반복적분과 직사각형 영역의 이중적분 연습문제

61.APEX · 13.1절 · 2번대학 수준우리말 번역

적분을 다시 적분하는 것을 _____ _____ 라고 한다.

영어 원문 보기

Integrating an integral is called _____ _____.

정답·풀이 보기

반복적분

원본 교재 풀이(영어)

iterated integration

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 11번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

62.APEX · 13.1절 · 3번대학 수준우리말 번역

반복적분의 값을 구할 때에는 _____ 에서 _____ 까지 적분한 다음, _____ 에서 _____ 까지 적분한다.

영어 원문 보기

When evaluating an iterated integral, we integrate from _____ to _____, then from _____ to _____.

정답·풀이 보기

곡선에서 곡선까지 적분한 다음, 점에서 점까지 적분한다

원본 교재 풀이(영어)

curve to curve, then from point to point

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

63.APEX · 13.1절 · 4번대학 수준우리말 번역

반복적분의 한 가지 이해는 $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \ dy\ dx$ 가 평면 영역의 _____ 를 준다는 것이다.

영어 원문 보기

One understanding of an iterated integral is that $\displaystyle \int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \ dy\ dx$ gives the _____ of a plane region.

정답·풀이 보기

넓이

원본 교재 풀이(영어)

area

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 9번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분개념 확인자동 분류

64.APEX · 13.1절 · 5번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 그에 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_2^{5} \big(6x^2+4xy-3y^2\big)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_{-3}^{-2} \int_2^{5} \big(6x^2+4xy-3y^2\big)\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_2^{5} \big(6x^2+4xy-3y^2\big)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_{-3}^{-2} \int_2^{5} \big(6x^2+4xy-3y^2\big)\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $18x^2+42x-117$ (b) $-108$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $18x^2+42x-117$ (b) $-108$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

65.APEX · 13.1절 · 6번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 그에 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^{\pi} \big(2x\cos y+ \sin x\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_0^{\pi} \big(2x\cos y+ \sin x\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_0^{\pi} \big(2x\cos y+ \sin x\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \int_0^{\pi} \big(2x\cos y+ \sin x\big)\ dx\ dy$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $2+\pi^2\cos y$ (b) $\pi^2+\pi$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $2+\pi^2\cos y$ (b) $\pi^2+\pi$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 13번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

66.APEX · 13.1절 · 7번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_1^x \big(x^2y - y+2\big)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_0^2\int_1^x \big(x^2y - y+2\big)\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_1^x \big(x^2y - y+2\big)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_0^2\int_1^x \big(x^2y - y+2\big)\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $x^4/2-x^2+2x-3/2$ (b) $23/15$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x^4/2-x^2+2x-3/2$ (b) $23/15$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 21번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

67.APEX · 13.1절 · 8번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_y^{y^2} \big(x-y\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_y^{y^2} \big(x-y\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_y^{y^2} \big(x-y\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_{-1}^1\int_y^{y^2} \big(x-y\big)\ dx\ dy$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $y^4/2-y^3+y^2/2$ (b) $8/15$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $y^4/2-y^3+y^2/2$ (b) $8/15$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 17번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

68.APEX · 13.1절 · 9번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^{y} \big(\cos x\sin y\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_0^\pi \int_0^{y} \big(\cos x\sin y\big)\ dx\ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_0^{y} \big(\cos x\sin y\big)\ dx$

(b) $\displaystyle \int_0^\pi \int_0^{y} \big(\cos x\sin y\big)\ dx\ dy$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $\sin^2y$ (b) $\pi/2$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $\sin^2y$ (b) $\pi/2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 27번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

69.APEX · 13.1절 · 10번대학 수준우리말 번역

연습문제 5–10에서 적분과 이어지는 반복적분의 값을 구하세요.

(a) $\displaystyle \int_0^{x} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_1^2 \int_0^{x} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)\ dy\ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 5–10, evaluate the integral and subsequent iterated integral.

(a) $\displaystyle \int_0^{x} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)\ dy$

(b) $\displaystyle \int_1^2 \int_0^{x} \left(\frac{1}{1+x^2}\right)\ dy\ dx$

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) $x/(1+x^2)$ (b) $\frac12\ln\left(\frac52\right)$

원본 교재 풀이(영어)

(a) $x/(1+x^2)$ (b) $\frac12\ln\left(\frac52\right)$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 25번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분계산자동 분류

70.APEX · 13.1절 · 11번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는, 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우의 반복적분을 각각 쓰세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_1^4\int_{-2}^1\ dy\ dx$ 그리고 $\displaystyle \int_{-2}^1\int_1^4\ dx\ dy$ .

넓이 $R = 9u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_1^4\int_{-2}^1\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{-2}^1\int_1^4\ dx\ dy$ .

area of $R = 9u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 2번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

71.APEX · 13.1절 · 12번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서는 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 두 가지로 각각 나타내세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_1^4\int_{1}^{\frac23x+\frac13}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{1}^3\int_{\frac32y-\frac12}^4\ dx\ dy$ 이다.

