x)\cdot g(x)]=-h(x)$ , so their product is odd. Because multiplication is commutative, the order we multiply the functions in doesn't matter.

We note that the table would be the same as if we were adding (not multiplying) even and odd numbers (not functions).

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 16번

# 정적분의 뜻과 성질그래프·표 해석도전자동 분류

157.CLP-2 · 1.2절 · 18번우리말 번역

$f(x)$ 는 기함수이고 $g(x)$ 는 우함수이며, 둘 다 $x=0$ 에서 정의되어 있다고 하자. $f(0)$ 과 $g(0)$ 이 가질 수 있는 값은 무엇인지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is an odd function and $g(x)$ is an even function, both defined at $x=0$ . What are the possible values of $f(0)$ and $g(0)$ ?

정답·풀이 보기

$f(x)$ 가 기함수이므로 $f(0)=-f(-0)=-f(0)$ 이다. 따라서 $f(0)=0$ 이다.

그러나 이 제한은 $g(x)$ 에는 적용되지 않는다. 예를 들어 임의의 상수 $c$ 에 대해 $g(x)=c$ 라 하자. 그러면 $g(x)$ 는 우함수이고 $g(0)=c$ 이다. 따라서 $g(0)$ 은 임의의 실수일 수 있다.

원본 교재 풀이(영어)

Since $f(x)$ is odd, $f(0)=-f(-0)=-f(0)$ . So, $f(0)=0$ .

However, this restriction does not apply to $g(x)$ . For example, for any constant $c$ , let $g(x)=c$ . Then $g(x)$ is even and $g(0)=c$ . So, $g(0)$ can be any real number.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 20번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

158.CLP-2 · 1.2절 · 19번우리말 번역

$f(x)$ 가 모든 실수에서 정의된 함수이고 우함수이면서 동시에 기함수라고 하자. $f(x)$ 는 무엇일 수 있는지 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose $f(x)$ is a function defined on all real numbers that is both even and odd. What could $f(x)$ be?

정답·풀이 보기

$x$ 를 임의의 실수라 하자.

$f(x)=f(-x)$ ( $f(x)$ 가 우함수이므로), 그리고
$f(x)=-f(-x)$ ( $f(x)$ 가 기함수이므로).
따라서 $f(x)=-f(x)$ 이다.
그러면 (양변에 $f(x)$ 를 더하면) $2f(x)=0$ 이므로 $f(x)=0$ 이다.

따라서 모든 $x$ 에 대해 $f(x)=0$ 이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $x$ be any real number.

$f(x)=f(-x)$ (since $f(x)$ is even), and
$f(x)=-f(-x)$ (since $f(x)$ is odd).
So, $f(x)=-f(x)$ .
Then (adding $f(x)$ to both sides) we see $2f(x)=0$ , so $f(x)=0$ .

So, $f(x)=0$ for every $x$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 18번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

159.CLP-2 · 1.2절 · 20번우리말 번역

우함수의 도함수는 우함수인가요, 기함수인가요? 기함수의 도함수는 우함수인가요, 기함수인가요?

영어 원문 보기

Is the derivative of an even function even or odd? Is the derivative of an odd function even or odd?

정답·풀이 보기

풀이 1: $f(x)$ 가 기함수라 하자. 합성함수의 미분법을 이용하여 $f'(x)$ 를 알아본다.

$\begin{aligned} f(-x)&=-f(x)& \text{(기함수)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-f(x)\}\\ -f'(-x)&=-f'(x) & \text{(합성함수의 미분법)}\\ f'(-x)&=f'(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 가 기함수이면 $f'(x)$ 는 우함수이다.

마찬가지로 $f(x)$ 가 우함수라 하자.

$\begin{aligned} f(-x)&=f(x)& \text{(우함수)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\\ -f'(-x)&=f'(x) & \text{(합성함수의 미분법)}\\ f'(-x)&=-f'(x) \end{aligned}$

따라서 $f(x)$ 가 우함수이면 $f'(x)$ 는 기함수이다.

