접평면과 선형근사 연습문제

101.CLP-3 · 2.6절 · 3번대학 수준우리말 번역

계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)$ 의 $(0.01,1.05)$ 에서의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Find an approximate value for $f(x,y)=\sin(\pi xy+\ln y)$ at $(0.01,1.05)$ without using a calculator or computer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

선형 근사 $f(0.01,1.05)\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05)$ 를 적용한다. 이때

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sin(\pi xy+\ln y) & f(0,1)&=\sin 0=0\\ f_x(x,y)&=\pi y\cos(\pi xy+\ln y) & f_x(0,1)&=\pi\cos 0=\pi\\ f_y(x,y)&=\left(\pi x+\frac{1}{y}\right)\cos(\pi xy+\ln y) & f_y(0,1)&=\cos 0=1 \end{aligned}$

이다. 따라서

$\begin{aligned} f(0.01,1.05)&\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05) =0+\pi(0.01)+1(0.05) \\ &=0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Apply the linear approximation $f(0.01,1.05)\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05)$ , with

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sin(\pi xy+\ln y) & f(0,1)&=\sin 0=0\\ f_x(x,y)&=\pi y\cos(\pi xy+\ln y) & f_x(0,1)&=\pi\cos 0=\pi\\ f_y(x,y)&=\left(\pi x+\frac{1}{y}\right)\cos(\pi xy+\ln y) & f_y(0,1)&=\cos 0=1 \end{aligned}$

This gives

$\begin{aligned} f(0.01,1.05)&\approx f(0,1)+f_x(0,1)(0.01)+f_y(0,1)(0.05) =0+\pi(0.01)+1(0.05) \\ &=0.01\,\pi + 0.05 \approx 0.0814 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 39번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

102.CLP-3 · 2.6절 · 4번대학 수준우리말 번역

$\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ 라 하자. 계산기나 컴퓨터를 사용하지 않고 $f (-0.9\,,\, 1.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+2y^2}$ . Find an approximate value for $f (-0.9\,,\, 1.1)$ without using a calculator or computer.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(x,y)=(-1,1)$ 에서 $f(x,y)$ 의 1계 미분계수가 필요하다. 그래서 먼저 이를 구한다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}$

$(-1,1)$ 근처에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the first order derivatives of $f(x,y)$ at $(x,y)=(-1,1)$ . So we find them first.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&=\frac{2xy}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4x^3)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_x(-1,1)&=-\frac{2}{3} +\frac{4}{3^2}=-\frac{2}{9} \\ f_y(x,y)&=\frac{x^2}{x^4+2y^2}-\frac{x^2y(4y)}{{(x^4+2y^2)}^2}\qquad & f_y(-1,1)&=\frac{1}{3} -\frac{4}{3^2}=-\frac{1}{9} \end{aligned}$

The linear approximation to $f(x,y)$ about $(-1,1)$ is

$\begin{aligned} f(x,y)\approx=f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) =\frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(x+1) -\frac{1}{9}\,(y-1) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} f(-0.9,1.1)\approx \frac{1}{3} -\frac{2}{9}\,(0.1) -\frac{1}{9}\,(0.1) =\frac{27}{90}=0.3 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

103.CLP-3 · 2.6절 · 6번대학 수준우리말 번역

직각삼각형의 한 변의 길이를 측정했더니 $3$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.1$ 이며, 다른 한 변의 길이는 $4$ 이고 최대 오차는 $\pm 0.2$ 이다. 선형 근사를 이용하여 이 직각삼각형의 빗변의 길이를 계산할 때 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요.

영어 원문 보기

One side of a right triangle is measured to be $3$ with a maximum possible error of $\pm 0.1$ , and the other side is measured to be $4$ with a maximum possible error of $\pm 0.2$ . Use the linear approximation to estimate the maximum possible error in calculating the length of the hypotenuse of the right triangle.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

두 변의 길이를 $x$ , $y$ 라 하면 $x=3\pm 0.1$ , $y=4\pm 0.2$ 이다. 그러면 빗변의 길이는 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ 이다. 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}$

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}$

따라서 빗변의 길이를 계산할 때 생기는 최대 오차의 근삿값은

$\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Denote by $x$ and $y$ the lengths of sides with $x=3\pm 0.1$ and $y=4\pm 0.2$ . Then the length of the hypotenuse is $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ . Note that

$\begin{aligned} f(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2} & f(3,4)&=5 \\ f_x(x,y)&=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad & f_x(3,4)&=\frac{3}{5} \\ f_y(x,y)&=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} & f_y(3,4)&=\frac{4}{5} \end{aligned}$

By the linear approximation

$\begin{aligned} f(x,y)\approx f(3,4) + f_x(3,4)\,(x-3) + f_y(3,4)\,(y-4) =5 +\frac{3}{5}\,(x-3) +\frac{4}{5}\,(y-4) \end{aligned}$

So the approximate maximum error in calculating the length of the hypotenuse is

$\begin{aligned} \frac{3}{5}\,(0.1) +\frac{4}{5}\,(0.2) =\frac{1.1}{5} = 0.22 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 7번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

104.CLP-3 · 2.6절 · 7번대학 수준우리말 번역

저항이 $R_1$ , $R_2$ 인 두 저항을 병렬로 연결하면, 합성 저항 R 은 방정식 $\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ 을 만족시킨다. 선형 근사를 이용하여 $R_1$ 이 $2$ 옴에서 $1.9$ 옴으로 감소하고 $R_2$ 가 8 옴에서 8.1 옴으로 증가할 때 $R$ 의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

If two resistors of resistance $R_1$ and $R_2$ are wired in parallel, then the resulting resistance R satisfies the equation $\frac{1}{R} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ . Use the linear approximation to estimate the change in $R$ if $R_1$ decreases from $2$ to $1.9$ ohms and $R_2$ increases from 8 to 8.1 ohms.

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

함수 $R(R_1,R_2)$ 는 다음 식으로 음함수로 정의된다.

$\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}$

특히

$\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}$

다음 선형 근사를 이용하고자 한다.

$R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)$

그러기 위해서는 편도함수 $\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)$ 와 $\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)$ 가 필요하다. 이를 구하기 위해 $(*)$ 를 $R_1$ 과 $R_2$ 에 대해 각각 미분한다.

$\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}$

$R_1=2$ , $R_2=8$ 을 대입하면

$\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}$

따라서 $R$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

The function $R(R_1,R_2)$ is defined implictly by

$\frac{1}{R(R_1,R_2)} =\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2} \tag{$*$}$

In particular

$\frac{1}{R(2,8)} = \frac{1}{2}+\frac{1}{8} = \frac{5}{8} \implies R(2,8) = \frac{8}{5}$

We wish to use the linear approximation

$R(R_1,R_2) \approx R(2,8) + \frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)\,(R_1-2) + \frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)\,(R_2-8)$

To do so, we need the partial derivatives $\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8)$ and $\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8)$ . To find them, we differentiate $(*)$ with respect to $R_1$ and $R_2$ :

$\begin{aligned} -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_1^2} \\ -\frac{1}{R(R_1,R_2)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(R_1,R_2) &= -\frac{1}{R_2^2} \\ \end{aligned}$

Setting $R_1=2$ and $R_2=8$ gives

$\begin{aligned} -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &= -\frac{1}{4} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_1}(2,8) &=\frac{16}{25} \\ -\frac{1}{(8/5)^2}\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &= -\frac{1}{64} &\quad\implies\quad & &\frac{\partial R}{\partial R_2}(2,8) &=\frac{1}{25} \end{aligned}$

So the specified change in $R$ is

$\begin{aligned} R(1.9,8.1)-R(2,8) \approx \frac{16}{25} (-0.1) + \frac{1}{25}(0.1) =-\frac{15}{250} = -0.06 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 4번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

105.CLP-3 · 2.6절 · 9번대학 수준우리말 번역

물체의 비중 $S$ 는 $\ S=\frac{A}{A-W}\$ 로 주어진다. 여기서 $A$ 는 공기 중에서 잰 물체의 무게이고 $W$ 는 물속에서 잰 물체의 무게이다. $\ A=20\pm .01\$ 이고 $\ W=12\pm.02\$ 일 때, 주어진 측정값으로 $S$ 를 계산할 때의 백분율 오차를 어림하여 구하세요.