영역의 넓이 $R = 3u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_1^4\int_{1}^{\frac23x+\frac13}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{1}^3\int_{\frac32y-\frac12}^4\ dx\ dy$ .

area of $R = 3u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 15번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

72.APEX · 13.1절 · 13번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 의 두 가지로 각각 구하세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_2^4\int_{x-1}^{7-x}\ dy\ dx$ 이다. 순서 $dx\ dy$ 에서는 $x$ 가 서로 다른 두 함수로 위로 유계이므로 반복적분이 두 개 필요하다. 따라서 다음과 같다. $\int_{1}^3\int_{2}^{y+1}\ dx\ dy+\int_{3}^5\int_{2}^{7-y}\ dx\ dy.$

넓이 $R = 4u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_2^4\int_{x-1}^{7-x}\ dy\ dx$ . The order $dx\ dy$ needs two iterated integrals as $x$ is bounded above by two different functions. This gives: $\int_{1}^3\int_{2}^{y+1}\ dx\ dy+\int_{3}^5\int_{2}^{7-y}\ dx\ dy.$

area of $R = 4u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

73.APEX · 13.1절 · 14번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서 $dy\ dx$ 와 $dx\ dy$ 를 모두 사용하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 각각 쓰세요. 두 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{12}\int_{-\sqrt{3x}}^{\sqrt{3x}}\ dy\ dx$ 그리고 $\displaystyle \int_{-6}^6\int_{y^2/3}^{12}\ dx\ dy$

넓이 $R = 96u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{12}\int_{-\sqrt{3x}}^{\sqrt{3x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{-6}^6\int_{y^2/3}^{12}\ dx\ dy$

area of $R = 96u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기APEX · 13.1절 · 1번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

74.APEX · 13.1절 · 15번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우 모두에 대해, $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{1}\int_{x^4}^{\sqrt{x}}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{0}^1\int_{y^2}^{\sqrt[4]{y}}\ dx\ dy$

넓이 $R = 7/15u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{1}\int_{x^4}^{\sqrt{x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{0}^1\int_{y^2}^{\sqrt[4]{y}}\ dx\ dy$

area of $R = 7/15u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 25번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

75.APEX · 13.1절 · 16번대학 수준우리말 번역

연습문제 11–16에서 평면 영역 $R$ 의 그래프가 주어져 있습니다. 적분 순서가 $dy\ dx$ 인 경우와 $dx\ dy$ 인 경우 모두에 대해, $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 쓰세요. 반복적분 중 하나의 값을 구하여 넓이를 구하세요.

영어 원문 보기

In Exercises 11–16, a graph of a planar region $R$ is given. Give the iterated integrals, with both orders of integration $dy\ dx$ and $dx\ dy$ , that give the area of $R$ . Evaluate one of the iterated integrals to find the area.

정답·풀이 보기

$\displaystyle \int_0^{2}\int_{x^3}^{4{x}}\ dy\ dx$ 와 $\displaystyle \int_{0}^8\int_{y/4}^{\sqrt[3]{y}}\ dx\ dy$

넓이 $R = 4u^2$

원본 교재 풀이(영어)

$\displaystyle \int_0^{2}\int_{x^3}^{4{x}}\ dy\ dx$ and $\displaystyle \int_{0}^8\int_{y/4}^{\sqrt[3]{y}}\ dx\ dy$

area of $R = 4u^2$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 27번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

76.APEX · 13.1절 · 17번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서 주어진 반복적분은 $x$ - $y$ 평면에서 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 것이다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 쓰세요.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{4-x^2} \ dy \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_0^{4-x^2} \ dy \ dx$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_{0}^{4}\int_{-\sqrt{4-y}}^{\sqrt{4-y}}\ dx\ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 21번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

77.APEX · 13.1절 · 18번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면 위의 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있습니다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{5-5x}^{5-5x^2} \ dy \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{5-5x}^{5-5x^2} \ dy \ dx$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_0^5\int_{1-y/5}^{\sqrt{1-y/5}} \ dx \ dy$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_0^5\int_{1-y/5}^{\sqrt{1-y/5}} \ dx \ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 7번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

78.APEX · 13.1절 · 19번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면에 있는 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{2\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{-2}^2\int_{0}^{2\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_0^4\int_{-\sqrt{4-x^2/4}}^{\sqrt{4-x^2/4}} \ dy \ dx$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_0^4\int_{-\sqrt{4-x^2/4}}^{\sqrt{4-x^2/4}} \ dy \ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 19번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

79.APEX · 13.1절 · 20번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면 위의 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있습니다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 바꾸어 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \ dy \ dx$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \ dy \ dx$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}} \ dx \ dy$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_{-3}^3\int_{-\sqrt{9-y^2}}^{\sqrt{9-y^2}} \ dx \ dy$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 17번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류

80.APEX · 13.1절 · 21번대학 수준우리말 번역

연습문제 17–22에서는 $x$ - $y$ 평면 위의 영역 $R$ 의 넓이를 계산하는 반복적분이 주어져 있습니다. 영역 $R$ 을 그리고, 적분 순서를 반대로 하여 $R$ 의 넓이를 나타내는 반복적분을 구하세요.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \ dx \ dy+\int_{1}^{4}\int_{y-2}^{\sqrt{y}} \ dx \ dy$

영어 원문 보기

In Exercises 17–22, iterated integrals are given that compute the area of a region $R$ in the $x$ - $y$ plane. Sketch the region $R$ , and give the iterated integral(s) that give the area of $R$ with the opposite order of integration.

$\displaystyle \int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \ dx \ dy+\int_{1}^{4}\int_{y-2}^{\sqrt{y}} \ dx \ dy$

정답·풀이 보기

넓이 $R = \displaystyle \int_{-1}^2\int_{x^2}^{x+2} \ dy \ dx$

원본 교재 풀이(영어)

area of $R = \displaystyle \int_{-1}^2\int_{x^2}^{x+2} \ dy \ dx$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 5.1절 · 3번

# 반복적분과 직사각형 영역의 이중적분그래프·표 해석자동 분류