풀이 2: 이 문제를 생각하는 다른 방법은 함수를 “뒤집으면" 도함수의 부호가 바뀐다는 점에 주목하는 것이다. 우함수는 ( $y$ 축에 대해) “한 번 뒤집은" 것이므로 $f'(x)=-f'(-x)$ 가 성립해야 하고, 따라서 우함수의 도함수는 기함수여야 한다. 기함수는 ( $y$ 축에 대해, 그리고 $x$ 축에 대해) “두 번 뒤집은" 것이므로 $f'(x)=-(-f'(-x))=f'(-x)$ 가 성립해야 한다. 따라서 기함수의 도함수는 우함수여야 한다. 이러한 생각을 아래에서 더 자세히 설명한다.

먼저 $f(x)$ 가 우함수인 경우를 생각하고 $f'(x)$ 를 알아본다.

함수 전체가 $y$ 축에 대해 거울처럼 대칭이다. 따라서 $x$ 와 $-x$ 에서 함수의 “가파른 정도"는 같지만, 한쪽이 증가하면 다른 쪽은 감소한다. 즉, $f'(-x)=-f'(x)$ 이다. (위 그림에서 어떤 점 $a_i$ 에서의 기울기와 그에 대응하는 점 $-a_i$ 에서의 기울기를 비교해 보라.) 따라서 $f(x)$ 가 우함수이면 $f'(x)$ 는 기함수이다.

다음으로 $f(x)$ 가 기함수인 경우를 생각하고 $f'(x)$ 를 알아본다. 아래의 파란색 그래프가 $y=f(x)$ 라 하자. 만약 $f(x)$ 가 우함수라면 $y$ 축의 왼쪽에서 주황색 그래프와 같은 모양일 것이며, 이를 $y=g(x)$ 라 하자.

위에서 살펴본 내용으로부터, 모든 $x>0$ 에 대해 $-f'(x)=g'(-x)$ 임을 안다. $x<0$ 일 때 $f(x)=-g(x)$ 이다. 따라서 $x>0$ 이면 $-f'(x)=g'(-x)=-f'(-x)$ 이다. 다시 말해 $f'(x)=f'(-x)$ 이다. 마찬가지로 $x<0$ 이면 $f'(x)=-g'(x)=f'(-x)$ 이다. 그러므로 $f'(x)$ 는 우함수이다. (아래 그래프에서 $f'(a_i)=f'(-a_i)$ 임을 대략 확인해 볼 수 있다.)

원본 교재 풀이(영어)

Solution 1: Suppose $f(x)$ is an odd function. We investigate $f'(x)$ using the chain rule:

$\begin{aligned} f(-x)&=-f(x)& \text{(odd function)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{-f(x)\}\\ -f'(-x)&=-f'(x) & \text{(chain rule)}\\ f'(-x)&=f'(x) \end{aligned}$

So, when $f(x)$ is odd, $f'(x)$ is even.

Similarly, suppose $f(x)$ is even.

$\begin{aligned} f(-x)&=f(x)& \text{(even function)}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(-x)\}&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\{f(x)\}\\ -f'(-x)&=f'(x) & \text{(chain rule)}\\ f'(-x)&=-f'(x) \end{aligned}$

So, when $f(x)$ is even, $f'(x)$ is odd.

Solution 2: Another way to think about this problem is to notice that “mirroring" a function changes the sign of its derivative. Then since an even function is “mirrored once" (across the $y$ -axis), it should have $f'(x)=-f'(-x)$ , and so the derivative of an even function should be an odd function. Since an odd function is “mirrored twice" (across the $y$ -axis and across the $x$ -axis), it should have $f'(x)=-(-f'(-x))=f'(-x)$ . So the derivative of an odd function should be even. These ideas are presented in more detail below.

First, we consider the case where $f(x)$ is even, and investigate $f'(x)$ .

The whole function has a mirror-like symmetry across the $y$ -axis. So, at $x$ and $-x$ , the function will have the same “steepness," but if one is increasing then the other is decreasing. That is, $f'(-x)=-f'(x)$ . (In the picture above, compare the slope at some point $a_i$ with its corresponding point $-a_i$ .) So, $f'(x)$ is odd when $f(x)$ is even.

Second, let's consider the case where $f(x)$ is odd, and investigate $f'(x)$ . Suppose the blue graph below is $y=f(x)$ . If $f(x)$ were even, then to the left of the $y$ -axis, it would look like the orange graph, which we'll call $y=g(x)$ .