영어 원문 보기

The specific gravity $S$ of an object is given by $\ S=\frac{A}{A-W}\$ where $A$ is the weight of the object in air and $W$ is the weight of the object in water. If $\ A=20\pm .01\$ and $\ W=12\pm.02\$ find the approximate percentage error in calculating $S$ from the given measurements.

정답·풀이 보기

선형 근사에 의해

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

이고, $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ 이다. 따라서

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

주어진 임의의 $\Delta A$ 와 $\Delta W$ 에 대해 백분율 오차는

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

이다. 문제에서 $|\Delta A|\le 0.01$ 이고 $|\Delta W|\le 0.02$ 이다. $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ 를 최대로 하려면 $\Delta A=- 0.01$ , $\Delta W=+ 0.02$ 로 잡는다. 따라서 최대 백분율 오차는

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By the linear approximation

$\begin{aligned} \Delta S\approx \frac{\partial S}{\partial A}(20,12)\,\Delta A +\frac{\partial S}{\partial W}(20,12)\,\Delta W \end{aligned}$

with $S(A,W)=\frac{A}{A-W} =1+\frac{W}{A-W}$ . So

$\begin{aligned} S(A,W)&=\frac{A}{A-W} & S(20,12)&=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}\\ S_A(A,W)&=-\frac{W}{(A-W)^2} & S_A(20,12)&=-\frac{12}{8^2}=-\frac{3}{16}\\ S_W(A,W)&=\frac{A}{(A-W)^2} & S_W(20,12)&=\frac{20}{8^2}=\frac{5}{16} \end{aligned}$

For any given $\Delta A$ and $\Delta W$ , the percentage error is

$\left|100\frac{\Delta S}{S}\right| =\left|100\frac{2}{5}\Big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\Big)\right|$

We are told that $|\Delta A|\le 0.01$ and $|\Delta W|\le 0.02$ . To maximize $\big|100\frac{2}{5}\big(-\frac{3}{16}\Delta A+\frac{5}{16}\Delta W\big)\big|$ take $\Delta A=- 0.01$ and $\Delta W=+ 0.02$ . So the maximum percentage error is

$100\frac{2}{5}\left[-\frac{3}{16}(- 0.01)+\frac{5}{16}(0.02)\right] = \frac{2}{5}\times \frac{13}{16} =\frac{13}{40}=0.325\%$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 6번

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류

106.CLP-3 · 2.6절 · 10번대학 수준우리말 번역

고체 내부의 압력은

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

로 주어진다. 여기서 $s$ 는 비열이고 $r$ 는 밀도이다. $(s,r)$ 를 측정하면 대략 $(2,2)$ 일 것으로 예상하며, $P$ 의 값을 가장 정확하게 얻고자 한다. $s$ 와 $r$ 를 측정하는 방법은 두 가지가 있다. 방법 $1$ 은 $s$ 의 오차가 $\pm 0.01$ 이고 $r$ 의 오차가 $\pm 0.1$ 이며, 방법 2 는 $s$ 와 $r$ 모두 오차가 $\pm 0.02$ 이다.

방법 1 과 방법 2 중 어느 것을 사용해야 하는지 판단하세요. 이유를 자세히 설명하세요.

영어 원문 보기

The pressure in a solid is given by

$P(s,r) = sr(4s^2 - r^2 - 2)$

where $s$ is the specific heat and $r$ is the density. We expect to measure $(s,r)$ to be approximately $(2,2)$ and would like to have the most accurate value for $P$ . There are two different ways to measure $s$ and $r$ . Method $1$ has an error in $s$ of $\pm 0.01$ and an error in $r$ of $\pm 0.1$ , while method 2 has an error of $\pm 0.02$ for both $s$ and $r$ .

Should we use method 1 or method 2? Explain your reasoning carefully.

정답·풀이 보기

$(2,2)$ 에서 $P(s,r)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

$\begin{aligned} P(2,2) &= (2)(2)\big[4(2)^2-(2)^2-2\big] = 40 \qquad\text{(which we don't actually need) } \\ P_s(2,2) &= \Big[12s^2r-r^3-2r\Big]_{s=r=2} = 84 \\ P_r(2,2) &= \Big[4s^3-3sr^2-2s\Big]_{s=r=2} = 4 \end{aligned}$

이므로 선형 근사는

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

이다.

방법 1에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

이다.

방법 2에서 $P$ 의 최대 오차의 크기는 (근사적으로) 많아야

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

이다.

따라서 방법 1이 더 좋다.

원본 교재 풀이(영어)

The linear approximation to $P(s,r)$ at $(2,2)$ is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx P(2,2) +P_s(2,2)\,(s-2) + P_r(2,2)\,(r-2) \end{aligned}$

As

$\begin{aligned} P(2,2) &= (2)(2)\big[4(2)^2-(2)^2-2\big] = 40 \qquad\text{(which we don't actually need) } \\ P_s(2,2) &= \Big[12s^2r-r^3-2r\Big]_{s=r=2} = 84 \\ P_r(2,2) &= \Big[4s^3-3sr^2-2s\Big]_{s=r=2} = 4 \end{aligned}$

the linear approximation is

$\begin{aligned} P(s,r)\approx 40 +84\,(s-2) + 4\,(r-2) \end{aligned}$

Under method 1, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.01) + 4(0.1) = 1.24 \end{aligned}$

Under method 2, the maximum error in $P$ will have magnitude at most (approximately)

$\begin{aligned} 84(0.02) + 4(0.02) = 1.76 \end{aligned}$

Method 1 is better.

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 13번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

107.CLP-3 · 2.6절 · 12번대학 수준우리말 번역

$z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ 이라 하자. $f(-0.8,2.1)$ 의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z=f(x,y)=\frac{2y}{x^2+y^2}$ . Find an approximate value for $f(-0.8,2.1)$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$f$ 의 1계 편도함수는

$\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}$

이다.

$(-1,2)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는

$\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}$

이다.

특히 $x=-0.8$ , $y=2.1$ 일 때,

$\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

The first order partial derivatives of $f$ are

$\begin{aligned} f_x(x,y) & = -\frac{4xy}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_x(-1,2) & = \frac{8}{25} \\ f_y(x,y) & = \frac{2}{x^2+y^2}-\frac{4y^2}{{(x^2+y^2)}^2}\quad & f_y(-1,2) & = \frac{2}{5}-\frac{16}{25} =-\frac{6}{25} \\ \end{aligned}$

The linear approximation of $f(x,y)$ about $(-1,2)$ is

$\begin{aligned} f(x,y)&\approx f(-1,2) + f_x(-1,2)\,(x+1) + f_y(-1,2)\,(y-2) \\ &=\frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(x+1) - \frac{6}{25}\,(y-2) \end{aligned}$

In particular, for $x=-0.8$ and $y=2.1$ ,

$\begin{aligned} f(-0.8,2.1)&\approx \frac{4}{5} +\frac{8}{25}\,(0.2) - \frac{6}{25}\,(0.1) \\ &=0.84 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 15번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

108.CLP-3 · 2.6절 · 13번대학 수준우리말 번역

함수 $z = f (x, y)$ 가 다음 방정식으로 음함수로 정의되어 있다고 하자.

