함수의 연속 연습문제 | 빌드라인 스쿨

21.OpenStax 1권 · 2.4절 · 18번우리말 번역

다음 문제에서 주어진 구간에서 각 함수가 연속이 되도록 하는 k 의 값을 모두 구하세요.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

영어 원문 보기

In the following exercises, find the value(s) of k that makes each function continuous over the given interval.

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{kx}, & 0\le x<4 \\ x+3, & 4\le x\le 8\end{array}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 1.5절 · 1번

# 함수의 연속계산자동 분류

22.OpenStax 1권 · 2.4절 · 20번우리말 번역

$h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ 라 하자. 구간 $[0,4]$ 에서 $h(0)<10$ 이고 $h(4)>10$ 이지만 $h(x)=10$ 인 x 의 값은 없다. 이것이 사잇값 정리에 모순되지 않는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $h(x)=\left\{\begin{array}{ll}3{x}^{2}-4, & x\le 2 \\ 5+4x, & x>2\end{array}\right.$ Over the interval $[0,4],$ there is no value of x such that $h(x)=10,$ although $h(0)<10$ and $h(4)>10.$ Explain why this does not contradict the IVT.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 5번

# 함수의 연속계산자동 분류

23.OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번우리말 번역

직선을 따라 움직이는 입자의 시각 t 에서의 위치 함수 $s(t)$ 가 연속이라 하자. $s(2)=5$ 이고 $s(5)=2$ 라 하자. 또 다른 입자는 위치가 $h(t)=s(t)-t$ 로 주어지도록 움직인다. $2<c<5$ 이고 $h(c)=0$ 인 값 c 가 반드시 존재하는 이유를 설명하세요.

영어 원문 보기

A particle moving along a line has at each time t a position function $s(t),$ which is continuous. Assume $s(2)=5$ and $s(5)=2.$ Another particle moves such that its position is given by $h(t)=s(t)-t.$ Explain why there must be a value c for $2<c<5$ such that $h(c)=0.$

정답·풀이 보기

s 와 $y=t$ 는 모든 곳에서 연속이므로 $h(t)=s(t)-t$ 도 모든 곳에서 연속이고, 특히 닫힌구간 $[2,5]$ 에서 연속이다. 또한 $h(2)=3>0$ 이고 $h(5)=-3<0$ 이다. 따라서 사잇값 정리에 의해 $h(c)=0$ 인 값 $x=c$ 가 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Since both s and $y=t$ are continuous everywhere, then $h(t)=s(t)-t$ is continuous everywhere and, in particular, it is continuous over the closed interval $[2,5].$ Also, $h(2)=3>0$ and $h(5)=-3<0.$ Therefore, by the IVT, there is a value $x=c$ such that $h(c)=0.$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속계산자동 분류

24.OpenStax 1권 · 2.4절 · 22번우리말 번역

[계산기 사용] “t 의 코사인 값은 t 의 세제곱과 같다.”라는 문장을 이용하세요.

a. 이 문장을 수학적 방정식으로 나타내세요. b. a의 방정식이 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이세요. c. 계산기를 이용하여 해를 포함하는 길이 0.01 의 구간을 구하세요.

영어 원문 보기

[T] Use the statement “The cosine of t is equal to t cubed.”

a. Write a mathematical equation of the statement. b. Prove that the equation in part a. has at least one real solution. c. Use a calculator to find an interval of length 0.01 that contains a solution.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

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# 함수의 연속증명·논술자동 분류

25.OpenStax 1권 · 2.4절 · 23번우리말 번역

사잇값 정리를 적용하여 ${2}^{x}={x}^{3}$ 이 구간 $[1.25,1.375]$ 또는 $[1.375,1.5]$ 중 하나에서 해를 갖는지 판단하세요. 각 구간에 대해 답을 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Apply the IVT to determine whether ${2}^{x}={x}^{3}$ has a solution in one of the intervals $[1.25,1.375]$ or $[1.375,1.5].$ Briefly explain your response for each interval.

정답·풀이 보기

함수 $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ 은 구간 $[1.25,1.375]$ 에서 연속이고 양 끝점에서 부호가 반대이다.

원본 교재 풀이(영어)

The function $f(x)={2}^{x}-{x}^{3}$ is continuous over the interval $[1.25,1.375]$ and has opposite signs at the endpoints.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 21번

# 함수의 연속계산자동 분류

26.OpenStax 1권 · 2.4절 · 24번우리말 번역

다음 그래프에 나타난 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 생각하세요.