From our work above, we know that, for every $x>0$ , $-f'(x)=g'(-x)$ . When $x<0$ , $f(x)=-g(x)$ . So, if $x>0$ , then $-f'(x)=g'(-x)=-f'(-x)$ . In other words, $f'(x)=f'(-x)$ . Similarly, if $x<0$ , then $f'(x)=-g'(x)=f'(-x)$ . Therefore $f'(x)$ is even. (In the graph below, you can anecdotally verify that $f'(a_i)=f'(-a_i)$ .)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-2 · 1.2절 · 19번

# 정적분의 뜻과 성질계산도전자동 분류

160.Active Calculus · 4.3절 · 10번우리말 번역

움직이는 물체의 속도가 $v(t) = t(t-1)(t-3)$ (단위: 피트/초)로 주어지고, 이 함수는 $0 \le t \le 4$ 에서 성립한다고 하자.

(a) 구간 $[0,4]$ 에서 물체의 위치 변화량의 총합과 값이 같은, 정적분을 이용한 식을 쓰세요. (b) 적절한 도구(애플릿 등)를 사용하여 리만 합을 계산해 구간 $[0,4]$ 에서 물체의 위치 변화량의 총합을 어림하세요. 어림값이 소수 둘째 자리까지 정확하도록 계산하고, 그렇다고 판단한 근거를 설명하세요. (c) 구간 $[0,4]$ 에서 물체가 이동한 총 거리와 값이 같은, 정적분을 이용한 식을 쓰세요. (d) 적절한 도구를 사용하여 리만 합을 계산해 구간 $[0,4]$ 에서 물체가 이동한 총 거리를 어림하세요. 어림값이 소수 둘째 자리까지 정확하도록 계산하고, 그렇다고 판단한 근거를 설명하세요. (e) 구간 $[0,4]$ 에서 물체의 평균 속도를 소수 둘째 자리까지 정확하게 구하세요.

영어 원문 보기

Suppose that the velocity of a moving object is given by $v(t) = t(t-1)(t-3)$ , measured in feet per second, and that this function is valid for $0 \le t \le 4$ .

(a) Write an expression involving definite integrals whose value is the total change in position of the object on the interval $[0,4]$ . (b) Use appropriate technology (such as an applet) to compute Riemann sums to estimate the object's total change in position on $[0,4]$ . Work to ensure that your estimate is accurate to two decimal places, and explain how you know this to be the case. (c) Write an expression involving definite integrals whose value is the total distance traveled by the object on $[0,4]$ . (d) Use appropriate technology to compute Riemann sums to estimate the object's total distance travelled on $[0,4]$ . Work to ensure that your estimate is accurate to two decimal places, and explain how you know this to be the case. (e) What is the object's average velocity on $[0,4]$ , accurate to two decimal places?

정답·풀이 보기

(a) $v(t) = 0$ 인 때는 $t = 0$ , $t = 1$ , $t = 3$ 이고, 구간 $0 < t < 1$ 과 $3 < t < 4$ 에서는 $v(t)$ 가 양수이며, $1 < t < 3$ 에서는 $v(t)$ 가 음수이다. 따라서 물체의 위치 변화량의 총합 $P$ 는 다음과 같다. $P = \int_0^1 v(t) \, dt + \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt = \int_0^4 v(t) \, dt\,.$ (b) 계산 도구를 이용하여 중점 규칙으로 위치 변화량의 총합 $\int_0^4 v(t) \, dt$ 를 어림한다. $M_{25} = 2.6496$ , $M_{50} = 2.6624$ , $M_{75} = 2.66477$ , $M_{100} = 2.6656$ 을 얻는다. 소구간의 수를 늘려도 소수 첫째 자리와 둘째 자리가 변하지 않는 것으로 보이므로, $P = \int_0^4 v(t) \, dt \approx 2.665$ 는 소수 둘째 자리까지 정확하다고 할 수 있다. (c) (a)에서 $v(t)$ 의 부호를 살펴보았다. 특히 $1 < t < 3$ 에서 $v(t) < 0$ 이므로 $\int_1^3 v(t) \, dt$ 는 음의 위치 변화량을 준다. 따라서 이 구간에서 이동한 거리는 $-\int_1^3 v(t) \, dt$ 이고, 구간 $[0,4]$ 에서 이동한 총 거리 $D$ 는 다음과 같다. $D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt\,.$ (d) 리만 합으로 $D$ 를 어림하려면 세 정적분을 각각 어림해야 한다. 그 결과는 다음과 같다.