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ 를 구하세요. (b) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, 함수 $z = f (x, y)$ 의 $(-1, 1)$ 에서의 선형 근사를 구하세요. (c) $f(-1, 1) < 0$ 일 때, (b)의 선형 근사를 이용하여 $f(-1.02, 0.97)$ 을 어림하세요.

영어 원문 보기

Suppose that a function $z = f (x, y)$ is implicitly defined by an equation:

$xyz + x + y^2 + z^3 = 0$

(a) Find $\frac{\partial z}{\partial x}$ . (b) If $f(-1, 1) < 0$ , find the linear approximation of the function $z = f (x, y)$ at $(-1, 1)$ . (c) If $f(-1, 1) < 0$ , use the linear approximation in (b) to approximate $f(-1.02, 0.97)$ .

정답·풀이 보기

(a) 함수 $f(x,y)$ 는 ( $(-1,1)$ 에 충분히 가까운) 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

을 만족시킨다. $(*)$ 의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

이다. $f(x,y)$ 를 명시적으로 모르면 이 이상은 할 수 있는 것이 많지 않다.

(b) $f(-1,1)$ 은

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

을 만족시킨다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 이 식의 양변을 $f(-1, 1) < 0$ 으로 나눌 수 있고, $f(-1,1)^2 - 1=0$ 을 얻는다. $f(-1, 1) < 0$ 이므로 $f(-1, 1)=-1$ 이어야 한다. (a)에 의해

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

이다. 선형 근사를 구하려면 $f_y(-1,1)$ 도 필요하다. $(*)$ 의 양변을 $y$ 에 대해 미분하면

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

이다. 여기에 $x=-1$ , $y=1$ , $f(-1,1)=-1$ 을 대입하면

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

이다. 따라서 선형 근사는

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

이다.

(c) (b)에 의해

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $f(x,y)$ obeys

$xy\,f(x,y) + x + y^2 + f(x,y)^3 =0 \tag{$*$}$

for all $x$ and $y$ (sufficiently close to $(-1,1)$ ). Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} y\,f(x,y) +xy\,f_x(x,y) + 1 + 3f(x,y)^2 f_x(x,y) = 0 \implies f_x(x,y) = -\frac{y\,f(x,y) +1}{3f(x,y)^2 +xy} \end{aligned}$

Without knowing $f(x,y)$ explicitly, there's not much that we can do with this.

(b) $f(-1,1)$ obeys

$(-1)(1)\,f(-1,1) + (-1) + (1)^2 + f(-1,1)^3 =0 \iff f(-1,1)^3 -f(-1,1) =0$

Since $f(-1, 1) < 0$ we may divide this equation by $f(-1, 1) < 0$ , giving $f(-1,1)^2 - 1=0$ . Since $f(-1, 1) < 0$ , we must have $f(-1, 1)=-1$ . By part (a)

$\begin{aligned} f_x(-1, 1) = -\frac{(1)\,f(-1, 1) +1}{3f(-1, 1)^2 +(-1)(1)} = 0 \end{aligned}$

To get the linear approximation, we still need $f_y(-1,1)$ . Differentiating $(*)$ with respect to $y$ gives

$x\,f(x,y) + xy\,f_y(x,y) + 2y + 3f(x,y)^2 f_y(x,y) =0$

Then setting $x=-1$ , $y=1$ and $f(-1,1)=-1$ gives

$(-1)\,(-1) + (-1)(1)\,f_y(-1,1) + 2(1) + 3(-1)^2 f_y(-1,1) =0 \implies f_y(-1,1) =-\frac{3}{2}$

So the linear approximation is

$f(x,y) \approx f(-1,1) + f_x(-1,1)\,(x+1) + f_y(-1,1)\,(y-1) = -1 -\frac{3}{2} (y-1)$

(c) By part (b),

$\begin{aligned} f(-1.02,0.97) \approx -1 -\frac{3}{2} (0.97-1) =-0.955 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 12번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

109.CLP-3 · 2.6절 · 14번대학 수준우리말 번역

$z = f(x,y)$ 가 다음 식으로 음함수로 주어져 있다고 하자.

$e^z + yz = x + y.$

(a) 전미분 $\mathrm{d}z$ 를 구하세요. (b) 점 $(1,0)$ 에서의 선형 근사를 이용하여 $f(0.99,0.01)$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let $z = f(x,y)$ be given implicitly by

$e^z + yz = x + y.$

(a) Find the differential $\mathrm{d}z$ . (b) Use linear approximation at the point $(1,0)$ to approximate $f(0.99,0.01)$ .

정답·풀이 보기

정의에 따라 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$

이므로 편도함수 $f_x(a,b)$ 와 $f_y(a,b)$ 를 구해야 한다. 주어진 조건에서

$e^{f(x,y)} + y\,f(x,y) = x + y$

가 모든 $x$ 와 $y$ 에 대해 성립한다. 이 등식의 양변을 $x$ 에 대해, 그리고 $y$ 에 대해 각각 미분하면 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} e^{f(x,y)}f_x(x,y) + y\,f_x(x,y) = 1 \\ e^{f(x,y)}f_y(x,y) + f(x,y) +y\,f_y(x,y) = 1 \end{aligned}$

을 얻는다. 첫째 식을 $f_x$ 에 대해, 둘째 식을 $f_y$ 에 대해 풀면

$\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{1}{e^{f(x,y)}+y} \\ f_y(x,y) &= \frac{1-f(x,y)}{e^{f(x,y)}+y} \end{aligned}$

이다. 따라서 $x=a$ , $y=b$ 에서의 전미분은

$\frac{\mathrm{d}x}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\mathrm{d}y$

이다. 일반적인 $a$ 와 $b$ 에 대해서는 $f(a,b)$ 를 명시적으로 구할 수 없으므로, 이 이상 할 수 있는 것은 많지 않다.

(b) 특히 $a=1$ , $b=0$ 일 때

$e^{f(1,0)} + 0\,f(1,0) = 1 + 0 \implies e^{f(1,0)} = 1 \implies f(1,0)=0$

이고, 선형 근사는 다음과 같이 간단해진다.

$f\big(1+\mathrm{d}x\,,\,\mathrm{d}y\big) \approx f(1,0) + \frac{\mathrm{d}x}{e^{f(1,0)}+0} + \frac{1-f(1,0)}{e^{f(1,0)}+0} \,\mathrm{d}y = \mathrm{d}x +\mathrm{d}y$

$\mathrm{d}x = -0.01$ , $\mathrm{d}y = 0.01$ 로 잡으면

$f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx -0.01 + 0.01 =0$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

By definition, the differential at $x=a$ , $y=b$ is

$f_x(a,b)\,\mathrm{d}x + f_y(a,b)\,\mathrm{d}y$

so we have to determine the partial derivatives $f_x(a,b)$ and $f_y(a,b)$ . We are told that

$e^{f(x,y)} + y\,f(x,y) = x + y$

for all $x$ and $y$ . Differentiating this equation with respect to $x$ and with respect to $y$ gives, by the chain rule,

$\begin{aligned} e^{f(x,y)}f_x(x,y) + y\,f_x(x,y) = 1 \\ e^{f(x,y)}f_y(x,y) + f(x,y) +y\,f_y(x,y) = 1 \end{aligned}$

Solving the first equation for $f_x$ and the second for $f_y$ gives

$\begin{aligned} f_x(x,y) &= \frac{1}{e^{f(x,y)}+y} \\ f_y(x,y) &= \frac{1-f(x,y)}{e^{f(x,y)}+y} \end{aligned}$

So the differential at $x=a$ , $y=b$ is

$\frac{\mathrm{d}x}{e^{f(a,b)}+b} + \frac{1-f(a,b)}{e^{f(a,b)}+b} \,\mathrm{d}y$

Since we can't solve explicitly for $f(a,b)$ for general $a$ and $b$ . There's not much more that we can do with this.