사잇값 정리를 나타낸 그림이다. 구간 (a,b) 에서 연속인 임의의 곡선 모양 함수가 그려져 있다. 점 fa. 와 fb. 가 표시되어 있고, a, b, fa., fb. 에서 각각 점 (a, fa.) 와 (b, fb.) 로 점선이 그어져 있다. a 와 b 사이에 세 번째 점 c 가 찍혀 있다. 함수가 연속이므로 곡선 위에 fc. 의 값이 존재하며, c 에서 (c, fc.) 로, 그리고 (c, fc.) 에서 y축 위의 fc. 로 선이 그어져 있고, 이 값은 y축에서 z 로 표시되어 있다.

a. 함수가 불연속인 값을 모두 구하세요. b. a에서 구한 각 값에 대해, 연속의 정의를 적용할 수 없는 이유를 말하세요. c. 각 불연속을 점프(도약), 제거 가능, 무한 중 하나로 분류하세요.

영어 원문 보기

Consider the graph of the function $y=f(x)$ shown in the following graph.

a. Find all values for which the function is discontinuous. b. For each value in part a., state why the formal definition of continuity does not apply. c. Classify each discontinuity as either jump, removable, or infinite.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 20번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

27.OpenStax 1권 · 2.4절 · 25번우리말 번역

$f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}$ 라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(1)=k$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 k 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\{\begin{array}{c}3x,x>1 \\ {x}^{3},x<1\end{array}.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find a value k such that $f(1)=k,$ which makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

정답·풀이 보기

a.

주어진 구간별로 정의된 함수의 그래프로, 두 부분으로 이루어져 있다. 첫 번째 부분은 x^3 으로, x < 1 에서 존재하며 (1,1) 에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째 부분은 3x 로, x > 1 에서 존재한다. 이 부분은 (1,3) 에서 속이 빈 원으로 시작한다.

b. 이 불연속은 점프 불연속이므로 $f(1)$ 을 다시 정의하는 것은 불가능하다.

원본 교재 풀이(영어)

a.

A graph of the given piecewise function containing two segments. The first, x^3, exists for x < 1 and ends with an open circle at (1,1). The second, 3x, exists for x > 1. It beings with an open circle at (1,3).

b. It is not possible to redefine $f(1)$ since the discontinuity is a jump discontinuity.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 15번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

28.OpenStax 1권 · 2.4절 · 26번우리말 번역

$x\ne -1,1$ 에 대해 $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ 이라고 하세요.

a. f 의 그래프를 그리세요. b. $f(-1)={k}_{1}$ 과 $f(1)={k}_{2}$ 로 정의하여 $f(x)$ 가 모든 실수에서 연속이 되게 하는 값 ${k}_{1}$ 과 ${k}_{2}$ 를 찾는 것이 가능한지 판단하세요. 간단히 설명하세요.

영어 원문 보기

Let $f(x)=\frac{{x}^{4}-1}{{x}^{2}-1}$ for $x\ne -1,1.$

a. Sketch the graph of f. b. Is it possible to find values ${k}_{1}$ and ${k}_{2}$ such that $f(-1)={k}_{1}$ and $f(1)={k}_{2},$ and that makes $f(x)$ continuous for all real numbers? Briefly explain.

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

29.OpenStax 1권 · 2.4절 · 27번우리말 번역

성질 i.부터 vi.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $(-\infty ,+\infty )$ 이다. ii. f 는 $x=-6$ 에서 무한 불연속이다. iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f 는 $x=3$ 에서 좌연속이지만 우연속은 아니다.

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through vi.

i. The domain of f is $(-\infty ,+\infty ).$ ii. f has an infinite discontinuity at $x=-6.$ iii. $f(-6)=3$ iv. $\lim_{x\to {-3}^{-}}f(x)=\lim_{x\to {-3}^{+}}f(x)=2$ v. $f(-3)=3$ vi. f is left continuous but not right continuous at $x=3.$

정답·풀이 보기

답은 여러 가지가 가능하다. 다음은 한 예이다.

여러 선분과 곡선으로 이루어진 구간별로 정의된 함수의 그래프이다. 첫 번째는 x < -8 에서 존재하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 (-8,-8)에서 속이 빈 원으로 끝난다. 두 번째는 -8 <= x < -6 에서 존재하는 증가하는 곡선이다. 이 곡선은 (-8, 0 )에서 속이 찬 원으로 시작하며, x가 왼쪽에서 -6에 가까워질 때 무한대로 발산한다. 세 번째는 점 (-6, 3)에 있는 속이 찬 원이다. 네 번째는 -6 < x <= 3 에서 존재하는 직선이다. 이 직선은 (-6, 2)에서 속이 빈 원으로 시작하여 (3,2)에서 속이 찬 원으로 끝난다. 다섯 번째는 (3,3)에서 속이 빈 원으로 시작하는 증가하는 직선이다. 이 직선은 x > 3 에서 존재한다.