$\int_0^1 v(t) \, dt \approx M_{100} = 0.41669$ ,
$\int_1^3 v(t) \, dt \approx M_{100} = -2.6668$ , 그리고
$\int_1^4 v(t) \, dt \approx M_{100} = 4.91667$ $M_n$ 에서 여러 가지 $n$ 의 값으로 계산해 보면, 이 각각의 어림값은 적어도 소수 $3$ 째 자리까지 정확함을 알 수 있다. 따라서 이들의 합은 적어도 소수 $2$ 째 자리까지 정확하리라 기대할 수 있다. 그러므로 $D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt \approx 0.41669 - (-2.6668) + 4.91667 = 8.00016\,.$ 따라서 $D \approx 8.00016$ 은 적어도 소수 $2$ 째 자리까지 정확한 이동 거리의 어림값이다. (e) 구간 $[0,4]$ 에서의 평균 속도는 다음 적분식으로 주어진다. $v_{\operatorname{AVG} [0,4]} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 v(t) \, dt\,.$ (b)에서 이 정적분을 어림했으므로 그 결과를 이용하면 $v_{\operatorname{AVG} [0,4]} \approx \frac{1}{4-0} 2.665 = 0.66625$ 피트/초가 물체의 평균 속도이며, 적어도 소수 둘째 자리까지 정확하다. 위치 변화량의 총합이 양수이므로 평균 속도가 양수인 것은 타당하다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We observe that $v(t) = 0$ at $t = 0$ , $t = 1$ , and $t = 3$ , and $v(t)$ is positive on the intervals $0 < t < 1$ and $3 < t < 4$ , while $v(t)$ is negative on $1 < t < 3$ . The total change in position, $P$ , of the object is thus given by $P = \int_0^1 v(t) \, dt + \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt = \int_0^4 v(t) \, dt\,.$ (b) Using computational technology, we use the midpoint rule to estimate the total change of position, $\int_0^4 v(t) \, dt$ . We find that $M_{25} = 2.6496$ , $M_{50} = 2.6624$ , $M_{75} = 2.66477$ , and $M_{100} = 2.6656$ . Since it appears that neither of the first two decimal places are changing as we increase the number of subintervals, it looks like $P = \int_0^4 v(t) \, dt \approx 2.665$ is accurate to two decimal places. (c) We noted in (a) where $v(t)$ is positive and negative. In particular, on $1 < t < 3$ , $v(t) < 0$ , and thus $\int_1^3 v(t) \, dt$ will give us a negative change in position; the distance traveled on this interval is therefore $-\int_1^3 v(t) \, dt$ , and hence the total distance traveled, $D$ , on $[0,4]$ is $D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt\,.$ (d) To use Riemann sums to estimate $D$ , we have to estimate each of the three integrals individually. We find that

$\int_0^1 v(t) \, dt \approx M_{100} = 0.41669$ ,
$\int_1^3 v(t) \, dt \approx M_{100} = -2.6668$ , and
$\int_1^4 v(t) \, dt \approx M_{100} = 4.91667$ From experimenting with different $n$ -values in $M_n$ , it is apparent that each of these individual estimates is accurate to at least $3$ decimal places, and thus we expect their sum to be accurate to at least $2$ . Hence, $D = \int_0^1 v(t) \, dt - \int_1^3 v(t) \, dt + \int_3^4 v(t) \, dt \approx 0.41669 - (-2.6668) + 4.91667 = 8.00016\,.$ Therefore $D \approx 8.00016$ is an estimate of distance traveled accurate to at least $2$ decimal places. (e) We know that the average velocity on $[0,4]$ is given by the integral expression $v_{\operatorname{AVG} [0,4]} = \frac{1}{4-0} \int_0^4 v(t) \, dt\,.$ We estimated the definite integral in (b), so using that result, $v_{\operatorname{AVG} [0,4]} \approx \frac{1}{4-0} 2.665 = 0.66625$ feet per second is the object's average velocity, accurate to at least two decimal places. It makes sense that the average velocity is positive since the total change in position is positive.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 5.2절 · 24번

# 정적분의 뜻과 성질활용자동 분류