(b) In particular, when $a=1$ and $b=0$ , we have

$e^{f(1,0)} + 0\,f(1,0) = 1 + 0 \implies e^{f(1,0)} = 1 \implies f(1,0)=0$

and the linear approximation simpifies to

$f\big(1+\mathrm{d}x\,,\,\mathrm{d}y\big) \approx f(1,0) + \frac{\mathrm{d}x}{e^{f(1,0)}+0} + \frac{1-f(1,0)}{e^{f(1,0)}+0} \,\mathrm{d}y = \mathrm{d}x +\mathrm{d}y$

Choosing $\mathrm{d}x = -0.01$ and $\mathrm{d}y = 0.01$ , we have

$f\big(0.99\,,\,0.01\big) \approx -0.01 + 0.01 =0$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 17번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

110.CLP-3 · 2.6절 · 15번대학 수준우리말 번역

삼각형의 두 변과 그 끼인각을 측정하였더니 각각 $3\pm.1$ m, $4\pm.1$ m, $90\pm 1^\circ$ 이었다. 이때 코사인법칙 $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ 를 이용하여 셋째 변의 길이를 계산한다. 계산한 $C$ 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Two sides and the enclosed angle of a triangle are measured to be $3\pm.1$ m, $4\pm.1$ m and $90\pm 1^\circ$ respectively. The length of the third side is then computed using the cosine law $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ . What is the approximate maximum error in the computed value of $C$ ?

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$C(A,B,\theta)=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos\theta}$ 라 하자. 그러면 $C\big(3,4,\frac{\pi}{2}\big)=5$ 이다. $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ 를 미분하면

$\begin{aligned} 2C\frac{\partial C}{\partial A}(A,B,\theta)&=2A-2B\cos\theta &\quad&\implies\quad & 10\frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=6\\ 2C\frac{\partial C}{\partial B}(A,B,\theta)&=2B-2A\cos\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=8\\ 2C\frac{\partial C}{\partial \theta}(A,B,\theta)&=2AB\sin\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=24\\ \end{aligned}$

이다. 따라서 계산한 $C$ 의 값에서 생기는 최대 오차의 근삿값은

$\begin{aligned} |\Delta C|&\approx \left| \frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta A +\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta B +\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta \theta\right| \\ &\le(0.6)(0.1)+(0.8)(0.1)+(2.4)\frac{\pi}{180}\\ &=\frac{\pi}{75}+0.14\le 0.182 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

Let $C(A,B,\theta)=\sqrt{A^2+B^2-2AB\cos\theta}$ . Then $C\big(3,4,\frac{\pi}{2}\big)=5$ . Differentiating $C^2=A^2+B^2-2AB\cos\theta$ gives

$\begin{aligned} 2C\frac{\partial C}{\partial A}(A,B,\theta)&=2A-2B\cos\theta &\quad&\implies\quad & 10\frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=6\\ 2C\frac{\partial C}{\partial B}(A,B,\theta)&=2B-2A\cos\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=8\\ 2C\frac{\partial C}{\partial \theta}(A,B,\theta)&=2AB\sin\theta & &\implies & 10\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)&=24\\ \end{aligned}$

Hence the approximate maximum error in the computed value of $C$ is

$\begin{aligned} |\Delta C|&\approx \left| \frac{\partial C}{\partial A}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta A +\frac{\partial C}{\partial B}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta B +\frac{\partial C}{\partial \theta}\big(3,4,\tfrac{\pi}{2}\big)\Delta \theta\right| \\ &\le(0.6)(0.1)+(0.8)(0.1)+(2.4)\frac{\pi}{180}\\ &=\frac{\pi}{75}+0.14\le 0.182 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 14번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

111.CLP-3 · 2.6절 · 16번대학 수준우리말 번역

미분을 이용하여 $x=3.02$ , $y=3.96$ 에서 $f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}$ 의 값에 대한 적절한 근삿값을 구하세요. $3.02\approx 3$ 이고 $3.96\approx 4$ 임에 주목하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to find a reasonable approximation to the value of $f(x,y)=xy\sqrt{x^2+y^2}$ at $x=3.02$ , $y=3.96$ . Note that $3.02\approx 3$ and $3.96\approx 4$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

$(x_0,y_0)=(3,4)$ 와 $(x,y)=(3.02,3.96)$ 를

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

에 대입하면

$\begin{aligned} f(3.02,3.96)&\approx f(3,4)+0.02f_x(3,4)-0.04f_y(3,4)\\ &=60+0.02\left(20+\frac{36}{5}\right)-0.04\left(15+\frac{48}{5}\right)\\ &=59.560 \end{aligned}$

이다. 이는

$f_x(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}+\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

이기 때문이다.

원본 교재 풀이(영어)

Substituting $(x_0,y_0)=(3,4)$ and $(x,y)=(3.02,3.96)$ into

$f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)$

gives

$\begin{aligned} f(3.02,3.96)&\approx f(3,4)+0.02f_x(3,4)-0.04f_y(3,4)\\ &=60+0.02\left(20+\frac{36}{5}\right)-0.04\left(15+\frac{48}{5}\right)\\ &=59.560 \end{aligned}$

since

$f_x(x,y)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{x^2y}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad f_y(x,y)=x\sqrt{x^2+y^2}+\frac{xy^2}{\sqrt{x^2+y^2}}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 19번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

112.CLP-3 · 2.6절 · 17번대학 수준우리말 번역

금속의 두께가 0.04cm일 때, 지름이 8cm이고 높이가 12cm인 닫힌 금속 캔에 들어 있는 금속의 부피를 미분을 이용하여 어림하세요.

영어 원문 보기

Use differentials to estimate the volume of metal in a closed metal can with diameter 8cm and height 12cm if the metal is 0.04cm thick.

정답·풀이 보기

지름이 $d$ 이고 높이가 $h$ 인 원기둥의 부피는 $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ 이다. 이 문제의 표현은 주어진 치수가 안쪽 치수인지 바깥쪽 치수인지 밝히지 않아 다소 모호하다. 바깥쪽 치수라고 가정하자. 그러면 금속을 포함한 캔의 부피는 $V(8,12)$ 이고, 금속을 제외한 안쪽 부피는

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

이다. 따라서 금속의 부피는 약 $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc 이다. (이 정도의 근사에서는 주어진 치수가 안쪽 치수이든 바깥쪽 치수이든 상관없다.)

원본 교재 풀이(영어)

The volume of a cylinder of diameter $d$ and height $h$ is $V(d,h)=\pi\big(\frac{d}{2}\big)^2h$ . The wording of the question is a bit ambiguous in that it does not specify if the given dimensions are inside dimensions or outside dimensions. Assume that they are outside dimensions. Then the volume of the can, including the metal, is $V(8,12)$ and the volume of the interior, excluding the metal, is

$\begin{aligned} V(8-2\times0.04\,,\,12-2\times 0.04) &\approx V(8,12) +V_d(8,12)(-2\times 0.04) +V_h(8,12)(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) +\frac{1}{2}\pi\times 8\times 12\times(-2\times 0.04) +\pi\left(\frac{8}{2}\right)^2\!\!(-2\times 0.04)\\ &=V(8,12) -\pi\times 128\times 0.04 \end{aligned}$

So the volume of metal is approximately $\pi\times 128\times 0.04= 5.12\pi\approx 16.1$ cc. (To this level of approximation, it doesn't matter whether the dimensions are inside or outside dimensions.)