원본 교재 풀이(영어)

Answers may vary; see the following example:

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 17번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

30.OpenStax 1권 · 2.4절 · 28번우리말 번역

성질 i.부터 iv.까지를 만족하는 함수 $y=f(x)$ 의 그래프를 그리세요.

i. f 의 정의역은 $[0,5]$ 이다. ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ 와 $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ 가 존재하고 서로 같다. iii. $f(x)$ 는 $x=2$ 에서 좌연속이지만 연속은 아니고, $x=3$ 에서 우연속이지만 연속은 아니다. iv. $f(x)$ 는 $x=1$ 에서 제거 가능한 불연속, $x=2$ 에서 점프 불연속이고, 다음 극한이 성립한다: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ 그리고 $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

영어 원문 보기

Sketch the graph of a function $y=f(x)$ with properties i. through iv.

i. The domain of f is $[0,5].$ ii. $\lim_{x\to {1}^{+}}f(x)$ and $\lim_{x\to {1}^{-}}f(x)$ exist and are equal. iii. $f(x)$ is left continuous but not continuous at $x=2,$ and right continuous but not continuous at $x=3.$ iv. $f(x)$ has a removable discontinuity at $x=1,$ a jump discontinuity at $x=2,$ and the following limits hold: $\lim_{x\to {3}^{-}}f(x)=-\infty$ and $\lim_{x\to {3}^{+}}f(x)=2.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

31.OpenStax 1권 · 2.4절 · 30번우리말 번역

다음 문제에서 $y=f(x)$ 가 모든 $x$ 에 대해 정의되어 있다고 하자. 각 설명에 대해 주어진 성질을 갖는 그래프를 그리세요.

$x=2$ 에서는 불연속이지만 그 외에서는 연속이고 $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

영어 원문 보기

In the following exercises, suppose $y=f(x)$ is defined for all x. For each description, sketch a graph with the indicated property.

Discontinuous at $x=2$ but continuous elsewhere with $\lim_{x\to 0}f(x)=\frac{1}{2}$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 11번

# 함수의 연속그래프·표 해석자동 분류

32.OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번우리말 번역

다음 각 명제가 참인지 판단하세요. 설명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

$f(t)=\frac{2}{{e}^{t}-{e}^{-t}}$ 는 모든 곳에서 연속이다.

영어 원문 보기

Determine whether each of the given statements is true. Justify your response with an explanation or counterexample.

$f(t)=\frac{2}{{e}^{t}-{e}^{-t}}$ is continuous everywhere.

정답·풀이 보기

거짓. $(-\infty ,0)\cup (0,\infty )$ 에서 연속이다.

원본 교재 풀이(영어)

False. It is continuous over $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번

# 함수의 연속증명·논술자동 분류

33.OpenStax 1권 · 2.4절 · 32번우리말 번역

$x\to a$ 일 때 $f(x)$ 의 좌극한과 우극한이 존재하고 서로 같으면, f 는 $x=a$ 에서 불연속일 수 없다.

영어 원문 보기

If the left- and right-hand limits of $f(x)$ as $x\to a$ exist and are equal, then f cannot be discontinuous at $x=a.$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 26번

# 함수의 연속계산자동 분류

34.OpenStax 1권 · 2.4절 · 33번우리말 번역

함수가 한 점에서 연속이 아니면, 그 점에서 정의되지 않는다.

영어 원문 보기

If a function is not continuous at a point, then it is not defined at that point.

정답·풀이 보기

거짓이다. 다음 함수를 생각하자. $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{(}\,x\ne 0\text{ 일 때)}\\ 4\,\text{(}\,x=0\text{ 일 때)}\end{array}\right.$

원본 교재 풀이(영어)

False. Consider $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x\,\text{if}\,x\ne 0 \\ 4\,\text{if}\,x=0\end{array}\right..$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번

# 함수의 연속계산자동 분류

35.OpenStax 1권 · 2.4절 · 34번우리말 번역

사잇값 정리에 따르면, $\cos x-\sin x-x=2$ 는 구간 $[-1,1]$ 에서 해를 가진다.