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 9번

# 접평면과 선형근사활용보통자동 분류

113.CLP-3 · 2.6절 · 18번대학 수준우리말 번역

$z$ 가 $x$ , $y$ 의 함수이고

$z^3 - z + 2xy - y^2 = 0,\qquad z(2, 4) = 1$

을 만족시킨다고 하자.

(a) 점 $(2, 4)$ 에서 $z$ 의 선형 근사를 구하세요. (b) (a)의 답을 이용하여 $(2.02, 3.96)$ 에서 $z$ 의 값을 어림하세요.

영어 원문 보기

Let $z$ be a function of $x$ , $y$ such that

$z^3 - z + 2xy - y^2 = 0,\qquad z(2, 4) = 1.$

(a) Find the linear approximation to $z$ at the point $(2, 4)$ . (b) Use your answer in (a) to estimate the value of $z$ at $(2.02, 3.96)$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 함수 $z(x,y)$ 는 $(2,4)$ 근처의 모든 $(x,y)$ 에 대해

$z(x,y)^3-z(x,y)+2xy-y^2=0$

을 만족시킨다. $x$ 와 $y$ 에 대해 각각 미분하면

$\begin{aligned} 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+2y&=0 \\ 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)+2x-2y&=0 \end{aligned}$

이다. $x=2$ , $y=4$ , $z(2,4)=1$ 을 대입하면

$\begin{aligned} 3\frac{\partial z}{\partial x}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial x}(2,4)+8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial x}(2,4) & = -4 \\ 3\frac{\partial z}{\partial y}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial y}(2,4)+4-8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial y}(2,4) & = 2 \end{aligned}$

이다. 따라서 선형 근사는

$\begin{aligned} z(x,y)&\approx z(2,4)+z_x(2,4)(x-2)+z_y(2,4)(y-4)= 1-4(x-2)+2(y-4) \\ &=1-4x+2y \end{aligned}$

이다.

(b) $x=2.02$ , $y=3.96$ 을 대입하면

$\begin{aligned} z(2.02,3.96)\approx 1-4\times0.02+2\times(-0.04) =0.84 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The function $z(x,y)$ obeys

$z(x,y)^3-z(x,y)+2xy-y^2=0$

for all $(x,y)$ near $(2,4)$ . Differentiating with respect to $x$ and $y$

$\begin{aligned} 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+2y&=0 \\ 3z(x,y)^2\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -\frac{\partial z}{\partial y}(x,y)+2x-2y&=0 \end{aligned}$

Substituting in $x=2$ , $y=4$ and $z(2,4)=1$ gives

$\begin{aligned} 3\frac{\partial z}{\partial x}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial x}(2,4)+8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial x}(2,4) & = -4 \\ 3\frac{\partial z}{\partial y}(2,4) -\frac{\partial z}{\partial y}(2,4)+4-8&=0 & &\iff & \frac{\partial z}{\partial y}(2,4) & = 2 \end{aligned}$

The linear approximation is

$\begin{aligned} z(x,y)&\approx z(2,4)+z_x(2,4)(x-2)+z_y(2,4)(y-4)= 1-4(x-2)+2(y-4) \\ &=1-4x+2y \end{aligned}$

(b) Substituting in $x=2.02$ and $y=3.96$ gives

$\begin{aligned} z(2.02,3.96)\approx 1-4\times0.02+2\times(-0.04) =0.84 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기OpenStax 3권 · 4.4절 · 3번

# 접평면과 선형근사계산보통자동 분류

114.CLP-3 · 2.6절 · 19번대학 수준우리말 번역

다음 곡면을 생각하세요.

$z^3 - xyz^2 - 4x = 0.$

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 의 함수로 나타내는 식을 구하세요. (b) $(1, 1, 2)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) 측정에는 오차가 있어서 $x = 1 \pm 0.03$ 이고 $y = 1 \pm 0.02$ 입니다. 이때 $z$ 를 측정할 때의 최대 오차를 구하세요. (d) 한 입자가 이 곡면 위를 움직이는데, 그 경로를 $xy$ 평면에 사영한 것이 각 $\theta$ 에 대하여

$x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta$

로 주어지고, 점 $A : x = 2,\ y = 0$ 에서 점 $B : x = 1,\ y = 1$ 까지 움직입니다. 점 $A$ 와 $B$ 에서 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the surface given by:

$z^3 - xyz^2 - 4x = 0.$

(a) Find expressions for $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ as functions of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(1, 1, 2)$ . (c) Measurements are made with errors, so that $x = 1 \pm 0.03$ and $y = 1 \pm 0.02$ . Find the corresponding maximum error in measuring $z$ . (d) A particle moves over the surface along the path whose projection in the $xy$ –plane is given in terms of the angle $\theta$ as

$x(\theta) = 1 + \cos\theta,\ y(\theta) = \sin\theta$

from the point $A : x = 2,\ y = 0$ to the point $B : x = 1,\ y = 1$ . Find $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta}$ at points $A$ and $B$ .

정답·풀이 보기

(a) 주어진 조건에서

$z(x,y)^3 - xy\,z(x,y)^2 - 4x = 0$

이 모든 $(x,y)$ ( $(1,1)$ 에 충분히 가까운)에 대해 성립한다. 이 방정식의 양변을 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -y\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - 4=0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4+yz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이고, $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -x\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

이다.

(b) $(x,y,z)=(1,1,2)$ 일 때,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{4+(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이다.

(c) $(1,1)$ 에서의 일차 근사에 의하면

$z(x,y) \approx z(1,1) + z_x(1,1)\,(x-1) + z_y\,(1,1)\,(y-1) = 2 + (x-1) +\frac{1}{2}(y-1)$

이다. 따라서 $x$ 의 오차 $\pm 0.03$ 과 $y$ 의 오차 $\pm 0.02$ 로 인해 $z$ 에는 약

$\pm\left[0.03 + \frac{1}{2}(0.02)\right] =\pm 0.04$

의 오차가 생긴다.

(d) 연쇄 법칙에 의해

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} z\big(x(\theta),y(\theta)\big) &= z_x\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,x'(\theta) +z_y\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,y'(\theta) \\ &=-z_x\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\sin\theta +z_y\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\cos\theta \end{aligned}$

이다.

$A$ 에서는 $x=2$ , $y=0$ , $z=2$ ( $z^3-(2)(0)z^2-4(2)=0$ 이므로)이고 $\theta=0$ 이므로

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,0) = \frac{4+(0)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{1}{3}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(2,0) = \frac{(2)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{2}{3} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\frac{1}{3}\sin(0) +\frac{2}{3}\cos(0) =\frac{2}{3} \end{aligned}$

이다.

$B$ 에서는 $x=1$ , $y=1$ , $z=2$ 이고 $\theta=\frac{\pi}{2}$ 이므로 (b)에 의해

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

이고

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\sin\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} = -1 \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that

$z(x,y)^3 - xy\,z(x,y)^2 - 4x = 0$

for all $(x,y)$ (sufficiently near $(1,1)$ ). Differentiating this equation with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) -y\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - 4=0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{4+yz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

and differentiating with respect to $y$ gives

$\begin{aligned} & 3z(x,y)^2\,\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) -x\, z(x,y)^2 -2xy\,z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) =0 \\ \implies &\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xz^2}{3z^2-2xyz} \end{aligned}$

(b) When $(x,y,z)=(1,1,2)$ ,

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{4+(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{(1)(2)^2}{3(2)^2-2(1)(1)(2)} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

(c) Under the linear approximation at $(1,1)$

$z(x,y) \approx z(1,1) + z_x(1,1)\,(x-1) + z_y\,(1,1)\,(y-1) = 2 + (x-1) +\frac{1}{2}(y-1)$

So errors of $\pm 0.03$ in $x$ and $\pm 0.02$ in $y$ leads of errors of about

$\pm\left[0.03 + \frac{1}{2}(0.02)\right] =\pm 0.04$

in $z$ .

(d) By the chain rule

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} z\big(x(\theta),y(\theta)\big) &= z_x\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,x'(\theta) +z_y\big(x(\theta),y(\theta)\big)\,y'(\theta) \\ &=-z_x\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\sin\theta +z_y\big(1 + \cos\theta,\sin\theta\big)\,\cos\theta \end{aligned}$

At $A$ , $x=2$ , $y=0$ , $z=2$ (since $z^3-(2)(0)z^2-4(2)=0$ ) and $\theta=0$ , so that

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,0) = \frac{4+(0)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{1}{3}\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(2,0) = \frac{(2)(2)^2}{3(2)^2-2(2)(0)(2)} = \frac{2}{3} \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\frac{1}{3}\sin(0) +\frac{2}{3}\cos(0) =\frac{2}{3} \end{aligned}$

At $B$ , $x=1$ , $y=1$ , $z=2$ and $\theta=\frac{\pi}{2}$ , so that, by part (b),

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = 1\qquad \frac{\partial z}{\partial y}(1,1) = \frac{1}{2} \end{aligned}$

and

$\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}\theta} &=-\sin\frac{\pi}{2} +\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} = -1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 18번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

115.CLP-3 · 2.6절 · 20번대학 수준우리말 번역

$\mathbb{R}^2$ 의 각 점 $(x, y)$ 를 $ye^{-x}$ 에 대응시키는 함수 $f$ 를 생각하자.

(a) $x = 1$ , $y = e$ 이고, $x$ 와 $y$ 를 각각 측정할 때 크기 $0.1$ 의 오차가 생긴다고 하자. 이로 인해 $f(x,y)$ 에 생길 수 있는 최대 오차를 어림하세요. (b) 함수 $f$ 의 그래프는 $\mathbb{R}^3$ 안에 있고, 점 $(1, e, 1)$ 은 그 그래프 위에 있다. 그 점에서 그래프에 수직인 영벡터가 아닌 벡터를 하나 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f$ that maps each point $(x, y)$ in $\mathbb{R}^2$ to $ye^{-x}$ .

(a) Suppose that $x = 1$ and $y = e$ , but errors of size $0.1$ are made in measuring each of $x$ and $y$ . Estimate the maximum error that this could cause in $f(x,y)$ . (b) The graph of the function $f$ sits in $\mathbb{R}^3$ , and the point $(1, e, 1)$ lies on that graph. Find a nonzero vector that is perpendicular to that graph at that point.

정답·풀이 보기

$(x,y)=(1,e)$ 에서 $f(x,y)=ye^{-x}$ 의 1계 편도함수가 필요하다. 다음과 같다.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= -ye^{-x} & f_x(1,e)&=-e\,e^{-1}=-1 \\ f_y(x,y)&=e^{-x} & f_y(1,e)&= e^{-1} \end{aligned}$

(a) $(x,y)=(1,e)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,e) + f_x(1,e)\,(x-1) +f_y(1,e)\,(y-e) = 1 -(x-1) +e^{-1}(y-e) \end{aligned}$

따라서 최대 오차는 대략 다음과 같다.

$\begin{aligned} -1(-0.1) +e^{-1}(0.1) =\frac{1+e^{-1}}{10} \end{aligned}$

(b) 그래프의 방정식은 $g(x,y,z) = f(x,y) -z =0$ 이다. 다음 벡터의 0이 아닌 임의의 상수배는

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(1,e,1) =\left< f_x(1,e)\,,\,f_y(1,e)\,,\,-1\right> =\left< -1\,,\,e^{-1}\,,\,-1\right> \end{aligned}$

점 $(1,e,1)$ 에서 $g=0$ 에 수직이다.

원본 교재 풀이(영어)

We are going to need the first order partial derivatives of $f(x,y)=ye^{-x}$ at $(x,y)=(1,e)$ . Here they are.

$\begin{aligned} f_x(x,y)&= -ye^{-x} & f_x(1,e)&=-e\,e^{-1}=-1 \\ f_y(x,y)&=e^{-x} & f_y(1,e)&= e^{-1} \end{aligned}$

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(x,y)=(1,e)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,e) + f_x(1,e)\,(x-1) +f_y(1,e)\,(y-e) = 1 -(x-1) +e^{-1}(y-e) \end{aligned}$

The maximum error is then approximately

$\begin{aligned} -1(-0.1) +e^{-1}(0.1) =\frac{1+e^{-1}}{10} \end{aligned}$

(b) The equation of the graph is $g(x,y,z) = f(x,y) -z =0$ . Any vector that is a nonzero constant times

$\begin{aligned} { \boldsymbol{\nabla} } g(1,e,1) =\left< f_x(1,e)\,,\,f_y(1,e)\,,\,-1\right> =\left< -1\,,\,e^{-1}\,,\,-1\right> \end{aligned}$

is perpendicular to $g=0$ at $(1,e,1)$ .

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 21번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류

116.CLP-3 · 2.6절 · 21번대학 수준우리말 번역

곡면이 $z^4 - xy^2 z^2 + y = 0$ 으로 음함수 꼴로 정의되어 있다.

(a) $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ 를 $x$ , $y$ , $z$ 로 나타내세요. (b) $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 에서 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 와 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 의 값을 구하세요. (c) $x$ 가 $2$ 에서 $1.94$ 로 감소하고, $y$ 가 $-0.5$ 에서 $-0.4$ 로 증가할 때, $z$ 가 $1$ 에서 변하는 양을 어림하세요. (d) 점 $(2, -1/2, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface is defined implicitly by $z^4 - xy^2 z^2 + y = 0$ .

(a) Compute $\frac{\partial z}{\partial x}$ , $\frac{\partial z}{\partial y}$ in terms of $x$ , $y$ , $z$ . (b) Evaluate $\frac{\partial z}{\partial x}$ and $\frac{\partial z}{\partial y}$ at $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ . (c) If $x$ decreases from $2$ to $1.94$ , and $y$ increases from $-0.5$ to $-0.4$ , find the approximate change in $z$ from $1$ . (d) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point $(2, -1/2, 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) 모든 $x,y$ 에 대해 ( $(x,y,z)$ 가 $(2,-1/2,1)$ 근처일 때), 함수 $z(x,y)$ 는 다음을 만족한다.