영어 원문 보기

According to the IVT, $\cos x-\sin x-x=2$ has a solution over the interval $[-1,1].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 9번

# 함수의 연속계산자동 분류

36.OpenStax 1권 · 2.4절 · 35번우리말 번역

$f(x)$ 가 연속이고 $f(a)$ 와 $f(b)$ 의 부호가 서로 반대이면, $f(x)=0$ 은 $[a,b]$ 에서 해를 정확히 하나 가진다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous such that $f(a)$ and $f(b)$ have opposite signs, then $f(x)=0$ has exactly one solution in $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓이다. 사잇값 정리는 해가 적어도 하나 있다는 것만 말해 줄 뿐, 해가 정확히 하나임을 보장하지는 않는다. 구간 $[-\pi ,2\pi ]$ 에서 $f(x)=\cos (x)$ 를 생각하자.

원본 교재 풀이(영어)

False. IVT only says that there is at least one solution; it does not guarantee that there is exactly one. Consider $f(x)=\cos (x)$ on $[-\pi ,2\pi ].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 45번

# 함수의 연속계산자동 분류

37.OpenStax 1권 · 2.4절 · 36번우리말 번역

주어진 각 명제가 참인지 판단하세요. 설명이나 반례로 답을 뒷받침하세요.

함수 $f(x)=\frac{{x}^{2}-4x+3}{{x}^{2}-1}$ 은 구간 $[0,3]$ 에서 연속이다.

영어 원문 보기

Determine whether each of the given statements is true. Justify your response with an explanation or counterexample.

The function $f(x)=\frac{{x}^{2}-4x+3}{{x}^{2}-1}$ is continuous over the interval $[0,3].$

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 39번

# 함수의 연속증명·논술자동 분류

38.OpenStax 1권 · 2.4절 · 37번우리말 번역

$f(x)$ 가 모든 곳에서 연속이고 $f(a),f(b)>0$ 이면, 구간 $[a,b]$ 에 $f(x)$ 의 근은 없다.

영어 원문 보기

If $f(x)$ is continuous everywhere and $f(a),f(b)>0,$ then there is no root of $f(x)$ in the interval $[a,b].$

정답·풀이 보기

거짓. 사잇값 정리는 역으로는 성립하지 않는다! 구간 $[-2,2]$ 에서 ${(x-1)}^{2}$ 을 생각해 보자.

원본 교재 풀이(영어)

False. The IVT does not work in reverse! Consider ${(x-1)}^{2}$ over the interval $[-2,2].$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 43번

# 함수의 연속계산자동 분류

39.OpenStax 1권 · 2.4절 · 38번우리말 번역

많은 입자가 상호작용하는 모형의 계산을 간단히 하기 위해, 어떤 기준값 $r=R$ 이후에서는 F 를 0으로 어림한다.

a. 이 가정의 물리적 근거를 설명하세요. b. 힘의 방정식은 무엇인지 구하세요. c. 전하량의 크기가 $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{쿨롱 (C)}$ 인 두 양성자와 쿨롱 상수 ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ 에 대해, 두 양성자가 1 m 떨어져 있다고 하고 쿨롱 법칙과 우리의 어림을 모두 사용하여 힘 F 의 값을 구하세요. 또한 $R<1\,\text{m}$ 라고 가정하세요. 우리의 어림은 얼마나 큰 오차를 만드는지 구하세요. 우리의 어림은 타당한지 판단하세요. d. 이 계가 R 에서 연속이 되도록 하는 R 의 유한한 값이 존재하는지 판단하세요.

영어 원문 보기

To simplify the calculation of a model with many interacting particles, after some threshold value $r=R,$ we approximate F as zero.

a. Explain the physical reasoning behind this assumption. b. What is the force equation? c. Evaluate the force F using both Coulomb’s law and our approximation, assuming two protons with a charge magnitude of $1.6022\,\times \,{10}^{-19}\,\text{coulombs (C)},$ and the Coulomb constant ${k}_{e}=8.988\,\times \,{10}^{9}{\text{Nm}}^{2}/{\text{C}}^{2}$ are 1 m apart. Also, assume $R<1\,\text{m}.$ How much inaccuracy does our approximation generate? Is our approximation reasonable? d. Is there any finite value of R for which this system remains continuous at R?

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 1권 · 2.4절 · 31번

# 함수의 연속계산자동 분류

40.OpenStax 1권 · 2.4절 · 40번우리말 번역

[계산기 사용] 로켓의 질량이 3백만 kg일 때, k의 값과 단위를 구하세요. (힌트: 지구 중심에서 지구 표면까지의 거리는 6378 km이다.)

영어 원문 보기

[T] Determine the value and units of k given that the mass of the rocket is 3 million kg. (Hint: The distance from the center of Earth to its surface is 6378 km.)

원본 교재에 이 문제의 정답은 실려 있지 않습니다.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-1 · 1.6절 · 25번

# 함수의 연속계산자동 분류