$\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}$

$(*)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

마찬가지로, 이 등식을 $y$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

(b) (a)의 결과에 $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ 을 대입하면

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}$

(c) $(2,-1/2)$ 에서의 선형 근사에 의해

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

특히

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}$

이므로

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}$

(d) 접평면의 방정식은

$\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

또는

$\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) We are told that for all $x,y$ (with $(x,y,z)$ near $(2,-1/2,1)$ ), the function $z(x,y)$ obeys

$\begin{aligned} z(x,y)^4 -xy^2 z(x,y)^2 +y=0 \tag{$*$}\end{aligned}$

Differentiating $(*)$ with respect to $x$ gives

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) - y^2z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}(x,y) =0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) = \frac{y^2 z(x,y)^2}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

Similarly, differentiating this equation with respect to $y$ gives

$\begin{aligned} &4z(x,y)^3\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) - 2xy\,z(x,y)^2 -2xy^2z(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) +1=0 \\ &\implies \frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = \frac{2xy\, z(x,y)^2-1}{4z(x,y)^3-2xy^2z(x,y)} \end{aligned}$

(b) Substituting $(x, y, z) = (2, -1/2, 1)$ into the results of part (a) gives

$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}(2,-1/2) &= \frac{1/4}{4-1} =\frac{1}{12}\\ \frac{\partial z}{\partial y}(2,-1/2) &= \frac{-2-1}{4-1}=-1 \end{aligned}$

(c) Under the linear approximation about $(2,-1/2)$ ,

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

In particular

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) \approx 1 -\frac{0.06}{12}-0.1 \end{aligned}$

so that

$\begin{aligned} f(1.94,-0.4) - 1 \approx -0.105 \end{aligned}$

(d) The tangent plane is

$\begin{aligned} z&=f(2,-1/2) + f_x(2,-1/2)\,(x-2) + f_y(2,-1/2)\,(y+1/2) \\ &= 1 +\frac{1}{12}(x-2) - (y+0.5) \end{aligned}$

or

$\begin{aligned} \frac{x}{12} -y -z = -\frac{1}{3} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 22번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

117.CLP-3 · 2.6절 · 22번대학 수준우리말 번역

곡면 $z = f (x, y)$ 는 $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ 에서 편도함수 $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ 과 $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ 를 갖는다.

(a) $x$ 가 $1$ 에서 $1.2$ 로 증가하고 $y$ 가 $3$ 에서 $2.6$ 으로 감소할 때, 선형 근사를 이용하여 $z$ 의 변화량을 구하세요. (b) 점 $(1, 3, 1)$ 에서 이 곡면의 접평면의 방정식을 구하세요.

영어 원문 보기

A surface $z = f (x, y)$ has derivatives $\frac{\partial f}{\partial x}=3$ and $\frac{\partial f}{\partial y}=-2$ at $(x, y, z) = (1, 3, 1)$ .

(a) If $x$ increases from $1$ to $1.2$ , and $y$ decreases from $3$ to $2.6$ , find the change in $z$ using a linear approximation. (b) Find the equation of the tangent plane to the surface at the point $(1, 3, 1)$ .

정답·풀이 보기

(a) $(1,3)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

따라서 $z$ 의 변화량은 대략 다음과 같다.

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) 접평면의 방정식은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

또는

$3x-2y-z = -4$

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(1,3)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) \approx f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

So the change is $z$ is approximately

$\begin{aligned} 3(1.2-1) -2(2.6-3) = 1.4 \end{aligned}$

(b) The equation of the tangent plane is

$\begin{aligned} z = f(1,3) + f_x(1,3)\,(x-1) +f_y(1,3)\,(y-3) = 1 + 3(x-1) -2(y-3) \end{aligned}$

or

$3x-2y-z = -4$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 23번

# 접평면과 선형근사계산도전자동 분류

118.CLP-3 · 2.6절 · 23번대학 수준우리말 번역

판데르발스 방정식에 따르면 기체는 다음 방정식을 만족시킨다.

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

여기서 $p$ , $V$ , $T$ 는 각각 압력, 부피, 온도를 나타낸다. 이 기체가 현재 압력 $1$ , 부피 $2$ , 온도 $5$ 인 상태라고 하자. $p$ 가 $0.2$ 만큼, $T$ 가 $0.3$ 만큼 증가할 때 부피의 변화량을 어림하세요.

영어 원문 보기

According to van der Waal's equation, a gas satisfies the equation

$(pV^2 + 16)(V - 1) = T V^2 ,$

where $p$ , $V$ and $T$ denote pressure, volume and temperature respectively. Suppose the gas is now at pressure $1$ , volume $2$ and temperature $5$ . Find the approximate change in its volume if $p$ is increased by $0.2$ and $T$ is increased by $0.3$ .

답 쓰고 채점

정답·풀이 보기

부피를 압력과 온도의 함수 $V(p,T)$ 로 생각하자. 이 함수는 (적어도 $p\approx 1$ , $T\approx 5$ , $V\approx 2$ 일 때) 다음 방정식에 의해 음함수로 결정된다.

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

$V$ 의 변화량을 어림하기 위해 $p=1$ , $T=5$ 에서 $V(p,T)$ 의 선형 근사를 이용한다. 그러려면 편도함수 $V_p(1,5)$ 와 $V_T(1,5)$ 가 필요하다. 방정식 $(*)$ 는 $1$ 에 가까운 모든 $p$ 와 $5$ 에 가까운 모든 $T$ 에 대해 성립하므로, $(*)$ 의 양변을 $p$ 에 대해 미분하면

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

이고, $(*)$ 의 양변을 $T$ 에 대해서도 미분하면

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

이다. 특히 $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ 일 때

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

이므로 $V$ 의 변화량은 다음과 같다.

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Think of the volume as being the function $V(p,T)$ of pressure and temperature that is determined implicitly (at least for $p\approx 1$ , $T\approx 5$ and $V\approx 2$ ) by the equation

$\big(pV(p,T)^2 + 16\big)\big(V(p,T) - 1\big) = T V(p,T)^2 \tag{$*$}$

To determine the approximate change in $V$ , we will use the linear approximation to $V(p,T)$ at $p=1$ , $T=5$ . So we will need the partial derivatives $V_p(1,5)$ and $V_T(1,5)$ . As the equation $(*)$ is valid for all $p$ near $1$ and $T$ near 5, we may differentiate $(*)$ with respect to $p$ , giving

$\begin{aligned} &\big(V^2 +2 pV V_p\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_p = 2T V V_p \end{aligned}$

and we may also differentiate $(*)$ with respect to $T$ , giving

$\begin{aligned} &\big(2 pV V_T\big)\big(V - 1\big) + \big(pV ^2 + 16\big)V_T = V^2 + 2T V V_T \end{aligned}$

In particular, when $p=1$ , $V=2$ , $T=5$ ,

$\begin{aligned} \big(4 +4 V_p(1,5)\big)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_p(1,5) &= 20 V_p(1,5) &\quad\implies V_p(1,5)&=-1 \\ 4 V_T(1,5)\big(2 - 1\big) + \big(4 + 16\big)V_T(1,5) &= 4 + 20 V_T(1,5) &\quad\implies V_T(1,5)&=1 \end{aligned}$

so that the change in $V$ is

$\begin{aligned} V(1.2\,,\,5.3)-V(1,5) \approx V_p(1,5)\,(0.2) + V_T(1,5)\,(0.3) = -0.2+0.3 = 0.1 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 24번

# 접평면과 선형근사활용도전자동 분류

119.CLP-3 · 2.6절 · 24번대학 수준우리말 번역

함수 $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ 을 생각하자.

(a) $(x, y) = (2, 1)$ 인 점에서 그래프 $z = f (x,y)$ 에 접하는 접평면의 방정식을 구하세요. (b) (a)에서 구한 접평면을 이용하여 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값을 구하세요.

영어 원문 보기

Consider the function $f(x, y) = e^{-x^2 +4y^2}$ .

(a) Find the equation of the tangent plane to the graph $z = f (x,y)$ at the point where $(x, y) = (2, 1)$ . (b) Find the tangent plane approximation to the value of $f(1.99, 1.01)$ using the tangent plane from part (a).

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

다음이 성립하므로

$\begin{aligned} f_x(2,1) & = -2x e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = -4 \\ f_y(2,1) & = \phantom{-}8y e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = 8 \end{aligned}$

$z=f(x,y)$ 의 $(2,1)$ 에서의 접평면은 다음과 같다.

$\begin{aligned} z &= f(2,1) +f_x(2,1)\,(x-2) +f_y(2,1)\,(y-1) = 1 -4 (x-2) +8(y-1) \\ &= 1-4x +8y \end{aligned}$

그리고 $f(1.99, 1.01)$ 의 값에 대한 접평면 근삿값은 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(1.99, 1.01) \approx 1 -4 (1.99-2) +8(1.01-1) = 1.12 \end{aligned}$

원본 교재 풀이(영어)

Since

$\begin{aligned} f_x(2,1) & = -2x e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = -4 \\ f_y(2,1) & = \phantom{-}8y e^{-x^2 +4y^2}\Big|_{(x,y)=(2,1)} = 8 \end{aligned}$

The tangent plane to $z=f(x,y)$ at $(2,1)$ is

$\begin{aligned} z &= f(2,1) +f_x(2,1)\,(x-2) +f_y(2,1)\,(y-1) = 1 -4 (x-2) +8(y-1) \\ &= 1-4x +8y \end{aligned}$

and the tangent plane approximation to the value of $f(1.99, 1.01)$ is

$\begin{aligned} f(1.99, 1.01) \approx 1 -4 (1.99-2) +8(1.01-1) = 1.12 \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 25번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류

120.CLP-3 · 2.6절 · 25번대학 수준우리말 번역

$z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)$ 라 하자.

(a) 점 $(0, 1)$ 에서 함수 $z = f (x, y)$ 의 선형 근사를 이용하여 $f(0.1, 1.2)$ 의 값을 어림하세요. (b) 점 $P$ 에서 $z = f (x, y)$ 의 그래프에 접하는 접평면이 평면 $2x + 2y - z = 3$ 과 평행하도록 하는, $z = f(x, y)$ 의 그래프 위의 점 $P (a, b, c)$ 를 구하세요.

영어 원문 보기

Let $z = f (x, y) = \ln(4x^2 + y^2)$ .

(a) Use a linear approximation of the function $z = f (x, y)$ at $(0, 1)$ to estimate $f(0.1, 1.2)$ . (b) Find a point $P (a, b, c)$ on the graph of $z = f(x, y)$ such that the tangent plane to the graph of $z = f (x, y)$ at the point $P$ is parallel to the plane $2x + 2y - z = 3$ .

답 쓰고 채점

(a)

(b)

정답·풀이 보기

(a) 점 $(a,b)$ 에서 $f(x,y)$ 의 선형 근사는 다음과 같다.

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) \\ &= \ln(4a^2 + b^2) + \frac{8a}{4a^2+b^2}\, (x-a) + \frac{2b}{4a^2+b^2}\, (y-b) \end{aligned}$

특히 $a=0$ , $b=1$ 일 때

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx 2\, (y-1) \end{aligned}$

이고, $x=0.1$ , $y=1.2$ 일 때

$\begin{aligned} f(0.1,1.2) &\approx 0.4 \end{aligned}$

이다.

(b) 점 $(a,b,c)$ 가 곡면 $z=f(x,y)$ 위에 있을 필요충분조건은

$c = f(a,b) = \ln(4a^2 + b^2)$

이다. 이에 따라 $4a^2 + b^2$ 은 0이 아니어야 한다. 점 $(a,b,c)$ 에서 곡면 $z = f (x, y)$ 의 접평면이 평면 $2x + 2y - z = 3$ 과 평행할 필요충분조건은 $\left< 2\,,\,2\,,\,-1\right>$ 이 그 접평면의 법선 벡터인 것이다. 즉, 0이 아닌 수 $t$ 가 존재하여

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,-1\right> =t\left< f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b)\,,\ -1\right> =t\left< \frac{8a}{4a^2+b^2} \,,\, \frac{2b}{4a^2+b^2} \,,\,-1\right> \end{aligned}$

이다. $z$ 좌표가 같으려면 $t$ 는 $1$ 이어야 한다. 그러면 $x$ 좌표와 $y$ 좌표가 같아야 하므로

$\begin{aligned} \frac{8a}{4a^2+b^2} &= 2 \\ \frac{2b}{4a^2+b^2} &= 2 \end{aligned}$

이어야 한다. 이 방정식들로부터 $a$ 와 $b$ 는 모두 0이 아니다. 두 방정식을 서로 나누면 $\frac{8a}{2b}=1$ 이므로 $b=4a$ 이다. $b=4a$ 를 두 방정식 중 어느 하나에 대입하면

$\begin{aligned} \frac{8a}{20a^2}=2 \implies a=\frac{1}{5} \end{aligned}$

이다. 따라서 $a=\frac{1}{5}$ , $b=\frac{4}{5}$ 이고

$\begin{aligned} c=\ln\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}\right) =\ln\frac{4}{5} \end{aligned}$

이다.

원본 교재 풀이(영어)

(a) The linear approximation to $f(x,y)$ at $(a,b)$ is

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b) \\ &= \ln(4a^2 + b^2) + \frac{8a}{4a^2+b^2}\, (x-a) + \frac{2b}{4a^2+b^2}\, (y-b) \end{aligned}$

In particular, for $a=0$ and $b=1$ ,

$\begin{aligned} f(x,y) &\approx 2\, (y-1) \end{aligned}$

and, for $x=0.1$ and $y=1.2$ ,

$\begin{aligned} f(0.1,1.2) &\approx 0.4 \end{aligned}$

(b) The point $(a,b,c)$ is on the surface $z=f(x,y)$ if and only if

$c = f(a,b) = \ln(4a^2 + b^2)$

Note that this forces $4a^2 + b^2$ to be nonzero. The tangent plane to the surface $z = f (x, y)$ at the point $(a,b,c)$ is parallel to the plane $2x + 2y - z = 3$ if and only if $\left< 2\,,\,2\,,\,-1\right>$ is a normal vector for the tangent plane. That is, there is a nonzero number $t$ such that

$\begin{aligned} \left< 2\,,\,2\,,\,-1\right> =t\left< f_x(a,b)\,,\,f_y(a,b)\,,\ -1\right> =t\left< \frac{8a}{4a^2+b^2} \,,\, \frac{2b}{4a^2+b^2} \,,\,-1\right> \end{aligned}$

For the $z$ –coordinates to be equal, $t$ must be $1$ . Then, for the $x$ – and $y$ –coordinates to be equal, we need

$\begin{aligned} \frac{8a}{4a^2+b^2} &= 2 \\ \frac{2b}{4a^2+b^2} &= 2 \end{aligned}$

Note that these equations force both $a$ and $b$ to be nonzero. Dividing these equations gives $\frac{8a}{2b}=1$ and hence $b=4a$ . Substituting $b=4a$ into either of the two equations gives

$\begin{aligned} \frac{8a}{20a^2}=2 \implies a=\frac{1}{5} \end{aligned}$

So $a=\frac{1}{5}$ , $b=\frac{4}{5}$ and

$\begin{aligned} c=\ln\left(\frac{4}{5^2}+\frac{4^2}{5^2}\right) =\ln\frac{4}{5} \end{aligned}$

한 번 더 — 비슷한 문제 풀기CLP-3 · 2.6절 · 26번

# 접평면과 선형근사그래프·표 해석도전자동 분류